7.6 拓扑排序
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构造拓扑排序方法：
STEP 1：在有向图中任选一个没有前驱的顶点且输出之 STEP 2：从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧 STEP 3：重复上述两步，若全部顶点均可输出，则不存在环；
若当前图中不存在无前驱的顶点，则一定存在环
7.6 拓扑排序
存储结构选择
邻接表： 需要不断地动态删除顶点及其邻接边 无前驱顶点： 入度为0的顶点
7.6 拓扑排序
案例1：关系合法性判断 HDU3342 案例2：比赛名次排序 HDU1285
7.6 拓扑排序
案例1：关系合法性判断 HDU3342
题目大意：每个人都可以有多个师傅，并且师徒关系是可以传递的，即我师傅的 师傅也是我的师傅，我徒弟的徒弟也是我的徒弟。 逻辑要求：若存在：自己的徒弟是自己的师傅，输出NO；如果全部人员关系符 合题目要求，则输出YES
7.6 拓扑排序
B
E
AOV网：
A
F CD
施工流程图是有向图
H
K
G I
J
L
顶点表示独立活动 弧表示活动间的优先关系 AOV网中不能存在回路
概念定义：设G(V, E)是一个具有n个顶点的有向图，若将有向图中的顶点 以线性方式进行排序，则对于任何连接自顶点u到顶点v的有向边(u,v)，排 序结果中顶点u总是在顶点v的前面。
7.6 拓扑排序
基本概念 拓扑排序、偏序和全序
核心任务 判断AOV-网中是否存在环
算法实现
利用：顶点入度数组、零度顶点队列、顶点统计变量
思路：(1)在有向图中选择一个无前驱顶点v输出; (2)删除与顶点v的所有邻接边 重复上述步骤，若所有顶点均输出则无环
应用价值 判断工程的各个子项目能否按照既定序列顺利实施
7.6 拓扑排序
偏序和全序的概念 偏序：集合中仅仅部分成员间可比较优先关系
全序：集合中所有成员之间均可比较优先关系
2 1
3
偏序关系图
1
2
3
全序关系图
偏序关系的排序结果不唯一，全序关系的排序结果唯一。
7.6 拓扑排序
拓扑排序重点 检测AOV-网中是否存在环
检测是否存环方法： 对有向图构造其顶点的拓扑有序序列 若网中所有顶点都在拓扑有序序列中，则必定不存在环
题目大意：有N个比赛队(1≤N≤500)，编号依次为1，2，3，…，N进行比赛， 比赛结束后，裁判委员会要将所有参赛队伍从前往后依次排名，但现在裁判委员 会不能直接获得每个队的比赛成绩，只知道每场比赛的结果，若P1赢P2则排名 时P1在P2之前。现在请你编程序确定排名。 输入格式：输入有若干组，每组中的第一行有两个数N和M；其中N表示队伍的 个数，M表示接着有M行的输入数据。接下来的M行数据中，每行也有两个整数 P1和P2表示即P1队赢了P2队。 结果要求：给出一个符合要求的排名。输出时队伍号之间有空格，最后一名后面 没有空格。 其它说明：符合条件的排名可能不唯一，此时要求输出时编号小优先输出；另外 输入数据保证确保一定能有一个符合要求的排名。
7.6 拓扑排序
课程代码
课程名称
A
C语言程序设计
B
数据结构
C
数据库原理
D
计算机网络
E
算法设计与分析
F
操作系统
G
大学物理
H
数字电路技术
I
计算机组成原理
J
计算机接口技术
K
无线传感网络
L
嵌入式系统源自文库成
先行课程
A B C B D、E
A、G G、H H、I D、J J、K
B
E
A
F CD
H K
G I
J
L
思考交流： 如何判断所有课程安排是否
7.6 拓扑排序
（图结构第六讲）
网络工程学院 王洪峰
遥远的距离
世界上最遥远的距离，不是从南极到北极， 而是我在讲解算法为何如此精妙，您却能够安详在课堂上睡觉。 世界上最遥远的距离，不是珠峰与马里亚纳海沟的距离， 而是我欲把古人的智慧全盘给您，您却不屑一顾毫不怜惜。 世界上最遥远的距离，不是牛A与牛C的狭小空隙， 而是您们当中，有人在通往牛逼的路上一路狂奔， 而有人步入大学校园就学会放弃……
算法性能分析
有向图G：n 个顶点 e 条边 计算入度时间：遍历所有头结点和邻接边，O(n+e) 零度顶点入栈：遍历indegree数组，O(n) 拓扑排序过程：若无环，所有顶点进一次栈、出一次栈，共n次
同时删除边时入度减1操作进行e次，O(n+e) 若有环，则时间复杂度只会比无环时要少
总的时间复杂度：O(n+e)
STEP 3：重复做直到栈S为空 STEP 3.1：弹出栈顶顶点u，保存顶点u到拓扑排序结果集，count++ STEP 3.2：针对顶点u的每条邻接边，将邻接顶点入度减1， 实时判断该邻接顶点入度，如果为0，则将其存入栈S
STEP 4：若count< G.vexnum，则图有环路，否则图无环路
7.6 拓扑排序
符合先后顺序呢？
7.6 拓扑排序
7.6 拓扑排序
思考交流： 几万个零部件，如何依据供应链状况合理安排汽车所有零部件生产工序呢？
7.6 拓扑排序
7.6 拓扑排序
工程系统顺利开展： （1）工程能否按照某种次序顺利进行？
拓扑排序
（2）能否估算整个工程完成所必须的最短时间？
关键路径
7.6 拓扑排序
增加顶点入度数组indegree，保存顶点的实时入度信息 增加零度顶点栈：避免重复检测入度为零的顶点 实时更新顶点入度：将零度顶点的所有邻接顶点入度减1
7.6 拓扑排序
计算机实现
STEP 1：遍历邻接表，计算各个顶点的入度，写入indegree数组
STEP 2：初始化：零度顶点栈S，遍历indegree数组将零度顶点入栈 定义拓扑排序输出结果中顶点统计变量count = 0
求解思路： 徒弟师傅邻接表：以徒弟编号为弧尾顶点，以师傅编号作为邻接弧头顶点 顶点入度indegree数组：记录每个人的师傅数量，即每个人的入度。 零度顶点栈S：保存师傅数量为0的徒弟编号 关系合法判断：拓扑排序过程结束，若统计变量等于人员数量，则人员关系合法； 否则不合法。
7.6 拓扑排序
案例2：比赛名次排序 HDU1285
7.6 拓扑排序
案例2：比赛名次排序 HDU1285
求解思路： 队伍输赢邻接表：以赢家编号为弧尾顶点，以输家编号作为邻接弧头顶点 顶点入度indegree数组：记录每个队伍比赛输的场次数量 零度顶点优先队列S：保存比赛输掉场次的数量为0的队伍编号，且小号优先 比赛名词排序：因输入数据确保有向无环，故拓扑排序结束直接打印结果
STEP 1：在有向图中任选一个没有前驱的顶点且输出之 STEP 2：从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧 STEP 3：重复上述两步，若全部顶点均可输出，则不存在环；
若当前图中不存在无前驱的顶点，则一定存在环
7.6 拓扑排序
存储结构选择
邻接表： 需要不断地动态删除顶点及其邻接边 无前驱顶点： 入度为0的顶点
7.6 拓扑排序
案例1：关系合法性判断 HDU3342 案例2：比赛名次排序 HDU1285
7.6 拓扑排序
案例1：关系合法性判断 HDU3342
题目大意：每个人都可以有多个师傅，并且师徒关系是可以传递的，即我师傅的 师傅也是我的师傅，我徒弟的徒弟也是我的徒弟。 逻辑要求：若存在：自己的徒弟是自己的师傅，输出NO；如果全部人员关系符 合题目要求，则输出YES
7.6 拓扑排序
B
E
AOV网：
A
F CD
施工流程图是有向图
H
K
G I
J
L
顶点表示独立活动 弧表示活动间的优先关系 AOV网中不能存在回路
概念定义：设G(V, E)是一个具有n个顶点的有向图，若将有向图中的顶点 以线性方式进行排序，则对于任何连接自顶点u到顶点v的有向边(u,v)，排 序结果中顶点u总是在顶点v的前面。
7.6 拓扑排序
基本概念 拓扑排序、偏序和全序
核心任务 判断AOV-网中是否存在环
算法实现
利用：顶点入度数组、零度顶点队列、顶点统计变量
思路：(1)在有向图中选择一个无前驱顶点v输出; (2)删除与顶点v的所有邻接边 重复上述步骤，若所有顶点均输出则无环
应用价值 判断工程的各个子项目能否按照既定序列顺利实施
7.6 拓扑排序
偏序和全序的概念 偏序：集合中仅仅部分成员间可比较优先关系
全序：集合中所有成员之间均可比较优先关系
2 1
3
偏序关系图
1
2
3
全序关系图
偏序关系的排序结果不唯一，全序关系的排序结果唯一。
7.6 拓扑排序
拓扑排序重点 检测AOV-网中是否存在环
检测是否存环方法： 对有向图构造其顶点的拓扑有序序列 若网中所有顶点都在拓扑有序序列中，则必定不存在环
题目大意：有N个比赛队(1≤N≤500)，编号依次为1，2，3，…，N进行比赛， 比赛结束后，裁判委员会要将所有参赛队伍从前往后依次排名，但现在裁判委员 会不能直接获得每个队的比赛成绩，只知道每场比赛的结果，若P1赢P2则排名 时P1在P2之前。现在请你编程序确定排名。 输入格式：输入有若干组，每组中的第一行有两个数N和M；其中N表示队伍的 个数，M表示接着有M行的输入数据。接下来的M行数据中，每行也有两个整数 P1和P2表示即P1队赢了P2队。 结果要求：给出一个符合要求的排名。输出时队伍号之间有空格，最后一名后面 没有空格。 其它说明：符合条件的排名可能不唯一，此时要求输出时编号小优先输出；另外 输入数据保证确保一定能有一个符合要求的排名。
7.6 拓扑排序
课程代码
课程名称
A
C语言程序设计
B
数据结构
C
数据库原理
D
计算机网络
E
算法设计与分析
F
操作系统
G
大学物理
H
数字电路技术
I
计算机组成原理
J
计算机接口技术
K
无线传感网络
L
嵌入式系统源自文库成
先行课程
A B C B D、E
A、G G、H H、I D、J J、K
B
E
A
F CD
H K
G I
J
L
思考交流： 如何判断所有课程安排是否
7.6 拓扑排序
（图结构第六讲）
网络工程学院 王洪峰
遥远的距离
世界上最遥远的距离，不是从南极到北极， 而是我在讲解算法为何如此精妙，您却能够安详在课堂上睡觉。 世界上最遥远的距离，不是珠峰与马里亚纳海沟的距离， 而是我欲把古人的智慧全盘给您，您却不屑一顾毫不怜惜。 世界上最遥远的距离，不是牛A与牛C的狭小空隙， 而是您们当中，有人在通往牛逼的路上一路狂奔， 而有人步入大学校园就学会放弃……
算法性能分析
有向图G：n 个顶点 e 条边 计算入度时间：遍历所有头结点和邻接边，O(n+e) 零度顶点入栈：遍历indegree数组，O(n) 拓扑排序过程：若无环，所有顶点进一次栈、出一次栈，共n次
同时删除边时入度减1操作进行e次，O(n+e) 若有环，则时间复杂度只会比无环时要少
总的时间复杂度：O(n+e)
STEP 3：重复做直到栈S为空 STEP 3.1：弹出栈顶顶点u，保存顶点u到拓扑排序结果集，count++ STEP 3.2：针对顶点u的每条邻接边，将邻接顶点入度减1， 实时判断该邻接顶点入度，如果为0，则将其存入栈S
STEP 4：若count< G.vexnum，则图有环路，否则图无环路
7.6 拓扑排序
符合先后顺序呢？
7.6 拓扑排序
7.6 拓扑排序
思考交流： 几万个零部件，如何依据供应链状况合理安排汽车所有零部件生产工序呢？
7.6 拓扑排序
7.6 拓扑排序
工程系统顺利开展： （1）工程能否按照某种次序顺利进行？
拓扑排序
（2）能否估算整个工程完成所必须的最短时间？
关键路径
7.6 拓扑排序
增加顶点入度数组indegree，保存顶点的实时入度信息 增加零度顶点栈：避免重复检测入度为零的顶点 实时更新顶点入度：将零度顶点的所有邻接顶点入度减1
7.6 拓扑排序
计算机实现
STEP 1：遍历邻接表，计算各个顶点的入度，写入indegree数组
STEP 2：初始化：零度顶点栈S，遍历indegree数组将零度顶点入栈 定义拓扑排序输出结果中顶点统计变量count = 0
求解思路： 徒弟师傅邻接表：以徒弟编号为弧尾顶点，以师傅编号作为邻接弧头顶点 顶点入度indegree数组：记录每个人的师傅数量，即每个人的入度。 零度顶点栈S：保存师傅数量为0的徒弟编号 关系合法判断：拓扑排序过程结束，若统计变量等于人员数量，则人员关系合法； 否则不合法。
7.6 拓扑排序
案例2：比赛名次排序 HDU1285
7.6 拓扑排序
案例2：比赛名次排序 HDU1285
求解思路： 队伍输赢邻接表：以赢家编号为弧尾顶点，以输家编号作为邻接弧头顶点 顶点入度indegree数组：记录每个队伍比赛输的场次数量 零度顶点优先队列S：保存比赛输掉场次的数量为0的队伍编号，且小号优先 比赛名词排序：因输入数据确保有向无环，故拓扑排序结束直接打印结果