初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 CA 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A6、正弦、余弦的增减性:当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性:当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,8、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。
依据:①边的关系:222c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。
(注意:尽量避免使用中间数据和除法)9、应用举例:(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示,即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。
如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°(东北方向) , 南偏东45°(东南方向), 南偏西60°(西南方向), 北偏西60°(西北方向)。
九年级数学专题复习锐角三角函数
总复习锐角三角函数【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用,特殊角三角函数值的求法,运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题,多以中、低档题出现;2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形,建立数学模型,然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A所对的边BC记为a,叫做∠A的对边,也叫做∠B的邻边,∠B所对的边AC记为b,叫做∠B的对边,也是∠A的邻边,直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA aAc∠==的对边斜边;锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA bAc∠==的邻边斜边;锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边;cosB aBc∠==的邻边斜边;tanB bBB a∠==∠的对边的邻边.要点进阶:ABCabc(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值.角的度数确定时,其比值不变,角的度数变化时,比值也随之变化.(2)sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成,,,不能理解成sin与∠A,cos与∠A,tan与∠A的乘积.书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”,但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan∠AEF”,不能写成“tanAEF”;另外,、、常写成、、.(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在.(4)由锐角三角函数的定义知:当角度在0°<∠A<90°之间变化时,,,tanA>0.考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义,可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,归纳如下:要点进阶:(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,它的另一个应用就是:如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数,例如:若,则锐角.(2)仔细研究表中数值的规律会发现:sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1,而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反,、、的值依次增大,其变化规律可以总结为:当角度在0°<∠A<90°之间变化时,①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大).考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)互余关系:,;(2)平方关系:;(3)倒数关系:或;(4)商数关系:.要点进阶:锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便.考点四、解直角三角形在直角三角形中,由已知元素(直角除外)求未知元素的过程,叫做解直角三角形.在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有:①三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.③边角之间的关系:,,,,,.④,h为斜边上的高.要点进阶:(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°),是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式,没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形,可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a,b)由求∠A,∠B=90°-∠A,斜边,一直角边(如c,a)由求∠A,∠B=90°-∠A,一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A,b)∠B=90°-∠A,一角,锐角、对边(如∠A,a)∠B=90°-∠A,,斜边、锐角(如c,∠A)∠B=90°-∠A,,要点进阶:1.在遇到解直角三角形的实际问题时,最好是先画出一个直角三角形的草图,按题意标明哪些元素是已知的,哪些元素是未知的,然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2.若题中无特殊说明,“解直角三角形”即要求出所有的未知元素,已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是:(1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几何图形,建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解.拓展:在用直角三角形知识解决实际问题时,经常会用到以下概念:(1)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母表示.坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度,用字母表示,则,如图,坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线中水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角,如图.(3)方位角:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如图①中,目标方向PA,PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°.(4)方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角,如图②中的目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如:东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西45°.要点进阶:1.解直角三角形实际是用三角知识,通过数值计算,去求出图形中的某些边的长或角的大小,最好画出它的示意图.2.非直接解直角三角形的问题,要观察图形特点,恰当引辅助线,使其转化为直角三角形或矩形来解.例如:3.解直角三角形的应用题时,首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义),然后正确画出示意图,进而根据条件选择合适的方法求解.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)三边之间的关系:222a b c +=; (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B =90°; (3)边与角之间的关系:sin cos a A B c ==,cos cos a A B c==,cos sin b A B c ==,1tan tan a A b B==. (4) 如图,若直角三角形ABC 中,CD ⊥AB 于点D ,设CD =h ,AD =q ,DB =p ,则由△CBD ∽△ABC ,得a 2=pc ;由△CAD ∽△BAC ,得b 2=qc ;由△ACD ∽△CBD ,得h 2=pq ;由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积,得ab =ch .(5)如图所示,若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线,则①CD =AD =BD =12AB ; ②点D 是Rt △ABC 的外心,外接圆半径R =12AB . (6)如图所示,若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径,则2a b c abr a b c+-==++. 直角三角形的面积: ①如图所示,111sin 222ABC S ab ch ac B ===△.(h 为斜边上的高)②如图所示,1()2ABC S r a b c =++△.【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质例1.(1)如图所示,在△ABC中,若∠C=90°,∠B=50°,AB=10,则BC的长为( ).A.10·tan50° B.10·cos50° C.10·sin50° D.10 sin50°(2)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,sinA=35,求cosA+tanB的值.(3)如图所示的半圆中,AD是直径,且AD=3,AC=2,则sinB的值等于________.举一反三:【变式】如图,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为()A .B .C .D .类型二、特殊角的三角函数值 例2.解答下列各题: (1)化简求值:tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°;(2)在△ABC 中,∠C =90°,化简12sin cos A A -.举一反三: 【变式】若3sin 22α=,cos sin βα=,(2α,β为锐角),求2tan()3β的值.例3.如图,在锐角△ABC 中,AB=15,BC=14,S △ABC =84,求: (1)tanC 的值;(2)sinA 的值.CBA举一反三:【变式】如图,AB 是江北岸滨江路一段,长为3千米,C 为南岸一渡口,为了解决两岸交通困难,拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向,B 在C 的东北方向,从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米?(精确到0.1千米)类型三、解直角三角形及应用例4.如图所示,D 是AB 上一点,且CD ⊥AC 于C ,:2:3ACD CDB S S =△△,4cos 5DCB ∠=, AC+CD =18,求tanA 的值和AB 的长.例5.如图所示,山脚下有一棵树AB ,小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ,用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°,已知山坡的坡角为15°,求树AB 的高(精确到0.1m).(参考数据:sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27).举一反三:【变式】如图所示,正三角形ABC的边长为2,点D在BC的延长线上,CD=3.(1)动点P在AB上由A向B移动,设AP=t,△PCD的面积为y,求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;(2)在(1)的条件下,设PC=z,求z与t之间的函数关系式.例6.如图(1)所示,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上,梯子与地面的倾斜角α为60°.(1)求AO与BO的长.(2)若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.①如图(2)所示,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A 沿NO下滑了多少米;②如图(3)所示,当A点下滑到A′点,B点向右滑行到B′点时,梯子AB的中点P也随之运动到P′点,若∠POP′=15°,试求AA′的长.【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC 中,∠C =90°,cosA =35,则tan A 等于 ( )A .35 B .45 C .34 D .432.在Rt △ABC 中,∠C=90°,把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA=ab.则下列关系式中不成立的是( )A .tanA•cotA=1B .sinA=tanA•cosAC .cosA=cotA•sinAD .tan 2A+cot 2A=1第2题 第3题3.如图,在四边形ABCD 中,E 、F 分別是AB 、AD 的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC 等于( ) A .34 B .43 C .35 D .454.如图所示,直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8,现将△ABC 如图那样折叠,使点A 与点B 重合,折痕为DE ,则tan ∠CBE 的值是( )A .247B .73C .724D .135.如图所示,已知∠α的终边OP ⊥AB ,直线AB 的方程为y =-33x +33,则cos α等于 ( ) A .12B .22C .32D .336.如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向,距离灯塔2海里的点A 处,如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向,海轮航行的距离AB 长是( )A.2海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里二、填空题7.设θ为锐角,且x2+3x+2sinθ=0的两根之差为5.则θ=.8.如图,在矩形ABCD中,点E在AB边上,沿CE折叠矩形ABCD,使点B落在AD边上的点F处,若AB=4,BC=5,则tan∠AFE的值为 .9.已知△ABC的外接圆O的半径为3,AC=4,则sinB= .第8题第9题第11题10.当0°<α<90°时,求21sincosαα-的值为.11.如图,点E(0,4),O(0,0),C(5,0)在⊙A上,BE是⊙A上的一条弦.则t an∠OBE=.12.在△ABC中,AB=12,AC=13,cos∠B=,则BC边长为 .三、解答题13.如图,某仓储中心有一斜坡AB,其坡度为i=1:2,顶部A处的高AC为4m,B、C在同一水平地面上.(1)求斜坡AB的水平宽度BC;(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图,其中DE=2.5m,EF=2m,将该货柜沿斜坡向上运送,当BF=3.5m 时,求点D离地面的高.(≈2.236,结果精确到0.1m)14. 为缓解“停车难”的问题,某单位拟建造地下停车库,建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图,如图所示.按规定,地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志,以便告知停车人车辆能否安全驶入,为标明限高,请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)(sin18°≈0.3090,cos18°≈0.9511,tan18°≈0.3249)15.如图所示,某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动,他们要在某公园人工湖旁的小山AB上,测量湖中两个小岛C、D间的距离.从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°,测得湖中小岛D的俯角为45°.已知小山AB的高为180米,求小岛C、D间的距离.(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA,交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系;然后证明你的猜想;(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C 不重合)时,(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)。
知识必备09 锐角三角函数(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备09锐角三角函数(公式、定理、结论图表)考点一、锐角三角函数的概念如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A所对的边BC记为a,叫做∠A的对边,也叫做∠B的邻边,∠B所对的边AC记为b,叫做∠B的对边,也是∠A的邻边,直角C所对的边AB记为c,叫做斜边. 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即;锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即;锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即.同理;;.要点诠释: (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的,反映了直角三角形边与角的关系,是两条线段的比值.角的度数确定时,其比值不变,角的度数变化时,比值也随之变化. (2)sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号,是一个整体,不能写成,,,不能理解成sin与∠A,cos与∠A,tan与∠A的乘积.书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”,但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF),其正切应写成“tan∠AEF”,不能写成“tanAEF”;另外,、、常写成、、. (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值,不因这个角不在某个三角形中而不存在. (4)由锐角三角函数的定义知:当角度在0°<∠A<90°之间变化时,,,tanA>0.典例1:(2022•扬州)在△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,若b2=ac,则sin A的值为 . .【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可.【解答】解:在△ABC中,∠C=90°,∴c2=a2+b2,∵b2=ac,∴c2=a2+ac,等式两边同时除以ac得:=+1,令=x,则有=x+1,∴x2+x﹣1=0,解得:x1=,x2=(舍去),当x=时,x≠0,∴x=是原分式方程的解,∴sin A==.故答案为:.【点评】本题主要考查了锐角三角函数,熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键.考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义,可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,归纳如下:要点诠释: (1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值,它的另一个应用就是:如果知道了一个锐角的三角函数值,就可以求出这个锐角的度数,例如:若,则锐角. (2)仔细研究表中数值的规律会发现: 、、、、的值依次为0、、、、1,而、、、、的值的顺序正好相反,、、的值依次增大,其变化规律可以总结为:当角度在0°<∠A<90°之间变化时, ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大).典例2:(2022•天津)tan45°的值等于( )A.2B.1C.D.【分析】根据特殊角的三角函数值,进行计算即可解答.【解答】解:tan45°的值等于1,故选:B.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)互余关系:,; (2)平方关系:; (3)倒数关系:或; (4)商数关系:. 要点诠释: 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出,常应用在三角函数的计算中,计算时巧用这些关系式可使运算简便.考点四、解直角三角形 在直角三角形中,由已知元素(直角除外)求未知元素的过程,叫做解直角三角形. 在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有: ①三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系:∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系: ,,, ,,. ④,h 为斜边上的高.要点诠释: (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°),是已知的值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式,没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形,可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤两直角边(a ,b)由求∠A ,∠B=90°-∠A ,两边斜边,一直角边(如c,a)由求∠A ,∠B=90°-∠A ,锐角、邻边(如∠A ,b)∠B=90°-∠A ,,一直角边和一锐角锐角、对边(如∠A ,a)∠B=90°-∠A ,,Rt △ABC一边一角斜边、锐角(如c ,∠A)∠B=90°-∠A ,,要点诠释: 1.在遇到解直角三角形的实际问题时,最好是先画出一个直角三角形的草图,按题意标明哪些元素是已知的,哪些元素是未知的,然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2.若题中无特殊说明,“解直角三角形”即要求出所有的未知元素,已知条件中至少有一个条件为边.典例3:(2022•丹东)如图,AB是⊙O的直径,点E在⊙O上,连接AE和BE,BC平分∠ABE交⊙O于点C,过点C作CD⊥BE,交BE的延长线于点D,连接CE.(1)请判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若sin∠ECD=,CE=5,求⊙O的半径.【分析】(1)结论:CD是⊙O的切线,证明OC⊥CD即可;(2)设OA=OC=r,设AE交OC于点J.证明四边形CDEJ是矩形,推出CD=EJ=4,CJ=DE=3,再利用勾股定理构建方程求解.【解答】解:(1)结论:CD是⊙O的切线.理由:连接OC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∵BC平分∠ABD,∴∠OBC=∠CBE,∴∠OCB=∠CBE,∴OC∥BD,∵CD⊥BD,∴CD⊥OC,∵OC是半径,∴CD是⊙O的切线;(2)设OA=OC=r,设AE交OC于点J.∵AB是直径,∴∠AEB=90°,∵OC⊥DC,CD⊥DB,∴∠D=∠DCJ=∠DEJ=90°,∴四边形CDEJ是矩形,∴∠CJE=90°,CD=EJ,CJ=DE,∴OC⊥AE,∴AJ=EJ,∵sin∠ECD==,CE=5,∴DE=3,CD=4,∴AJ=EJ=CD=4,CJ=DE=3,在Rt△AJO中,r2=(r﹣3)2+42,∴r=,∴⊙O的半径为.【点评】本题考查解直角三角形,切线的判定,垂径定理,矩形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛,关键是把实际问题转化为数学模型,善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是: (1)弄清题中名词、术语的意义,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根据题意画出几何图形,建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,得出实际问题的解. 拓展: 在用直角三角形知识解决实际问题时,经常会用到以下概念: (1)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母表示. 坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度,用字母表示,则,如图,坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角:视线与水平线所成的角中,视线中水平线上方的叫做仰角,在水平线下方的叫做俯角,如图. (3)方位角:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如图①中,目标方向PA,PB,PC的方位角分别为是40°,135°,245°. (4)方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角,如图②中的目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如:东南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西45°.要点诠释: 1.解直角三角形实际是用三角知识,通过数值计算,去求出图形中的某些边的长或角的大小,最好画出它的示意图. 2.非直接解直角三角形的问题,要观察图形特点,恰当引辅助线,使其转化为直角三角形或矩形来解.例如: 3.解直角三角形的应用题时,首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义),然后正确画出示意图,进而根据条件选择合适的方法求解. 典例4:(2022•黑龙江)小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5:12的山坡上走1300米,此时小明看山顶的角度为60°,山高为( )米A.600﹣250B.600﹣250C.350+350D.500【分析】设EF=5x米,根据坡度的概念用x表示出BF,根据勾股定理求出x,根据正切的定义列出方程,解方程得到答案.【解答】解:设EF=5x米,∵斜坡BE的坡度为5:12,∴BF=12x米,由勾股定理得:(5x)2+(12x)2=(1300)2,解得:x=100,则EF=500米,BF=1200米,由题意可知,四边形DCFE为矩形,∴DC=EF=500米,DE=CF,在Rt△ADE中,tan∠AED=,则DE==AD,在Rt△ACB中,tan∠ABC=,∴=,解得:AD=600﹣750,∴山高AC=AD+DC=600﹣750+500=(600﹣250)米,故选:B.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题,掌握坡度是坡面的铅直高典例5:(2022•湖北)如图,有甲乙两座建筑物,从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°,C 点的俯角β为58°,BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6m,则甲建筑物的高度AB为 16 m.(sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,结果保留整数).【分析】过点D作DE⊥AB于点E,则BE=CD=6m,∠ADE=45°,∠ACB=58°,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,设AE=xm,则DE=xm,BC=xm,AB=AE+BE=(6+x)m,在Rt△ABC中,tan∠ACB=tan58°=≈1.60,解得x=10,进而可得出答案.【解答】解:过点D作DE⊥AB于点E,如图.则BE=CD=6m,∠ADE=45°,∠ACB=58°,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,设AE=xm,则DE=xm,∴BC=xm,AB=AE+BE=(6+x)m,在Rt△ABC中,tan∠ACB=tan58°=≈1.60,解得x=10,∴AB=16m.故答案为:16.【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6:(2022•资阳)小明学了《解直角三角形》内容后,对一条东西走向的隧道AB进行实地测量.如图所示,他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上,他沿西北方向前进100米后到达点D,此时测得点A在他的东北方向上,端点B在他的北偏西60°方向上,(点A、B、C、D在同一平面内)(1)求点D与点A的距离;(2)求隧道AB的长度.(结果保留根号)【分析】(1)根据方位角图,易知∠ACD=60°,∠ADC=90°,解Rt△ADC即可求解;(2)过点D作DE⊥AB于点E.分别解Rt△ADE,Rt△BDE求出AE和BE,即可求出隧道AB的长.【解答】解;(1)由题意可知:∠ACD=15°+45°=60°,∠ADC=180°﹣45°﹣45°=90°,在Rt△ADC中,∴(米),答:点D与点A的距离为300米.(2)过点D作DE⊥AB于点E,∵AB是东西走向,∴∠ADE=45°,∠BDE=60°,在Rt△ADE中,∴(米),在Rt△BDE中,∴(米),∴(米),答:隧道AB的长为米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,掌握方向角的概念,掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)三边之间的关系:;(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;(3)边与角之间的关系:,,,.(4)如图,若直角三角形ABC中,CD⊥AB于点D,设CD=h,AD=q,DB=p,则由△CBD∽△ABC,得a2=pc;由△CAD∽△BAC,得b2=qc;由△ACD∽△CBD,得h2=pq;由△ACD∽△ABC或由△ABC面积,得ab=ch.(5)如图所示,若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线,则①CD=AD=BD=AB;②点D是Rt△ABC的外心,外接圆半径R=AB.(6)如图所示,若r是直角三角形ABC的内切圆半径,则.直角三角形的面积:①如图所示,.(h为斜边上的高)②如图所示,.典例7:(2022•黄石)我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”,即通过圆内接正多边形割圆,从正六边形开始,每次边数成倍增加,依次可得圆内接正十二边形,内接正二十四边形,….边数越多割得越细,正多边形的周长就越接近圆的周长.再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率.设圆的半径为R,图1中圆内接正六边形的周长l6=6R,则π≈=3.再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率,则圆周率π约为( )A.12sin15°B.12cos15°C.12sin30°D.12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7=2A6M=2R×sin15°,再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”,即可解决问题.【解答】解:在正十二边形中,∠A6OM=360°÷24=15°,∴A6M=sin15°×OA6=R×sin15°,∵OA6=OA7,OM⊥A6A7,∴A6A7=2A6M=2R×sin15°,∴π≈=12sin15°,故选:A.【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质,解直角三角形等知识,读懂题意,计算出正十二边形的周长是解题的关键.。
锐角三角函数
初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理:直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+ 在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B ):定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α=sin cos αα,cot α=cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意:(1)正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的,要避免应用时对任意的三角形随便套用定义;(2)sinA 不是sin 与A 的乘积,是三角形函数记号,是一个整体。
“sinA ”表示一个比值,其他三个三角函数记号也是一样的;(3)锐角三角函数值与三角形三边长短无关,只与锐角的大小有关。
例题:1.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,a =1,b =2,则cosA =________ ,tanA =_________.2. 在Rt △ABC 中,∠C 为直角,AB =5,BC =3,则sinA =________ ,tanA =_________.3.在Rt △ABC 中,∠C 为直角, ∠A =300,b =4,则a =__________,c =__________4.(2008·威海中考)在△ABC 中,∠C =90°,tanA =31,则sinB =( ) A .1010B .23 C .34D .310105.在△ABC 中,∠C =90°,a, b, c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边,下列各式错误的是( )A .a =c ·sinAB .b =c ·cosBC .b =a ·tanBD .a =b ·tanA6.在△ABC 中,∠C =90°,(1)已知:c = 83,∠A =60°,求∠B .a .b . (2) 已知:a =36, ∠A =30°,求∠B .b .c .7.(2009·漳州中考)三角形在方格纸中的位置如图所示,则tan 的值是( )A .35B .43 C .34D .45练习:1.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,若sinA =53,则cosB =_________. 2.已知cosA =23,且∠B =900-∠A ,则sinB =__________. 3.∠A 为锐角,已知sinA =135,那么cos (900-A)=___________ . 4.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,AC =4,BC =3,则sinA =( ) A .43 B .34 C . 53 D .54 5.在Rt △ABC 中,∠C 为直角,sinA =22,则cosB 的值是( ) A .21 B .23 C .1D .22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意:记忆特殊角的三角函数值,可用下述方法:0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42,而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02;30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31,而它们的余切值分别是31.22.13。
初中数学锐角三角函数知识点
初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是数学中的一个重要部分,是解决许多三角学问题的基础。
在初中数学课程中,我们学习了正弦函数、余弦函数和正切函数,它们都是锐角三角函数的一种形式。
下面将详细介绍锐角三角函数的相关知识点。
1. 正弦函数(sin函数):正弦函数是一个周期函数,它的定义域是整个实数集,值域是[-1,1]。
正弦函数的图像是一个波形,在一个周期内,函数的最大值是1,最小值是-1,中心对称于原点。
正弦函数的性质:- sin(0)=0,sin(90°)=1,sin(180°)=0,sin(270°)=-1,sin(360°)=0- sin(-θ)=-sin(θ),sin(θ±360°)=sin(θ)- sin(180°±θ)=-sin(θ),sin(90°±θ)=cos(θ),sin(θ+90°)=cos(θ)- sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ2. 余弦函数(cos函数):余弦函数也是一个周期函数,它的定义域是整个实数集,值域是[-1,1]。
余弦函数的图像也是一个波形,与正弦函数的图像是相似的,但是它们的相位有所不同。
余弦函数的性质:- cos(0)=1,cos(90°)=0,cos(180°)=-1,cos(270°)=0,cos(360°)=1- cos(-θ)=cos(θ),cos(θ±360°)=cos(θ)- cos(180°±θ)=-cos(θ),cos(90°±θ)=-sin(θ),cos(θ+90°)=-sin(θ)- cos(α±β)=cosαcosβ±sinαsinβ3. 正切函数(tan函数):正切函数是一个定义域是除去所有奇数π/2的实数集,值域是整个实数集的函数。
初中数学九年级锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数是初中九年级数学中的一个重要内容,其中包括对正弦、余弦和正切函数的理解和应用。
下面是对锐角三角函数知识点的详细总结:1.三角函数的定义:- 正弦函数(sin):对于单位圆上的一个角,其对边的长度与斜边的长度的比值。
- 余弦函数(cos):对于单位圆上的一个角,其邻边的长度与斜边的长度的比值。
- 正切函数(tan):对于单位圆上的一个角,其对边的长度与邻边的长度的比值。
2.锐角的定义:锐角是角度在0°到90°之间的角。
3.单位圆:单位圆指半径长度为1的圆,锐角三角函数可以通过单位圆来定义和理解。
4.三角函数的图像:正弦函数、余弦函数和正切函数的图像可以通过将单位圆绕过原点旋转得到。
5. 正弦函数(sin)的特点:-定义域:[0°,90°]或[0,π/2]-值域:[-1,1]-周期:360°或2π- 特殊值:sin0° = 0, sin30° = 1/2, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2, sin90° = 1-图像特点:关于y轴对称6. 余弦函数(cos)的特点:-定义域:[0°,90°]或[0,π/2]-值域:[-1,1]-周期:360°或2π- 特殊值:cos0° = 1, cos30° = √3/2, cos45° = √2/2,cos60° = 1/2, cos90° = 0-图像特点:关于x轴对称7. 正切函数(tan)的特点:-定义域:(0°,90°)或(0,π/2)-值域:R(实数集)-周期:180°或π- 特殊值:tan30° = 1/√3, tan45° = 1, tan60° = √3, tan90° = 不存在(无限大)-图像特点:周期性递增8.三角函数之间的关系:- 正弦函数和余弦函数的关系:sinθ = cos(90° - θ)- 正切函数与正弦、余弦函数的关系:tanθ = sinθ / cosθ9.锐角三角函数的应用:-通过正弦函数、余弦函数和正切函数可以求解三角形的边长和角度大小。
九年级下册数学锐角三角函数知识点
九年级下册数学锐角三角函数知识点九年级下册数学锐角三角函数知识点在我们平凡无奇的学生时代,是不是听到知识点,就立刻清醒了?知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。
掌握知识点是我们提高成绩的关键!以下是店铺精心整理的九年级下册数学锐角三角函数知识点,希望能够帮助到大家。
九年级下册数学锐角三角函数知识点1锐角三角函数的定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。
正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边余割等于斜边比对边正切与余切互为倒数它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中,但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的`反函数。
它有六种基本函数(初等基本表示):函数名正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)有正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y(斜边为r,对边为y,邻边为x。
)以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数:正矢函数versinθ =1-cosθ余矢函数coversθ =1-sinθ锐角三角函数的性质1、锐角三角函数定义锐角角A的正弦,余弦和正切都叫做角A的锐角三角函数2、互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.3、同角三角函数间的关系平方关系:sin2α+cos2α=1倒数关系:cotα=(或tanα·cotα=1)商的关系:tanα= , cotα=.(这三个关系的证明均可由定义得出)4、三角函数值(1)特殊角三角函数值(2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。
初三数学:《解直角三角形》知识点总结
初三数学:《解直角三角形》知识点总结知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结,才能更好的掌握,接下来精品学习网初中频道给大家整理解直角三角形知识点整理,供大家参考阅读。
1解直角三角形一、锐角三角函数(一)、锐角三角函数定义在直角三角形ABC中,C=900,设BC=a,CA=b,AB=c,锐角A的四个三角函数是:(1)正弦定义:在直角三角形中ABC,锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦,记作sinA,即sin A=ca,(2)余弦的定义:在直角三角行ABC,锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦,记作cosA,即cos A=cb,(3)正切的定义:在直角三角形ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切,记作tanA,即tan A=ba,(4)锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切,记作cotA即aAAAb的对边的邻边cot锐角A的正弦、余弦,正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。
这种对锐角三角函数的定义方法,有两个前提条件:(1)锐角A必须在直角三角形中,且(2)在直角三角形ABC中,每条边均用所对角的相应的小写字母表示。
否则,不存在上述关系2注意:锐角三角函数的定义应明确(1)ca,cb,ba,ab四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关,只与锐角的大小有关,即当锐角A取固定值时,它的四个三角函数也是固定的;(2)sinA不是sinA的乘积,它是一个比值,是三角函数记号,是一个整体,其他三个三角函数记号也是一样;(3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质,如同角三角函数关系,互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;(二)、同角三角函数的关系(1)平方关系:122sinCOS(2)倒数关系:tana cota=1(3)商数关系:sincoscot,cossintan注意:(1)这些关系式都是恒等式,正反均可运用,同事还要注意它们的变形公式。
(2)sinsin22是的简写,读作“sin的平方”,不能将22sin 写成sin前者是a的正弦值的平方,后者无意义;(3)这里应充分理解“同角”二字,上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同,如1cottan,1223030cossin22,而1cossin22就不一定成立。
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
一、三角函数的定义1. 正弦函数sinx:对于任意实数x,将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的纵坐标就是sinx。
2. 余弦函数cosx:对于任意实数x,将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的横坐标就是cosx。
3. 正切函数tanx:对于任意实数x,将sinx除以cosx就是tanx。
4. 余切函数cotx:对于任意实数x,将cosx除以sinx就是cotx。
5. 正割函数secx:对于任意实数x,将1除以cosx就是secx。
6. 余割函数cscx:对于任意实数x,将1除以sinx就是cscx。
二、三角函数的性质1. 基本关系式:sin^2x + cos^2x = 12. 周期性:sin(x+2kπ) = sinx,cos(x+2kπ) = cosx,其中k为任意整数。
3. 奇偶性:奇函数有sinx、tanx和cotx,偶函数有cosx、secx和cscx。
4. 正函数和负函数:在单位圆上,sinx和cscx为正函数,cosx和secx为负函数。
5. 三角函数的范围:sinx、cosx和tanx的范围是[-1,1],cotx、secx和cscx的范围是(-∞,∞)。
三、特殊角的三角函数值1.0°、30°、45°、60°和90°的三角函数值。
2.30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导。
四、角度的度量转换1.度和弧度之间的转换:π弧度=180°,1°=π/180弧度。
2.角度的换算:1°=60',1'=60''。
五、倍角、半角和三倍角公式1. 倍角公式:sin2x = 2sinxcosx,cos2x = cos^2x - sin^2x,tan2x = 2tanx / (1 - tan^2x)。
2. 半角公式:sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2],cos(x/2) =±√[(1+cosx)/2],tan(x/2) = ±√[(1-cosx) / (1+cosx)]。
初中数学锐角三角函数知识点
初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是初中数学中的一个重要知识点。
本文将系统地介绍锐角三角函数的概念、性质和应用。
一、概念1.边长比在直角三角形中,我们可以定义三角函数。
对于锐角三角形,也可以把边长比看作三角函数的定义。
定义如下:- 正弦函数(sin):指的是对边比斜边的比值,即sinA = 对边AB / 斜边AC。
- 余弦函数(cos):指的是邻边比斜边的比值,即cosA = 邻边BC / 斜边AC。
- 正切函数(tan):指的是对边比邻边的比值,即tanA = 对边AB / 邻边BC。
2.三角函数值的取值范围在锐角三角形中,三角函数的取值范围是(0,1)。
具体来说-正弦函数的值在0到1之间变化。
-余弦函数的值在0到1之间变化。
-正切函数的值在0到正无穷之间变化。
二、性质1.互余关系在锐角三角形中,对于同一个角的正弦和余弦函数,它们的数值互为倒数。
即sinA = 1 / cosA,cosA = 1 / sinA。
证明:由定义可知sinA = 对边AB / 斜边AC,cosA = 邻边BC / 斜边AC。
所以sinA / cosA = (对边AB / 斜边AC) / (邻边BC / 斜边AC) = 对边AB / 邻边BC = tanA。
又由于tanA = sinA / cosA,所以sinA = 1 / cosA。
同理可证cosA = 1 / sinA。
2.正切函数的性质在锐角三角形中,正切函数具有以下性质:-任何一个角的正切函数的值是唯一的。
- 对于锐角A和其补角(即90°-A),它们的正切值互为相反数。
(tanA = -tan(90°-A))。
三、应用锐角三角函数在实际生活和学习中有着广泛的应用,以下是一些常见的应用:1.三角函数在测量中的应用例如,在建筑和工程中,我们经常需要测量高度、角度等,锐角三角函数可以帮助我们计算和测量。
2.角度的计算通过使用正弦函数、余弦函数和正切函数,我们可以根据已知的边长比计算出对应的角度。
九年级数学下册知识点总结
图1九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一.锐角三角函数 1.正切:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA , 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号,它表示∠A 的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”; ②tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比; ③tanA 不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切;⑤tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。
2.正弦..: 定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦:定义:在Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二.特殊角的三角函数值三.三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..2. 俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1,0≤cos α≤1。
4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度........... (或坡比..)。
用字母i 表示,即A lhi tan ==5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。
如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数知识点总结一、引言锐角三角函数是数学中的基础知识点,它在解决与直角三角形相关的问题中扮演着重要角色。
本文将总结锐角三角函数的基本概念、性质和公式,以及它们在实际问题中的应用。
二、基本概念1. 锐角:角度小于90度的角。
2. 直角三角形:一个角为90度的三角形。
3. 边的命名:- 对边(Opposite side):锐角所对的边。
- 邻边(Adjacent side):锐角旁边的边,但不包括斜边。
- 斜边(Hypotenuse):直角三角形中最长的边,对直角的两边进行闭合。
4. 锐角三角函数:- 正弦(Sine, sin):锐角的对边与斜边的比值。
- 余弦(Cosine, cos):锐角的邻边与斜边的比值。
- 正切(Tangent, tan):锐角的对边与邻边的比值。
三、基本公式1. 定义公式:- sin(θ) = 对边 / 斜边- cos(θ) = 邻边 / 斜边- tan(θ) = 对边 / 邻边2. 互余关系:- sin(90° - θ) = cos(θ)- cos(90° - θ) = sin(θ)- tan(90° - θ) = cot(θ)3. 基本恒等式:- sin²(θ) + cos²(θ) = 1- 1 + tan²(θ) = sec²(θ)- 1 + cot²(θ) = csc²(θ)4. 特殊角的三角函数值:- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3 - sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3四、应用1. 解直角三角形问题:- 利用三角函数求解边长。
初中数学锐角三角函数知识点
初中数学锐角三角函数知识点锐角三角函数是一个重要的数学概念,通常在初中数学学习中进行详细讲解。
下面是一个1200字以上的介绍锐角三角函数的知识点:一、角的概念角是由两条射线共同确定的形状。
有三种表示方法:度、弧度和均分。
1.度表示法度是一种角的度量单位,用符号°表示。
一个圆共有360度,一个直角是90度。
当角小于直角时,角的度数为锐角,大于直角角度且小于平角角度的为钝角。
2.弧度表示法弧度是另一种角的度量单位,用符号rad表示。
一个圆的周长等于2π,所以一个圆有2π弧度。
弧度与角度的转化公式为:角度 = 弧度/π * 180,弧度 = 角度* π/180。
3.均分表示法角的均分表示法将圆分为360个等份,每一份都称为一分。
角的度数可以用分数表示。
二、三角函数的定义锐角三角函数包括正弦、余弦和正切。
它们的定义如下:1. 正弦函数(Sine Function)正弦函数是个周期性函数,用sin表示,定义为对于任意锐角A,正弦函数的值为:sin A = 对边/斜边。
2. 余弦函数(Cosine Function)余弦函数也是个周期性函数,用cos表示,定义为对于任意锐角A,余弦函数的值为:cos A = 邻边/斜边。
3. 正切函数(Tangent Function)正切函数也是个周期性函数,用tan表示,定义为对于任意锐角A,正切函数的值为:tan A = 对边/邻边。
三、三角函数的性质锐角三角函数具有一些重要的性质:1.正弦和余弦的平方和为1对于任意锐角A,有sin^2 A + cos^2 A = 1、这一性质又被称为三角恒等式。
2.三角函数的周期性正弦、余弦和正切函数都是周期函数,它们的周期都是2π。
所以,对于任意锐角A,有sin(A+2πn) = sinA,cos(A+2πn) = cosA和tan(A+2πn) = tanA,其中n是任意整数。
3.正弦、余弦和正切的对称性正弦与余弦函数关于y轴对称,即sin(-A) = -sinA,cos(-A) = cosA。
初中锐角三角函数知识点总结
初中锐角三角函数知识点总结一、角的定义和性质1.角的定义:角是由两条共线的射线组成的图形。
2.角的顶点:射线的交点称为角的顶点。
3.角的度量:以角的顶点为圆心,角的一条射线为始边,另一条射线顺时针旋转到与始边重合所形成的弧所对应的圆心角度数称为角的度量。
4.角的正负:顺时针旋转的角度为负,逆时针旋转的角度为正。
5.角的平分:若一条射线把一个角分成两个相等的角,称为角的平分线。
6.角的补角:两个角的度数之和等于180度,称这两个角互为补角。
7. 角的弧度制:角的弧度制定义为以角所对的圆弧的长度与半径之比。
(1圆周角 = 2pi弧度)二、三角函数的定义和性质1. 正弦函数(sin):在直角三角形中,对于一个锐角A,正弦函数的值等于A的对边长度与斜边长度的比值。
sinA = 对边/斜边。
2. 余弦函数(cos):在直角三角形中,对于一个锐角A,余弦函数的值等于A的邻边长度与斜边长度的比值。
cosA = 邻边/斜边。
3. 正切函数(tan):在直角三角形中,对于一个锐角A,正切函数的值等于A的对边长度与邻边长度的比值。
tanA = 对边/邻边。
4.三角函数的定义域:正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域都是锐角的集合,即0到90度之间的角度。
5.三角函数的值域:正弦函数和余弦函数的值域是[-1,1],正切函数的值域是全体实数。
三、三角函数的性质和关系1. 三角函数的周期性:正弦函数和余弦函数的周期都是360度或2pi弧度,正切函数的周期是180度或pi弧度。
2. 三角函数的和差公式:sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinB,cos(A±B) = cosAcosB∓sinAsinB。
3. 三角函数的对称性:正弦函数是奇函数,即sin(-A) = -sinA;余弦函数是偶函数,即cos(-A) = cosA。
4. 三角函数的倒数关系:tanA = 1/cotA,cotA = 1/tanA,sinA/cosA = 1/tanA。
中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解
中考总复习锐角三角函数综合复习--知识讲解锐角三角函数是初中数学中的一个重要内容,也是中考数学考试中常考的内容之一、掌握了锐角三角函数的定义、性质和相关的计算方法,可以帮助我们解决与角度有关的各种问题,如计算角度的大小、求角的三角函数值等。
下面是锐角三角函数的综合复习知识讲解。
1.弧度制和角度制在介绍锐角三角函数之前,我们首先要了解弧度制和角度制。
在角度制中,一个圆的周长被定义为360度,而在弧度制中,一个圆的周长被定义为2π弧度。
所以可以得到以下关系:360度=2π弧度180度=π弧度90度=π/2弧度2.定义对于任意一个锐角A,我们可以在一个单位圆上面取点P,使得∠POA 的顶点为O,点O为圆心,点P在单位圆上。
这样,我们可以定义以下几个锐角三角函数:正弦函数sinA、余弦函数cosA、正切函数tanA、余切函数cotA。
3.性质(1) 正弦函数sinA:在单位圆上,点P的纵坐标就是正弦值sinA。
(2) 余弦函数cosA:在单位圆上,点P的横坐标就是余弦值cosA。
(3) 正切函数tanA:tanA的值等于sinA/cosA。
(4) 余切函数cotA:cotA的值等于cosA/sinA。
(5) 错位现象:sinA等于cos(90度-A),cosA等于sin(90度-A)。
4.基本关系式(1) sin²A + cos²A = 1,即sin²A = 1 - cos²A,cos²A = 1 -sin²A。
(2) tanA = sinA/cosA,cotA = 1/tanA = cosA/sinA。
(3) sin(180度 - A) = sinA,cos(180度 - A) = -cosA。
(4) cos(360度 - A) = cosA,sin(360度 - A) = -sinA。
5.锐角三角函数的值(1)0度、30度、45度、60度、90度的正弦、余弦、正切值是特殊的,需要进行熟记。
【人教版】初中数学九年级知识点总结:28锐角三角函数
【人教版】初中数学九年级知识点总结:28锐角三角函数数学九年级知识点总结【28 锐角三角函数】一、基本概念1. 角度的定义:角度是两条半直线公共定点分割的平面成图的两条半平直线之间的夹角。
2. 同角的定义:具有相同动作线的角是同角。
3. 弧度的定义:所对的弧长等于半径的角叫做一个单位角。
4. 弧度制的与度-弧度制间的换算(1)度转换为弧度:${\alpha} = {\frac{{\pi}}{{180}}}$.(2)弧度转换为度:${\alpha} = 180{\pi}$.5. 角度的运算(1)角度的加法:角度的加法满足交换律与结合律。
(2)角度的减法:角度的减法满足减法原则。
6. 单位圆(1)单位圆的概念:圆心为原点,半径为 1.(2)角度和弧度的表示方法:在单位圆上,角度等于所对的弧长。
(3)三角函数:正弦函数,余弦函数和正切函数是角的函数。
二、正弦函数1. 正弦函数的定义:在单位圆上,对于给定的角 ${\theta}$,点$(\cos\theta,\sin\theta)$被定义为角度为 ${\theta}$ 的角上离圆心距离为 $\sin\theta$ 的点。
2. 正弦函数的图像:正弦函数的图像在 x 轴上方,且对称于 x 轴。
3. 正弦函数的性质:(1)定义域:${\mathbb{R}}$.(2)值域:[-1, 1].(3)奇函数:即 $\sin(-{\theta}) = -\sin{\theta}$.(4)周期性:$\sin({\theta} + {2n\pi}) = \sin{\theta}$.(5)同一正弦值的角:$\sin\theta = \sin{\alpha}$ 当且仅当${\theta} = (-1)^n\alpha + n\pi$.4. 正弦函数的图像性质:在 $y = A\sin{\theta}$ 中,A 表示振幅,若 A > 1,则图像的最高点和最低点将超过1和-1;若 A < 1,则图像的最高点和最低点将在1和-1之间。
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结
九年级数学中,锐角三角函数是一个重要的知识点。
锐角三角函数是指对于锐角的正弦、余弦和正切函数。
下面我将对锐角三角函数的基本概念、性质和应用进行总结。
一、基本概念1.弧度和角度:角度是常用的角度度量单位,弧度是角度的另一种度量单位。
1个弧度对应360°/2π≈57.3°。
角度和弧度之间的关系式:弧度=角度×π/180°。
2.锐角:指角度小于90°的角。
3. 三角函数:对于一个锐角A,定义其正弦(sin A)为对边与斜边的比值,余弦(cos A)为邻边与斜边的比值,正切(tan A)为对边与邻边的比值。
二、性质1.正弦函数的性质:(1)对于锐角A,0 < A < 90°,sin A > 0;(2)sin A = sin (180° - A) = sin (A + 360°);(3)sin (90° - A) = cos A;(4)sin A ≠ 0,当且仅当A是锐角。
2.余弦函数的性质:(1)对于锐角A,0 < A < 90°,cos A > 0;(2)cos A = cos (180° - A) = cos (360° + A);(3)cos (90° - A) = sin A;(4)cos A ≠ 0,当且仅当A是锐角。
3.正切函数的性质:(1)对于锐角A,0 < A < 90°,tan A > 0;(2)tan A = tan (180° + A);(3)tan (90° - A) = 1/tan A;(4)tan A ≠ 0,当且仅当A是锐角。
4.三角函数的关系:(1)sin^2 A + cos^2 A = 1;(2)tan A = sin A / cos A。
三、应用1.解三角形:利用已知角的正弦、余弦和正切的值,可以求解未知边长或角度的三角形问题。
初中数学 九年级 第4章 锐角三角函数 知识点清单 最新最全
第4章锐角三角函数4.1 正弦和余弦知识点1 正弦1.正弦的定义2.特殊角的正弦值3.利用计算器求锐角的正弦值或由正弦值求锐角。
特别提醒1. sinα是完整的数学符号,是一个整体,不能理解成sin·a2.正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角,也可以跟度数,如sinα,sin A, sin∠ ABC,sin∠2, sin 70°.知识点2 余弦1.余弦的定义2.特殊角的余弦值3.利用计算器求锐角的余弦值或由余弦值求锐角。
知识点3 互余两角正弦值和余弦值的关系1.同一锐角的正弦值和余弦值之间的关系:sin²A+cos²A=1(平方关系)2.互余两角的正弦值和余弦值之间的关系:3.sin A=cos(90°-∠A) cos A=sin(90°-∠A)锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出.4.2 正切知识点1 正切1.正切的定义2.特殊角的正切值3.利用计算器求锐角的正切值或由正切值求锐角。
4.拓展:(1)互余两角的正切值之间的关系:tan α·tan(90°-α)=1.(2)锐角α的正弦值、余弦值、正切值之间的商数关系:tan α= sinαcosα特别提醒:1.tan a是完整的数学符号,是一个整体,不能理解成tan・α.2.tan α中的α角的符号"∠"习惯上省略不写,但对于用三个大写英文字母或数字表示的角,角的符号不能省略。
3. tanα的值只与角α的大小有关,与所在直角三角形的边的长短无关.4.正切符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文字母或三个大写英文字母或数字表示的角,也可以跟度数.知识点2 锐角三角函数1.定义:从正弦、余弦、正切的定义看到,任意给定一个锐角a都有唯一确定的比值sin α(或cos α,tan α)与它对应.当角α变化时,它的比值sin α(或cos α,tan α)也随之变化.因此我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数2.特殊角的三角函数值:特别提醒并非只有在直角三角形中才有三角函数值,而是只要有角就有三角函数值.锐角三角函数的定义说明了直角三角形中的边角之间的关系,它是一个比值,无单位,这些比值只与锐角的大小有关.在锐角三角函数中,自变量是角a.4.3 解直角三角形知识点1 解直角三角形的定义一般地,在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角,在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.(1)在直角三角形中、除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三)(2)一个直角三角形可解,则其面积可求.但在一个解直角形的题中,如无特别说明,则不包括求面积.知识点2 直角三角形中的边角关系1.直角三角形中的边角关系:在直角三角形ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,那么除∠C外的5个元素之间有如下关系:1)三边之间的关系:a²+b²=c²(勾股定理)(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90(3)边角之间的关系:sinA=∠A的对边斜边= ac,sinB=∠B的对边斜边= bc,cosA =∠A的邻边斜边= bc, cosB =∠B的邻边斜边= ac,tanA=∠A的对边∠A的邻边= ac, tanB =∠B的对边∠B的邻边= ac,3.运用关系式解直角三角形时,常常要用到以下变形:(1)锐角之间的关系:∠A=90°-∠B,∠B=90°-∠A;(2)三边之间的关系:a=√c2−b2, b=√c2−a2,c=√a2+b2;(3)边角之间的关系:a=c·sinA ,a=c·cosB ,a=b·tanA ,b=c·sinB ,b=c·cosA ,b=a·tanB,4.4 解直角三角形的应用知识点1 解直角三角形在实际中的应用1.利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤:(1)画出平面图形,将实际问题抽象为数学问题,转化为解直角三角形的问题;(2)根据已知条件的特点,灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形;(3)得到数学问题的答案;(4)得到实际问题的答案.2.解决实际问题时,常见的基本图形及相应的关系式如下表所示.特别提醒1.当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时,可利用解直角三角形的知识直接求解.2.在解直角三角形时,若相关的角不是直角三角形的内角,应利用平行线的性质或互余互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角,再利用解直角三角形的知识求解.3.问题中有两个或两个以上的直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式,运用方程求解。
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28锐角三角函数一、知识框架
二、知识点、概念总结
1.Rt△ABC中
(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦,记作sinA=∠A的对边
斜边
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦,记作cosA=∠A的邻边
斜边
(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切,记作tanA=∠A的对边∠A的邻边
(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切,记作cota=∠A的邻边∠A的对边
2.特殊值的三角函数:
a sina cosa tana cota
30°1
2
3
2
3
3
3
45°
2
2
2
2
1 1
60°
3
2
1
2
3
3
3
3.互余角的三角函数间的关系
sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.
4. 同角三角函数间的关系
平方关系:
sin2(α)+cos2(α)=1
tan2(α)+1=sec2(α)
cot2(α)+1=csc2(α)
积的关系:
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
倒数关系:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
5.三角函数值
(1)特殊角三角函数值
(2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。
(3)锐角三角函数值的变化情况
(i)锐角三角函数值都是正值
(ii)当角度在0°~90°间变化时,
正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
(iii)当角度在0°≤∠A≤90°间变化时,
0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,
当角度在0°<∠A<90°间变化时,
tanA>0, cotA>0.
6.解直角三角形的基本类型
解直角三角形的基本类型及其解法如下表: 类型
已知条件 解法 两边 两直角边a 、b c=22a b +,tanA=a b
,∠B=90°-∠A 一直角边a ,斜边c b=22c a -,sinA=a c
,∠B=90°-∠A 一边一锐角 一直角边a ,锐角A ∠B=90°-∠A ,b=a ·cotA ,c=sin a A
斜边c ,锐角A ∠B=90°-∠A ,a=c ·sinA ,
b=c ·cosA
7.仰角、俯角
当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.
相似三角形知识点
相似三角形定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理1:两角对应相等,两三角形相似(ASA)。
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
判定定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)。
判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似(SSS)。
相似直角三角形定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
性质定理1:相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。
性质定理2:相似三角形周长的比等于相似比。
性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方。