100高中数学高考总复习抛物线习题及详解100

高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案)

一、选择题

1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p 的x 26y 2

2值为( )

A ．－2

B ．2

C ．－4

D ．4

[答案]　D

[解析]　椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝＝2，

a 2－

b 2∴右焦点(2,0)，由题意知＝2，∴p ＝4.

p

22．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．以上三种情形都有可能[答案]　B

[解析]　如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，

则MD ＝MF ，ON ＝OF ，

∴AB ＝

＝OF ＋CM 2

ON ＋CM

2

＝＝，DM 2MF 2∴这个圆与y 轴相切．

3．(2010·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )

A ．x ＝1

B ．x ＝－1

C ．x ＝2

D ．x ＝－2

[答案]　B

[解析]　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(，

)，

x 1＋x 2

2

y 1＋y 22

∴

＝2，∵A 、B 在抛物线y 2＝2px 上，

y 1＋y 22

∴Error!

①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)，

∴k AB ＝＝＝，∵k AB ＝1，∴，p ＝2

y 1－y 2

x 1－x 22p

y 1＋y 2p

2∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.

4．双曲线－＝1的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线x 29y 2

4y 2＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线的方程为( )

A ．y 2＝9x

B ．y 2＝4x

C ．y 2＝x

D ．y 2＝x

413

13213

13[答案]　C

[解析]　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y ＝±x ，F 点坐标为(，0)，设A 点坐x 29y 2

42

313标为(x ，y )，则y ＝±x ，由|AF |＝2⇒

＝2⇒x ＝，y ＝±，代入2

3(x －13)2＋(23x )

2

9136

13y 2＝2px 得p ＝，所以抛物线方程为y 2＝x ，所以选C.

21313413

135．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )

A. B ．3 172C. D.592

[答案]　A

[解析]　记抛物线

y 2＝2x

的焦点为F ，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点

(12，0)

F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于＝，选A.

(1

2)

2＋2217

26．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3 1，则点A 的坐标为( )

A ．(2,2)

B ．(2，－2)22

C ．(2，±)

D ．(2，±2)

22[答案]　D

[解析]　如图，由题意可得，|OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△

AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，

∴＝＝3，

S △AMF

S △AOF 12

×|AF |×|AM |×sin ∠MAF

1

2

×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )

∴|AM |＝3，设A ，∴＋1＝3，

(

y 02

4

，y 0

)y 02

4解得y 0＝±2，∴＝2，2y 02

4∴点A 的坐标是(2，±2)，故选D.

27．(2010·河北许昌调研)过点P (－3,1)且方向向量为a ＝(2，－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m ≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )

A ．y 2＝－2x

B ．y 2＝－x 3

2C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x

[答案]　D

[解析]　设过P (－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q (x ，y )，则∥a ，∴PQ

→ ＝，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－y )

x ＋32y －1

－5＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y 2＝mx

的焦点F ，∴m ＝－4，故选D.

(m

4，0)8．已知mn ≠0，则方程是mx 2＋ny 2＝1与mx ＋ny 2＝0在同一坐标系内的图形可能是( )

[答案]　A

[解析]　若mn >0，则mx 2＋ny 2＝1应为椭圆，y 2＝－x 应开口向左，故排除

m

n C 、D ；∴mn <0，此时抛物线y 2＝－x 应开口向右，排除B ，选A.

m

n 9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若＝－4，则直线AB 的斜率为( )

FA → FB

→ A ．±

B ．±2332

C ．±

D ．±3443

[答案]　D

[解析]　∵＝－4，∴||＝4||，设|BF |＝t ，则

FA → FB → FA → FB

→ |AF |＝4t ，∴|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝4t ，