100高中数学高考总复习抛物线习题及详解100

高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案)
一、选择题
1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p 的x 26y 2
2值为( )
A ．－2
B ．2
C ．－4
D ．4
[答案]　D
[解析]　椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝＝2，
a 2－
b 2∴右焦点(2,0)，由题意知＝2，∴p ＝4.
p
22．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．以上三种情形都有可能[答案]　B
[解析]　如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，
则MD ＝MF ，ON ＝OF ，
∴AB ＝
＝OF ＋CM 2
ON ＋CM
2
＝＝，DM 2MF 2∴这个圆与y 轴相切．
3．(2010·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
[答案]　B
[解析]　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(，
)，
x 1＋x 2
2
y 1＋y 22
∴
＝2，∵A 、B 在抛物线y 2＝2px 上，
y 1＋y 22
∴Error!
①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)，
∴k AB ＝＝＝，∵k AB ＝1，∴，p ＝2
y 1－y 2
x 1－x 22p
y 1＋y 2p
2∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.
4．双曲线－＝1的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线x 29y 2
4y 2＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线的方程为( )
A ．y 2＝9x
B ．y 2＝4x
C ．y 2＝x
D ．y 2＝x
413
13213
13[答案]　C
[解析]　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y ＝±x ，F 点坐标为(，0)，设A 点坐x 29y 2
42
313标为(x ，y )，则y ＝±x ，由|AF |＝2⇒
＝2⇒x ＝，y ＝±，代入2
3(x －13)2＋(23x )
2
9136
13y 2＝2px 得p ＝，所以抛物线方程为y 2＝x ，所以选C.
21313413
135．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B ．3 172C. D.592
[答案]　A
[解析]　记抛物线
y 2＝2x
的焦点为F ，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点
(12，0)
F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于＝，选A.
(1
2)
2＋2217
26．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3 1，则点A 的坐标为( )
A ．(2,2)
B ．(2，－2)22
C ．(2，±)
D ．(2，±2)
22[答案]　D
[解析]　如图，由题意可得，|OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△
AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，
∴＝＝3，
S △AMF
S △AOF 12
×|AF |×|AM |×sin ∠MAF
1
2
×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )
∴|AM |＝3，设A ，∴＋1＝3，
(
y 02
4
，y 0
)y 02
4解得y 0＝±2，∴＝2，2y 02
4∴点A 的坐标是(2，±2)，故选D.
27．(2010·河北许昌调研)过点P (－3,1)且方向向量为a ＝(2，－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m ≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )
A ．y 2＝－2x
B ．y 2＝－x 3
2C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x
[答案]　D
[解析]　设过P (－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q (x ，y )，则∥a ，∴PQ
→ ＝，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－y )
x ＋32y －1
－5＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y 2＝mx
的焦点F ，∴m ＝－4，故选D.
(m
4，0)8．已知mn ≠0，则方程是mx 2＋ny 2＝1与mx ＋ny 2＝0在同一坐标系内的图形可能是( )
[答案]　A
[解析]　若mn >0，则mx 2＋ny 2＝1应为椭圆，y 2＝－x 应开口向左，故排除
m
n C 、D ；∴mn <0，此时抛物线y 2＝－x 应开口向右，排除B ，选A.
m
n 9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若＝－4，则直线AB 的斜率为( )
FA → FB
→ A ．±
B ．±2332
C ．±
D ．±3443
[答案]　D
[解析]　∵＝－4，∴||＝4||，设|BF |＝t ，则
FA → FB → FA → FB
→ |AF |＝4t ，∴|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝4t ，
∴tan ∠ABM ＝，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±.
434
310．已知抛物线C 的方程为x 2＝y ，过点A (0，－4)和点B (t,0)的直线与抛物线C 没有1
2公共点，则实数t 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.
∪(
－∞，－
2
2)(
2
2
，＋∞
)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)22
D ．(－∞，－2)∪(，＋∞)22[答案]　B
[解析]　由题意知方程组Error!无实数解
由②得y ＝－4，代入①整理得，
4x
t 2x 2－＋4＝0，∴Δ＝－32<0，
4x
t 16
t 2∴t >或t <－，故选B.
2
22
2[点评]　可用数形结合法求解，设过点A (0，－4)与抛物线x 2＝y 相切的直线与抛物线1
2切点为M (x 0，y 0)，
则切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)，∵过A 点，∴－4－2x 02＝4x 0(0－x 0)，∴x 0＝±，∴y 0＝4，
2∴切线方程为y －4＝±4x －8，
2令y ＝0得x ＝±，即t ＝±，
2
22
2由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <－或t >.2
22
2二、填空题
11．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x
上运动，则·取得最小值时
AP
→ BP → 的点P 的坐标是______．
[答案]　(0,0)
[解析]　设P
，则＝，＝，·＝
(－y 2
4，y
)
AP → (－y 24－2，y )BP → (－y 24－4，y )AP → BP → (－y 2
4－2)
＋y 2＝＋y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．
(
－y 24－4)
y 4165
212．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|FA |＝3，则抛物线的方程是________．
[答案]　y 2＝3x
[解析]　设抛物线准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A 1、B 1、Q ，作BM ⊥AA 1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF |＝t ，则
|NF |＝，|MA |＝，∵|AM |＝|QN |，∴3－＝p －，∴p ＝，∴抛物线方程为y 2＝3x .
t
2t ＋3
2t ＋3
2t
23
2(理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．
[答案]　y 2＝3x
[解析]　解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则
|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，
∴p ＝|CF |＝，∴抛物线方程为y 2＝3x .
1
23
2解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCB 1＝30°，又|AF |＝3，
从而A
在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝.(p
2＋32，332)
32点评：还可以由|BC |＝2|BF |得出∠BCB 1＝30°，从而求得A 点的横坐标为|OF |＋|AF |＝＋或3－，∴＋＝3－，∴p ＝.
1
2p
23
2p
2p 23
2p
23
213．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|FA |>|FB |，则|FA |与|FB |的比值等于________．
[答案]　3＋22
[解析]　分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，则由条件知，Error!，解得Error!，
∴＝3＋2，即＝3＋2.
|AA 1||BB 1|2|FA |
|FB |214．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.
[答案]　2
[解析]　设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，
则Error!，两式相减得，＝＝2，y 1－y 2
x 1－x 22p
y 1＋y 2∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.
(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.
[答案]　8
[解析]　过A 、B 、P 作准线的垂线AA 1、BB 1与PP 1，垂足A 1、B 1、P 1，则|AF |＋|BF |＝|
AA 1|＋|BB 1|＝2|PP 1|＝2[1－(－3)]＝8.
三、解答题
15．(文)若椭圆C 1：＋＝1(0<b <2)的离心率等于，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦x 24y 2b 23
2点在椭圆C 1的顶点上．
(1)求抛物线C 2的方程；
(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．
[解析]　(1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝，
4－b 2由离心率e ＝＝
＝得，b 2＝1.
c
a 4－
b 22
3
2∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .
(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，
∵y ＝x 2，∴y ′＝x ，
1
41
2∴切线l 1，l 2的斜率分别为x 1，x 2，
1
21
2当l 1⊥l 2时，x 1·x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，1
21
2由Error!得：x 2－4kx －4k ＝0，
由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1.∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.
(理)在△ABC 中，⊥，＝(0，－2)，点M 在y 轴上且＝(＋)，点C CA → CB → OA → AM → 1
2AB
→ CD → 在x 轴上移动．
(1)求B 点的轨迹E 的方程；
(2)过点F
的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若＝，(
0，－1
4)
FH → 12HG → 求直线l 的方程．
[解析]　(1)设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)，x 0≠0，∵⊥，∴∠ACB ＝，CA → CB
→ π
2∴·＝－1，于是x 02＝2y 0①2
x 0y 0
－x 0M 在y 轴上且＝(＋)，AM → 12AB
→ AC → 所以M 是BC 的中点，可得Error!，∴Error!
把②③代入①，得y ＝x 2(x ≠0)，
所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)．
(2)点F
，设满足条件的直线l 方程为：
(
0，－
1
4)
y ＝kx －，H (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，
1
4由Error!消去y 得，x 2－kx ＋＝0.1
4Δ＝k 2－1>0⇒k 2>1，
∵＝，即
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，FH → 12HG → (x 1，y 1＋14)
12∴x 1＝x 2－x 1⇒3x 1＝x 2.
121
2∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝，∴k ＝±，
1
423
3故满足条件的直线有两条，方程为：8x ＋4y ＋＝0和8x －4y －＝0.
333316．(文)已知P (x ，y )为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点(1,0)的距离小1.
(1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)设过点M (m,0)的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．
[解析]　(1)由题意得：－x ＝1，化简得：y 2＝4x (x ≥0)．(x －1)2＋y 2∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)．
(2)设直线AB 为y ＝k (x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!，得ky 2－4y －4km ＝0，
∴y 1＋y 2＝，y 1·y 2＝－4m .∴x 1·x 2＝m 2，4
k ∵以线段AB 为直径的圆恒过原点，∴OA ⊥OB ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.
即m 2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4.∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．
[点评]　(1)点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F (1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y 2＝4x .
(理)已知抛物线y 2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)若·＝4，求直线AB 的方程．
OA
→ OB → (2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(n,0)，求n 的取值范围．
[解析]　(1)设直线AB 的方程为y ＝kx －2　(k ≠0)，代入y 2＝4x 中得，k 2x 2－(4k ＋4)x ＋4＝0①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.
4k ＋4
k 24
k 2y 1y 2＝(kx 1－2)·(kx 2－2)＝k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝－.
8
k ∵·＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝－＝4，∴k 2＋2k －1＝0，解得k ＝－1±.
OA → OB
→ 4k 28
k 2又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k 2＝32k ＋16>0得k >－，∴k ＝－1＋，
1
22
∴直线AB 的方程为(－1)x －y －2＝0.
2(2)设线段AB 的中点的坐标为(x 0，y 0)，则由(1)知
x 0＝＝，y 0＝kx 0－2＝，
x 1＋x 222k ＋2k 22k ∴线段AB 的垂直平分线的方程是
y －＝－.2k 1k (x －2k ＋2k 2)
令y ＝0，得n ＝2＋＝＋＋2
2k ＋2k 22k 22
k ＝22＋.(1k ＋12)3
2又由k >－且k ≠0得<－2，或>0，
121k 1
k ∴n >22＋＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)．(0＋12)3
217．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .
(1)证明：点F 在直线BD 上；
(2)设·＝，求△BDK 的内切圆M 的方程．
FA → FB → 89[解析]　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)
(1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得
y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4①
直线BD 的方程为y －y 2＝(x －x 2)
y 2＋y 1
x 2－x 1即y －y 2＝4
y 2－y 1(x －y 22
4)
令y ＝0，得x ＝＝1，所以点F (1,0)在直线BD 上．
y 1y 2
4(2)由(1)知，
x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，
x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1
因为＝(x 1－1，y 1)，＝(x 2－1，y 2)，·＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)
FA → FB → FA → FB → ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，
故8－4m 2＝，解得m ＝±，
8943直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.
从而y 2－y 1＝±＝±，
(4m )2－4×4437故＝±4y 2－y 13
7
因而直线BD 的方程为3x ＋y －3＝0,3x －y －3＝0.
77因为KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心M (t,0)，(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD
的距离分别为
，，3|t ＋1|53|t －1|
4由＝得t ＝或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝
＝，3|t ＋1|
53|t －1|4193|t ＋1|523所以圆M 的方程为2＋y 2＝.(x －19)4
9(理)(2010·揭阳市模考)已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P 为弦AB 的中点．
AC → BC → (1)求点P 的轨迹T 的方程；
(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
[解析]　(1)法一：连结CP ，由·＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝|AB |，
AC → BC → 12由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，
即|OP |2＋|CP |2＝9，
设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，
化简得，x 2－x ＋y 2＝4.
法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，
根据题意知，x 12＋y 12＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2，
∴4x 2＝x 12＋2x 1x 2＋x 22,4y 2＝y 12＋2y 1y 2＋y 22
故4x 2＋4y 2＝(x 12＋y 12)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2)①
又∵·＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0
AC → BC → ∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1，
代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)，
化简得，x 2－x ＋y 2＝4.
(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线
y 2＝2px 上，其中＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，
p 2由方程组Error!得，x 2＋3x －4＝0，
解得x 1＝1，x 2＝－4，
由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。