与圆有关的定点定值问题(共70张PPT )

d r恒成立,
即 (sin ) a (cos ) b 1 =r，
即(sin ) a (cos ) b 1 r 0，
Q R,
恒等式
a 0
a 0
b 0 ，解得 b 0，
1 r 0
r 1
动直线恒与一个定圆x2 y2 1相切.
变式2
对于任意的实数a(a 0), 证明： 圆( x 2a 1)2 ( y a 1)2 4a2与定直线相切.
(k4
k 0, 2)(b 3)
0,
(b 3)2 0,
解得
k b
0, 3,
或
k
b
3.
4 3
,
综上，存在两条定直线y 3和
4 x 3 y 9 0与定圆M均相切.
变式：在平面直角坐标系xOy中，已知 圆C : x2 y2 (6 2m)x 4my 5m2 6m 0, 直线l经过点(1,1)，若对任意 的实数m , 定直线l被圆C 截得的弦长为 定值，则直线l的方程为___________
PA 2 ( x 3)2 y2 PB 2 = ( x 4 )2 y2
3
( x 3)2 4 x2 6x 13 9
=
( x 4 )2 4 x2 8 x 52 4
3
39
3 ,是定值.
2
解法二 用恒成立处理
设点B(m, n), P( x, y),
则 2
PA 2
( x 3)2 y2
k(3 m) 2m k 1 d
k2 1
关于m整理，得
d 4k 1 (k 2)m 为定值， k2 1
即与m无关， k 2, 直线l方程为2 x y 1 0.
法2：圆C : [ x (3 m)]2 ( y 2m)2 0,
设圆心C
(
x,
y),
则
x y
3m 2m.
两式相减，并关于x，y整理，得
(2 2a) x 2by a2 b2 4r 2 +3 0
对任意x, y都成立，(P( x, y)为圆C上动点)
2 2a=0，
a 1,
所以，2b=0，
b 0,
a
2
b2
4r
2
+3
0.
r
2
1.
所求定圆M方程为( x 1)2 y2 1.
解题感悟
(
3 r)2 a2 r 2 , 2
解得
a
=
1 2
r,
b r 3,
e M : ( x 1 r)2 ( y r 3)2 r 2 . 2
对任意正常数r , 定直线l与圆M 相切,
即M 到定直线l的距离恒等于半径r .
本题与第1题的变式2是同类题, 下面，我们直接求出定直线：
当直线l与x轴垂直时，设l：x m,则
下面验证，
对于直线x 1，d 2a 1 1 2a r, 直线与圆相切 对于直线3x 4 y 7 0，圆心(2a 1, a 1)
d 3(2a 1) 4(a 1) 7 2a r,也相切 5
综上得：圆与定直线x 1或3 x 4 y 7 0相切.
解法二
当斜率k不存在时，设定直线方程x m， 由相切得,2a 1 m 2 a , 2a 1 m 2a, 解得m 1,定直线方程为x 1;
2.一般推理，特殊求解.即先由题设 条件得出曲线的方程，再根据参数 的任意性得到定点坐标.(关于参数 整理,用恒等式来处理).
2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C : x2 y2 6 x 5 0,点A, B在圆C上，且
uuur uuur AB 2 3,则 OA OB 的最大值为____ 解析：特殊探路：当AB x轴时，
法1：圆C : [ x (3 m)]2 ( y 2m)2 9, 圆心C(3 m, 2m),半径r 3, 直线l经过点( 1, 1)，对任意实数m , 定直 线l被圆C截得的弦长为定值，即圆心C 到直线l的距离为定值.
当直线l斜率不存在时，x 1,圆心C到 直线l的距离为 4 m 不是定值; 当直线l斜率存在时，设l : y 1 k( x 1), 即kx y k 1 0， 圆心C到直线l的距离为
4k 3 0 (4k 2)(k m k m 1 0
1)
0，解得
km7443
，
综上得：圆与定直线x 1或3x 4 y 7 0相切.
解题感悟
对于与圆有关的定点、定圆、定直线问题, 我们通常有两个处理思路： 1.特殊探路，一般证明. 先通过特殊情况确定定点、定圆、定直线 再转化为有目标、有方向的一般性证明；
它们的外公切线与它们都相切， 可以求出两条外公切线方程， 设外公切线为x ay b,
3 2a b
则由直线与圆相切，得
2, 1 a2
5 3a b 1 a2
4,
解得
a b
wenku.baidu.com
0, 1,
a b
7 3
4 3
,
,
外公切线为x 1或3x 4 y 7 0
猜想定直线为x 1或3x 4 y 7 0，
思路2 : 用恒等式来处理
即将 PA 转化为恒等式.
PB
解法一
由对称性得,此定点肯定在x轴上,设B(b, 0)
当P(2, 0)时, 5 ;当P(2, 0)时, 1
2b
2b
5 1 , 解得b 4 或b 3(舍去)，
2b 2b
3
故猜想定点B( 4 , 0),下面验证 3
设P( x, y),则 2
分析
思路1 : 特殊化探路,再验证一般情况 思路2 : 用恒等式来处理
即将直线与定圆相切转化为恒等式d r
法1.在方程表示的无穷多条直线中
取四条直线：
令 0,则y 1,令 ,则y 1,
令 ,则x 1, 令 3 ,则x 1,
2
2
故猜想定圆为x2 y2 1，
下面验证:直线(sin ) x (cos ) y 1 0
解题感悟
定直线问题是证明动点在定直线上， 其实质是求动点的轨迹方程，所以， 所用的方法即为求轨迹方程的方法， 如定义法，消参法，交轨法,等等.
例题解析
1.已知A(3, 0), P是圆x2 y2 4上的动点,
证明：存在定点B(异于A), 使得 PA
PB 是定值.
分析
思路1 : 特殊化探路猜出定点B,再验证一般情况 即首先由对称性得此定点肯定在x轴上, 然后通过在x轴上取特殊点求出B, 为什么呢？ 再验证B点符合一般要求.
右侧，圆M被y轴截得的弦长为 3r.若对 任意正常数r , 定直线l与圆M 相切,则定直 线l的方程为___________________
解析：设圆心M (a, b), 利用M 在线段AB的 垂直平分线上，从而 MA = MB ,结合M 在
y轴右侧，得a 0,圆M被y轴截得的弦长为
3r.可得 (aa04,)2 b2 a2 (b 2)2 ,
PB 2 = ( x m)2 ( y n)2
即(6 2m 2 ) x 2n 2 y 13 2 (m2 n2 4) 0
恒等式
6 2m 2 0
2n
2
0
，解得
m n 0
4 3
，
13 2 (m2 n2 4) 0
3
2
存在定点B( 4 , 0),使得 PA 3 是定值.
与定圆x2 y2 1总相切.
此时Q d
1
1
(sin )2 (cos )2
d r
动直线(sin ) x (cos ) y 1 0与
定圆x2 y2 1相切.
法2.设定圆为( x a)2 ( y b)2 r 2，(r 0)
Q 直线(sin ) x (cos ) y 1 0与圆相切
分析
思路1 : 特殊化探路猜出直线,再验证一般情况
思路2 : 用恒等式来处理 即将直线与圆相切转化为恒等式d r
法一
在方程表示的无穷个圆中取两个特殊圆
令a 1,则( x 3)2 ( y 2)2 4, 令a 2,则( x 5)2 ( y 3)2 16,
r 2, R 4, d 5, Rr d Rr 两圆相交
知识回顾
1.对于任意的实数m, 证明： 圆x2 y2 2mx (m 2) y 2m 0过 两个定点.
思路1 : 特殊化探路,再验证一般情况 思路2 : 关于m整理,用恒等式来处理
法1.在方程表示的无穷多个圆中取两个特殊
圆：令m 0,则x2 y2 2 y 0,
令m 1,则x2 y2 2 x 3 y 2 0,
当斜率k存在时，设直线为y kx m,
则由相切得d r,即 k(2a 1) (a 1) m 2a
如何化简整理？
k2 1
(2k 1)a (k m 1) 2a
k2 1
(2k 1)a (k m 1) 2a k 2 1
化简，并关于参数a整理，得 恒等式 (4k 3)a2 (4k 2)(k m 1)a (k m 1)2 0
本题及变题中动点D和P的轨迹是个定圆, 也是个隐圆.有些数学问题，将圆隐藏在 已知条件里，解题时需要我们通过分析探 索，发现这些隐圆，再利用和圆相关的一 些知识解决问题.
3.在平面直角坐标系xOy中，已知定点 A(4, 0), B(0, 2),半径为r的圆M的圆心 M 在线段AB的垂直平分线上，且在y轴
,
消去参数m，得2 x y 6 0,
圆心在定直线2 x y 6 0上.
Q 直线l经过点(1,1)，对任意实数m, 定直线l被圆C (半径为3)截得的弦长为 定值，则圆心C到直线l的距离为定值. 直线l //圆心C所在直线. 设l方程为2 x y c 0, 将(1,1)代入， 得c 1,故直线l方程为2 x y 1 0.
m 1 r r，不合题意； 2
当直线l不与x轴垂直时，设l：y kx b,
r
k r3b
则2
r对任意r 0恒成立，
k2 1
即 ( k 1)r b 3 =r k 2 1对任意r 0恒成立， 2
两边平方、移项关于r整理，得
3k 2 (
k )r 2
(k
2)(b
3)r
(b
3)2
0.
4
3k 2
问题转化为求点D到点O 距离的最大值.
AB 2 3, AC 2,结合垂径定理和勾股 定理可得CD 1.故动点D在 以C(3, 0)为圆心,1为半径的 圆( x 3)2 y2 1上运动. 则ODmax OC 1 4,
uuur uuur OA OB 的最大值为8.
变式：在平面直角坐标系xoy中，圆C的 方程为( x 1)2 y2 4, P为圆C上一点， 若存在一个定圆M，过P作圆M的两条 切线PA，PB,切点分别为A, B，当P 在圆C上运动时，使得APB恒为600， 则圆M的方程为_____________
解析：特殊探路，很容易找到这样一个 定圆M：M与C重合，半径为1， 如图，PC 2, APM 300 , APB恒为600， 其方程为( x 1)2 y2 1.
有没有其它的定圆M？ 可以从特殊到一般加以研究： 设定圆圆心M (a, b),半径为r, 动点P( x, y), 由题意知PM 2r（, 隐圆） 即( x a)2 ( y b)2 4r 2 , 由于点P在圆C : ( x 1)2 y2 =4上，
得x2 y2 2 y m(2 2 x y) 0，
Q
m
x2 y2 2y R,
2 2x y 0
0，解得
x y
0或 0
x y
4 5， 2 5
所以圆过两个定点(0, 0)，( 4 , 2). 55
变式1
对于任意的实数 ,证明：
直线(sin ) x (cos ) y 1 0与一个定圆相切.
uuur uuur uuur 设AB与x轴交于点D,则 OA OB =2 OD ，
易得CD 1,OD 2或4，猜测最大值为8.
再验证：圆C即( x 3)2 y2 4, C(3, 0), 半径为2，作出草图，取AB中点D,
uuur uuur uuur 则待求式OA OB=2OD,
uuur uuur uuur 故 OA OB =2 OD ,因而，
联立解得
x y
0或 0
x y
4 5， 2 5
怎样验证
故猜想定点为(0, 0)，( 4 , 2),下面验证： 55
将点(0, 0)，( 4 , 2)代入 55
x2 y2 2mx (m 2) y 2m 0都符合，
所以圆过两个定点(0, 0)，( 4 , 2). 55
法2.将已知圆方程关于参数m整理 恒等式