描述流体运动的两种方法(流体运动学)
流体力学标准化作业答案第三章
流体力学标准化作业（三）-—流体动力学本次作业知识点总结1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法. 2。
流体流动的加速度、质点导数流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即(,,,)u u x y z t =流体质点的加速度等于速度对时间的变化率,即Du u u dx u dy u dza Dt t x dt y dt z dt ∂∂∂∂==+++∂∂∂∂投影式为x x x x x x y z y y y y y x y zz z z z z x y zu u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z ∂∂∂∂⎧=+++⎪∂∂∂∂⎪∂∂∂∂⎪=+++⎨∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂⎩或 ()du u a u u dt t ∂==+⋅∇∂ 在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， ut∂∂为固定空间点，由时间变化引起的加速度,称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起.()u u ⋅∇为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度,称为迁移加速度或位变加速度，由流场的不均匀性引起。
欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标量,对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。
例如不可压缩流体，密度的随体导数D D u t tρρρ∂=+⋅∇∂（） 3。
流体流动的分类(1）恒定流和非恒定流 （2)一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4。
流体流动的基本概念 （1）流线和迹线流线微分方程x y zdx dy dz u u u ==迹线微分方程x y zdx dy dz dt u u u === （2）流管、流束与总流(3）过流断面、流量及断面平均流速体积流量 3(/)A Q udAm s =⎰ 质量流量 (/)mAQ udAkg s ρ=⎰断面平均流速 AudA Qv AA==⎰(4）渐变流与急变流 5。
流体力学-第三章
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
描述流体运动的LagrangeEuler方法.精品ppt资料
u u(x, y,z,t)
v
v(x,
y,
z,t)
w w ( x , y , z , t )
其中，x,y,z 为空间点的坐标，t 表示时间。
x,y,z,t 称为欧拉变数，是四个相互独立的变量。
➢x,y,z 给定，t 变化，表示不同时刻不同流体质点通过同
一空间点的速度。
➢t 给定， x,y,z 变化，表示给定时刻，不同流体质点通过
第 1 章 流体运动学 (流体运动的描述与连续方程)
1.1 描述流体运动的方法 1.2 迹线与流线 1.3 流体流动根本方程积分式—雷诺输运公式 1.4 微分形式连续方程 1.5 流体微团的运动分析 1.6 有旋流动与无旋流动
第 1 章 流体运动学 (流体运动的描述与连续方程)
1.1 描述流体运动的方法
a,b,c,t 称为拉格朗日变数。
a,b,c 给定，表示指定质点的轨迹。
t 给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。
上式就是质点以〔a, b, c〕为参数的轨迹方程。
1.1 描述流体运动的方法
拉格朗日方法
对于给定的流体质点(a, b, c),质点的坐标是时 u
间 t 的函数，
x (a ,b , c ,t) t
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。考察不 同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空 间点流体质点经过时的运动情况，从而获得整个流场的运 动规律。
但在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化， 无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。
1.1 描述流体运动的方法
欧拉方法
在固定 空间 点很 容易 记录流过空间点的不同质点的速度： V ui vj wk
出 流 场 ， 如 图 就 是 用 某 时 刻 下 但在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。
流体力学2章讲稿
第二章 流体运动学只研究流体运动, 不涉及力、质量等与动力学有关的物理量。
§2.1 流体运动的描述 两种研究方法:(1)拉格朗日(Lagrange)法: 以流场中质点或质点系为研究对象, 从而进一步研究整个流体。
理论力学中使用的质点系力学方法，难测量，不适用于实用理论研究。
(2)欧拉(Euler)法: 将流过空间的流体物理参数赋予各空间点（构成流场），以空间各点为研究对象，研究其物理参数随时间t ，位置（x ，y ，z ）的变化规律。
易实验研究，流体力学的主要研究方法。
两种研究方法得到的结论形式不同，但结论的物理相同。
可通过一定公式转换。
1. 拉格朗日法有关结论质点： r=r （t ） dt d rV = dtd dt d V r a ==22x=x （t ） dt dxu = 22dtx d a x =y=y （t ） dtdyv = 22dt y d a y =p=p （t ） T=T （t ） .. .. .. .. .. .. .. .. 质点系：x=x （t,a,b,c ） p=p （t,a,b,c ） T=T （t,a,b,c ） .. .. .. .. .. .. .. ..(a, b, c)是质点系各质点在t ＝t 0时刻的坐标。
(a, b, c)不同值表不同质点2. 欧拉法物理量应是时间t 和空间点坐标x, y,z 的函数u ＝u(x, y, z, t) p ＝p(x, y, z, t) T ＝T(x, y, z, t) 3. 流体质点的随体导数！！流体质点的随体导数：流体质点物理参数对于时间的变化率。
简称为质点导数。
例：质点速度的随体导数（加速度）dt d V 质点分速度的随体导数dtdu质点压力的随体导数dtdp质点温度的随体导数dt dT.. .. .. .. .. .. 质点导数是拉格朗日法范畴的概念。
流体质点随体导数式---随体导数的欧拉表达式dt d V =z wy v x u t t∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V V V V V V Vdt du =z u w y u v x u u t u u tu∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂Vdt dT =z T w y T v x T u t T T tT∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂V普遍形式： dt dF =z F w y F v x F u t F F tF∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂VF t )(∇⋅+∂∂=V证其一： dt d V =V V V∇⋅+∂∂t 由 dt d V=tt ∆-→∆V V 'lim 0因 V=V （x ，y , z,t ）V ’=V （x+Δx ，y+Δy ,z+Δz,t+Δt ）所以 V ’=V++∆∂∂x x V +∆∂∂y y V z z∆∂∂V t t ∆∂∂+V 代入上式得dt d V==∆∆∂∂+∂∂∆+∂∂∆+∂∂∆→∆tt z z y x xt tV V y V V lim 0V V V z V y V x V t V ∇⋅+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=tw v u 可见, 在欧拉法中质点速度的随体导数(即加速度)由两部分组成。
工程流体力学 第4章 流体运动学
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
《高等流体力学》第1章 流体运动学
§1-2 迹线与流线
一、迹线：流体质点运动形成的轨迹。 拉格朗日法中质点运动方程就是迹线参数方程：
xα = xα ( b1 , b2 , b3 , t )
对于给定的 b1 , b2 , b3 消去t可得迹线方程。 欧拉法：由速度场来建立迹线方程： 迹线的微元长度向量：d r = v ( x1 , x2 , x3 , t ) dt 二、流线：其上任一点的切线方向为速度方向。
任意坐标平面内：
1 ∂vβ ∂vα )= ε βα ε αβ = ( + 2 ∂xα ∂xβ
当α=β时，εαβ退化为线变 ∂v3 ∂v1 ∂v2 ε 33 = ε 22 = 形速率，因此可以把角变 ε11 = ∂x1 ∂x2 ∂x3 形、线变形速率统一起来
流体微元的旋转角速度 对比：
2
1 ∂v2 ∂v1 1 ∂v2 ∂v1 )+ ( ) ωπ 4 = ( − − 2 ∂x1 ∂x2 2 ∂x2 ∂x1
A1 A2
因A1与A2是任取的，故在同一时刻，沿同一涡管各 界面的涡通量不变—涡管通量守恒。 结论： (1)对于同一微元涡管，面积越小，流体旋转角速度 越大； (2)涡管截面不可能收缩到零。
1 ∂vβ ∂vα aαβ = ( )= ωγ = − −aβα 2 ∂xα ∂xβ
二、变形率张量和涡量张量 前面得到了变形率张量和涡量张量：
1 ∂vβ ∂vα )= ε βα ε αβ = ( + 2 ∂xα ∂xβ Байду номын сангаасαβ 1 ∂vβ ∂vα ( )= = − − aαβ 2 ∂xα ∂xβ
在任意坐标平面中：
2
∂v2 ∂v1 ∂vn ∂v2 ∂v1 2 2 = cos θ + sin θ cos θ − − sin θ ∂l ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1
流体力学——3 流体运动学
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
速度矢量
u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
ds dxi dyj dzk
速度与流线相切
i
jk
u ds ux uy uz 0
dx dy dz
dx dy dz ux uy uz
uxdy uydx 0 uydz uzdy 0 uzdx uxdz 0
定点M，其位置坐标（x,
y, z）确定。 M为流场中
的点，其运动情况是M点
坐标（x, y, z）的函数，
也是时间 t 的函数。如速
度
u
可表示为：
u u( x, y, z,t)
表示成各分量形式：
uuxy
ux ( x, uy ( x,
y, z,t) y, z,t)
uz uz ( x, y, z, t )
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
高等流体-第二讲,流体运动学
1 ux uz y 2 z x ，
uy u 1 x z 2 x y
即:
或
2015-4-2
1 rot u ----------旋转角速度 2
aij ijkk
17
所以：
ui ui x j Sij x j a ij x j x j
2015-4-2
6
例如: 速度 u u (r , t )
{
u x u x ( x , y , z ,t ) u y u y ( x , y , z ,t )
(1)变数x，y，z，称为欧拉变数. (2)均匀场:运动参数不依赖于x,y,z (3)定常场:运动参数不依赖于t 直角坐标中:
上式表明M0点领域内流体微团的速度由三部分组成: 1 ui u0i aijx j sijx j u0i rot u r s r 2 1 ; ; （2）转动速度 （1）平动速度 u u2 rotu r 0i
2
（3）变形速度 u 3 S r
第二章
流体运动学
流体运动的描述 Helmholtz 速度分解定理 无源有旋流动与无旋流动 简单平面势流 势流叠加原理
2015-4-2
1
第一节 流体运动的描述
•拉格朗日方法 •欧拉(Euler)方法 •迹线,流线,脉线
研究 流体运动 的两种方 法
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3.1.2.5 均匀流和非均匀流
根据流线的形状分 1.均匀流： 流线是相互平行的直线
均匀流的过流断面是平面 2.非均匀流：流线或者是不平行的直线，或者是曲线。
一般地，其过流断面是曲面
3.1.2.6 渐变流和急变流
按流速的大小和方向沿流程变化的缓急程度分 （1）渐变流：
3.1.2.1 恒定流和非恒定流 3.1.2.2 迹线与流线 3.1.2.3 流管、元流、总流和流量 3.1.2.4 一元(维)流、二元(维)流和三元(维)流 3.1.2.5 均匀流和非均匀流 3.1.2.6 渐变流和急变流
3.1.2.1 恒定流和非恒定流
恒定流: 流场中所有空间点上,一切水力要素都不 随时间改变的流动.
3 流体运动学
流体多处于运动状态
本章主要任务:
研究各种水力要素随时间和空间变 化的情况,建立其关系式(基本方程), 并用其解决工程实际问题
3.1 描述流体运动的两种方法
3.1.1 拉格朗日法和欧拉法 3.1.1.1 拉格朗日法(质点系法) 3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
3.1.2 欧拉法中流体运动的基本概念
du
u
u
u
u
a dt t ux x uy y uz z
（3.8）
u 当地加速度,时变加速度
t
同一空间点上流体质点速度随时间的变化率。
ux
u x
uy
u y
uz
u z
迁移加速度,位变加速度,变位加速度
同一时刻由于相邻空间点上速度差的存在， 使流体质点得到的加速度。
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
式中, ux , uy , uz是x, y, z, t的函数,积分时, 将 t 看作常数.
3.1.2.3 流管、元流、总流和流量
1.流管：
在流场中取一条与流线不重合的微小的封闭曲线， 在同一时刻，通过这条曲线上的各点作流线，由这 些流线所构成的管状封闭曲面，称为流管。
根据流线的定义，流体 不可能通过流管的侧面 流入和流出。
流场：被流体质点所占据的空间
欧拉法：着眼于流场中任一空间点， 流体质点通过该空间点的 运动情况，将流场中足够 多空间点的运动情况综合 起来，得整个流体运动状 况。
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
如图3.2，流场中任一空间点M的 坐标(x，y，z)
流体经过M点的运动情况， 与M点的位置以及时间 t 有关， 于是各运动要素（如流速u）
3. 流线的绘制
4. 流线的基本特性
(1)在恒定流中,流线的形状和位 置不随时间变化,此时流线和迹 线重合. (2)在同一时刻,流线彼此 不能相交,也不能转折,而 是一条光滑的连续的曲线
图3.3
3.1.2.2 迹线与流线
5. 流线与迹线的关系 一般地,两者是不同的.
迹线的切线方向表示的是: 同一流体质点在不同时刻的速度方向.
x=x(a, b, c, t) y=y(a, b, c, t)
z=z(a, b, c, t)
其中a, b, c, t 都称为拉格朗日变量
3.1.1.1 拉格朗日法(质点系法)
当研究某一流体质点时,则a, b, c可看成定 值, x, y, z只是 t 的函数—某一流体质点的 运动轨迹
当 t 为定值, x, y, z是 a, b, c的 函数—某一时刻各质点的照相 图案。
3.1.1.1 拉格朗日法(质点系法)
当令a, b, c为常数， t 为变数时，上两式分别 表示某一流体质点在不同时刻的速度和加速 度的变化情况。
反之，如令t为常数，a, b, c为变数时，上两 式分别表示某一时刻流体内部各质点的速度 和加速度的分布情况。
缺点：要跟踪每个质点非常困难
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
a
du
du
u
dt
u
dt
dx u
dy
u
dz
t x y z
a
du
u
u
dx
u
dy
u
dz
dt t x dt y dt z dt
因为 所以
dx dy dz
a
dt
u
x
,
du u
dt t
dt
uy
,
dt
uz
ux
u x
uy
u y
uz
u z
（3.8）
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
过流(水)断面一般是曲面，只有当流线相互平行时， 过流断面才是平面。
4.流量：单位时间内通过过水断面的流体的体积 单位: m3/s , l/s
3.1.2.4 一元(维)流、二元(维)流和三元(维)流
根据流动要素依赖于空间坐标的个数分 1.一元(维)流： 流动要素只是时间和一个空间坐标的函数. 元流可称为一元(维)流
3.1.2.4 一元(维)流、二元(维)流和三元(维)流 2.二元(维)流: 流动要素只是时间和二 个空间坐标的函数.
如:宽浅矩形断面的明渠流
图3.5
3.1.2.4 一元(维)流、二元(维)流和三元(维)流 3.三元(维)流:
流动要素是时间和三个空间坐标的函数.
如:明渠流的断面不很宽时的流动.
注意:实际上,严格地说,流动一般都是三元流.自 变量多,分析其流动太复杂,因此常常根据具体情 况,将三元流简化成二元流和一元流
可表示为： u u(x, y, z,t) 即 ux ux (x, y, z,t)
uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
同样，对于压强、密度、温度分别为：
p=p(x，y，z，t) ρ=ρ(x，y，z，t) T=T(x，y，z，t) 其中x，y，z，t—称为欧拉变量
3.1.2.4 一元(维)流、二元(维)流和三元(维)流
例如: 管流,将其水力要素如流速,进行断面平均
实际上是忽略了断面上次要的、微小的变化,而把 断面平均流速的分布看成是均匀的,此时平均值仅 是流程S和时间t的函数—一元流。 这种将水力要素沿过水断面平均，将复杂的三元流 处理成一元流的分析方法称为总流分析法
流线的切线方向表示的是: 同一时刻,在流线上的不同流体质点的速度方向. 只有当流动是恒定流时, 迹线与流线重合.
3.1.2.2 迹线与流线
6. 流线方程
上根的据流流速线的u(u定x ,u义y ,,u流z )线方上向的一微致弧(平ds行(d)x., dy, dz) 与该点
所以
dx dy dz ux uy uz
(3.8)式写成分量式, 即为:
ax
dux dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
du y dt
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
(3.10)
az
duz dt
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
同理,
dp dt
p t
u流线的夹角很小，曲率半径很大，其 极限情况就是均匀流。
（2）急变流：
或流线的夹角较大，或流线的曲率半 径较小，或两者兼而有之。
图3.6
注意
以上这些分类没有截然的界限，没有定量的 分类指标，所以只是相对的，要判别实际水 流属于何种类型，应具体分析做出判断。
3.1.1.1 拉格朗日法(质点系法)
拉格朗日法的优点： 物理概念清晰
ux
x t
x(a, b, c, t) t
uy
y t
y(a, b, c, t) t
z z(a, b, c, t)
uz t
t
ax
u x t
2x t 2
ay
u y t
2 y t 2
az
uz t
2z t 2
（3.2） （3.3）
非恒定流: 流场中,只要有一个水力要素随时 间改变的流动.
3.1.2.1 恒定流和非恒定流
在恒定流中, 所有的水力要素对时间的偏 导数为零
若用φ表示任一水力要素(u, p, ρ,T等)
则在恒定流中, 0
t
即 u 0, p 0, 0, T 0
t
t
t
t
即在恒定流中, 时变加速度等于零.
3.1.2.2 迹线与流线
1. 迹线: 某一流体质点在流动空间中所走的轨迹
拉格朗日法正是跟踪每个流体质点来研究流体的运 动,所以可从拉格朗日法直接得出迹线的方程. 2. 流线:
流体运动速度场中反映瞬时速度方向的曲线.在 同一时刻,处在流线上所有各点的流体质点的流 速方向都与各该点曲线上的切线方向重合.
3.1.2.2 迹线与流线
3.1.1.1 拉格朗日法(质点系法)
着眼于流体中各质点的运
动情况,跟踪每一质点,观察 和分析各质点的运动历程, 并把足够多质点的运动情 况综合起来,得到整个流体 运动的规律。如图3.1
图3.1
3.1.1.1 拉格朗日法(质点系法)
在直角坐标系中，设起始时刻 t0 各质点的 位置(a, b, c),则 t 时刻任意质点的空间位置 为:
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
若令 x，y，z为常数，t 为变数— 得到某一空间点上不同时刻流体 质点通过该点的u，p , ρ ，T
若令 t 为常数， x，y，z为变数—得到该时刻 流体运动的流速场、压强场、密度场等
3.1.1.2 欧拉法(空间质点法、流场法)
流体质点加速度：