有限元素法课件补充

上式插值的奥妙之处在于保障了在单元间节点上函数值及其一阶导的连续性，二阶导并不连续（仅是存在）。

这从能量泛函的积分式中可以看出已满足了积分条件；如果二阶导也连续，则过于连续了（过协调单元，这样的解反倒由于计算误差而导致精度下降）。

上述插值函数的构成在单元内场函数连续性要高（单元内二阶导连续），而在单元间的节点上，要低一阶（一阶导连续，二阶导存在）。

这是分段（片）插值函数的共同特征（可比较样条函数的特性）。

上述的坐标基函数具有内嵌性（规范性），即直接在节点上满足函数本身及一阶导连续的特性。

样条函数需要外加节点导数连续性的要求。

5.答：有限元法的收敛性是指：当元素尺寸趋近于零时，（换言之，当节点数目或节点位移的数量趋于无穷大时）最后的解答如果能无限的逼近准确解，那么这样的位移函数（或形状函数）就称为收敛的。

收敛条件包括：（1）单元内位移函数必须连续；（2）单元内位移函数必须包含常数项；（3）单元内位移函数必须包括刚体位移项；（4）元素之间的位移协调。

不仅节点处的位移应协调，沿整个内边界上的位移都应是协调的。

（1-3位完备性条件，是收敛的必要条件）(5) 从收敛的快速性上要求：插值多项式次数尽可能取高。

Hermit 型分段（片）基函数（形状函数）性质：
1、在节点I ：1=i N ；在其它节点：0=i N ；
2、包含线性项，以便用其定义的单元位移可以满足常应变条件；
3、保证相邻单元之间的位移连续；
4、应满足：∑=1i N ，以便用其定义的单元位移可以反映刚体移动。

6、答：（1）最小位能原理又称最小势能原理。

物体的势能定义为物体的应变能U 与外力势V 之差，即：
其中，应变能{}[]{}⎰⎰⎰=dxdydz D U T εε2
1 外力势{}{}{}{}⎰⎰⎰⎰∑++=σ
δS T b T ds p r dxdydz q r F V
上式中，F 为集中力，{}q 为体积力，{}p 为面力；δ、{}r 、{}b r 为相应的位移。

最小势能原理可描述如下：在所有满足边界条件的协调位移中，满足平衡条件的位移使物体势能取驻值，即：
用有限元方法把结构空间离散后，由最小势能原理求出的位移近似解，其值将小于精确解，以下限收敛于精确解。

如图所示，设物体只承受唯一集中力载荷i P 的作用，加载过程缓慢。

设
物体在着力点i 处，沿着i P 方向的位移为i δ，则载荷在
加载过程中做功2i i P δ，此值等于物体应变能，即：
外力势为 i i P V δ= 所以物体处于平衡时物体势能2
i i P P V U δ-=-=∏ 在上式中，i δ是精确值，根据最小势能原理，p ∏取最小值。

如果采用有限元方
法计算的近似位移值是i δ~，势能的近似值为2
~~i i P P δ-=∏。

由于精确势能p ∏是最小值，因而其它任何近似势能p ∏~在数值上都应不小于p ∏，即：
上式表明，用有限元方法把物体离散后，按照最小势能原理求得的近似位移解，将不大于精确位移解，如果有限元网格比较细密，有限元计算结果将以下限趋近于精确解（不考虑数值计算误差）。

用另一种方式也可以说明上述论断。

按照最小势能原理求解时，必须首先假定单元位移函数，这些位移函数是连续的，但却是近似的。

从物体中取出一个单元，作为连续介质的一部分，本来具有无限个自由度，在采用位移函数之后，只有以节点位移表示的有限个自由度，这相当于位移函数对单元变形能力有所限制，使得单元刚度增加，物体的整体刚度也增加了，因而计算的位移近似解小于精确解。

（2）以一平板任意方向变形为例，如图所示：
位移精确解可能是一复杂的非显式曲线，有限元离散后，单元内的变形是节点位移的线性插值函数，这样得到的计算解曲线以折线逼近精确解。

如果采用二次曲线逼近，则计算精度与计算效率可大大提高，二次曲线即有限元中的高次单元。

同样，当有限元网格无限密化时，计算解将无限逼近精确解。

考虑计算过程中的数值计算误差（例如：截断误差），限制了有限元网格的过分密化。

应变能{}[]{}⎰⎰⎰=dxdydz D U T εε2
1 （3）从物理上考虑，应变能必须为正量，即：0≥U 。

而节点位移{
}e δ是任意的，所以单元刚度矩阵[]K 必须正定。

注：这道题的解答除了抄书之外，还有我的部分理解，可以选择其中的一部分作为题目答案，不必全部抄写。

7.答：总纲特征：对称性；稀疏性；带状性；奇异性（置入边界条件后是正定的）
稀疏性：当结构的离散单元较多时，对一个节点p 的变形能提供刚度仅与该节点相连的那些单元有关（称这些单元上的节点为节点p 的相关联节点）。

相关联节点总比总节点数要少的多，故总体刚度矩阵中每一行的非零元素只占该行元素总数的一少部分。

有限元总体刚度矩阵是稀疏矩阵，绝大多数矩阵值都为0，如果在内存与外存中按照矩阵格式保存，则会浪费大量资源。

一维变带宽存储是建立一个一维数组，把总刚矩阵中每行第一个非零元素以及后面直到对角线元素按行顺序存放，同时建立另外一个一维数组（称为定位数组），记录总刚矩阵每行对角线元素在一维刚度数组中的位置，这样，通过两个较小的一维数组就实现了较大规模的总体刚度矩阵的存储、定位与获取。

8、答：薄板弯曲问题单元每节点三自由度，分别为ω、x θ与y θ。

单元应变能： 外力势：{}e T e F W δ=
能量泛函：()0=-∏=∏W δδ
泛函变量：δω、x δθ与y δθ，为三维欧氏空间变量，彼此之间应满足： 备注：数学空间你可以再查一下。

9.答：高斯积分具有(2n-1)次的代数精度。

高斯积分计算刚度矩阵时：
上式：g 为单元内高斯积分点数；i h 为高斯积分系数；[]D 为弹性矩阵，其秩为d ；
[]B 为e d ⨯阶应变矩阵，e 为单元节点自由度数；J 为坐标变换雅可比矩阵。

设共有m 个单元，则每个单元有g 个积分点，每个积分点有d 个独立关系，因此整体刚度矩阵独立关系总数为mgd S =。

如果采用较少的积分点数目，发生mgd S K rank N =>=)(，也即刚度矩阵K 奇异，则平衡方程组无唯一解。

10.答：数学上可以将一个偏微分方程系统的解转换为一个泛函的变分问题。

也即： 求解泛函变分的驻值等价于有解微分方程。

有限元方法是直接求解泛函变分驻值的过程；是泛函极小化序列的逼近过程。

变分原理是自然界静止状态中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理的数学规划。

变分法是变分原理的数学规划方法，是计算泛函驻值的数学方法。

有限元方法从近似解的角度出发，直接求解泛函的驻值，比微分方程更加方便，也更为实用。

特别计算机技术的发展，带来了大规模数值计算的可能性。

常应变元的优点是公式简单，但缺点是收敛性差。

为了改进收敛性，可提高插入函数的次数。

2. 高精度三角元
① 二次单元 (12个位移参数,三个角点,3个边中点)
注意形状曲面 3
4
5
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂y v y u x v x u ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆654321654
32112313223132132104414004040140440001421v v v v v v u u u u u u b b b a a a ξξξξξξξξξ 由此可以计算应变分量，再进一步计算单元的刚度矩阵，最后得到单元的刚度方程； 再组装结构刚度矩阵及等效载荷列阵，最后获得结构刚度方程。

Homework :
计算三次元(图中共有10个节点)的几何矩阵
3. 四边形单元
节点位移和节点力系统：
形状函数：
显见得[]B 不再是常数阵，说明应变在平面内线性变化。

2.矩阵平面应力刚阵形成
公式： [][][][]⎰=s
T
e ds B D B K 由于不再是常数阵，只能手工积分每一元素，得到刚阵显式。

i j m
p x y。