有限元素法课件补充

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有限元素法

有限元素法

摘要
有限元素法是目前最為廣泛使用的鍛造設計評估方法,但要獲得最適當之鍛造參數設計,常需多次嘗試錯誤的分析、設計修改,仍是相當耗時。

為有效縮短開發時程,本研究建構了一套鍛造參數設計最佳化程序,將於電腦上進行鍛造製程模擬解析視為實驗,在眾多製程參數下,以田口實驗計畫法針對主要參數進行模擬分析規劃,獲得各參數對鍛造設計目標的最佳水準組合與影響性。

對於多工程鍛造設計有道次間相互影響之效應或特殊品質要求,如果把所有因素放入鍛造設計目標,將使得最佳化參數分析變得相當複雜而不易使用。

因此,本研究採用在單一主要特徵目標函數下進行分析,獲得最適當之參數組合後再進行符合品質或其他實務上之評估修正,達到兼顧品質水準及以最少的模擬次數找出最適當之製程條件與鍛模設計的目的。

熱鍛模具主要的失效模式是磨耗,為能更直接以模具壽命做為最佳化之目標函數,本研究完成以Archard磨耗理論為基礎,在模具硬度與模具材料之磨耗係數為溫度函數的假設下,以高溫硬度及高溫磨耗試驗建立其關係函數,並據以修正Archard磨耗理論使之適用於熱鍛模具之磨耗分析。

依據所建構之鍛造參數設計最佳化方法與模具磨耗預測模式,在模具磨耗最小化的目標下,實際應用於鈦合金人工髖關節髖臼杯的鍛造設計最佳化,不但成功鍛造出符合顯微組織與尺寸精度要求之產品,更得到較經驗預估還長的模具壽命。

驗證了本研究建構之方法,不但能縮短設計時程,獲得最佳化的鍛造參數設計,且在設計階段即能預估模具可能之使用壽命。

有限元方法

有限元方法
的系数矩阵 K是对称正定的三对角矩阵,因此可采用追赶法 求出 u在节点上的近似值 u1,u2,,un.
§7. 两点边值问题的有限元方法
本节以两点边值问题为例,并从Ritz法和Galerkin法两 种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程.
7.1 基于Ritz法的有限元方程 7.2 基于Galerkin法的有限元方程
这样,我们就得到了单元有限元特征式的一般表示形式:
K(i)u(i) F(i)
第二步:总体合成.总体合成就是将单元上的有限元特征 式进行累加,合成为总体有限元方程. 这一过程实际上是将 单元有限元特征式中的系数矩阵(称为单元刚度矩阵)逐个 累加,合成为总体系数矩阵(称为总刚度矩阵);同时将右 端单元荷载向量逐个累加,合成为总荷载向量,从而得到关 于的线性代数方程组.为此,记
于是有 u(i) (ui1,ui)TB (i)u
从而式(7.16)右端第一个和式为
1 nu iT K iu i 1 nu T [ ( B i) T K iB i] u 1 u T K u ,
2 i 1
2 i 1
2
其中
(未标明的元素均为0)这就是总刚度矩阵. 对式(7.16)右端第二个和式,有
其中,p x C 1 a , b , p 0 , q C a , b , q 0 , f C a , b
精选版课件ppt
3
1. 写出Ritz形式的变分问题
与边值问题(7.1)、(7.2)等价的变分问题是:

u*
H
1,使
E
其中,
Ju*m uH in1 EJu J u 1 a u ,u f,u
u j
便得到确定 u1,u2,
,un的线性代数方程组

有限元基础教程绪论ppt课件

有限元基础教程绪论ppt课件
不单设考试,以大作业的报告、平时作业和考勤综合评定成绩。
绪论
1.1概况 1.2有限元方法的历史 1.3有限元分析的内容和作用 1.4有限元分析的一般过程 1.5有限元法的基本概念 1.6有限元法的发展趋势
1概况
有限元方法(finite element method)或有限元分析(finite element analysis),是求取复杂微分方程近似解的一种非常 有效的工具,是现代数字化科技的一种重要基础性原理。 有限元分析必须包含三个方面:
2有限元方法的历史
有限元软件应用及学术论文: 随着计算机技术的飞速发展,基于有限元方法原理的软件
大量出现,并在实际工程中发挥了愈来愈重要的作用;目前, 专业的著名有限元分析软件公司有几十家,国际上著名的通用 有限元分析软件有ANSYS,ABAQUS,MSC/NASTRAN, MSC/MARC,ADINA,ALGOR,PRO/MECHANICA, IDEAS,还有一些专门的有限元分析软件,如LS-DYNA, DEFORM,PAM-STAMP, AUTOFORM,SUPER-FORGE等; 国际上著名的主要有限元分析软件状况见表1-1。有关有限元 分析的学术论文,每年也不计其数,学术活动非常活跃,表12 列出的是刊登有限元分析论文的常见学术期刊。
位移函数的构造方法(广义坐标法)
广义坐标法
一维单元位移函数: u(x) 0 1x 1x2 ...n xn
i为待定系数,也称为广义 简记为 u(x)
坐标
{1 x x2 ... xn}
{0 1 2 ... n}T
位移函数的构造方法(插值函数法)
插值函数法 即将位移函数表示为各个节点位移与 已知插值基函数积的和。
板壳单元
四面体单元

有限元素法概论

有限元素法概论
均佈力
邊界條件 元素 節點
有限元素法概论(19)
元素的种类
1维元素
2维元素
3维元素
有限元素法概论(20)
各种结构所对应之元素
• 各种不同结构特性之分析,所对应常见及广泛应用之 元素类型,综合对应如下: 桁架结构分析→桁架元素 梁结构分析→梁元素 平面结构分析→平面元素 立体结构分析→立体元素 薄壳结构分析→壳元素 接触性结构分析→接触元素
有限元素法概论(32)
由上而下的方式
(1)產生初始元件: 矩形及圓形 (2)布林運算: 矩形及圓形 (3)得到所需 幾何模型
(4)控制元素分割尺寸
(5)进行元素分割
• 就CAE软件应用角度,应了解各种结构之分析流程及其应 考虑事项及原则。 • 了解CAE软件对不同结构之实务应用。
有限元素法概论(22)
理论分析
• 元素之平衡方程式 – 在结构静力分析,任一个元素本身必须呈平衡 (equilibrium),因此每一个元素都有其平衡方程式 K e ae f e
d(变形量)
L(原始长度)
强度:应力 刚性:变形量
材料的基本观念(4/9)
波松比(Poisson ratio)
波松比= -侧向应变/纵向应变 ex.钢材波松比=0.3 力
纵向应变
剪力弹性系数:
E G 2(1 v )
侧向应变
材料的基本观念(5/9)
应力-应变曲线 上的特性点:
应力(stress)
a.弹性限(Elastic limit: E.L.) b.降服应力(yielding stress),Sy d.抗拉(压)应力(Ultimate strength),Su e.破坏应力(Fracture strength;Ruptures),Sf

第三章-用有限元素法建立结构振动的数学模型

第三章-用有限元素法建立结构振动的数学模型

第三章用有限元素法建立结构振动的数学模型3.1 引言【工程要求】:对于简单的连续结构,如单件的杆、板、梁,可以建立结构振动的偏微分方程,但对于杆、板、梁组成的复杂结构,仍然采用建立偏微分方程的方法则十分困难。

如果用假设模态法(李兹方法),对实际工程结构假设出品质良好的整个结构的假设模态也十分困难。

要对结构振动进行数值分析,必须建立振动的数学模型——振动方程。

工程结构振动分析中,要采用将结构离散为有限自由度系统的方法——有限元素法,来建立结构的数学模型。

【发展简况】有限元素法,是在上一世纪五十年代中期,经过M.T.Turner及J.H.Argyris 等人的开拓性工作以及后来许多研究者的大量工作,发展起来的一种结构分析的有效方法,上一世纪六十年代初,由J.S.Archer及J.H.Argyris等人引入到结构动力学分析中来。

有限元素法发展到今天,已经非常成熟,而且与先进的计算机技术结合,已经形成了一个以有限元分析方法为基础的计算机辅助工程(CAE)的技术领域以及更进一步的虚拟产品设计(VPD)这样的先进概念。

世界上著名的CAE分析软件商主要有MSC.software和Ansys等公司的产品。

【有限元动力学分析的任务】在结构振动分析领域,有限元素法处理的问题主要是两类:结构固有振动特性计算和结构振动响应计算(包括频率响应分析与响应时间历程分析)。

两类问题中,用有限元法建立振动数学模型是最基础的工作。

【有限元素法(分析结构振动问题)的特点】:原则上,有限元素法由于其对复杂边界的适应性,它可以处理任何复杂的结构。

求解结果的精度可以根据需要不断改善,建模过程规范统一,计算形式适合于计算机求解。

【存在的问题】:随着精度要求的不断提高,所要求的计算机容量和计算时间急剧增加,从而引出了大型特征值问题的快速求解方法、将大型结构振动问题转化为若干小型结构振动问题集合的子结构求解方法,以及结构振动问题的并行求解方法等问题的研究。

有限元素法简介

有限元素法简介

3
下面给出一些有限元方法应用的例子。目的是说明可以用有 限元方法求解的问题的类型、规模和复杂程度,并说明典型的离 散过程和所用单元类型。
4
图1-1表示一个铁路控制塔,该塔是由一系列梁单元组成的三 维框架。用带圆圈的数字标出了单元,用不带圈的数字表示节点。 每个节点有三个转动分量和三个位移分量,称为自由度。由于该 塔结构所受的荷载情况,分析中使用了三维模型。
12
有限元法的基本思想可以用下述几点进行说明: & 假想把连续系统(包括杆系,连续体,连续介质)分割成数目有 限的单元,单元之间只在数目有限的指定点(称为节点)处相互连 接,构成一个单元集合体来代替原来的连续系统。在节点上引进 等效载荷(或边界条件),代替实际作用于系统上的外载荷(或边界 条件)。这一处理称为“结构离散化”。 & 对每个单元由分块近似的思想,按一定的规则(由力学关系或 选择一个简单函数)建立求解未知量与节点相互作用(力)之间的关 系(力—位移、热量—温度、电压—电流等)。这一处理称为“单 元分析”。
2
随着数字电子计算机的出现,求解离散系统问题一般比较容易, 即使单元数目非常大时也是如此。但对于连续系统,由于实际上 有无限个单元,而计算机的存储量总是有限的,因此由计算机不 容易处理。工程上处理连续体问题的方法一般是将连续系统离散 化,通过离散,使连续系统变成离散系统,从而可以采用解决离 散系统问题的方法,用计算机进行处理。这种离散当然都带有近 似性,但是,它是这样一种近似:当离散变量的数目增加时,它 可以逼近真实的连续解。有限元法用于求解连续系统问题时就是 一种离散化方法。 目前,有限元法已成为工程设计中不可或缺的一种重要方法, 在结构问题分析,例如大型结构作用力分析、变形分析、振动分 析,和非结构问题分析,例如失效分析、传热分析、电磁场分析、 流体流动(包括通过多孔材料的渗流)分析,乃至某些生物力学 工程问题的分析(可能包含应力分析),例如人的脊柱、头骨、股 关节、颌面移植、树胶牙齿移植、心脏和眼的分析等方面扮演着 越来越重要的角色。

变分原理与有限元素法

变分原理与有限元素法
变分原 理及有限元
南京航空航天大学 航空宇航学院


变分原理是数学的一个重要分支, 亦是弹性力学的重要组成部分, 在理论上和实用上都有重要的价 值。自从上世纪初里兹提出变分问题的近似解法以后,变分原理在弹性力学中的应用有了新的发展。五 十年代有限单元法的问世, 变分原理为它提供了重要的理论基础, 使变分原理的重要性更加突出地显示 出来。同时,有限单元法的发展,又反过来推动了变分原理的研究和进一步发展。 有限单元法发展至今, 已成为工程数值分析的有力工具。 它的应用领域十分广泛, 不论是固体力学、 流体力学,还是电磁学、传热学等都可以应用。就固体力学而言,不论是静力分析、还是动力分析或稳 定性分析;不论是线性分析,还是非线性分析,有限单元法的应用都取得了巨大的成功,利用它已成功 地解决了大批有重大意义的问题,并已开发了很多商用的分析软件。 为了我校力学、土木、机械等专业研究生更方便、更系统地学习和掌握变分原理和有限元的基础知 识,编写了此本研究生教材。本教材也可作为其他专业的研究生、高年级本科生、以及广大工程技术人 员的学习参考书。 教材分两大部分内容。第一部分变分原理共五章: 第一章介绍变分学的基本概念,以及多类泛函的 变分问题; 第二章介绍弹性理论的经典变分原理 - 最小位能原理和最小余能原理; 第三章介绍弹性理 论的广义变分原理 - H-R 广义变分原理和胡— 鹫广义变分原理; 第四章介绍弹பைடு நூலகம்理论变分原理的近似 解法 - 里兹法( Ritz) 、伽辽金法(Галёркин )和康托洛维奇法;第五章介绍建立多种有限单元 的变分原理。 第二部分有限元共九章:第一章综合概述基于最小位能原理的有限单元法的列式过程以及 基本理论和概念; 第二章介绍基于最小位能原理建立弹性力学平面问题及空间问题有限元表达格式的方 法和途径;第三章介绍构造单元与单元插值函数的原则和方法;第四章介绍板壳问题的有限元方法;第 五章介绍基于其他变分原理的杂交应力有限元; 第六章介绍热传导问题的有限元方法; 第七章介绍结构 动力学问题有限元方法; 第八章介绍结构稳定性问题有限元方法; 第九章介绍非线性问题的变分原理及 几何非线性有限元方法。 本教材《变分原理及有限元》的第一版是在丁锡洪教授、顾慧芝副教授编写的研究生讲义《变分原 理与有限单元法》 的基础上于 2003 年 12 月编写完成的。 这次再版对第一版的教材内容进行了部分修订。 由于编写者时间仓促、水平有限,书中难免存在缺点或错误,敬请批评指正。

《有限元素法》课件

《有限元素法》课件
介绍针对大规模模型的快速计算技术,如并行计算和高性能计算。
有限元素法的应用范围
讨论有限元素法在结构力学、电磁学、热力学、流体力学等领域的应用。
有限元素法的优点与缺点
分析有限元素法的优势和局限性,包括精度、计算成本和模型简化等方面。有限元素法中常用的数学公式
罗列有限元素法中常见的数学方程和公式,如有限元刚度矩阵和载荷向量等。
《有限元素法》PPT课件
有限元素法是一种广泛应用于工程领域的数值模拟方法,通过将复杂结构划 分为互不重叠的小单元,以近似的方式求解整个系统的行为。
有限元素法的概述
介绍有限元素法的起源、基本思想和应用领域。展示仿真结果。
有限元素方法的基本原理
探讨有限元素方法的数学基础和数值计算步骤。
有限元素法的速算方法
有限元素法中的网格划分
探讨有限元素法中的网格划分技术,包括三角形、四边形和非结构化网格等。

有限元法基本原理及应用 尹飞鸿 课件

有限元法基本原理及应用 尹飞鸿 课件

有限元法基本原理及应用尹飞鸿课件
有限元法基本原理及应用
有限元法是一种数值计算方法,用于求解复杂结构的物理问题。

它可通过将物理系统分割成许多小的有限元素来近似描述系统行为,并根据元素之间的关系和物理方程求解系统的响应。

有限元法的基本原理是建立数学模型,将连续体划分为多个离散的有限元素。

每个有限元素代表了原问题的一个小区域,具有一定的属性和形状。

通过将元素的局部行为进行组装,可以重建出整个物理系统的行为。

有限元法的应用非常广泛,涵盖了许多工程领域。

在结构力学中,有限元法可用于分析和优化建筑、航空航天器、机械设备等的力学性能。

在流体力学中,有限元法可用于模拟流体流动、传热和传质等问题。

在电磁学中,有限元法可用于计算电磁场和电磁波的分布。

有限元法的应用过程包括模型建立、划分网格、选取适当的数值计算方法以及求解和后处理结果等步骤。

模型建立是指将物理问题转化为数学描述,包括确定几何形状、材料性质和加载条件等。

划分网格是将物理模型分割成有限元素,通过合适的网格划分可以提高计算效率和精度。

数值计算方法是选择适当的数值算法来求解离散化的模型方程。

求解和后处理结果是对模拟结果进行分析和可视化展示。

总之,有限元法基于分割和离散化的思想,是一种强大的数值计算方法。

通过应用有限元法,我们可以更好地理解和解决复杂的物理问题,提高工程设计的效率和可靠性。

有限元素法

有限元素法
16.有限單元應用問題。
評分及考試:
依作業、平時考、期中考及期末考百分比計分。
其他注意事項:
92/08/15修訂
編號:22003G-39課程綱要
一、【開課系所】:機械工程學系研究所
二、【開課年級】:一年級
三、【修別】:選修
四、【科目名稱】(中文):有限元素法
(英文):The Finite Element Methods
五、【先修科目】:應用力學、工程數學
六、【學分數】:上學期3學分,下學期0學分
七、【授課時數】:(正課)3小時Fra bibliotek(實習)0小時
4.質點平衡方程式與諧和方程式。
5.蓋勒金推導法及虛功法。
6.一維有限單元論。
7.單元特性方程式-勁度,質量與黏滯性。
8.計算機有限單元程式及解析法論。
9.二維有限單元論。
10.座標轉換及數值積分。
11.三維有限單元論。
12.內插函數(型狀函數)。
13.有限單元板殼論。
14.振動力學
15.有限單元振動問題。
八、【教學目的】:
使學生瞭解有限單元法的原理及應用。
九、【內容綱要】:
在工程問題當中,大都非常的複雜,不太可能去求取正解,因此對於在學的學生或者在職的工程師或者研
十、【其他】:
教科書:
授課講義
參考書:
課程說明:
1.有限元素法簡介與概述結構力學。
2.基本結構力學-力法與位移法。
3.位移法與有限元素法之關係。

有限元素法

有限元素法
第三章 有限元素法
本章主要是探討有限元素法分析技巧,首先提到的是如何將選定區域作離散 化 , 並且對離散單元作編碼 , 最後是對有限元素法於光子晶體計算的應用作介紹 。
3.1 有限元素法簡介
有限元素法是一種解析方法,而它的發展歷史是由1850年到1875年,法國彈 性力學家如那維爾及聖維農等人所開啟。有限元素法與其它方法擬建立數值模擬 解相類似,皆需要推導及解析代數方程式,其快速發展已經普遍被人重視,且由 早期的結構力學應用,如今已廣泛的被應用於熱傳導、能流及電磁波等現象分 析。有限元素法的基本觀念是任何連續量均可用一不連續函數的型式作近似表 示。此型式乃為有限區域的集合分段連續函數所組成。使用連續量的值,以定義 分段連續函數在其有限數次域 (subdomain)。
edge(1,e) 2 3
edge(1,e) 5 4
【表3-2 紀錄相對應邊編碼】 實際上而言,此種編碼方式並非唯一,也可將第一個三角形切割單元的三個 不同節點編成3、1、2或2、3、1,只要遵從逆時針方向即可。因此可知,邊的編 碼也非唯一,但仍須遵從逆時針方向。
3.3 單元插值
【圖3-5典型的三角形切割單元】
26
上式中, x ej 和 y ej ( j = 1, 2,3) 表示第e個單元中第j個節點座標
3.4 有限元素法之光子晶體計算
根據電磁波理論 , 光子晶體內的電磁波傳播是由馬克斯威爾方程式 (Maxwell 出發。
∇•B = 0
(3.8) (3.9) (3.10) (3.11)
23
以對我們所希望的精度,應當維持於單元數最少化的要求。因此我們可知最好的 方法是在計算變化較大的區域採用較小的切割單元,而在計算變化較小的的區域 採用較大的切割單元。 標示計算的每個組成單元時,單元編碼可由單一組整數表示;此外,若是其 它的組成切割單元頂點處之節點,可採用另一組整數作為其它節點的編碼。因為 每一個單元皆與數個節點有關連,因此,一節點除了具有在整個區域中的位置 外,還有在其相對應的切割單元中的位置,因此可將編碼分為下述幾種,分別為 整體邊編碼、局部節點編碼、局部邊編碼、單元編碼與整體節點編碼。為了方便 了解,可用圖3-1、3-2描述。

有限元素法

有限元素法

有限元素法的基本思想:•实际的物理問題很难利用单一的微分方程式描述,更无法順利求其解析解.•有限元素法是将复杂的几何外型結构的物体切割成许多简单的几何形状称之为元素.•元素与与元素间以“节点”相连.•由于元素是简单的几何形状,故可以順利地写出元素的物理方程式,並求得节点上的物理量.•采用內插法求得元素內任意点的物理量.有限元一般方法:直接刚度法变分方法加全余量法有限元分析的目的:针对具有任意复杂几何形状变形体,完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息,即求取该变形体的三类力学信息(位移、应变、应力)总结有限元计算步骤:解题思路:0力学模型的选取平面问题,平面应变问题,平面应力问题,轴对称问题,空间问题,板,梁,杆或组合体等,对称或反对称等1寻找与原问题相适应的变分形式;2建立有限元子空间,即选择元素类型、相应的形状函数、位移模式3单元刚度矩阵,单元结点力列阵的计算和整体总刚度矩阵,总结点力列阵4边界条件的处理和利用变分原理有限元方程组求解(应力、应变、位移),由单元的结点位移列阵计算单元应力5回到实际问题中区变分法是把有限元法归结为求泛函的极值问题(例如固体力学中的最小势能原理与最小余能原理)。

它使有限元法建立在更加坚实的数学基础上,扩大了有限元法的应用范围。

位移函数:有限单元法的基本原理是分块近似,即将弹性体划分成若干细小网格,在每一个单元范围内,内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘对每个单元可以假定情况可近似地用简单函数来描绘。

对每个单元,可以假定一个简单函数,用它近似表示该单元的位移。

这个函数称为位移函数,或称为位移模式。

对于平面问题,单元位移函数可以用多项式表示,多项式中包含的项数越多,就越接近实际的位移分布,越精确但选取多少项数要受单元型式的限制,1)数学处理比较方便(微积分运算)2)提高多项式阶数可较好的接近真实解求解的收敛性必须满足:(1) 单元位移模式中应包含单元的刚体位移状态。

有限元素法简介_20091030

有限元素法简介_20091030

三角形有限元空間(Linear element)
矩形有限元空間(Bilinear element)
五. 變分問題
PDE問題 Galerkin問題 變分問題 有限元Galerkin提法 有限元變分提法
PDE問題 for 橢圓方程rkin變分提法
3. 透過數學或物理的求解程序,問題的統御方程可 化簡成以有限個節點變化量為未知數的矩陣方程。 4. 解出結點未知數後,可以內插法求出任何位置的 未知變量。
三. 有限元素分析的一般步驟
1. 前處理(preprocessing) 2. 運算求解(solution) 3. 後處理(postprocessing)
後處理(postprocessing)
顯示求解的結果,可為數據表格及圖 形等呈現。 數值結果作後處理以得到更精確的數 值解。例如:後差值處理,外推,分 力外推等。
建立元素方程式之方法
直接公式法。 最小能量法。 殘值法。
四. 構造有限元空間
1. 三角形元:Linear element 2. 矩形元:Binear element
前處理(preprocessing)
建立有限元素模型所需輸入資料,如節點、 座標資料、元素內節點排列次序。 材料物理特性。 元素切割產生有限元空間。 導出元素的方程式。 建構整體的剛度矩陣。 邊界條件;初始值;負荷條件。
運算求解(solution)
求解線性或非線性的代數方程式以獲 得結點的結果。
R. W. Clough(1920- ) 美國科學院、工程院院士、 中國工程院外籍院士、 世界著名地震工程與結構 動力學專家。
R. W. Clough & J. Penzien, Dynamics of Structures,1975, Mcgraw-Hill.

有限元素方法

有限元素方法

第五章有限元素方法5.1 有限元素方法的基本思想特点:(1) 能处理复杂区域和复杂边界条件的求解问题。

(2) 有限元素法是一套求解微分方程的系统化数值计算方法。

它比传统解法具有理论完整可靠,物理意义直观明确,解题效能强等优点。

(3) 对连续体的问题采用有限元素法, 是将连续问题离散化的数值求解方法。

应用范围:由于这种方法适应性强,形式单纯、规范,因而自50年代以来, 在计算机的配合下,有限元素法在物理和工程设计计算的许多领域得到了广泛的应用。

该方法不仅适用于电磁场问题的求解, 也是对其它具有复杂边值问题的数学物理方程求解时的高效能的方法。

基本思想:有限元素方法是基于变分原理,既通过求解一个泛函取极小值的变分问题。

有限元素法是在变分原理的基础上吸收差分格式的思想发展起来的, 是变分问题中欧拉法的进一步发展。

它是人们在尝试求解具有复杂区域, 复杂边界条件下的数学物理方程的过程中, 找到的一种比较完美的离散化方法。

它比有限差分法的矩形网格划分方法在布局上更为合理,在处理复杂区域和复杂边界条件时更方便和适当。

采用有限元素法还能使物理特性基本上被保持, 计算精度和收敛性进一步得到保证。

正是由于有限元素法有这样一些优点, 尽管其计算格式比较复杂, 但仍然在很多场合代替了差分法而受到计算物理工作者的偏爱。

不过需要指出的是:并不是所有有限差分法可以处理的问题都可以采用有限元素法。

泛函:数学上,通常变量与变量间的关系称为函数,而泛函则是函数集合的函数,也就是函数的函数。

()r()Uϕ则是定义在该函例如,静电场的势函数ϕ(r)是定义在坐标空间的函数集,系统电场总能量()r()Iϕ。

数集中的一个泛函,可记为例子:为了进一步说明有限元素方法的基本思想,我们考虑一个确定静电势的问题,该场域的介质中放置了一个球形金属导体,球形金属导体的半径为, 球外距离球中心r 处的电位为ϕ(r)。

0r 当这个系统处在电荷平衡的状态下时,金属导体上的电荷分布应当是均匀的, 导体表面是等电 位的。

finite element method;

finite element method;

finite element method;一、引言Finite Element Method (有限元素法) 是一种广泛应用于工程和科学领域的数值分析方法。

它通过将连续的问题离散化,将复杂的物理问题转化为一系列简单的数学问题,从而得到精确的数值解。

本文将详细介绍有限元素法的原理、应用和实现。

二、有限元素法的原理有限元素法的基本思想是将连续的问题离散化,将一个连续的区域划分为一系列简单的元素,每个元素由有限数量的点组成。

通过这些点,我们可以定义元素的各种物理属性,如强度、刚度、阻尼等。

然后,我们可以将这些属性结合在一起,通过数学方法求解连续体的运动、应力、应变等问题。

有限元素法通常需要解决偏微分方程的问题,这些方程描述了物体在受到外力或内部应力时的行为。

通过将这些问题转化为一系列线性方程组,有限元素法可以求解这些方程组,得到物体的运动和应力的数值解。

三、有限元素法在工程中的应用有限元素法广泛应用于各种工程领域,如结构工程、机械工程、土木工程等。

通过有限元素法,工程师可以模拟物体的受力情况,预测其变形和破坏的可能性,从而优化设计,提高结构的可靠性和安全性。

在结构工程中,有限元素法可以用于分析桥梁、建筑、车辆等结构在各种载荷条件下的行为。

通过模拟,工程师可以了解结构的应力分布、变形情况以及结构的薄弱点,从而优化设计,提高结构的性能。

在机械工程中,有限元素法可以用于分析零件的应力分布、疲劳寿命等问题。

通过模拟,工程师可以优化零件的设计和制造工艺,提高零件的性能和寿命。

在土木工程中,有限元素法可以用于分析桥梁、隧道、堤坝等大型基础设施在各种环境条件下的行为。

通过模拟,工程师可以预测基础设施的变形、破坏等问题,从而制定相应的维护和改造方案。

四、有限元素法的实现有限元素法的实现通常包括前处理、求解器和后处理三个阶段。

前处理阶段包括建立模型、划分元素、定义元素的属性等步骤;求解器阶段通过数学方法求解偏微分方程得到数值解;后处理阶段则包括分析结果、优化设计和评估性能等步骤。

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上式插值的奥妙之处在于保障了在单元间节点上函数值及其一阶导的连续性,二阶导并不连续(仅是存在)。

这从能量泛函的积分式中可以看出已满足了积分条件;如果二阶导也连续,则过于连续了(过协调单元,这样的解反倒由于计算误差而导致精度下降)。

上述插值函数的构成在单元内场函数连续性要高(单元内二阶导连续),而在单元间的节点上,要低一阶(一阶导连续,二阶导存在)。

这是分段(片)插值函数的共同特征(可比较样条函数的特性)。

上述的坐标基函数具有内嵌性(规范性),即直接在节点上满足函数本身及一阶导连续的特性。

样条函数需要外加节点导数连续性的要求。

5.答:有限元法的收敛性是指:当元素尺寸趋近于零时,(换言之,当节点数目或节点位移的数量趋于无穷大时)最后的解答如果能无限的逼近准确解,那么这样的位移函数(或形状函数)就称为收敛的。

收敛条件包括:(1)单元内位移函数必须连续;(2)单元内位移函数必须包含常数项;(3)单元内位移函数必须包括刚体位移项;(4)元素之间的位移协调。

不仅节点处的位移应协调,沿整个内边界上的位移都应是协调的。

(1-3位完备性条件,是收敛的必要条件)(5) 从收敛的快速性上要求:插值多项式次数尽可能取高。

Hermit 型分段(片)基函数(形状函数)性质:
1、在节点I :1=i N ;在其它节点:0=i N ;
2、包含线性项,以便用其定义的单元位移可以满足常应变条件;
3、保证相邻单元之间的位移连续;
4、应满足:∑=1i N ,以便用其定义的单元位移可以反映刚体移动。

6、答:(1)最小位能原理又称最小势能原理。

物体的势能定义为物体的应变能U 与外力势V 之差,即:
其中,应变能{}[]{}⎰⎰⎰=dxdydz D U T εε2
1 外力势{}{}{}{}⎰⎰⎰⎰∑++=σ
δS T b T ds p r dxdydz q r F V
上式中,F 为集中力,{}q 为体积力,{}p 为面力;δ、{}r 、{}b r 为相应的位移。

最小势能原理可描述如下:在所有满足边界条件的协调位移中,满足平衡条件的位移使物体势能取驻值,即:
用有限元方法把结构空间离散后,由最小势能原理求出的位移近似解,其值将小于精确解,以下限收敛于精确解。

如图所示,设物体只承受唯一集中力载荷i P 的作用,加载过程缓慢。


物体在着力点i 处,沿着i P 方向的位移为i δ,则载荷在
加载过程中做功2i i P δ,此值等于物体应变能,即:
外力势为 i i P V δ= 所以物体处于平衡时物体势能2
i i P P V U δ-=-=∏ 在上式中,i δ是精确值,根据最小势能原理,p ∏取最小值。

如果采用有限元方
法计算的近似位移值是i δ~,势能的近似值为2
~~i i P P δ-=∏。

由于精确势能p ∏是最小值,因而其它任何近似势能p ∏~在数值上都应不小于p ∏,即:
上式表明,用有限元方法把物体离散后,按照最小势能原理求得的近似位移解,将不大于精确位移解,如果有限元网格比较细密,有限元计算结果将以下限趋近于精确解(不考虑数值计算误差)。

用另一种方式也可以说明上述论断。

按照最小势能原理求解时,必须首先假定单元位移函数,这些位移函数是连续的,但却是近似的。

从物体中取出一个单元,作为连续介质的一部分,本来具有无限个自由度,在采用位移函数之后,只有以节点位移表示的有限个自由度,这相当于位移函数对单元变形能力有所限制,使得单元刚度增加,物体的整体刚度也增加了,因而计算的位移近似解小于精确解。

(2)以一平板任意方向变形为例,如图所示:
位移精确解可能是一复杂的非显式曲线,有限元离散后,单元内的变形是节点位移的线性插值函数,这样得到的计算解曲线以折线逼近精确解。

如果采用二次曲线逼近,则计算精度与计算效率可大大提高,二次曲线即有限元中的高次单元。

同样,当有限元网格无限密化时,计算解将无限逼近精确解。

考虑计算过程中的数值计算误差(例如:截断误差),限制了有限元网格的过分密化。

应变能{}[]{}⎰⎰⎰=dxdydz D U T εε2
1 (3)从物理上考虑,应变能必须为正量,即:0≥U 。

而节点位移{
}e δ是任意的,所以单元刚度矩阵[]K 必须正定。

注:这道题的解答除了抄书之外,还有我的部分理解,可以选择其中的一部分作为题目答案,不必全部抄写。

7.答:总纲特征:对称性;稀疏性;带状性;奇异性(置入边界条件后是正定的)
稀疏性:当结构的离散单元较多时,对一个节点p 的变形能提供刚度仅与该节点相连的那些单元有关(称这些单元上的节点为节点p 的相关联节点)。

相关联节点总比总节点数要少的多,故总体刚度矩阵中每一行的非零元素只占该行元素总数的一少部分。

有限元总体刚度矩阵是稀疏矩阵,绝大多数矩阵值都为0,如果在内存与外存中按照矩阵格式保存,则会浪费大量资源。

一维变带宽存储是建立一个一维数组,把总刚矩阵中每行第一个非零元素以及后面直到对角线元素按行顺序存放,同时建立另外一个一维数组(称为定位数组),记录总刚矩阵每行对角线元素在一维刚度数组中的位置,这样,通过两个较小的一维数组就实现了较大规模的总体刚度矩阵的存储、定位与获取。

8、答:薄板弯曲问题单元每节点三自由度,分别为ω、x θ与y θ。

单元应变能: 外力势:{}e T e F W δ=
能量泛函:()0=-∏=∏W δδ
泛函变量:δω、x δθ与y δθ,为三维欧氏空间变量,彼此之间应满足: 备注:数学空间你可以再查一下。

9.答:高斯积分具有(2n-1)次的代数精度。

高斯积分计算刚度矩阵时:
上式:g 为单元内高斯积分点数;i h 为高斯积分系数;[]D 为弹性矩阵,其秩为d ;
[]B 为e d ⨯阶应变矩阵,e 为单元节点自由度数;J 为坐标变换雅可比矩阵。

设共有m 个单元,则每个单元有g 个积分点,每个积分点有d 个独立关系,因此整体刚度矩阵独立关系总数为mgd S =。

如果采用较少的积分点数目,发生mgd S K rank N =>=)(,也即刚度矩阵K 奇异,则平衡方程组无唯一解。

10.答:数学上可以将一个偏微分方程系统的解转换为一个泛函的变分问题。

也即: 求解泛函变分的驻值等价于有解微分方程。

有限元方法是直接求解泛函变分驻值的过程;是泛函极小化序列的逼近过程。

变分原理是自然界静止状态中的一个普遍适应的数学定律,获称最小作用原理的数学规划。

变分法是变分原理的数学规划方法,是计算泛函驻值的数学方法。

有限元方法从近似解的角度出发,直接求解泛函的驻值,比微分方程更加方便,也更为实用。

特别计算机技术的发展,带来了大规模数值计算的可能性。

常应变元的优点是公式简单,但缺点是收敛性差。

为了改进收敛性,可提高插入函数的次数。

2. 高精度三角元
① 二次单元 (12个位移参数,三个角点,3个边中点)
注意形状曲面 3
4
5
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂y v y u x v x u =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆654321654
32112313223132132104414004040140440001421v v v v v v u u u u u u b b b a a a ξξξξξξξξξ 由此可以计算应变分量,再进一步计算单元的刚度矩阵,最后得到单元的刚度方程; 再组装结构刚度矩阵及等效载荷列阵,最后获得结构刚度方程。

Homework :
计算三次元(图中共有10个节点)的几何矩阵
3. 四边形单元
节点位移和节点力系统:
形状函数:
显见得[]B 不再是常数阵,说明应变在平面内线性变化。

2.矩阵平面应力刚阵形成
公式: [][][][]⎰=s
T
e ds B D B K 由于不再是常数阵,只能手工积分每一元素,得到刚阵显式。

i j m
p x y。

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