有限元法及应用总结ppt课件
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3.有限单元法的特点有哪些？ 1）把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点（节点）作为离散
点； 2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。 3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法
的理解。 4）具有灵活性和适用性，适应性强。（它可以把形状不同、性质不同
的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用 范围极为广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向 异性材料、非线性应力、应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理 论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及 电磁场领域的许多问题。） 5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
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2. 里兹方法（续） • 对于具有线性、自伴随性质的微分方程在得到与它相等效的变分原理以
后，可以用来建立求近似解，这一过程即里兹方法。它的实质是从一族 假定解中寻求满足泛函变分的“最好的”解。显然，近似解的精度与试 探函数（形函数或试函数）的选择有关，如果知道所求解的一般性质， 那么可以通过选择反映此性质的试探函数来改进近似解，提高近似解的 精度。
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2.有限元的基本概念
有限元：通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个单元来描述。
有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域） 所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域） 可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的 几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。
弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研究步 骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者的某些结果。
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线弹性有限元 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变
形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足 广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线 性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组 求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
《有限元法及应用》总结 串讲
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1.有限元的作用是什么？ 1）减少模型试验的数量；
• 计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的试验。
2）模拟不适合在原型上试验的设计；例如：器官移植，比如人造膝盖。 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出更可靠、高品质的设计。
3）非线性边界（接触问题） 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界
属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减
振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通 常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能 提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线 性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟， 尽管这些模型总有他们的局限性。 在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线 弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已成为一种非常受欢迎的、 应用极广的数值计算方法。
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有限元模型与有限元分析 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元
组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）
进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数 量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二 乘法、力矩法和伽辽金法。其中伽辽金法的精度最高。
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2. 里兹方法 • 里兹方法：如果微分方程具有线性和自伴随的性质，那么它不仅可以建
立它的等效积分形式，并利用加权余量法求其近似解，而且还可以建立 与之相等效的变分原理，从而得到的另一种近似求解方法。 • 自然变分原理：原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金法等 效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分 为零，亦即泛函取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的微 分方程和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效积分的伽辽金法而得 到，我们称这样得到的变分原理为自然变分原理。
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4.有限元法涉及的内容有哪些？ 有限元法在数学和力学领域所依据的理论； 单元的划分原则； 形状函数的选取及协调性； 有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性； 计算机程序设计技术； 向其他各领域的推广。
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5.有限元法的分类 • 有限元法可以分为两类，即线弹性有限元法和非线性有限元法。其中线
ຫໍສະໝຸດ Baidu12
*6.有限元的基础理论包括哪几部分？ 1.加权余量法 加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方
法称为加权余量法。（Weighted residual method WRM） 加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。 显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。按照对权函数的不同
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非线性有限元 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂、费
用更高和更具有不可预知性。
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1）材料非线性问题 有限元求解非线性问题可分为以下三类： 1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位
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2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题
一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大 位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶 部件形成过程为大应变问题。
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3.有限单元法的特点有哪些？ 1）把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点（节点）作为离散
点； 2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。 3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法
的理解。 4）具有灵活性和适用性，适应性强。（它可以把形状不同、性质不同
的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用 范围极为广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向 异性材料、非线性应力、应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理 论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及 电磁场领域的许多问题。） 5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
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2. 里兹方法（续） • 对于具有线性、自伴随性质的微分方程在得到与它相等效的变分原理以
后，可以用来建立求近似解，这一过程即里兹方法。它的实质是从一族 假定解中寻求满足泛函变分的“最好的”解。显然，近似解的精度与试 探函数（形函数或试函数）的选择有关，如果知道所求解的一般性质， 那么可以通过选择反映此性质的试探函数来改进近似解，提高近似解的 精度。
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2.有限元的基本概念
有限元：通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个单元来描述。
有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域） 所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域） 可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的 几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。
弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研究步 骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者的某些结果。
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线弹性有限元 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变
形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足 广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线 性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组 求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
《有限元法及应用》总结 串讲
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1.有限元的作用是什么？ 1）减少模型试验的数量；
• 计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的试验。
2）模拟不适合在原型上试验的设计；例如：器官移植，比如人造膝盖。 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出更可靠、高品质的设计。
3）非线性边界（接触问题） 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界
属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减
振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通 常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能 提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线 性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟， 尽管这些模型总有他们的局限性。 在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线 弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已成为一种非常受欢迎的、 应用极广的数值计算方法。
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有限元模型与有限元分析 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元
组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）
进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数 量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二 乘法、力矩法和伽辽金法。其中伽辽金法的精度最高。
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2. 里兹方法 • 里兹方法：如果微分方程具有线性和自伴随的性质，那么它不仅可以建
立它的等效积分形式，并利用加权余量法求其近似解，而且还可以建立 与之相等效的变分原理，从而得到的另一种近似求解方法。 • 自然变分原理：原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金法等 效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分 为零，亦即泛函取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的微 分方程和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效积分的伽辽金法而得 到，我们称这样得到的变分原理为自然变分原理。
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4.有限元法涉及的内容有哪些？ 有限元法在数学和力学领域所依据的理论； 单元的划分原则； 形状函数的选取及协调性； 有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性； 计算机程序设计技术； 向其他各领域的推广。
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5.有限元法的分类 • 有限元法可以分为两类，即线弹性有限元法和非线性有限元法。其中线
ຫໍສະໝຸດ Baidu12
*6.有限元的基础理论包括哪几部分？ 1.加权余量法 加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方
法称为加权余量法。（Weighted residual method WRM） 加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。 显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。按照对权函数的不同
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非线性有限元 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂、费
用更高和更具有不可预知性。
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1）材料非线性问题 有限元求解非线性问题可分为以下三类： 1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位
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2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题
一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大 位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶 部件形成过程为大应变问题。
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