高中数学第三章不等式3.4基本不等式学案新人教A版必修
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3.4基本不等式： ab
≤
a ＋b
2
(1)基本不等式的形式是什么？需具备哪些条件？
(2)在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？
(3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？ [新知初探]
1．重要不等式
当a ，b 是任意实数时，有a 2
＋b 2
≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式
(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b
2
叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做
正数a ，b 的几何平均数．
(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤
a ＋b
2
，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2
＋b 2
2，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等
号成立)．
[点睛]基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠
a ＋b
2
，即只能有ab ＜
a ＋b
2
.
预习课本P97～100，思考并完成以下问
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2
＋b 2
≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立() (2)若a ≠0，则a ＋4
a
≥2
a ·4
a
＝4() (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22()
解析：(1)错误．任意a ，b ∈R ，有a 2
＋b 2
≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．
(2)错误．只有当a >0时，根据基本不等式，才有不等式a ＋4
a
≥2
a ·4
a
＝4成立． (3)正确．因为ab ≤
a ＋b
2
，所以ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22.
答案：(1)×(2)×(3)√
2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是() A ．a ＞b ＞a ＋b
2
＞ab
B ．a ＞a ＋b
2＞ab ＞b C ．a ＞
a ＋b
2
＞b ＞ab
D ．a ＞ab ＞
a ＋b
2＞b 解析：选B a ＝
a ＋a 2
＞
a ＋b
2
＞ab ＞b ·b ＝b ，因此B 项正确．
3．若x >0，则x ＋9
x
＋2有()
A ．最小值6
B ．最小值8
C ．最大值8
D ．最大值3
解析：选B 由x ＋9
x
＋2≥2
x ·9
x ＋2＝8(当且仅当x ＝9
x
，即x ＝3时，取等号)，故
选B.
4．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是() A ．y ＝|x |2
＋4|x |
≥2
|x |2
·4|x |
＝4|x |≥0
B ．y ＝sin x ＋4
sin x
≥2
sin x ·4
sin x
＝4(x 为锐角)
C ．已知ab ≠0，a b ＋b a ≥2a b ·b a
＝2 D ．y ＝3x
＋43
x ≥2
3x
·43
x ＝4
解析：选D 在A 中，4|x |不是常数，故A 选项错误；在B 中，sin x ＝4
sin x 时无
解，y 取不到最小值4，故B 选项错误；在C 中，a b ，b
a
未必为正，故C 选项错误；在D 中，3x ，43x 均为正，且3x
＝43
x 时，y 取最小值4，故D 选项正确．
利用基本不等式比较大小
[典例](1)已知m ＝a ＋1a －2
(a >2)，n ＝－b 2
(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是() A ．m >n B ．m D ．不确定 (2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小 关系是________． [解析](1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋ 1a －2＝(a －2)＋1 a －2 ＋2，所以m ≥2a －2·1 a －2 ＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2<2，n ＝－b 2 <4，综上可知 m >n . (2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0， 所以Q ＝1 2 (lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ； Q ＝12 (lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab ＝R . 所以P 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)． (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a >0，b >0.