高级微观经济学考试复习题

第一部分：消费者理论一、形式化表述分析消费者偏好的性质（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等） 二、效用函数存在性证明 请参考教材三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。

考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为=1p （2，4）时，其需求为=1x （1，2）。

当价格为=2p （6，3）时，其需求为=2x （2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。

如果=2x （1.4，1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。

解答：81*42*2x p 102*41*2x p 2111=+=>=+= 消费束1偏好于消费束2 151*32*6x p 122*31*6x p 2212=+=<=+= 消费束2偏好于消费束1 违反了显示性偏好弱公理。

如果=2x （1.4，1）时：8.61*44.1*2x p 102*41*2x p 2111=+=>=+= 消费束1偏好于消费束22122p x 6*13*212p x 6*1.43*111.4=+=>=+= 消费束1在价格2的情况下买不起。

符合显示性偏好弱公理。

四、效用函数121),(x x x u =，求瓦尔拉斯需求函数解答：w x p x p t s x x x u =+=2211121..),(max 从效用函数121),(x x x u =可知商品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，02=x ，11p wx = 或者由w x p x p t s x x x u =+=2211121..),(max ,可得到实际上，这是一个边角解，五、效用函数ρρρ12121)(),(x x x x u +=，对其求 1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数；2、希克斯需求函数，支出函数。

答案： 1、12111111---+=ρρρρρp p wp x ，12111122---+=ρρρρρp p wp x ，ρρρρρρ1121121)(),,(---+=p p ww p p v2、ρρρρρρ112111111)(---+=p p up h ，ρρρρρρ112111122)(---+=p p up h ，ρρρρρρ---+=11211)(),(p p uu p e（形式可能不一样）六、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述，说明其性质，并证明其中的凹凸性性质。

请参考教材七、证明对偶原理中的1.)],(,[),(w p v p h w p x ≡ 2.)],(,[),(u p e p x u p h ≡ 请参考教材 八、考虑将瓦尔拉斯预算集扩展为一个任意消费集}{,w x p X x B X w p ≤⋅∈=：：。

假定}0,{>>w p 。

证明：如果X 是一个凸集，则w p B ,也是凸集。

请参考教材 九、效用函数2121),(x x x x u =，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应。

请参考教材十、效用函数ρρρ12121)(),(x x x x u +=，求其货币度量的直接和间接效用函数。

答案：ρρρρρρρρρ11211121)()(),(---++=p p x x x p w十一、效用函数2121),(x x x x u =，当40,3,20201===w p p ，5,41211==p p ，求其等价变化和补偿变化。

答案： w q q p p w q p 2121),(=；μ，)1103(40-=EV ，)3101(40-=CV 十二、分析福利分析在税收方面的应用。

请参考教材十三、2121),(x x x x u =，假定25.01=p ，12=p ，2=w ，对商品1开征消费税0.25元。

求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。

解答：max 2121),(x x x x u =s.t. w p x p x =+22111．求瓦尔拉斯需求函数 （1）建立拉格朗日函数 （2）求极值一阶条件02112122111=-=∂∂-λp x x x L (a)02122122112=-=∂∂-λp x x x L (b) 02211=--=∂∂x p x p w Lλ(c) 由(a)和(b)整理得： （3）瓦尔拉斯需求函数分别将2112=p p x x ，2121=p p x x 代入预算约束(c)，有 2．求间接效用函数将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数2121=),(x x x x u ，有3．求支出函数由间接效用函数，求反函数w 得： 4．求希克斯需求函数 法一：将支出函数 代入瓦尔拉斯需求函数ii p wx 2=，得到 法二：根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函数。

5．求货币度量的效用函数 （1）货币度量的直接效用函数（2）货币度量的间接效用函数6．下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后。

25.0=01p ，1=02p ， 25.0+25.0=11p ，1=12p等价变化分析：按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化： 商品税与收入税对消费者的福利之差为:0.08585858.02)1()5.0(25.05858.0)()(25.012111122111=+⨯-=+⨯-=——u p p 表明商品税对消费者的福利影响更差。

补偿变化分析：按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化： 商品税与收入税对消费者的福利之差为:8284.00.70748284.02)1()5.0(25.08284.0)()(25.02121021122111+-=+⨯⨯-=+⨯-=——u p p =0.1213表明商品税对消费者的福利影响更差。

B∈wp ,, x '∈B w p ,,λ∈[0,1].令x ''=λx+(1-λ) x ',因为x 是一个凸集，所以x ''∈X. 故p ∙x ''=λ(p ∙x)+ (1-λ)(p ∙x ')≤λw+ (1-λ)w=w因此，x ''∈B w p ,.2.E.5B因为x(p,w)对w 是一次齐次的，所以对任意α>0有x(p,αw)=αx(p,w).因此，x l (p,w)= x l (p,1)w.因为当k ≠l 时，l x ∂(p,1)/k p ∂= l ϕ∂(p)/k p ∂=0所以 x l (p,1)只是关于p l 的函数，即可记为x l (p,w)= x l ( p l ).又因为x(p,w)满足零次齐次性，所以x l ( p l )必定是p l 的-1次方。

因此，存在l α〉0时，使x l ( p l )=l α/ p l . 根据瓦尔拉斯定律,∑l p l （l α/ p l ）w=w ∑l l α=w. 因此有∑l l α=1 是个常数.2.F. 3B(a) 若100∙120+100y ≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y即,y ∈[75,80]时,他的行为与弱公理矛盾.(b) 若100∙120+100y ≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100>100∙120+80y即,y<75时,消费者在第1年的消费束显示出优于第2年的消费束.(c) 若100∙120+100y>100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y即,y>80时,消费者在第2年的消费束显示出优于第1年的消费束.(注:b,c 假定弱公理成立)(d) 无论y 取何值,都有充分的信息来断定a,b,c 中有一个成立 (e) 当y<75时,商品1是劣等品.100∙120+100y ≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100>100∙120+80y因此第2年的实际收入水平低于第1年的实际收入水平,同时商品1的相对价格上升.但是,因为y<75<100,商品2的需求量下降,这意味着商品1的收入效应是负的.故商品1(在某一价格上)是劣等品.(f) 当80<y<100时,商品2是劣等品.100∙120+100y>100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y 因此第2年的实际收入水平高于第1年的实际收入水平,同时商品2的相对价格下降.但是,因为y<100,商品2的需求量下降,这意味着商品2的收入效应是负的.故商品2(在某一价格上)是劣等品.3.D.6B (a) 令u ~(x)=u(x))/(1γβα++=(x 1- b 1)'α(x 2- b 2)'β(x 3- b 3)'γ, 其中)/('γβααα++=,)/('γβαββ++=,)/('γβαγγ++= 因为函数u →u )/(1γβα++是单调变换,因此, 1'''=++γβα,u~(•)与u(•)代表相同的效用水平. 因而我们可以不失一般性的假定1=++γβα. (b) 对已给出的效用函数进行另一种形式的单调变换： lnu(x)=αln(x 1- b 1)+βln(x 2- b 2)+γln(x 3- b 3). 根据UMP 的一阶条件得出瓦尔拉斯需求函数: x(p,w)=( b 1, b 2, b 3)+(w-p ∙b)(α/p 1,2/p β,3/p γ) 其中p ∙b=332211b p b p b p ++将此需求函数代入u(•),得到间接效用函数: v(p,w)= (w-p ∙b)()αα1/p（本题（a ）中验证3.G.3B (a) 假设 1=++γβα.对于效用函数:lnu(x)=αln(x 1- b 1)+βln(x 2- b 2)+γln(x 3- b 3).根据EMP 一阶条件得:h(p,u)= ( b 1, b 2, b 3)+u ()αα/1p ββ)/(2p ()γγ/3p ()321/,/,/p p p γβα将此函数代入p ∙h(p,u),得到支出函数:e(p,u)=p ∙b+u ()αα/1p ββ)/(2p ()γγ/3p . 其中, p ∙b=332211b p b p b p ++.(b)对(a)中求出的支出函数求导l p u p e ∂∂/),(，通过与h(p,u)比较,可得到支出函数的导数即为（a ）中所求出的希克斯需求函数。

(c)根据(b)可得，D P h(p,u)=D 2P e(p,u).将a 中的支出函数对p 求二阶导数，得到()u p e D P ,2=()()()γβαγβα///321p p p u ()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------233231322221312121/1////1////1p p p p p p p p p p p p p p p γγβγαγβγββαβαγαβαα在，我们得到x(p,w)=(b1, b2,b 3)+(w-p ∙b)(α/p 1,2/p β,3/p γ)于是，D W x(p,w)= (α/p 1,2/p β,3/p γ)D P x(p,w)= -(w-p ∙b)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321232221////000/000/p p p p p p γβαγβα ( b 1, b 2, b 3) 根据以上结果,我们可验证斯拉茨基方程成立.(d) 根据D P h(p,u)=D 2P e(p,u)以及 D 2P e(p,u)即得。