多元函数微分学习题课精品PPT课件

(0, y) y
f
(0, 0)
lim
y0
0 y
0
可微性 在点(0, 0)处，
z fx(0, 0)x f y(0, 0)y
f
(x,yxx)(aarrcctta0xannarc(t(anxx))221x121((yyy)2)22,
2(xx, y) 2()x, y)
(0, 0) (0, 0)
1
3. 利用一阶微分形式不变性
例3 设 z x3 f ( xy, y ), ( f 具有二阶连续偏导数 )， x
求 z , 2z , 2z . y y2 xy
解
z y
x3 ( f1x
f
2
1 x
)
x4 f1
x2 f2,
2z y 2
x4 ( f11x
f12
1 x
)
x2
(
f
21
x
f
22
1 x
)
x5
f11
第七章 习题课
• 主要内容 • 典型例题
主要内容
平面点集 和区域
极限运算
多元连续函数 的性质
多元函数概念
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念
方向导数
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
全微分 概念
偏导数 概念
多元函数的极值
全微分 的应用
高阶偏导数
隐函数 求导法则 微分法在 几何上的应用
问题：1求极限，判断函数极限存在性 2、函数连续性、偏导数存在性、可微性的判别
x0
x0
y0
y0
x2 y2 0 f (0, 0)
所以函数f (x, y)在(0, 0)点连续.
偏导数
fx(0, 0)
lim x0
f
(x, 0) x
f
(0, 0)
lim 1 x0 x
(x arctan
1) x2
lim arctan 1
x0
x2 2
f y(0, 0)
lim y0
f
则 ( x, y) (0,0) 等价于 0.
0 ( y x)x 2 (sin cos )cos
x2 y2
(sin cos )cos 2 ,
故 lim ( y x)x 0.
x y x0
2
2
y0
注意: 在某些情况下可以利用极坐标求极限,
但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.
d x eu cos v d u eu sin v d v
(P92.2) 设 u f ( x, y, z), ( x2 ,e y , z) 0, y sin x,
( f , 具有一阶连续偏导数 )，且 0, 求 du .
z
dx
解 du f f dy f dz , 显然 dy cos x,
dx x 对 ( x2 ,e y , z) 0 两边求 x 的导数,得
例2.讨论
f
(
x,
y)
x
arctan
0
1, x2 y2
(x, y) (0, 0) (x, y) (0, 0)
在点 (0, 0) 处的连续性，偏导数的存在性及可微性.
解 由于当(x, y) (0, 0) 时，
| arctan 1 |
x2 y2 2
故
1
lim f (x, y) lim x arctan
2x3
f12
xf
22
,
2z 2z xy yx
x
(
x4
f1
x2
f2)
4 x3 f1
x4[ f11y
f12(
y x2
)]
2
xf
2
x
2[
f
21
y
f
22
(
y x2
)]
4x3
f1
2
xf
2
x4
yf11
yf
22
.
P92 例1-例9
(P92. 1) 设函数 z f (x, y) 在点 (1,1)处可微 , 且
dx
1
2x
2
e
y
dy dx
3
dz dx
0
,
于是可得,
dz dx
1
3
(
2
x
1
esin x
cos
x
2
),
故
du dx
f x
cos
x
f y
1
3
(2
x
1
e sin
x
cos
x
2
)
f z
.
（P93 4.） 如果函数关系式恒满足f (tx,ty,tz) tk f (x, y, z)则称此函
数为k次齐次函数，试证:k次齐次函数f (x, y, z)满足关系式 x f y f z f kf (x, y, z) x y z
f f (1,1) 1,
2, f
3,
x (1,1)
y (1,1)
( x)
f
(x,
f
(
x,
x))
,
求
d dx
3
(x)
x
1.
解: 由题设 (1) f (1, f (1,1) ) f (1,1) 1
d dx
3
(
x)
x
1
3 2 (x) d
dx
x
1
3 f1(x, f (x, x))
f2 (x, f (x, x)) f1(x, x) f2(x, x) x 1 3 2 3 (2 3) 51
z fx(0, 0)x f y(0, 0)y x(arctan
) (x)2 (y)2 2
因此
z fx(0, 0)x f y(0, 0)y x (arctan 1 )
2
由于
lim(arctan 1 ) 0
0
2
故 lim z fx(0, 0)x f y(0, 0)y 0
0
一、 基本概念
1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应法则 •求极限及判断极限不存在的方法 • 函数的连续性及其性质
2. 几个基本概念的关系
连续性
偏导数存在
方向导数存在
可微性
例1 求极限 lim ( y x)x .
x y x0
2
2
y0
解 令 x cos , y sin ,
( 0)
因此函数f (x, y)在(0, 0)点可微.
问题：求偏导数、高阶偏导数
(多元复合函数、隐含数求导方法)
二、多元函数微分法
显示结构
1. 分析复合结构
(画变量关系图)
隐式结构
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数
自变量与因变量由所求对象判定
2. 正确使用求导法则 “链式法则” 注意正确使用求导符号
证 记u tx, v ty, w tz, 方程
f (tx,ty,tz) tk f (x, y, z)
两边对t求导得 两边同乘以t得
x f y f z f ktk1 f u v w
tx f ty f tz f ktk f kf (u, v, w) u v w
即
u f v f w f kf (u, v, w)
u v w
用x, y, z分别替换u, v, w，即得结论.
(P94.6)
设
x
eu
cos
v,
y
eu
sin
v,
z
uv,
求
z x
,
z y
解 由z uv, 得
z v u u v ①
x x x
z
z v u u v ② y y y 由 x eu cos v, y eu sin v , 得
uv x yx y