非线性系统动态过程的特点
自动控制原理非线性分析知识点总结
自动控制原理非线性分析知识点总结自动控制原理是工程领域中的一门重要学科，它研究的是如何通过设备和技术手段，使得系统的运行能够自动控制并满足特定的性能要求。
非线性分析则是探讨系统在非线性条件下的行为特性。
在这篇文章中，我们将对自动控制原理中的非线性分析知识点进行总结。
一、非线性系统的定义与特点非线性系统是指系统的输出与输入之间的关系不是简单的比例关系，而是呈现出非线性的特征。
与线性系统相比，非线性系统具有以下几个特点：1. 非线性叠加性：系统的输出并不是输入信号的简单叠加，而是受到系统自身状态和非线性特性的影响。
2. 非线性失稳性：非线性系统可能会出现失稳现象，即系统的输出会趋向于无穷大或无穷小。
3. 非线性动态行为：非线性系统在输入信号发生变化时，其输出信号的变化可能是不连续的，出现跳跃、震荡等现象。
二、非线性系统的分析方法1. 相平面分析法：通过绘制相平面图，可以直观地了解系统的非线性行为。
相平面图可以显示出系统的轨迹、奇点等信息，帮助我们分析系统的稳定性和动态特性。
2. 频域分析法：利用频域分析方法，我们可以对非线性系统进行频谱分析，找出系统的频率响应和频率特性。
通过分析系统的幅频特性和相频特性，我们可以判断系统的稳定性和动态性能。
3. 时域响应分析法：时域分析是对系统的输入信号与输出响应进行时间上的观察和分析。
通过观察和分析系统的阶跃响应、脉冲响应、频率响应等，可以推断出系统的稳定性和动态特性。
4. 广义函数法：广义函数是处理非线性系统时常用的一种数学方法。
通过引入广义函数，我们可以简化非线性系统的数学描述，方便进行分析与计算。
5. 数值模拟方法：对于复杂的非线性系统，我们可以利用计算机进行仿真和数值模拟，通过对系统的模拟实验，得到系统的动态行为和性能参数。
三、非线性系统的稳定性分析1. 稳定性概念：稳定性是衡量系统响应的一种重要指标。
对于非线性系统，我们通常关注的是渐近稳定性和有界稳定性。
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
自动控制原理第十章非线性控制系统
自动控制原理第十章非线性控制系统非线性控制系统是指系统动态特性不能用线性数学模型表示或者用线性控制方法解决的控制系统。
非线性控制系统是相对于线性控制系统而言的，在现实工程应用中，许多系统经常具有非线性特性，例如液压系统、电力系统、机械系统等。
非线性控制系统的研究对于实现系统的高效控制和稳定运行具有重要意义。
一、非线性控制系统的特点1.非线性特性：非线性控制系统的动态特性往往不能用线性方程或者线性微分方程描述，经常出现非线性现象，如饱和、死区、干扰等。
2.多变量关联：非线性系统动态关系中存在多个变量之间的相互影响，不同变量之间存在复杂的耦合关系，难以分离分析和解决。
3.滞后响应：非线性系统的响应时间较长，且在过渡过程中存在较大的像后现象，不易预测和控制。
4.不确定性：非线性系统通常存在参数变化、外部扰动和测量误差等不确定性因素，会导致系统性能变差，控制效果下降。
二、非线性控制系统的分类1.反馈线性化控制：将非线性系统通过适当的状态反馈、输出反馈或其它形式的反馈转化为线性系统，然后采用线性控制方法进行设计。
2.优化控制：通过建立非线性系统的数学模型，利用优化理论和方法，使系统达到其中一种性能指标最优。
3.自适应控制：根据非线性系统的参数变化和不确定性，设计自适应控制器，实时调整控制参数，以适应系统的动态变化。
4.非线性校正控制：通过建立非线性系统的映射关系，将测量信号进行修正，以减小系统的非线性误差。
5.非线性反馈控制：根据非线性系统的特性，设计合适的反馈控制策略，使得系统稳定。
三、非线性控制系统设计方法1.线性化方法：通过将非线性系统在其中一工作点上线性化，得到局部的线性模型，然后利用线性控制方法进行设计和分析。
2.动态编程方法：采用动态系统优化的方法，建立非线性系统的动态规划模型，通过求解该模型得到系统的最优控制策略。
3.反步控制方法：通过构造适当的反步函数和反步扩散方程，实现系统状态的稳定和输出的跟踪。
自动控制原理第八章非线性控制系统
如果一个非线性系统在初始扰动下偏离平衡状态，但在时间推移过程中能够恢复到平衡状态，则称该系统是稳定 的。
线性系统稳定的必要条件
系统矩阵A的所有特征值均具有负实 部。
系统矩阵A的所有特征值均具有非正实 部，且至少有一个特征值为0。
劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯判据
通过计算系统矩阵A的三次或更高次特征多项式的根的实部来判断系统的稳定性。如果所有根的实部 均为负，则系统稳定；否则，系统不稳定。
输出反馈方法
通过输出反馈来改善非线性系统的性能，实 现系统的稳定性和跟踪性能。
自适应控制方法
通过在线调整控制器参数来适应非线性的变 化，提高系统的跟踪性能和稳定性。
非线性系统的设计方法
根轨迹法
通过绘制根轨迹图来分析系统的稳定性，并 设计适当的控制器。
相平面法
通过绘制相平面图来分析非线性系统的动态 行为，进行系统的分析和设计。
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自动控制原理第八章非线性 控制系统
目录
• 非线性系统的基本概念 • 非线性系统的分析方法 • 非线性系统的稳定性分析 • 非线性系统的校正与设计 • 非线性系统的应用实例
01
非线性系统的基本概念
非线性系统的定义
非线性系统的定义
非线性系统是指系统的输出与输入之 间不满足线性关系的系统。在自动控 制原理中，非线性系统是指系统的动 态特性不能用线性微分方程来描述的 系统。
02
它通过将非线性系统表示为一 个黑箱模型，通过测量系统的 输入输出信号来研究其动态特 性。
03
输入输出法适用于分析具有复 杂结构的非线性系统，通过实 验测量和数据分析，可以了解 系统的动态响应和稳定性。
03
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
第7章 非线性系统
24
25
【步骤5】在系统中加入滞环非线性环节，系统框图 如图所示：
26
结论： 随着滞环宽度 的增加，系统 振荡加剧，变 得越来越不稳 定。
27
分析： 对比以上各图，可分析出非线性环节对控制系统稳定 性的影响: 当系统中存在饱和非线性环节时，响应较 慢，但超调减小；死区环节对0附近小范围的输入信号 无影响，而当输入超过这个“不灵敏区”后，输出与输 入呈现出线性；滞环环节会引起系统的振荡，使系统 变得不稳定。
31
相平面分析方法: 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过 程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分 析： 1）系统的稳定性； 2）瞬态响应性能； 3）稳态误差。 下面举二个例子进行说明：
32
例7-2.设系统的微分方程为：
x
x+ x+ x =0
其相平面图如右图所示 图中的箭头表示系统的状 态沿相轨迹的移动方向。 由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一 条相轨迹），系统都趋向原点 （0,0）,说明原点是系统的平衡点，
39
2、非线性系统的奇点 设非线性系统的方程为：
x + f ( x, x ) = 0
(7-7)
只要 f ( x, x ) 是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。 设：奇点为 ( xi , xi ) ， f ( x, x ) 线性化为 g ( x, x) 即：
∂f ∂f g ( x, x ) = ( x − xi ) + ( x − xi ) ∂x xi ∂x xi
⎧ 0 ⎪ y=⎨ ⎪k ( x − Δsignx ) ⎩
x ≤Δ x >Δ
(7-2)
对系统的影响： （1）使系统产生稳态误差（尤其是测 量元件）。 （2）可能会提高系统的抗干扰能力或 减少振荡性。 来源： （1）测量元件的不灵敏区; （2）弹簧的预张力; （3）执行机构的静摩擦.
非线性系统概述
2.非线性系统的数学模型
一般非线性系统数学模型可用下式描述：
F
d
n x(t dt n
)
,
d
n1x(t) dt n1
,.....
.,dx(t dt
)
,
x(t
),
d
mu(t dt m
)
,..
....
,u(t
)
0
或写成多变量的形式：
•
X (t) f (X (t),U (t),t)
3.非线性系统的研究方法
3.描述函数法：是一种等效线性化方法。在一定的条件下， 用非线性元件的输出的基波分量作为在正弦信号输入时系 统的非正弦输出，从而应用奈奎斯特稳定性判据分析系统 的稳定性和自持振荡问题。但该近似方法的应用是有一定 条件的，否则所得结果没有价值。
4.相平面法：是一种图解法，仅适用于一阶或二阶系统。 通过在X— 平面上绘制非线性系统的运动轨迹，可分析系 统的稳定性和一些动态性能。对于任意的二阶以下的非线 性系统均适用。
4.在线性系统中，串联环节的互换对系统输出响应并没有 影响，而在非线性系统中，这可能会导致一个稳定的系统 变为不稳定，或使系统的输出发生根本性的变化，
5.非线性系统常会产生持续振荡，即所谓自持振荡；而线 性系统运动状态有两种：收敛和发散。
6. 非线性系统的运动方式比线性系统要复杂得多。从数学 角度来看，其解的存在性和唯一性都值得研究。从控制的 角度来看，目前的研究方法虽很多，但没有系统性的和普 遍性的解决方案。
5.计算机仿真：是研究复杂非线性系统的一种非常有效的 方法，但它只能给出特解，无法得到解析解，因此缺乏对 一般非线性系统的指导意义。
本章仅介绍小范围线性近似法、相平面法 和描述函数法。
非线性动力学系统的分析与控制
非线性动力学系统的分析与控制随着科学技术的不断发展，人们对复杂系统的研究日益深入。
非线性系统时常出现在自然界和工程技术中，例如气象系统、化学反应、电路、生物系统、机械系统等等。
非线性系统具有极其丰富的动态行为，不同的系统之间存在着很大的差异性。
面对这些复杂多样的非线性系统，如何进行分析与控制是非常重要的。
一、非线性动力学系统的定义及特点非线性动力学系统是指在时间和空间上均发生动态行为的系统，其系统关系不是线性关系。
由于非线性因素的存在导致了系统的复杂性和不可预测性，系统可能表现出各种奇异的动态行为。
这些动态行为包括周期性运动、混沌、周期倍增等等。
一个非线性系统通常由多个部分组成，每个部分之间有相互作用，这种相互作用可以是线性的，也可以是非线性的。
与线性系统不同的是，非线性系统的各种状态和运动是非简单叠加的，微小的扰动可能会导致系统出现完全不同的行为，所以非线性系统的行为很难被准确地预测和控制。
二、非线性动力学系统的分析方法1. 数值方法数值方法是研究非线性系统的基本工具之一。
数值方法的核心是计算机程序，基本思路就是用计算机模拟系统的行为，通过计算机的演算，得出系统的动态变化。
在数值模拟中，巨大的数据量和模拟误差可能导致计算结果的不确定性。
为了解决这个问题，可以采用随机性和模糊性来描述不确定性，将非确定性的信息融入到模型和模拟中。
2. 动力学分析动力学分析是利用动力学知识进行对非线性系统的分析和研究。
通过对系统的本质特性进行分析，了解系统的发展趋势和行为特征。
动力学分析主要通过相空间画图、稳定性分析、流形理论等方法对非线性系统进行分析。
其中，相空间画图是研究非线性系统最常用的方法之一。
它可以将非线性系统的状态表示为相空间中的一点，通过画出系统在相空间中的运动轨迹，了解系统在不同初态下的动态行为。
3. 控制方法控制方法是为了改变非线性系统的行为，使其达到预期目标或保持稳定状态。
非线性系统的控制可以分为开环控制和反馈控制。
自动控制原理第七章非线性系统ppt课件
7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn
非线性系统课件(天津大学)
非线性系统课件（天津大学）1. 引言本课件旨在介绍非线性系统的基本概念、特性以及分析方法。
非线性系统是现实世界中广泛存在的一类系统，其动态行为复杂且普遍存在于各个学科领域中。
本课件将从理论基础入手，逐步深入探讨非线性系统的特性和分析方法，为学生提供扎实的理论基础和实践技能。
2. 非线性系统概述2.1 非线性系统的定义非线性系统是指系统的输出与输入之间不呈线性关系的系统。
与线性系统相比，非线性系统在动态响应、稳定性分析、控制设计等方面具有更为复杂和多样的特性。
2.2 非线性系统的例子非线性系统广泛存在于生活和工程实践中。
以下是一些常见的非线性系统例子： - 摆钟系统 - 电动机系统 - 生态系统 - 经济系统2.3 非线性系统的特性非线性系统具有以下特性： - 非线性特性：输出与输入之间的关系不是简单的比例关系，可以是各种复杂的非线性函数。
- 动态行为复杂：非线性系统的动态行为可能包含了各种非线性现象，如混沌、周期振荡等。
- 多个平衡点：非线性系统可能存在多个平衡点，与线性系统只有一个平衡点不同。
3. 非线性系统分析方法3.1 线性化分析由于非线性系统较难进行精确的分析，线性化分析方法可以用于对部分非线性系统进行简化处理。
线性化方法将非线性系统在某一工作点上线性近似，以得到其局部行为。
3.2 相图分析相图是一种绘制系统状态随时间演化的方法，对于非线性系统的分析具有重要意义。
通过绘制相图，可以观察系统的稳定性、周期性等特征。
3.3 非线性动力学分析非线性动力学分析是研究非线性系统动态行为的一种方法。
通过分析非线性系统的稳定性、周期振荡行为等，可以揭示系统的动态特性及其演化规律。
3.4 Lyapunov稳定性分析Lyapunov稳定性分析是一种常用的非线性系统稳定性分析方法。
通过构造Lyapunov函数，可以判断非线性系统在某种条件下的稳定性，即系统是否趋于平衡。
4. 非线性系统的应用非线性系统理论在多个领域中具有广泛的应用，尤其在控制工程和自然科学中几乎无处不在。
自动控制原理非线性系统知识点总结
自动控制原理非线性系统知识点总结自动控制原理是现代控制领域中的核心学科，广泛应用于各个工程领域。
在自动控制原理课程中，非线性系统是一个重要的研究对象。
非线性系统具有较复杂的动态行为，与线性系统相比，其稳定性和性能分析更为困难。
在本文中，我们将对非线性系统的知识点进行总结。
1. 静态非线性系统静态非线性系统是最简单的非线性系统，其输出仅与输入的幅值相关。
常见的静态非线性函数有幂函数、指数函数、对数函数等。
分析静态非线性系统时，通常采用泰勒级数展开或者离散化的方法。
2. 动态非线性系统动态非线性系统是具有时间相关性的非线性系统。
其中最基本的形式是非线性微分方程。
在动态非线性系统中，常见的动力学行为有极值、周期、混沌等。
在分析动态非线性系统时，可以采用相位平面分析、Lyapunov稳定性分析等方法。
3. 线性化由于非线性系统分析的困难性，常常采用线性化的方法来近似描述非线性系统的行为。
线性化方法可以将非线性系统在某一操作点上进行线性近似，从而得到一个线性系统。
采用线性化方法时，需要注意选取适当的操作点，以保证线性化模型的准确性。
4. 系统稳定性非线性系统的稳定性是研究非线性系统的重点之一。
与线性系统相比，非线性系统的稳定性分析更为困难。
常用的方法有Lyapunov稳定性分析、输入输出稳定性分析等。
在稳定性分析时，需要考虑非线性系统的各种动力学行为，比如局部极大值点、周期分岔点、混沌行为等。
5. 非线性反馈控制非线性反馈控制是应用最广泛的非线性控制方法之一。
非线性反馈控制利用非线性函数对系统的输出进行修正，以实现系统的稳定性和性能要求。
其中，常见的非线性反馈控制方法有滑模控制、自适应控制、模糊控制等。
6. 非线性系统的鲁棒性鲁棒性是研究非线性系统控制的重要性能指标之一。
鲁棒控制能够保证系统在存在不确定性或者干扰的情况下，仍然保持稳定性和性能要求。
常见的鲁棒控制方法有H∞控制、鲁棒自适应控制等。
7. 非线性系统的最优控制最优控制是针对非线性系统的性能指标进行优化设计的方法。
线性系统与非线性系统
线性系统与非线性系统线性系统和非线性系统是控制理论中重要的概念，它们对于描述和分析物理系统的行为具有重要意义。
本文将探讨线性系统和非线性系统的定义、特点以及在实际应用中的区别和应用。
一、线性系统线性系统是指具有线性特性的系统，其中输入和输出之间存在线性关系。
线性系统的特点是具有叠加原理和尺度不变性。
叠加原理指的是当输入信号为x1(t)和x2(t)时，对应的输出分别为y1(t)和y2(t)，则输入为x1(t)+x2(t)时，对应的输出为y1(t)+y2(t)。
即系统对输入信号的响应是可加性的。
尺度不变性指的是当输入信号为kx(t)时，对应的输出为ky(t)，其中k为常数。
即系统对于输入信号的放大或缩小，输出信号也相应地放大或缩小，但形状保持不变。
线性系统的数学模型可以用线性常微分方程表示，常见的线性系统包括线性电路、线性网络等。
线性系统的分析和控制较为简单，可以使用线性代数和转移函数的方法进行建模和求解。
二、非线性系统非线性系统是指输入和输出之间不存在线性关系的系统，其特点是叠加原理和尺度不变性不成立。
非线性系统具有复杂的动态特性，可能存在混沌现象、周期解、稳定解等。
非线性系统的行为难以预测和描述，经常需要借助数值方法和仿真模拟进行研究。
非线性系统广泛应用于生物、经济、环境等领域，例如生物系统的行为建模、经济市场的预测分析、气候模拟等。
非线性系统的研究和控制涉及到多个交叉学科，是当前的热点和挑战之一。
三、线性系统与非线性系统的区别1. 输入输出关系：线性系统的输入和输出之间存在线性关系，而非线性系统的输入和输出之间不存在线性关系。
2. 叠加原理：线性系统满足叠加原理，输入信号的响应是可加性的；而非线性系统不满足叠加原理，输入信号的响应不可加性。
3. 尺度不变性：线性系统满足尺度不变性，输入信号的放大或缩小会相应地改变输出信号的幅度，但形状保持不变；而非线性系统不满足尺度不变性，输入信号的放大或缩小可能改变输出信号的形状。
非线性系统课件
N (A )N (A )ej N (A )Y 1ej1B 1j1 A
A
A
非线性系统
2. 描述函数的求取步骤 （1） 取输入信号为，根据非线性环节的静态特性绘
制出输出非正弦周期信号的曲线形式，根据曲线形式 写出输出y(t)在一周期内的数学表达式。 （2）据非线性环节的静态特性及输出y(t)的数学表达 式，求相关系数A1、B1。 （3）用式(7-8)计算描述函数。
必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加
控制误差，因此在通常情况下，不希望系统产生自振，必
须设法抑制它。
非线性系统
３.频率响应复杂
线性系统的频率响应，即正弦信号作用下系统的稳态输 出是与输入同频率的正弦信号。而非线性系统的频率响应 除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外， 还含有关于ω的高次谐波分量。
形称为相平面图。
非线性系统
二、绘制相轨迹的方法
解析法
采用解析法绘制相轨迹通常有两种作法。一种方法是通过积分法， 直接由微分方程求解x(t)和的解析关系式。
0
2 Msintdt
1
2M
(c
os 1
c
os2
)
＝2M
1- mh2 A
1-
h
2
A
非线性系统
3） 死区滞环继电特性的描述函数为
N (A )＝ 2 M A1-m A2h1-A h2j2 M A2(m Ah -≥1h )（7-17）
取h=0可得理想继电特性的描述函数为
N(A)＝4M
取m=1可得死区继电特性的A描述函数为
足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表 示为复变增益环节，分析非线性系统的稳定性或自激振荡 ３.李亚普诺夫第二法
非线性系统的动态特性研究
非线性系统的动态特性研究一、引言非线性系统在各种物理、生物、社会等实际问题中广泛存在，对其动态特性进行研究，对深入理解和掌握这些系统的行为规律具有重要的理论与实际意义。
本文将从非线性系统的定义、动态特性和研究方法三个方面对其动态特性进行探讨。
二、非线性系统的定义非线性系统是指系统中各种物理量之间的关系不是简单的线性关系，而是复杂的非线性关系。
其中，最重要的是非线性微分方程系统，在实际问题中广泛应用。
非线性系统在形式上可以表示为：$\frac{\mathrm{d}^{n} y}{\mathrm{d} t^{n}}=f\left(y,\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}, \cdots, \frac{\mathrm{d}^{n-1} y}{\mathrm{d} t^{n-1}}, t\right)$其中，$y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}\right)$ 表示系统的状态，$t$ 为时间变量，$f(.)$ 表示系统的非线性函数。
三、非线性系统的动态特性非线性系统的动态特性是指系统在运动、演化和变化的过程中所表现出的各种行为特性。
常见的非线性系统行为包括：混沌、稳定、共振、分岔、周期等。
混沌是非线性系统中最重要和最独特的现象之一，是指系统在非常小的扰动下呈现出迅猛的不规则动态行为，且对初始条件极为敏感，非常难以预测。
混沌现象的典型例子包括洛伦兹模型、双螺旋涡流、分形等。
2. 稳定性系统的稳定性是指系统在经过某种初始扰动后，是否会回到原来的状态，并且趋于稳定。
系统的稳定性可以从李雅普诺夫指数方面进行判定。
当所有的李雅普诺夫指数均为负数时，系统为全局稳定；当所有的李雅普诺夫指数均为正数时，则可判定系统是不稳定的。
3. 共振现象共振是系统在外界激励下呈现出的某种非线性动态行为，其本质是由于外界激励周期与系统本身的固有频率相等，从而在系统中存储了足够大的动能，且能量迅速积累，导致系统发生共振。
非线性系统的动力学特征
非线性系统的动力学特征随着科学技术的不断发展，我们的世界已经不仅仅是简单的直线和等比例增长了。
许多自然现象和社会现象都具备非线性效应，即当变化量一定程度时，响应量发生不同比例的变化。
而这种非线性效应在数学上就被称为非线性系统。
非线性系统的复杂度比线性系统高得多，因为它们的动力学特征更加多样化和复杂。
本文将介绍非线性系统的一些动力学特征。
混沌混沌是非线性系统的重要动力学特征之一。
混沌是指一种随着时间的推移，系统状态看似随机变化，但在实质上，其随时间变化的规律性是存在的。
而且，即使是经过无数次重复，这种规律性仍然不可能通过简单的数学公式来精确描述。
混沌现象最早在20世纪60年代被发现，但直到今天，仍然没有一个统一的理论来描述它。
不过，在实践中，混沌理论已经在很多领域得到了广泛的应用，比如通信、物理、化学等等。
李亚普诺夫指数李亚普诺夫指数是测量非线性系统混沌程度的指标之一。
它可以通过计算在系统离开初始状态后，所谓的李亚普诺夫指数能够测量随着时间的推移，系统状态间的距离发生的相对距离的增加速度。
通过计算李亚普诺夫指数，能够评估系统状态是否具有混沌特征，以及混沌程度大小的量化测度。
对于非线性系统，李亚普诺夫指数提供了一种量化分析混沌程度的方法，对于研究非线性系统的动态行为具有重要意义。
分岔分岔是指非线性系统中参数变化的一种动力学特征。
简单地说，当改变系统参数的大小时，系统的行为方式也会发生变化。
分岔现象的本质是系统动力学行为的非线性响应。
分岔的一种典型形式是周期倍增分岔。
这种分岔现象就是当系统参数超过某个特定的临界值时，系统的周期性响应会呈现一种倍增形式。
在数学上，周期倍增分岔被称为Feigenbaum常数。
这种分岔现象在许多领域得到了广泛的应用，比如天文学、生态学、材料科学等。
自组织自组织是非线性系统的另一种重要的动力学特征。
它指的是，当系统的所有部分之间的相互作用和反馈机制形成一种稳定的结构时，系统会表现出一种自组织现象。
动态系统的非线性动力学特性分析
动态系统的非线性动力学特性分析动态系统是指随时间演化，在某些状态下具有非线性特性的自然或人造系统。
这些系统的演化不是简单的线性加权，而是由许多复杂的非线性交互作用所组成。
动态系统包括各种自然现象，从天气和流体力学到生命过程和自然资源管理。
在这些系统中，元素间的相互作用可能导致出现繁荣、灭绝、混沌、波动等不同的现象，动态系统的非线性动力学特性因此变得极其重要。
动态系统中的许多现象，可以用一些基本的数学模型来描述。
最基本的数学模型是微分方程，即描述时间变化的方程。
同样复杂的动态过程，也可以用系统的连续变量来描述，如一个连续时间模型中的位置和速度。
这些模型描述了随时间演化的状态变量的速度和加速度，并且可以进行数学解析，以研究系统的不同状态和稳定性。
在非线性动力学中，动态系统的稳定性经常取决于非线性系统的各个部分之间的相互作用。
非线性动力学特征可以分为三类——混沌、周期和吸引力。
例如，某些动态系统可能包含了几个吸引子，而在其他情况下可能会形成无限多的吸引子。
不同的吸引子代表了系统的不同状态，这些状态可以在不同时间间隔内交替出现。
周期性特征指的是系统中某些状态会发生重复出现，而非线性动力学中的混沌特征则表示系统中的随机变化或者不可预测性，这种不可预测性可以导致系统的不稳定性。
为了正确评估非线性动力学特性，许多研究者采用了复杂网络分析的方法，将动态系统转化为网络结构，并且从中提取出网络结构中的特征信息。
其中最常见的方法是分析系统的稳定性、吸引子、波动性和复杂性等特征。
除了网络分析之外，其他常用的方法包括深度学习、建模等。
非线性动力学的研究对于许多领域具有重要意义，如气候、金融市场、领域生物学等。
在气候预测领域，动态系统的非线性特性可以用来帮助对天气进行预测，因此具有极高的价值。
另外，在金融市场领域，非线性动力学可用于预测趋势和市场崩溃，从而指导投资者制定投资策略。
总之，动态系统的非线性动力学特性由于其重要性而成为研究的热点和难点。
第七章 非线性系统
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§7－2
相平面法
设二阶系统的微分方程为
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二、典型非线性特性 常见的非线性元件或系统的特性可划分为以下几种。 1．死区(不灵敏区)特性 死区特性的输入输出关系如图7—1所示， 输入在低于某值时无输出。例如测速发电 机的输出电压与输入转速应成正比，但由 于有电刷压降的存在，只有在转速超过某 一值后，才会有电压的输出，形成了一定 的转速、电压关系的死区。二极管正向开 放电压、机械运动中的静摩擦等都能产生死区。 死区的存在会使系统的稳态误差增大，在调速系统中使低 速运动的不平滑性增大。
点附近对非线性系统进行线性化的方法。这种方法前面已经作 过介绍。线性化后的系统就可按线性系统的方法来分析计算。 当然不要忘记，这种分析计算的结果只是在限制条件下才是有 效的。如果系统的非线性因素既不能忽略，又不符合线性化处 理的条件，则就要按非线性系统的概念来进行讨论了。对非线 性系统的分析计算还是要采用近似的或数值计算的方法，而且 往往是具体情况要具体处理。本章介绍的描述函数法和相平面 法，用于分析非线性系统是相当烦琐和困难的，因此，只是提 供一些基本的概念和方法，对非线性系统的分析主要使用 xoBox分析软件的非线性仿真功能。 系统的非线性一般会对系统的工作产生不利的影响，但在某 些情况下，人为地使系统非线性也可以使控制系统结构简化而 又改善系统的某些性能。因此正确运用非线性系统的概念，在 系统没计中也是至关重要的。
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4．继电特性 一般的继电特性的输入 输出关系如图7－4所示。它相当于上述三 种特性的综合：输出存在死区，当输入达 某值时，输出立即跃变为定值，相当于饱 和，而在输出饱和区中又存在回环。电器。 中的继电器的工作特性就是典型的例子，由于吸合、释放电 压的不同而形成这种特性。继电特性一般是人为的，可以用 来改善系统性能，但也可能带来不利的作用。
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7.1 非线性系统动态过程的特点
5. 非线性系统的自振
非线性系统的自振在一定范围内能够长期存在， 不会由于参数的一些变化而消失。
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7.1 非线性系统动态过程的特点
结论：
非线性系统动态过程的特点决定了其 分析方法的局限性。
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非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 不能用小偏差线性化方法解决的非线性。
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7.1 非线性系统动态过程的特点
2. 几种典型的非线性特性
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7.1 非线性系统动态过程的特点
3. 非线性系统的稳定性
线性系统的稳定性：与系统的结构、参数有关， 与系统的输入和初始状态无关。 非线性系统的稳定性： （1）与系统的结构、参数有关。 （2）与系统起始偏离的大小（即初始值）密切相关。 (3) 与系统的输入有关。 不能笼统地泛指某个非线性系统稳定与否，而必须 明确是在什么条件、什么范围下的稳定性。
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第7章 非线性系统分析
学习重点
了解非线性系统的特点，掌握非线性系统与线性系 统的本质区别；
了解典型非线性环节的特点；
理解描述函数的基本概念，掌握描述函数的计算方 法； 掌握分析非线性系统的近似方法——描述函数法， 能够应用描述函数法分析非线性系统的稳定性。
不同初始条件Βιβλιοθήκη 非线性系统的响应曲线东北大学《自动控制原理》课程组 10
2、对于x 0这个平衡点，系 统是否收敛于该平衡点还与 初始状态有关。当初值 x0 < 1 时，系统（收敛）稳定， x0 > 1时，系统（不收敛）不 稳定。因此该平衡点只是小 范围稳定。
结论：非线性系统的稳定性与初始值有关。
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举例：
非线性方程：
(1 x) x 0 x
设t=0时，系统初始状态为x0,
积分得：
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(1 x) x 0 x
显然系统有两个平衡点，即x=0 和 x=1。
1、x 1时，系统退化为 = 0，响应如图 x (红色)) 对于x＝ 1 这个平衡点， 系统只要有一个很小的 偏离，就再也回不到这 一平衡状态，因此这是 一个不稳定的平衡点。
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7.1 非线性系统动态过程的特点
1. 非线性系统的定义及种类
2. 几种典型的非线性特性
3. 非线性系统的稳定性 4. 非线性系统的运动形式 5. 非线性系统的自振
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7.1 非线性系统动态过程的特点
1. 非线性系统的定义及种类
（1）定义 含有非线性元件的系统，称之为非线性系统。 （2）非线性系统的分类
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当输入为1(t)时
当输入为0.1×1(t)时
结论：非线性系统稳定性与输入的形式及幅值有关。
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7.1 非线性系统动态过程的特点
4. 非线性系统的运动形式
（1）非线性系统在小偏离时单调变化，大偏离时 很可能就出现振荡。 （2）非线性系统的动态响应不服从叠加原理。
非线性系统动态过程的特点
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自动控制原理 第七章 非线性系统分析
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第7章 非线性系统分析
主要内容
非线性系统动态过程的特点 非线性环节及其对系统结构的影响 非线性特性的描述函数 分析非线性系统的描述函数法
改善非线性系统性能的措施及非线性特性 的利用 相平面法 小结