古巴比伦的数学

古巴比伦数列问题
等差数列
巴比伦泥版上有这样一个问题： 兄弟10人分5/3米那的银子（米那 和后面的赛克尔都是巴比伦人的重 量单位，其中1米那＝60赛克尔）， 相邻的兄弟俩，比如老大和老二、 老二和老三，……，所分银子的差 相等，而且老八分的银子是6赛克 尔，求每人所得的银子数量。
级数问题
奈克包威尔（Nengebauer） 在法国罗浮宫收藏的巴比伦文 物发现有两个反映巴比伦对级 数有研究的泥板书，记载结果：
“巴比伦人”是指曾居住在底格里斯河与幼发拉底河两河之间及其流域上 的一些民族，他们创造了文化，也创造了具有本民族特色的数学。 约公元前2000多年，在两河流域建立了巴比伦王国，约公元前4000年左 右，苏默人开始在两河流域（古代称美索波达米亚）定居，约在公元前 3000年创造了自已的文化。在公元前2500年，苏默人受到阿卡德人的政 治控制，由于阿卡德人统治力量越来越强大，苏默文化就被阿卡德文化 所淹没了。 公元前1700年左右，汉穆拉比建立了巴比伦的第一王朝，把自已称为 “苏默人和阿卡德人的大王”。作为最高统治者，非常关心灌溉系统的 非常关心灌溉系统的 发展，采取了清理灌溉的措施，制造抽水机，并在全国范围内， 发展，采取了清理灌溉的措施，制造抽水机，并在全国范围内，划分土 分配收获的粮食，修建谷仑，向邻近国家输出农产品， 地，分配收获的粮食，修建谷仑，向邻近国家输出农产品，同时也带来 了高利贷的发展。 了高利贷的发展 这些都是使数学得以发展的社会因素。 促使巴比伦数学产生、发展的另一个因素是建立了货币制度。 促使巴比伦数学产生、发展的另一个因素是建立了 开始时，他们把谷物或者银器作为货币单位。国家利用实物或银器征收 税务，后来采取用银币代替货物的支付方法，这样进一步完善了货币制 度，使单位换算成为必须。 数学知识的传播和使用， 尽管巴比伦统治者变动频繁，但数学知识的传播和使用，从古代 至少一直到亚里山大时代， 至少一直到亚里山大时代，始终连续不断。
零的表示
由于巴比伦人没有符号表示“零”，而他们采用的 是60进位制，因此同样一个符号 可以代表1或60。 没有“零”符号在记数上是很容易产生误会，比方 说： 可以看成1,20 => 1×60+20=80 或 1，0，20=>1×602+0×60+20=3620。 到了2000年前巴比伦人才采用 表示“零” 因此像 代表 2，3，0，41即 2×603+3×602+41=442841 （见书 见书P10） × × ）
而已，加法没有专门的记号，减法用记号表示，例如 例如40-3。 例如 。
关于乘法，巴比伦人是在整数范围内进行的，例如要计 例如要计
算36×5，他们的做法是 ×5＋6×5。这可以看作是乘法 × ，他们的做法是30× ＋ × 。 分配律的萌芽。为了便于计算，他们大约在公元前年以前已 编制了从1× 到 × 的乘法表 的乘法表，并用来乘法运算了。 经编制了从 ×1到60×60的乘法表 编制了从
六十进制
六十进位制目前是较少用 到，除了在时间上我们说： 1小时=60分，1分=60秒 外，在其他场合我们都是 用十进位制。 因为，一年中月亮有12次 圆缺，一只手又有5个手 指头，12×5＝60，这样 他们就又有了每隔60进一 的计数法。
可是你知道吗？ 可是你知道吗？
古代巴比伦人的算术运算
关于加减法，巴比伦人只不过是加上或去掉些数字记号
古巴比伦数的写法
美索不达米亚人创造了一套以 进制为主的楔形文记数系统 一套以60进制为主的楔形文记数系统。 一套以 进制为主的楔形文记数系统 这种记数制对60以内的整数 以内的整数采用简单十进累记法。 以内的整数 在泥版上，巴比伦人用“▼”表示1，用“<”表示10，其他 数通过▼和<的组合实现。比如35，就用： <<< ▼▼ ▼▼▼ 来表示。 对于大于59（ 对于大于 ）的数，则采用六十进制的位制记法。 。 同一个记号，根据它在数字表示中的相对位置 相对位置而赋予不同 不同的 相对位置 不同 值，这种位值原理是美索不达米亚数学的一项突出成就。 位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空。 位置的区分
古巴比伦的文字
19世纪前期，在美索不达米亚挖掘出了大 约五十万块刻写着文字的大小各异的黏土 书板，上面密密麻麻地刻有的奇怪的符号 实际上就是巴比伦人所用的文字，人们称 它为“楔形文字”。 楔形文字” 而在五十万块书板中，约有400块已被鉴定 为载有数字表和一批数学问题的纯数学书 纯数学书 板。但是一直到公元1800年前不久，还没 有谁对楔形文字作出成功的破译。最终打 开这些书板刻写的文字之谜的是一位叫罗 林森（Rawlinson1810-1895）的法国学者。 之后对这些泥板文书的研究揭示了一 个远比古埃及人先进的美索不达米亚早期 数学文化。
总之， 总之，巴比伦人对数学各领域都有一定的贡献。但在圆面积
的度量上不及埃及，常取π= 3。但是在古巴比伦，在产生数 学各种基本概念的同时，假科学也得到了发展，如宣扬星相 术和数的神秘论，阻碍了数学的发展。
就是古代的巴比伦人定下： 就是古代的巴比伦人定下：
一年有365天，12个月； 1个月有29或30天； 1天有24小时； 每7天为1个星期； 7 1 1个圆有360度； 1度有60分； 1小时有60分； 1分有60秒等等。 我们现代还是继续采用
数的写法
例、
这一写法中，右边的 表示两个 单位；中间的 表示基数（60）的2倍；而左边 的 则表示基数（60）的平方的2倍，因此这个 数字是指 2 × (60) 2 + 2 × (60) + 2 ，用十进制写出来就 是7322。
但是， 但是，这种位值制是不彻底的 ——因为其中没有零号 因为其中没有
源自河谷的古老文明
数学的萌芽 古巴比伦的数学 主讲： 主讲：徐虹
1.2古巴比伦数学 古巴比伦数学
1.2.01古巴比伦文明 1.2.02古巴比伦的文字 1.2.1古巴比伦的记数制与算数 1.2.2古巴比伦的代数 1.2.3古巴比伦的几何 1.2.4古巴比伦的天文 总结：古巴比伦对数学发展的贡献
巴比伦文明
巴比伦人的记数制
十进制
古巴比伦人最初用石块、结绳 结绳 记事。 记事 后来又用手指计数，一个指头 代表1，两个指头代表2，…， 到数到10时，就要重新开始。 由此巴比伦人产生了“逢十进 一”的概念，打算盘就依据了 这个原理。 巴比伦人没有算盘，但他们发 明了这样的“计算工具” 计算工具” 协助计算。长条小槽、或者特 长条小槽、 长条小槽 制有三个小槽的泥块，用一些 制有三个小槽的泥块， 金属小球代表数字。 金属小球代表数字。
……
古巴比伦对数学发展的贡献
商业： 商业：用简单的算术和代数知识表示长度和重量， 兑换钱币和交换商品，计算单利和复利，计算税额 以及分配粮食、划分土地和遗产。 兴修水利： 兴修水利：应用数学知识计算挖运河、修堤坝所需 人数和工作日数。把数学应用到测定谷仓和房屋的 容积,修筑时所需用的砖数等。 天文研究： 天文研究：在亚述时代（公元前700年左右）开始 用数学解决天文学的数学问题，在公元前3世纪之 后,用数学知识来计算月球和行星的运动,并通过记 录的数据，确定太阳和月球的特定位置和亏蚀时间。
巴比伦人从远古时代开始，已经积累了一定的数学知识，并能应用于解决 实际问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有 综合结论和证明，但也要充分估计他们对数学所做出的贡献。 ①巴比伦人能够解一元一次方程和一元二、三次方程，在实际问 解一元一次方程和一元二、 题中，也能通过算术的方法解二元一次方程组。 ②在几何方面，巴比伦人认识到了关于平行线间的比例关系和毕达歌 拉斯定理。会求简单几何图形的面积和体积,并建立了在特定情况下的底 面是正方形的棱台体积公式。 ③在记数法上，有了位值制的观念，但似乎没有表示零的方法。 ④在天文学方面，他们已有一系列长期观察记录，并且已经发现许多 准确性很高的天文学周期。但这种工作还缺乏一定的科学性。
证据表明
古巴比伦人知道： 古巴比伦人知道：
取直径的三倍为圆周 圆周； 圆周 取圆周平方的1/12为圆面积 圆面积（两者对于 π =3都是正确的）； 圆面积 用底和高相乘的方法求得直圆柱的体积 直圆柱的体积（但错误地认为圆锥或方棱锥的 直圆柱的体积 平头截体的体积是两底之和的一半与高的乘积）； 两个相似的直角三角形 相似的直角三角形的对应边成比例； 相似的直角三角形 过等腰三角形 等腰三角形顶点所作的底边的垂线平分底边； 等腰三角形 内接于半圆的角是直角； 内接 还知道毕达哥拉斯定理 毕达哥拉斯定理； 毕达哥拉斯定理 在一个最近发现的书板上，是用31/8 作为 作为π的估计值
1+2+22+…+29=29+29-1
从这个例子可以看出， 从这个例子可以看出，巴比 伦人已经知道了"等差数列" 伦人已经知道了 这个概念
可以看出巴比伦人知道这样的结Leabharlann Baidu：
古巴比伦的几何学
在古巴比伦时期常常把几何问题 化为代数问题来解决。∵在他们 心目中，几何似乎不占有重要位 置。 但是，最近有一些考古学家指出， 在斯萨出土的巴比伦的楔形文字 原典中，含有求正多边形和圆的 面积的近似公式，可见巴比伦人 对几何问题也有一定兴趣。 巴比伦几何学是与实际测量有密 切联系的。从许多具体例子可以 看到，巴比伦人在公元前2000到 1600年，就已熟悉了计算长方形 面积、直角三角形和等腰三角形 这块3800年前的泥板用楔形文字和图案 年前的泥板用楔形文字和图案 （也许还不知道一般三角形）面 这块 列出了一系列几何练习题， 积，有一边垂直于平行边的梯形 列出了一系列几何练习题， 面积、长方形的体积，以及以特 年轻的巴比伦学生被要求 殊梯形为底的直棱柱体积的一般 计算出正方形内各个不同面积。 计算出正方形内各个不同面积。 规则。
关于除法，巴比伦人进行的是整数除以整数的运算，这 关于除法
种运算可以采用与倒数相乘的办法来进行，于是经常要使用 分数。
除了乘除法之外， 除了乘除法之外，巴比伦人还能借助于泥板上各种各
样的数表 数表来进行计算 计算，有乘法表、倒数表、平方表和立方表， 数表 计算 甚至还有指数表 指数表可能是和插值法一起用来解决复利问题 复利问题但是 指数表 复利问题 还没有根据证明他们已认识了无理数。
保存至今的这批数学原稿可以分为三组： 保存至今的这批数学原稿可以分为三组： 数学原稿可以分为三组
第一组大约在公元前2100年苏美尔 第一组 （Snmer）文化末期。 第二组数量很大，从汉莫拉比时代（公元 第二组 前1792-1750）即第一代巴比伦王朝开始， 直到大约公元前1600年。 第三组内容丰富,大约从公元前600年-直到 第三组 公元300年,包括内布恰德内扎尔 （Nebuchadnezzar）的新巴比伦帝国与随 后的波斯和塞流西得（Seleucid）时代。 第二组和第三组之间出现一段空白,正是巴 第二组和第三组之间 比伦历史上的一个特殊的动乱时期。 考古学家对这些数学书板的内容在 1935年以前了解很少；现在已有了一些了 解,但更深入的研究和探索还在进行当中。
古巴比伦的代数
古巴比伦数学在代数领域内达到了相当的高度：
埃及代数主要是讨论线性方程，对于二次方程则只 埃及代数 涉及到最简单的情况 ，而来自古巴比伦 古巴比伦时代的一些 古巴比伦 泥板文书则表明，已能卓有成效地处理相当一般的
三项二次方程
古埃及人没有留下解三次方程的纪录，古巴比伦 古巴比伦泥 古埃及 古巴比伦 板文书中却不乏三次方程的例子
美索不达米亚人长于计算，也创造了许多成熟的算法 开方根计算就是有代表性的例子之一 开方根计算
设 x = a 是所求平方根， 考证到： 考证到： 并设 a1 是这根的首次近 耶鲁大学收藏的 似；由方程 b1 = a / a1 求出第 一 块古巴比伦泥板 二次近似 b1，若 a1偏小， （编号7289）： 则 b1 偏大，反之亦然。取 1 其上载有 2 的近 a 2 = ( a1 + b1 ) 为 算术平均值 2 似值，结果准确到六 a2总是 下一步近似，因为 十进制三位小数，用 b2 = a / a2 偏大，再下一步近似 现代符号写出来是 1 必偏小，取算术平均值 a3 = 2 (a 2 + b2 ) 1.414 213，是相当精 将得到更好的结果。这一程 确的逼近。(见书P12) 序实际上可以无限继续下去。