直线与方程常考题型

完整版)直线与方程测试题及答案解析

完整版)直线与方程测试题及答案解析1.若过点(1,2)和(4,5)的直线的倾斜角是多少？A。

30° B。

45° C。

60° D。

90°2.如果三个点A(3,1)。

B(-2,b)。

C(8,11)在同一直线上，那么实数b等于多少？A。

2 B。

3 C。

9 D。

-93.过点(1,2)，且倾斜角为30°的直线方程是什么？A。

y + 2 = (3/√3)(x + 1) B。

y - 2 = 3/2(x - 1) C。

3x - 3y + 6 - 3 = 0 D。

3x - y + 2 - 3 = 04.直线3x - 2y + 5 = 0和直线x + 3y + 10 = 0的位置关系是？A。

相交 B。

平行 C。

重合 D。

异面5.直线mx - y + 2m + 1 = 0经过一定点，则该点的坐标是多少？A。

(-2,1) B。

(2,1) C。

(1,-2) D。

(1,2)6.已知ab < 0，bc < 0，则直线ax + by + c = 0通过哪些象限？A。

第一、二、三象限 B。

第一、二、四象限 C。

第一、三、四象限 D。

第二、三、四象限7.点P(2,5)到直线y = -3x的距离d等于多少？A。

√(23/2) B。

√(2/23) C。

√(23+5) D。

√(22)8.与直线y = -2x + 3平行，且与直线y = 3x + 4交于x轴上的同一点的直线方程是什么？A。

y = -2x + 4 B。

y = (1/2)x + 4 C。

y = -2x - 3 D。

y = (2/3)x - 39.如果直线y = ax - 2和直线y = (a+2)x + 1互相垂直，则a 等于多少？A。

2 B。

1 C。

-1 D。

-210.已知等腰直角三角形ABC的斜边所在的直线是3x - y + 2 = 0，直角顶点是C(3,-2)，则两条直角边AC，BC的方程是什么？A。

3x - y + 5 = 0.x + 2y - 7 = 0 B。

直线与方程经典题型总结(超值)

直线与方程一、知识要点： 1、直线的斜率：倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即 αtan =k 2、直线的斜率公式：在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？P2分别向x 轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q ⊥P2M ，垂足分别是M1、M2、Q ．那么：α=∠QP1P2(图甲)或α=π-∠P2P1Q(图乙)在图甲中：121212tan x x y y Q P QP --==α 在图乙中：xx y y QP QP Q P P --==<-=2121212tan tan α如果P 1P 2向下时，用前面的结论课得：xx y y x x y y --=--=2122121tan α 综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：3、直线的点斜式方程：①其中(00,x y )为直线上一点坐标，k 为直线的斜率。

式方程，简称点斜式。

4、直线斜截式方程：………… ②我们把直线l 与y 轴交点（0，b ）的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距(即纵截距)。

方程②是由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定的，所以叫做直线斜截式方程，简称为斜截式。

5、直线方程的两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 其中2211,,,y x y x 是直线两点),(),,(2211y x y x 的坐标. 6、直线方程的截距式：1=+byax ,其中a ,b 分别为直线在x 轴和y 轴上截距.7、直线方程的一般形式：Ax+By+C=0 （A 、B 不全为0） 8、两条直线的交点坐标：设两直线的方程是l 1： A 1x+B 1y+C 1=0， l 2： A 2x+B 2y+C 2=0．(2)当A 1B 2-A 2B 1=0时：方程无解，即两直线平行.9、两点间的距离公式：思考题1、如图（1），求两点A （—2，0），B （3，0）间的距离。

直线与方程经典练习题

直线与方程复习题
1. 若直线过点()()
32421+，，，
则此直线的倾斜角是 2. 若直线06:1=++ay x l 与()0232:2=++-a y x a l 平行，则21l l 与的距离为
3. 不论a 为何实数，直线()()07123=+-++y a x a 恒过第______象限
4. 已知AB C ∆的三个顶点坐标为()()()32-C 2-1B 42A ，，，，，
，则BC 边上的高AD 所在直线的斜率为
5. 已知直线1l 经过点()()2,13A -m B m ，，直线2l 经过点()()22-D 21
C +m ，，，（1）当6=m 时，试判断直线21l l 与的位置关系
（2）若21l l ⊥，求实数m 的值
6. 直线032=+-y x 关于直线02=+-y x 对称的直线方程是
7. 已知()()1log 2+=x x f ，且0>>>c b a ，则
()()()c c f b b f a a f ,的大小关系 8. 函数84122+-++=x x x y 的最小值是
9. 根据下列条件求直线方程
（1）过点()4-5-A ，
作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5 （2）经过直线0323:0532:21=--=-+y x l y x l ，的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程是
10. 已知直线33:+=x y l ，求：
（1）点()54P ，
关于l 对称的点的坐标（2）直线l 关于点()23A ，
的对称直线的方程。

直线与方程复习题答案

直线与方程复习题答案一、选择题1. 直线方程 \( y = mx + b \) 中，\( m \) 表示直线的斜率，\( b \) 表示直线与y轴的交点。

A. 正确B. 错误答案：A2. 下列哪个方程表示的是过点 (1,2) 且斜率为3的直线？A. \( y = 3x + 1 \)B. \( y = 3x - 1 \)C. \( y = 3x + 2 \)D. \( y = 3x - 2 \)答案：C3. 直线 \( x + 2y - 6 = 0 \) 与 \( x - y + 5 = 0 \) 的交点坐标为：A. (1,3)B. (3,1)C. (-1,-3)D. (-3,-1)答案：A二、填空题1. 直线 \( ax + by + c = 0 \) 的斜截式方程是 \( y = \frac{-a}{b}x + \frac{c}{b} \)。

答案：\( \frac{-a}{b} \)，\( \frac{c}{b} \)2. 若直线 \( l \) 与直线 \( 3x - 4y + 5 = 0 \) 平行，则直线\( l \) 的斜率为 \( \frac{3}{4} \)。

答案：\( \frac{3}{4} \)三、解答题1. 求过点 (2,3) 且垂直于直线 \( 2x - 3y + 6 = 0 \) 的直线方程。

解：已知直线 \( 2x - 3y + 6 = 0 \) 的斜率为 \( \frac{2}{3} \)，垂直于它的直线斜率为 \( -\frac{3}{2} \)。

代入点斜式方程\( y - y_1 = m(x - x_1) \) 得：\( y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 2) \)化简得：\( 3x + 2y - 12 = 0 \)2. 已知直线 \( l \) 经过点 (1,0) 和 (0,1)，求直线 \( l \) 的方程。

解：直线 \( l \) 经过点 (1,0) 和 (0,1)，其斜率为\( \frac{1 - 0}{0 - 1} = -1 \)。

高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)

高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)　知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

tan k α=当时，；当时，；当时，不存[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0<k 90=αk 在。

②过两点的直线的斜率公式： )(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；21x x =(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：直线斜率k ，且过点)(11x x k y y -=-()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为bb kx y +=③两点式：（）直线两点，112121y y x x y y x x --=--1212,x x y y ≠≠()11,y x ()22,y x ④截矩式：1x y a b+=其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。

l x (,0)a y (0,)b l x y ,a b ⑤一般式：（A ，B 不全为0）0=++C By Ax 注意：各式的适用范围特殊的方程如：○1○2平行于x 轴的直线：（b 为常数）；平行于y 轴的直线：（a 为常数）；b y =a x =（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：0000=++C y B x A 00,B A （C 为常数）000=++C y B x A （二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：，直线过定点；()00x x k y y -=-()00,y x （ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 为（为参数），其中直线不在直线系中。

直线与方程复习题答案

直线与方程复习题答案
一、选择题
1. 若直线l的斜率为2，且过点(1,3)，则直线l的方程为：
A. y = 2x + 1
B. y = 2x - 1
C. y = -2x + 5
D. y = -2x - 1
答案：A
2. 直线方程y = mx + b中，m和b分别代表：
A. 斜率和截距
B. 截距和斜率
C. 斜率和斜率
D. 截距和截距
答案：A
3. 直线l1: y = 2x + 3和直线l2: y = -x + 1的交点坐标为：
A. (1, 2)
B. (2, 3)
C. (-1, 4)
D. (-2, 5)
答案：C
二、填空题
1. 已知直线l的斜率为-3，且与y轴交于点(0, 4)，则直线l的方程为 y = -3x + 4。

2. 直线方程y = 2x - 5与x轴的交点坐标为 (2.5, 0)。

三、解答题
1. 求过点(2, -1)且与直线y = 3x平行的直线方程。

解：由于所求直线与直线y = 3x平行，故斜率相同，为3。

利用点斜式方程y - y1 = m(x - x1)，代入点(2, -1)和斜率3，得到直线方程为y + 1 = 3(x - 2)，化简得y = 3x - 7。

2. 已知直线l的方程为y = 4x - 7，求直线l与坐标轴的交点坐标。

解：令x = 0，得y = -7，故与y轴交点为(0, -7)。

令y = 0，得4x - 7 = 0，解得x = 7/4，故与x轴交点为(7/4, 0)。

直线与方程题型总结答案

题型一：重点考查直线的倾斜角)2cos10,2sin10，)2cos130,2sin130，则直线．160【详解】方法一：由斜率和倾斜角关系，利用两点连线斜率公式可得tan 方法二：根据三角函数定义可知,P Q 在圆160QOM +，由此可得倾斜角.的倾斜角为)0180θ≤<，()()33cos10sin10sin 12010sin102sin1302sin10222cos1302cos10cos 12010cos1033cos10sin1022−+−−==−+−−−()()3sin10cos103sin 1030sin 20sin 202tan 20sin 70cos 2033sin 1060sin10cos102−−==−=−=−++tan160.PQ 的倾斜角为160；方法二：由三角函数的定义可知：点,P Q 在圆24x y +=上，如图所示，为直线PQ 与轴的交点，则10，130QOM ∠，120=，又OQ =，30OQM ∴∠，160QOM +∠，∴直线PQ 的倾斜角为160. 160.2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）直线y ++ 34π⎤⎡⋃⎥⎢⎦⎣精练核心考点3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,24ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭3,4ππ⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：直线l 的斜率为3≤，α∈3,4⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎦⎣⎭ππ. ．（2023·全国·高二专题练习）直线,135︒︒⎤⎦【详解】解：直线x y −，则3x =，直线的斜率不存在，倾斜角为90；1≤，可得为不等于90的倾斜角），90135θ︒<≤综合，倾斜角的取值范围是45︒≤．题型二：重点考查直线的斜率19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭）因为点M 在函数)在线段AB ()19,6⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭，记点16,2P ⎛− ⎝16,2P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以21y +精练核心考点30，则实数D ．323303=两点的直线的方向向量为题型三：重点考查斜率与倾斜角的变化关系第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（)30,60)30,90 )60,9060,90⎤⎦B【详解】因为直线:l ，直线23x y +()0,2B ;30； 90；)30,90.·全国·高二专题练习）经过点P10PA k −=且直线l 与连接点如下图所示，则tan PA k ≤α∴∈π[0,4故选：B例题3．（精练核心考点2．（2023·全国·高二专题练习）已知坐标平面内三点ABC 的边A ．0,⎡⎢⎣C ．3⎡⎢⎣【答案】D【详解】如图所示，1为ABC 的边BD 斜率k ．（2023·全国·高二专题练习）若实数的取值范围为5,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型四：重点考查斜率公式的应用精练核心考点题型五：重点考查由直线与线段相交求直线斜率（倾斜角）范围3,7⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭【详解】解：设过点P 且垂直于当直线l 由位置PA 绕点P 此时，11354725PA k k +≥==+当直线l 由位置PC 绕点P 此时，1254PB k k +≤==精练核心考点1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭题型六：重点考查两直线的平行或垂直关系；方法二：直线1l 的方向向量()6,3AB =−的方向向量(3,6CD =因为0AB CD ⋅=，所以AB CD ⊥，所以5．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线60my +=2)30m x y −+=，当m 为何值时，相交；平行；垂直．【答案】(1)m ≠−3；题型七：重点考查直线的方程．（2023·全国·高二专题练习）在ABC中，已知点轴上截距是y轴上截距的3⎫，即(−⎪⎭；题型八：重点考查两直线的交点坐标【详解】三条直线不能构成三角形三条直线相交于同一点S的最小值AOBS最小值为AOB题型九：重点考查两点间的距离公式故选：B.xA B'=所以函数的最小值为故答案为：42精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知故选：B2．（2023·全国·高二课堂例题）【答案】32【详解】()2221x x x ++=+()(224824x x x −+=−+=如图，设点(),0A x ，()1,1B −，值．由于AB AC BC +≥，当A ，B 故答案为： 32.3．（2023·全国·高二专题练习）函数为．【答案】41【详解】()()219f x x =−+1故答案为：41题型十：重点考查点到直线的距离公式例题2．（2023秋·高二课时练习）求垂直于直线3105的直线l 的方程．【答案】390x y −+=或3x −【详解】设与直线35x y +−则由点到直线的距离公式知()()2310310⨯−−+−===mm d350y+=.春·上海·高二期中）已知ABC的三个顶点y+=，且60)2,3，所以因此有+24=723+6=0m n m n −−⎧⎨⎩或+24=723+6=0m n m n −−−⎧⎨⎩，解得：=3=4m n ⎧⎨⎩或=3=0m n −⎧⎨⎩，所以点A 的坐标为：()3,4或()3,0−．题型十一：重点考查两条平行线间的距离公式精练核心考点。

直线与方程综合测试题(比较难)

一、选择题1．△ABC 中，a ，b ，c 是内角A 、B 、C 的对边，且lgsinA 、lgsinB 、lgsinC 成等差数列，则下列两条直线 L 1：sin 2A •x+sinA •y-a=0与L 2：sin 2B •x+sinC •y-c=0的位置关系是：（） A ．重合B ．相交（不垂直）C ．垂直D ．平行2．已知点A （1，1），B （5，5），直线l 1：x=0和l 2：3x+2y-2=0，若点P 1、P 2分别是l 1、l 2上与A 、B 两点距离的平方和最小的点，则||21P P 等于（）A ．1B ．2C ．10D ．51733．已知点A （2，-3）、B （-3，-2）直线l 过点P （1，1），且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的范围是（） A ．k ≥43或k≤-4 B ．k ≥43或k ≤−41 C ．−4≤k ≤43 D ．43≤k ≤4 4．已知三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x-3my-4=0不能构成三角形，则实数m 的取值集合是（） A ．{4，−61} B ．{4，32，−1} C ．{−61,32，−1} D ．{4，−61，32，−1}A ．6πB ．3π C ．32π D ．65πA ．点P 和Q 都不在直线l 上B ．点P 和Q 都在直线l 上C ．点P 在直线l 上且Q 不在直线l 上D ．点P 不在直线l 上且Q 在直线l 上7．在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax+y-1=0与过定点Q 的直线m ：x-ay+3=0相交于点M ，则|MP|2+|MQ|2的值为（） A ．210 B ．10C ．5D ．108．在直角坐标平面上，已知点A （0，2），B （0，1），D （t ，0）（t ＞0），M 为线段AD 上的动点，若|AM|≤2|BM|恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．[332，+∞)B ．[33，+∞)C ．(0，332]D ．(0，34)9．已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1），（2，2），若直线l ：x+my+m=0与线段PQ 有交点，则m 的取值范围是（） A ．(−∞，−32]∪[21，+∞) B ．[−32，21] C ．(−∞，−23]∪[2，+∞) D ．[−23，2] 10．过点（2，3）的直线L 被两平行直线L 1：2x-5y+9=0与L 2：2x-5y-7=0所截线段AB 的中点恰在直线x-4y-1=0上，则直线L 的方程为（） A ．5x-4y+11=0 B ．4x-5y+7=0 C ．2x-3y-4=0D ．以上结论都不正确11．在直线2x-y-4=0有一点P ，使它与两点A （4，-1），B （3，4）的距离之差最大，则距离之差的最大值为（） A ．3B ．23C ．5D ．3212．已知定义在R 上的函数f （x ）满足如下条件：①函数f （x ）的图象关于y 轴对称；②对于任意x ∈R ，f （2+x ）-f （2-x ）=0；③当x ∈[0，2]时，f （x ）=x ．若过点（-1，0）的直线l 与函数y=f （x ）的图象在x ∈[0，16]上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（） A ．（192，152） B ．（0，215） C ．（0，172） D ．（0，217） 13．设正方形ABCD 各顶点的坐标分别为A （-2，-2），B （2，-2），C （2，2），D （-2，2），一束光线从点P （-1，0）出发射到边DC 上的点Q （1，2）后反射，然后在正方形内依次经过边CB ，AB ，AD 反射，那么光线第一次回到起点P 处所经过的路程为（） A ．82B ．85C ．45D ．1014．在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=1，点P 是边AB 上异于A 、B 的一点，光线从点P 出发，经BC 、CA 反射后又回到点P （如图所示），若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP=（） A ．21 B ．41 C ．32 D ．31 15．已知直线l 1：ax-y+1=0，l 2：x+ay+1=0，a ∈R ，和两点A （0，1），B （-1，0），给出如下结论： ①不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直；②当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A （0，1）和B （-1，0）； ③不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x+y=0对称；④如果l 1与l 2交于点M ，则|MA|•|MB|的最大值是1．其中，所有正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．416．已知点A （-1，0），B （1，0），C （0，1），直线y=x+b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b=（） A ．22 B ．21 C ．2-1 D ．1-22 17．规定函数y=f （x ）图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y=f （x ）的“中心距离”，给出以下四个命题：①函数xy 1=的“中心距离”大于1；②函数542+--=x x y 的“中心距离”大于1；③若函数y=f （x ）（x ∈R ）与y=g （x ）（x ∈R ）的“中心距离”相等，则函数h （x ）=f （x ）-g （x ）至少有一个零点．以上命题是真命题的个数有（）A ．0B ．1C ．2D ．318．已知k ∈R ，直线l 1：x+ky=0过定点P ，直线l 2：kx-y-2k+2=0过定点Q ，两直线交于点M ，则|MP|+|MQ|的最大值是（） A ．22 B ．4C ．42D ．8二、填空题19．若函数f （x ）=log a （x-1）-1（a ＞0且a ≠1）的图象过定点A ，直线（m+1）x+（m-1）y-2m=0过定点B ，则经过A ，B 的直线方程为________________20．已知两点A （-m ，0），B （m ，0）（m ＞0），如果在直线3x+4y+25=0上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的取值范围是____________21．已知实数a ，b ，c 成等差数列，点P （-3，0）在动直线ax+by+c=0（a ，b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为（2，3），则线段MN 长度的最大值是 __________22．在Rt △ABC 中，AB=2，AC=4，∠A 为直角，P 为AB 中点，M 、N 分别是BC ，AC 上任一点，则△MNP 周长的最小值是_____________．23．已知直线（1-a ）x+（a+1）y-4（a+1）=0（其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图象上，则PQ 连线的斜率的取值范围是_______________24．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1．再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是______________25．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°，其中正确答案的序号是_________.(写出所有正确答案的序号) 26．在平面直角坐标系内，设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）为不同的两点，直线l 的方程为ax+by+c=0，设cby ax cby ax ++++=2211δ．有下列四个说法：①存在实数δ，使点N 在直线l 上；②若δ=1，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；③若δ=-1，则直线l 经过线段MN 的中点；④若δ＞1，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交．上述说法中，所有正确说法的序号是 ____________. 三、解答题27．已知直线l ：kx-y+1+2k=0（k ∈R ）．（1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．31.如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB ⊥OB ，点P(21，41)是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成△AMN ．设直线MN 的斜率为k ，问：（1）求直线MN 的方程？（2）求点M ，N 的坐标，并求k 范围？（3）用区间D 表示△AMN 的面积的取值范围，求出区间D ？若S 2＞m （-2S+1）对任意S ∈D 恒成立，求m 的取值范围？32．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．(1)若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；(2)当－2＋3≤k≤0时，求折痕长的最大值．（3）当-2≤k ≤-1时，折痕为线段PQ ，设t=k （2|PQ|2-1），试求t 的最大值．。

直线方程及常考题型

直线方程知识点1直线过定点问题2 直线系方程（平行和垂直，过交点）3 直线截距4掌握过两直线交点的直线系方程；5会求一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法；6会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法.7掌握求已知曲线的轴对称曲线和中心对称曲线方程的方法：结合曲线对称的定义，用求曲线方程的方法求对称曲线的方程(归结为点的对称)8掌握判断曲线关于几种特殊直线对称的方法:①y=x; ②x 轴;③y 轴知识点归纳一直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）. ()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =在直线0Ax By C ++=（其中A B ，不全为零）上，则这条直线的方程可以写成00()()0A x x B y y -+-=．（表示所有直线系） ()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠）()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）二特殊的对称问题点M （x,y ）直线Ax+By+C=0 关于x 轴对称（x,-y ） Ax+B(-y)+C=0 关于y 轴对称（-x,y ） A(-x)+By+C=0 关于原点对称（-x,-y ） A(-x)+B(-y)+C=0 关于直线y=x 对称（y,x ）Ay+Bx+C=0 关于直线y=-x 对称（-y,-x ）A(-y)+B(-y)+C=0关于直线c x y += ),(c x c y +- 0)()(=+++-C c x B c y A 关于直线c x y +-=),(x c y c --0)()(=+-+-C x c B y c A关于直线a x =对称（y x a ,2-） 0)2(=++-C By x a A 关于直线a y =对称（y a x -2,）0)2(=+-+C y a B Ax3. 根据下列条件，求直线的直线方程()1求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1； ()2经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； ()3经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直.7 与直线02=--y x 平行。

直线与方程典型题(完)

3．若直线与直线垂直，则。
4．若原点和点(4,-1)到直线的距离相等,则a=____________;
5．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是.
6. 过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_________________．
7．点在直线上，则的最小值是___________。
15．一直线过点，并且在两坐标轴上截距之和为，这条直线方程是__________．
16．已知直线与关于直线对称，直线 ⊥ ，则的斜率是______.
三、解答题
1已知，在直线和上各找一点，使的周长最小。
解：作点关于直线的对称点，再做点关于轴的对称点，连接，且与和轴交于两点，可知这样得到的周长最小。如图
由点及直线，可求得点关于直线的对称点，同样容易求得关于轴的对称点。
所以直线的方程为
令，得到直线与轴的交点，
解方程组解得交点。
综上，有，
2求经过点，并且在2个坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程
3.。已知点，若直线l过点。且与线段相交，求直线l的斜率的取值范围.
4.已知直线和点A（-1，2）、B（0，3），试在上找一点P，使得的值最小，并求出这个最小值。
5.求经过直线的交点且平行于直线的直线方程.
6．求函数的最小值
A（-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）
15.点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（）
A 2 B C 1 D
16.已知，则直线通过（）
A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

直线与方程试题及答案

直线与方程试题及答案1. 已知直线方程为 \(y = 2x + 3\)，求该直线与 \(x\) 轴的交点坐标。

答案：将 \(y\) 设为 0，解方程 \(0 = 2x + 3\) 得到 \(x = -\frac{3}{2}\)。

因此，直线与 \(x\) 轴的交点坐标为 \((-\frac{3}{2}, 0)\)。

2. 已知直线 \(y = mx + b\) 经过点 \(A(1, 2)\) 和点 \(B(3,4)\)，求直线的方程。

答案：将点 \(A(1, 2)\) 和点 \(B(3, 4)\) 代入方程 \(y = mx + b\)，得到两个方程：\[2 = m \cdot 1 + b\]\[4 = m \cdot 3 + b\]解这个方程组，得到 \(m = 1\)，\(b = 1\)。

因此，直线的方程为\(y = x + 1\)。

3. 已知直线方程为 \(3x - 4y + 5 = 0\)，求该直线的斜率。

答案：将方程 \(3x - 4y + 5 = 0\) 转换为斜截式 \(y = mx + b\)，得到\(y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{4}\)。

因此，直线的斜率为\(\frac{3}{4}\)。

4. 求过点 \(C(2, 3)\) 且与直线 \(y = 2x - 1\) 平行的直线方程。

答案：与直线 \(y = 2x - 1\) 平行的直线具有相同的斜率，即斜率为 2。

因此，所求直线方程为 \(y = 2x + b\)。

将点 \(C(2, 3)\) 代入方程，得到 \(3 = 2 \cdot 2 + b\)，解得 \(b = -1\)。

因此，所求直线方程为 \(y = 2x - 1\)。

5. 已知直线 \(y = 3x + 7\) 与 \(x\) 轴相交于点 \(D\)，与 \(y\) 轴相交于点 \(E\)，求点 \(D\) 和点 \(E\) 的坐标。

答案：点 \(D\) 位于 \(x\) 轴上，因此 \(y = 0\)。

高二数学直线与方程精选50题

直线与方程精选50题1、求过点()5,3，倾斜角等于直线13+=x y 的倾斜角的一半的直线方程.★2、已知直线l 的倾斜角为α，53sin =α，且这条直线经过点()5,3P ，求直线l 的一般式方程.★3、已知矩形OACB 的顶点的坐标分别为()()()5,00,80,0B A O 、、，求该矩形的对角线所在直线方程.4、已知直线0632=+-y x ，这条直线的点方向式可以是________________★5、求过点P 且平行于直线0l 的一般式方程：（1）()04:,1,20=+x l P ★（2）()07143:,2,10=++y x l P6、求过点P 且垂直于直线1l 的直线的一般式方程：（1）()03:,1,21=-y l P（2）4231:),1,2(1+=---y x l P ★7、求满足下列条件的直线方程（1）直线l 经过()()7,3,0,2B A 两点★（2）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 平行★（3）直线l 经过点()4,3P ，且与向量()1,1-=d 垂直★8、已知直线()0816:1=--+y t x l 与直线()()01664:2=-+++y t x t l（1）当t 为何值时，21l l 与相交？（2）当t 为何值时，21l l 与平行？（3）当t 为何值时，21l l 与重合？（4）当t 为何值时，21l l 与垂直？★9、已知直线08:1=++n y mx l 与直线012:2=-+my x l .当直线1l 与直线2l 分别满足下列条件时，求实数m 、n 的值（1）直线1l 与直线2l 平行；（2）直线1l 与直线2l 垂直，且直线1l 在y 轴上的截距为1-..★10、根据下列条件，写出满足条件的直线的一般式方程.★（1）经过直线012=+-y x 与直线0122=-+y x 的交点，且与直线05=-y x 垂直.（2）经过直线01=+-y x 与直线022=+-y x 的交点，且与直线1243=+y x 平行.11、已知直线2:1++=k kx y l 与直线42:2+-=x y l 的交点在第一象限，求实数k 的范围.★12、已知集合(){}R y x y x y x A ∈=--=、,01|,,集合(){}R y x y ax y x B ∈=+-=、,02|,,且φ=⋂B A ，求实数a 的值.13、是否存在实数a ，使直线()()0121:1=--+-y a x a l 与直线()03326:2=--+y a x l 平行？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由.★14、求过点()3,2P 且与直线012=+-y x 垂直的直线方程★15、若坐标原点O 在直线l 的射影H 的坐标为()2,4-，求直线l 的方程★16、已知平面内三点()()()2,14,33,1---C B A 、、，点P 满足BC BP 23=，则直线AP 的方程是17、已知()()4,1,1,3--B A ，则线段AB 的垂直平分线方程是★18、已知三点()()()a C B a A 2,4,1,5,2,-共线，则实数a 的值是___________________19、不论m 取何实数，直线()()()01131=--+--m y m x m 恒过什么象限？20、分别写出下列直线的一个方向向量d 和一个法向量n ★（1）0543=-+y x（2）152=+y x （3）()5413+-=-x y （4）1=x（5）01=+y21、已知0,0<<bc ac ，则直线0:=++a cy bx l 不通过_______________象限22、直线l 的倾斜角的正弦值为54，则其斜率为______________★ 23、过()()a B a a A 2,3,1,1+-的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围★24、直线l 的斜率k 满足13<≤-k ，求其倾斜角的取值范围★25、直线l 的倾斜角是()()2,6,1,2--B A 两点连线的倾斜角的两倍，求直线l 的倾斜角的大小26、直线l 过点()2,1且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求l 的方程★27、求直线()R y x ∈=-+αα010cos 的倾斜角的取值范围28、直线()()039372:222=+-++-a y a x a a l 的倾斜角大小是4π，求实数=a __________★29、方程x k y =与方程()0>+=k k x y 的曲线有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是____________________30、过点()()3,0,0,4B A 的直线的倾斜角大小是________________★31、将直线033=++y x 绕着它与x 轴的交点顺时针旋转︒30后，所得的直线方程是★32、将直线0943=+-y x 绕其与x 轴的交点逆时针旋转︒90后得到直线l ，求直线l 的方程★33、ABC ∆的一个顶点()4,3B ，AB 边上的高CH 所在直线方程是01632=-+y x ，BC 边上的中线AM 所在的直线方程是0132=+-y x ，求边AC 所在直线方程.34、已知直线l 沿x 轴的负方向平移3个单位，再沿y 轴的正方向平移1个单位，又回到原来的位置，求直线l 的斜率k 和倾斜角α★35、过点()4,5-P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形面积为5个面积单位，求直线l 的方程★36、直线()()01213:=----y a x a l （其中a 为实数）★（1）求证：不论a 取何值，直线l 恒过定点；（2）已知直线l 不通过第二象限，求实数a 的取值范围37、已知()()2211,,,y x B y x A 为直线()0≠+=k b kx y 上的两点（1）求证：2121x x k AB -+=；（2）根据（1）的形式特征，用21,,y y k 表示AB38、已知ABC ∆中，顶点()7,2-A ，AC 边上的高BH 所在直线方程为0113=++y x ，AB 边上中线CM 所在的直线方程072=++y x ，求ABC ∆三边所在直线方程39、从点()2,5A 发出的光线经过x 轴反射后，反射光线经过点()3,1-B ，求发射光线所在直线与x 轴的夹角大小★40、求经过0332:01:21=++=++y x l y x l 和的交点且与直线0523=-+y x 的夹角为4π的直线方程★'41、已知等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中点是()2,4，直角边AC 所在的直线方程是02=-y x ，求斜边AB 和直角边BC 所在直线的方程42、光线沿直线052=+-y x 的方向入射到直线0723=+-y x 后反射出去，求反射光线所在的直线方程43、已知()()8,4,3,2-B A 两点，直线l 经过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，求直线l 的方程★44、已知平行直线21l l 与的距离为5，且直线1l 经过原点，直线2l 经过点()3,1，求直线1l 和直线2l 的方程★45、已知直线l 过点()1,0P ，且被平行直线0243:0843:21=++=-+y x l y x l 与所截得的线段的长为22，求直线l 的方程46、求与直线032012=+-=+-y x y x 和距离相等的点的轨迹47、已知点()4,3P 到直线l 的距离为5，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线是___________________★48、过点()2,1P 的所有直线中，与原点距离最大的直线方程是______________49、直线l 经过直线002477=-=-+y x y x 与直线的交点，且原点到直线l 的距离为512，则直线l 的方程为★50、经过直线032=-+y x 和直线0624=--y x 的交点，且与y 轴平行的直线方程为★。

(完整版)直线与方程测试题(含答案)

第三章直线与方程测试题一．选择题（每小题5分，共12小题，共60分） 1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（） A ．y ＝3x －6 B. y ＝33x ＋4 C . y ＝33x －4 D. y ＝33x ＋2 2. 如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11), 在同一直线上，那么k 的值是（）。

A. －6 B. －7 C. －8 D. －93. 如果直线 x ＋by ＋9=0 经过直线 5x －6y －17=0与直线 4x ＋3y ＋2=0 的交点，那么b 等于（）.A. 2B. 3C. 4D. 54. 直线 (2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m =0的倾斜角是450, 则m 的值为（）。

A.2 B. 3 C. －3 D. －25.两条直线023=++m y x 和0323)1(2=-+-+m y x m 的位置关系是( ) A.平行 B .相交 C.重合 D.与m 有关*6．到直线2x +y +1=0的距离为55的点的集合是( )A.直线2x+y －2=0B.直线2x+y=0C.直线2x+y=0或直线2x+y －2=0 D .直线2x+y=0或直线2x+2y+2=07直线02=+-b y x 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么b 的取值范围是（）Ａ．[]2,2- Ｂ．(][)+∞⋃-∞-,22, Ｃ．[)(]2,00,2⋃- Ｄ．()+∞∞-,*8．若直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于M ，N 两点，且MN 的中点是P （1，－1），则直线l 的斜率是（）A ．－23B ．23C ．－32D ．329．两平行线3x －2y －1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为213 13 ，则c ＋2a的值是( ) A .±1 B. 1 C. -1 D . 2 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（） A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0**11．点P 到点A ′（1，0）和直线x ＝－1的距离相等，且P 到直线y ＝x 的距离等于 22，这样的点P 共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 *12．若y ＝a ｜x ｜的图象与直线y ＝x ＋a （a ＞0）有两个不同交点，则a 的取值范围是（） A ．0＜a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ＞0且a ≠1 D ．a ＝1二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13. 经过点(－2,－3) , 在x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是；或。

直线与方程典型题

直线方程典型题姓金分数一、选择题1 .直线x +氏_2 = 0的倾斜角为( )2兀 5/rA.—B.—C. ---D.——6 3 3 62・若过点P(6,m)和Q(m,3)的直线与斜率为丄的直线垂直侧2 m 的值为 ( )A. 9B. 4C. 0D. 53直线2x+〉‘ + m = 0 利lx + 2y +n = 0的位置关系是A 平行B 垂直C 相交但不垂直D 不能确定4. 直线&x —y + l — 3R = 0,当k 变动时，所有直线都过泄点9・若直线2x+3y+8二0,x ・y ・l=0和x+ky=0相交于一点贝J k=1 1A ・--B ・一C ・-2D ・22 2io.已知点A©, 2)(a > 0)到直线/:x-y + 3 = 0的距离为1,则。

为11. 若直线/： y = kx-l 与直线x + y-\= 0的交点位于第一象限，则实数R 的取值范围是() A. (一oc, 一 1) B. (一oc, 一 1] C.(丄+00) D. [1,+8)12. 将直线y=3x 绕原点逆时针旋转90。

,再向右平移1个单位，所得到的直线为()=--X + - =--x+l3 3 3=3x-3 = —x+1313•若直线l:y=kx-l 与直线x +y-l=0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范用是() A. (0, 0) B. (0, 1) C. (3, 1) D. (2, 1)5 ■不论"为何实数，直线@ + 3)牙+ (2°_1))，+ 7 = 0恒过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限6 .过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为 3 3 A. 一二 B.二 C ・ 3 2 27 .过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ( )D.第四象限( )D. -3( )D. x+2y-l=08・如果两直线3x + y-3 = 0与6x + my + \= 0互相平行，那么它们之间的距离为( )A. 4B. -V13 c D 存A. B. 2-血 c. V2 — 1 D. \/2 +1A・(-FL) B・(r-1] C・(l,+g)14.直线mx-y+2m+l=0经过一定点，则该点的坐标是A (-2, 1)B (2, 1)C (1, -2)D (1, 2) 15•点P (-1, 2)到直线8x-6y+15=0的距离为()A2 B 丄Cl D Z2 216.已知vO,Z?c <0 ,则直线ctx+by=c通过( )_A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限17 •过点(- 2,4)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )A・1条B. 2条C. 3条D. 4条18.如果直线x + 2ay-1 = 0与直线(3a-\)x-ay-1=0平行，则a等于 ( )1 p r 1A・0 B・一C・0或1 D・0或一6 619.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是()・A. x + 2y - 5 = 0B.2x + y — 4 = 0C・ x + 3y - 7 = 0 D・ 3x + y - 5 = 020 .如果两直线3x+y-3 = 0与6x + my + \ = 0互相平行，那么它们之间的距离为( )2_5 7A ・ 4B ・—J13C ・—3D ・—J1013 26 2021.若方程⑵爪+m-3)x + (m2 -加)y-伽+ 1 = 0表示一条直线，则实数zn满足3 3A. B・m 羊 _一 C. rn 1 D・m 1, m 丰、 m #= 02 - 222.过点P(-l,3)且垂直于直线x-2y + 3 = 0的直线方程为( )_A. 2x + y -1 = 0B. 2x + y-5 = 0C. x + 2y-5 = 0D. x-2y + 7 = 023.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是( )A. 4x + 2y = 5 B・ 4x-2y = 5C・x + 2y = 5D・ x-2y = 524.若A(—2,3),B(3,—2),C』")三点共线则加的值为( )C. -2D. 225.直线4-4 = 1在y轴上的截距是( )a~A. |/?|B. -b2C. b2D. ±b26.直线kx-y + \ = 3k,当&变动时，所有直线都通过立点( )A. (0,0)B. (0,1)C. (3,1)D. (2,1)27.两直线3x+y-3 = 0与6x + my + \ = 0平行，则它们之间的距禽为( )2 5 7A. 4B. —A/13C.—V13D.—应13 26 2028.已知点A(2,3),B(—3,-2),若直线/过点P(l,l)与线段A"相交，则直线/的斜率&的取值范用是( )a 3 3A. k>-B.-<k<2 c. k > 2i&k < - D.k<24 4 4二、填空题}1 若三点4(2,2),B(°,O),C(O,b)(dbHO)共线，则十 + 土的值为 ____________ 。

直线方程(考题猜想,易错必刷36 题 15种题型)(解析版)—2024-2025学年高二数学上学期

直线方程（易错必刷36题15种题型专项训练）➢ 点斜式方程综合应用 ➢ 截距式方程综合应用➢ 一般式直线理论 ➢ 直线与坐标轴围成面积➢ 含参直线过定点➢ 点到直线距离最值型➢ 平行线距离最值范围➢对称：点关于直线对称➢ 对称：光学性质➢ 对称：最小值➢ 对称：两点距离公式几何意义➢ 对称：将军饮马型➢ 对称：叠纸型➢ 直线关于直线对称➢直线综合一．点斜式方程综合应用（共3小题）1．（22-23高二上·北京·期中）已知直线11:22l y x =+，直线l 2是直线l 1绕点()2,1P -逆时针旋转45°得到的直线．则直线l 2的方程是（）A ．3y x =+B ．23y x =--C ．49y x =+D ．37y x =+2．（21-22高二上·新疆省直辖县级单位·期中）已知ABC V 的三个顶点(3,0),(1,2),(1,3)A B C --，则ABC V 的高CD 所在的直线方程是（）A ．550x y +-=B ．250x y ++=C ．250x y +-=D ．250x y --=3．（21-22高一上·江苏南通·期中）已知点(, )P x y 到(0,4)A 和(2,0)B -的距离相等，则24x y +的最小值为A ．2B ．4C ．D ．二．截距式方程综合应用（共3小题）4．（23-24高二上·广东东莞·期中）直线l 经过点()1,1A -，在x 轴上的截距的取值范围是()2,1-，则其斜率的取值范围为（）A ．()1,+¥B ．1,12æö-ç÷èøC ．()1,01,2æö-È+¥ç÷D ．()1,1,2¥¥æö--È+ç÷5．（23-24高二上·陕西榆林·期中）直线l 经过点()4,3P -，在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且,a b 满足log 2a b =，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．1-C ．3-D ．1-或3-6．（21-22高二上·江苏南通·期中）过点()1,2P ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A ．4条B ．2条C ．3条D ．1条【答案】C【分析】考虑截距为0，截距相等且不为0，截距互为相反数且不为0，求出相应的方程，得到答案.【详解】当截距为0时，设直线方程为=y kx ，将()1,2P 代入=y kx ，求得=2k ，故方程为2y x =；当截距不为0时，三．一般式直线理论（共2小题）7．（21-22高二上海浦东新·期中）在平面直角坐标系内，设()11,M x y ，()22,N x y 为不同的两点，直线l 的方程为0ax by c ++=，1122ax by cax by cd ++=++，下面四个命题中的假命题为（）A ．存在唯一的实数δ，使点N 在直线l 上B ．若1d =，则过M ，N 两点的直线与直线l 平行C ．若1d =-，则直线经过线段M ，N 的中点；D ．若1d >，则点M ，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M ，N 的延长线相交；8．（21-22高二上·北京·期中）设11(,)M x y ，22(,)N x y 为不同的两点，直线:0l Ax By C ++=.记1122Ax By CAx By Cl ++=++，则下列结论中正确的个数是（）①不论l 为何值，点N 都不在直线l 上；②若1l =，则过,M N 的直线与直线l 相交；③若1l =-，则直线l 经过MN 的中点.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个.四．直线与坐标轴围成面积（共4小题）9．（2022高三·全国·期中）直线20x y b -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[]22-,B ．(][),22,-¥-+¥UC ．[)(]2,00,2-U D ．(,)¥¥-+10．（21-22高二上·安徽·期中）过点(1,2)P 且与两坐标轴围成的三角形面积为4的直线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．（22-23高二上·河南期中）已知直线l 过点(1,3)M ，且分别交两直线,y x y x ==-于x 轴上方的,A B 两点，O 点为坐标原点，则AOB V 面积的最小值为（）A ．8B ．9C ．D ．20【答案】A【分析】判断直线斜率存在并设直线l 的方程为3(1)y k x -=-，求出,A B 两点的横坐标，表示出三角形的面积，并化简，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知直线l 的斜率一定存在，斜率设为k ，则直线l 的方程为3(1)y k x -=-，故332(11111AOB k k k S k k k ---é=×=+ê+-+ë△当且仅当4(1)111k k k k-+=+-，即13k =故AOB V 面积的最小值为8，故选：A ．12．（21-22高二下·江苏南京·期中）直线:1x yl a b+=中，1357{{48}6}2a b ÎÎ，，，，，，，．若l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为（）A ．6B ．7C ．8D ．16五．含参直线过定点（共2小题）13．（23-24高二上·河北石家庄·期中）不论k 为任何实数，直线()()()213110k x k y k --+--=恒过定点，若直线2mx ny +=过此定点其中m ，n 是正实数，则312m n+的最小值是（）A ．214B ．274C ．212D ．27214．（2023高二上·全国·期中）已知a ，b 满足21a b +=，则直线30ax y b ++=必过定点（）A ． 1,23æö-ç÷èøB ．11,62æöç÷èøC ．11,26æöç÷D ．12,3æö-ç÷六．点到直线距离最值型（共3小题）15．（2023高二上·江苏·期中）点()2,1P --到直线()()():131240R l x y l l l l +++--=Î的距离最大时，其最大值以及此时的直线l 方程分别为（）A 20x y +-=B 340x y +-=C 3250x y +-=D 2310x y -+=16．（23-24高二上·北京海淀·期中）点(2,1)P --到直线:10(R)l mx y m m +--=Î的距离最大时，直线l 的方程为（）A ．2320x y --=B ．3280x y ++=C ．3250x y +-=D ．2310x y -+=【答案】C17．（23-24高二上·全国·期中）若动点1122()A x y B x y ,,(,)分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为（）A ．B ．2C D ．4七．平行线距离最值范围（共2小题）18．（22-23高二上·四川成都·期中）已知A ，B 两点的坐标分别为()1,0，()1,2-，若两平行直线1l ，2l 分别过点A ，B ，则1l ，2l 间的距离的最大值为（）A ．1BC ．2D ．因为12l l ∥，所以1l ，2l 间的距离即点A 当1l ，2l 垂直AB 时，1l ，2l 间的距离取最大值，即最大值为又由两点间的距离公式可知，AB =故选：D ．19．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期中）夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆的最大面积等于A ．2pB ．4pC ．8pD ．12p八．对称：点关于直线对称（共2小题）20．（23-24高二上·安徽·期中）已知在ABC V 中，顶点()1,1A ，点B 在直线20l x y -+=:上，点C 在x 轴上，则ABC V 的周长的最小值为（）AB．C．D则此时ABC V 的周长取最小值，且最小值为解得()1111,1,33x A y=-ì\-í=î，易求得2A 故选：B .21．（22-23高二上·江苏南京期中）已知ABC V 的一条内角平分线CD 的方程为20x y +-=，两个顶点为()1,2A 、()1,1B --，则顶点C 的坐标为（）A ．17,33æö-ç÷èøB ．15,33æöç÷èøC ．()3,5-D ．()3,1-九．对称：光学性质（共2小题）22．（23-24高二上·福建三明·期中）已知()()3,0,0,3A B-，从点()1,0P-射出的光线经y轴反射到直线AB 上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为（）A．B．6C．D．故选：C23．（23-24高二上·安徽·期中）如图，已知某光线从点()2,0A -射出，经过直线y x =上的点B 后第一次反射，此反射光线经过直线4x =上的点C 后再次反射，该反射光线经过点()2,10D ，则直线BC 的斜率为（）A ．32B ．52C ．85D ．2．故选：十．对称：最小值（共2小题）24．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线3260x y +-=分别与,x y 轴交于,A B 两点，若直线10x y +-=上存在一点C ，使CA CB +最小，则点C 的坐标为（）A ．21,33æöç÷B ．61,55æö-ç÷C ．41,33æö-ç÷D ．41,55æöç÷ç÷【详解】由题直线关于直线10x y +-=对称的点为()111:244AB y x y x -=-Þ=-2125．（23-24高二上·四川达州·期中）已知直线l ：280x y --=和点()2,0A -，点()2,4B ，点P 是直线l 上一动点，当PA PB +最小时，点P 的坐标是（）A ．()2,5--B ．()0,4-C ．()2,3-D ．()4,2-【答案】C【分析】根据给定条件求出A 关于直线280x y --=的对称点A ¢坐标，求出直线A B ¢方程，与已知直线方程联立即可求解.十一．对称：两点距离公式几何意义（共3小题）26．（23-24高二上·河北·期中）已知实数x，y满足220x y-+=，最小值为（）A．B．10+C．108D．11727．（23-24高二上·河南新乡·的最小值为（）AB．3C D．28．（23-24高二上·江苏盐城A．25B．C D．【答案】C【分析】根据目标式的几何意义，十二．对称：将军饮马型（共2小题）29．（22-23高二上·江西景德镇·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()1,0B -，若将军从山脚下的点()1,0A 处出发，河岸线所在直线方程为24x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A ．4B ．5C D ．165【答案】A【分析】作图，求出点A 关于直线24x y +=对称的点A ¢，再由两点间的距离公式即可得解．【详解】如图，设点()1,0A 关于直线24x y +=对称的点为(,)A a b ¢，30．（22-23高二上·河北石家庄·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处最小（）A B C．1D．2则当且仅当P¢，S，十三．对称：叠纸型（共2小题）31．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点()0,0和126,55-æöç÷èø点重合，点()7,3和点(),m n重合，则m n+=（）A．345B．365C．283D．323【答案】A32．（22-23高二上·浙江杭州·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点()3,4-与点()4,a -重合，点()1,2-与点2,2b æö-ç÷èø重合，则a b -=（）A ．2-B ．1-C ．12D ．1十四．直线关于直线对称（共2小题）33．（21-22高二上·湖北武汉·期中）已知直线：1:3l y ax=+与2l 关于直线y x =对称，2l 与3:210l x y +-=平行，则a =（）A ．12-B ．12C ．2-D ．234．（16-17高一下·安徽阜阳·期中）已知直线1:30l mx y -+=与2l 关于直线y x =对称， 2l 与311:22l y x =-+垂直，则m =A ．12-B ．12C ．2-D ．2十五．直线综合（共2小题）35．（2022高三·全国·期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，E为线段1B C的中点，F是棱11C D 上的动点，若点P为线段1BD上的动点，则PE PF+的最小值为（）A B C2D【答案】A【分析】连接1BC，得出点,,P E F在平面11BC D中，问题转化为在平面内直线1BD上取一点P，求点P到定点E的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点E关于直线1BD到直线11C D的距离，从而可得结果.【详解】2设点E 关于直线1BD 的对称点为所以22EE k ¢=，故直线EE ¢为联立①②，解得13223x y ì=ïïíï=ïî，故直线所以对称点252(,)36E ¢，则PE 36．（22-23高三上·浙江绍兴·期中）已知实数0,0a b ><的取值范围是 .。

直线与方程综合测试题(比较难)

一、选择题1．△ABC 中，a ，b ，c 是内角A 、B 、C 的对边，且lgsinA 、lgsinB 、lgsinC 成等差数列，则下列两条直线 L 1：sin 2A •x+sinA •y-a=0与L 2：sin 2B •x+sinC •y-c=0的位置关系是：（） A ．重合B ．相交（不垂直）C ．垂直D ．平行2．已知点A （1，1），B （5，5），直线l 1：x=0和l 2：3x+2y-2=0，若点P 1、P 2分别是l 1、l 2上与A 、B 两点距离的平方和最小的点，则||21P P 等于（）A ．1B ．2C ．10D ．51733．已知点A （2，-3）、B （-3，-2）直线l 过点P （1，1），且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的范围是（） A ．k ≥43或k≤-4 B ．k ≥43或k ≤−41 C ．−4≤k ≤43 D ．43≤k ≤4 4．已知三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x-3my-4=0不能构成三角形，则实数m 的取值集合是（） A ．{4，−61} B ．{4，32，−1} C ．{−61,32，−1} D ．{4，−61，32，−1}A ．6πB ．3π C ．32π D ．65πA ．点P 和Q 都不在直线l 上B ．点P 和Q 都在直线l 上C ．点P 在直线l 上且Q 不在直线l 上D ．点P 不在直线l 上且Q 在直线l 上7．在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax+y-1=0与过定点Q 的直线m ：x-ay+3=0相交于点M ，则|MP|2+|MQ|2的值为（） A ．210 B ．10C ．5D ．108．在直角坐标平面上，已知点A （0，2），B （0，1），D （t ，0）（t ＞0），M 为线段AD 上的动点，若|AM|≤2|BM|恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．[332，+∞)B ．[33，+∞)C ．(0，332]D ．(0，34)9．已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1），（2，2），若直线l ：x+my+m=0与线段PQ 有交点，则m 的取值范围是（） A ．(−∞，−32]∪[21，+∞) B ．[−32，21] C ．(−∞，−23]∪[2，+∞) D ．[−23，2] 10．过点（2，3）的直线L 被两平行直线L 1：2x-5y+9=0与L 2：2x-5y-7=0所截线段AB 的中点恰在直线x-4y-1=0上，则直线L 的方程为（） A ．5x-4y+11=0 B ．4x-5y+7=0 C ．2x-3y-4=0D ．以上结论都不正确11．在直线2x-y-4=0有一点P ，使它与两点A （4，-1），B （3，4）的距离之差最大，则距离之差的最大值为（） A ．3B ．23C ．5D ．3212．已知定义在R 上的函数f （x ）满足如下条件：①函数f （x ）的图象关于y 轴对称；②对于任意x ∈R ，f （2+x ）-f （2-x ）=0；③当x ∈[0，2]时，f （x ）=x ．若过点（-1，0）的直线l 与函数y=f （x ）的图象在x ∈[0，16]上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（） A ．（192，152） B ．（0，215） C ．（0，172） D ．（0，217） 13．设正方形ABCD 各顶点的坐标分别为A （-2，-2），B （2，-2），C （2，2），D （-2，2），一束光线从点P （-1，0）出发射到边DC 上的点Q （1，2）后反射，然后在正方形内依次经过边CB ，AB ，AD 反射，那么光线第一次回到起点P 处所经过的路程为（） A ．82B ．85C ．45D ．1014．在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=1，点P 是边AB 上异于A 、B 的一点，光线从点P 出发，经BC 、CA 反射后又回到点P （如图所示），若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP=（） A ．21 B ．41 C ．32 D ．31 15．已知直线l 1：ax-y+1=0，l 2：x+ay+1=0，a ∈R ，和两点A （0，1），B （-1，0），给出如下结论： ①不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直；②当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A （0，1）和B （-1，0）； ③不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x+y=0对称；④如果l 1与l 2交于点M ，则|MA|•|MB|的最大值是1．其中，所有正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．416．已知点A （-1，0），B （1，0），C （0，1），直线y=x+b 将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b=（） A ．22 B ．21 C ．2-1 D ．1-22 17．规定函数y=f （x ）图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y=f （x ）的“中心距离”，给出以下四个命题：①函数xy 1=的“中心距离”大于1；②函数542+--=x x y 的“中心距离”大于1；③若函数y=f （x ）（x ∈R ）与y=g （x ）（x ∈R ）的“中心距离”相等，则函数h （x ）=f （x ）-g （x ）至少有一个零点．以上命题是真命题的个数有（）A ．0B ．1C ．2D ．318．已知k ∈R ，直线l 1：x+ky=0过定点P ，直线l 2：kx-y-2k+2=0过定点Q ，两直线交于点M ，则|MP|+|MQ|的最大值是（） A ．22 B ．4C ．42D ．8二、填空题19．若函数f （x ）=log a （x-1）-1（a ＞0且a ≠1）的图象过定点A ，直线（m+1）x+（m-1）y-2m=0过定点B ，则经过A ，B 的直线方程为________________20．已知两点A （-m ，0），B （m ，0）（m ＞0），如果在直线3x+4y+25=0上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的取值范围是____________21．已知实数a ，b ，c 成等差数列，点P （-3，0）在动直线ax+by+c=0（a ，b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为（2，3），则线段MN 长度的最大值是 __________22．在Rt △ABC 中，AB=2，AC=4，∠A 为直角，P 为AB 中点，M 、N 分别是BC ，AC 上任一点，则△MNP 周长的最小值是_____________．23．已知直线（1-a ）x+（a+1）y-4（a+1）=0（其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图象上，则PQ 连线的斜率的取值范围是_______________24．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1．再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是______________25．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°，其中正确答案的序号是_________.(写出所有正确答案的序号) 26．在平面直角坐标系内，设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）为不同的两点，直线l 的方程为ax+by+c=0，设cby ax cby ax ++++=2211δ．有下列四个说法：①存在实数δ，使点N 在直线l 上；②若δ=1，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；③若δ=-1，则直线l 经过线段MN 的中点；④若δ＞1，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交．上述说法中，所有正确说法的序号是 ____________. 三、解答题27．已知直线l ：kx-y+1+2k=0（k ∈R ）．（1）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．31.如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知AB=OB=1，AB ⊥OB ，点P(21，41)是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成△AMN ．设直线MN 的斜率为k ，问：（1）求直线MN 的方程？（2）求点M ，N 的坐标，并求k 范围？（3）用区间D 表示△AMN 的面积的取值范围，求出区间D ？若S 2＞m （-2S+1）对任意S ∈D 恒成立，求m 的取值范围？32．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．(1)若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程；(2)当－2＋3≤k≤0时，求折痕长的最大值．（3）当-2≤k ≤-1时，折痕为线段PQ ，设t=k （2|PQ|2-1），试求t 的最大值．直线和圆的位置关系基础练习命题人：杨健文一、【直线与圆相切】1．过坐标原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋52=0相切的直线的方程为（）A．y=－3x 或y=13x B．y=3x 或y=－13xC．y=－3x 或y=－13x D．y=3x 或y=13xA．提示：依据圆心到直线的距离求直线的斜率．２．圆（x－1)2＋(y＋ 3 )2=1的切线方程中有一个是（）A．x－y=0 B．x＋y=0 C．x=0 D．y=0C．提示：依据圆心和半径判断．3．已知直线5x＋12y＋a=0与圆x2＋y2－2x=0相切，则a的值为．－18或8．提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况．４．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2＋y2=2相切，则a的值为（）A．±2 B．±2 C．±2 2 D．±4B．提示：用点到直线的距离公式或用△法．二、【直线与圆相交】１．设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 .0323=--y x ．提示：弦的垂直平分线过圆心．２．设直线ax －y ＋3=0与圆（x －1)2＋(y －2)2=4有两个不同的交点A ，B ，且弦AB 的长为2 3 ，则a 等于．0．提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解．３．设圆上点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，求圆的方程．设圆的方程为（x －a)2＋(y －b)2=r 2, 点A （2，3）关于直线x ＋2y=0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y=0上，a ＋2b=0，又（2－a)2＋(3－b)2=r 2,而圆与直线x －y ＋1=0相交的弦长为2 2 ，，故r 2－2=2,依据上述方程解得：｛b 1=－3a 1=6r 12=52或｛b 2=－7a 2=14r 22=244∴所求圆的方程为（x －6)2＋(y ＋3)2=52，或（x －14)2＋(y ＋7)2=224．三、【对称问题】１．圆(x－2)2＋y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A．(x＋2)2＋y2=5 B．x2＋(y－2)2=5C．(x－2)2＋(y－2)2=5 D．x2＋(y＋2)2=5A．提示：求圆心关于原点的对称点．２．对曲线|x|－|y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点轴对称D．关于y=x轴对称D.提示：画张图看，或考虑有关字母替代规律．３．直线l1：y=－2x＋4关于点M（2，3）的对称直线方程是．2x＋y－10=0．提示：所求直线上任意一点（x,y)关于（2，3）的对称点（4－x,6－y)在已知直线上．４．求直线l1：x＋y－4=0关于直线l：4y＋3x－1=0对称的直线l2的方程．17x＋31y＋86=0．提示：求出两直线的交点，再求一个特殊点关于l的对称点，用两点式写l2的方程；或直接设l2上的任意一点，求其关于l的对称点，对称点在直线l1上．求对称点时注意，一是垂直，二是平分．５．光线经过点A （1，74 ），经直线l ：x ＋y ＋1=0反射，反射线经过点B （1，1）．（1）求入射线所在的方程；（2）求反射点的坐标．（1）入射线所在直线的方程是：5x －4y ＋2=0；（2）反射点（－23 ，－13 ）．提示：用入射角等于反射角原理．四、【轨迹方程】1．已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（）A ．πB ．4πC ．8πD ．9πB ．提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以（2，0）为圆心，2为半径的圆．。

直线与方程常考题型

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直线方程及常考题型

直线与方程典型题(完)

直线与方程试题及答案

高二数学直线与方程精选50题

(完整版)直线与方程测试题(含答案)

直线与方程典型题

直线方程(考题猜想,易错必刷36 题 15种题型)(解析版)—2024-2025学年高二数学上学期

直线与方程综合测试题(比较难)

直线与方程经典练习题