必修2直线与方程知识点总结与题型
高中数学必修2第三章直线与方程知识点归纳及作业
第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、 倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.4、 直线的斜率公式:给定两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,用两点的坐标来表示直线P 1P 2的斜率： 斜率公式: k=y 2-y 1/x 2-x 1 3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即（充要条件）注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有l 1∥l 22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121k k l l =-⇔⊥（充要条件） 3.2.1 直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=-2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y +=3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠y-y 1/y-y 2=x-x 1/x-x 22、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。
必修2直线与方程知识点总结与题型
第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠. 如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A BA B ⇔≠. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.；总结直线系方程1. 与直线：A x +B y +C= 0平行的直线系方程是：A x +B y +m =0.( m ∊R, C ≠m ).2. 与直线：A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是：B x -A y +m =0.( m ∊R)3. 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0)4. 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ∊R ） 注：该直线系不含l 2.两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP .特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；线段12PP 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++.2.定比分点坐标分式，若点P(x,y)分有向线段1212PP PP PP λλ=u u u ru u u r所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λλλλ++=++=1,12121y y y x x x点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+。
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结
高中数学必修二直线与直线方程题型归纳总结知识点归纳概括：1.直线的倾斜角为0°≤α<180°，斜率为k=tanα（α≠90°）。
2.已知两点求斜率公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)（x2≠x1）。
3.两直线平行时，它们的斜率相等；垂直时，它们的斜率之积为-1.4.直线的五种方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。
5.两直线的交点坐标可通过联立两直线方程求得，两点间距离可用距离公式计算。
题型归纳分析：1.直线的倾斜角与斜率的计算。
2.平行和垂直直线的判断及斜率之间的关系。
3.直线的方程及其应用。
4.两直线交点坐标和两点间距离的计算。
例1：过点M(-2,a)和N(a,4)的直线的斜率等于1，则a的值为（）。
A。
1B。
4C。
1或3D。
1或4解析：由题意可得，直线MN的斜率为1，即(k=(4-a)/(a+2)=1)，解得a=2，故选B。
变式1：已知点A(1,3)、B(-1,3)，则直线AB的倾斜角是（）。
A。
60°B。
30°C。
120°D。
150°解析：由斜率公式可得，k=(3-3)/(-1-1)=0，因为斜率为0，所以直线与x轴平行，倾斜角为0°，故选A。
变式2：已知两点A(3,2)、B(-4,1)，求过点C(-1.)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围。
解析：首先求出AB的斜率k1=(1-2)/(-4-3)=-1/7，然后求出点C到直线AB的距离d，d=|(-1-3)×(-1)+(?-2)×(-4+3)|/√((-4+3)²+(1-2)²)=|4-2×(?-1)|/√5，因为直线l与AB有公共点，所以点C到直线l的距离也为d，根据距离公式可得，|k1×(-1)+1×(?-1)-d|/√(k1²+1²)=d，化简得，|k1×(-1)+1×(?-1)|=2d√(k1²+1²)，即|k1+?(?-1)|=2d√(k1²+1²)，因为直线l过点C，所以直线l的斜率为k2=(?-1)/(-1-3)，代入得，|k1+k2|=2d√(k1²+1²)，整理得，|?-1+7k2|=2d√(50)，因为|?-1+7k2|≥0，所以d≥0，又因为√(50)>7，所以|?-1+7k2|≤2d×7，即|?-1+7k2|≤14d，代入得|?-1+7(?-1)/(-1-3)|≤14d，即|-2?-6/(-4)|≤14d，解得-1/2≤d≤1/2，因为d≥0，所以1/2≥d≥0，代入得-1/2≤?-1+7k2≤1/2，解得-3/14≤k2≤1/14，故k2的取值范围为[-3/14,1/14]。
高中数学必修2--第三章《直线与方程》知识点总结与练习
第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[知识能否忆起]一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.二、直线方程的形式及适用条件[小题能否全取]1．(教材习题改编)直线x＋y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( )A．30°B．60°C．150°D．120°解析：选C 由k＝α＝－，α∈[0，π)得α＝150°.2．(教材习题改编)已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为( )A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0解析：选A 由y－5＝－(x＋2)，得3x＋4y－14＝0.3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )A．1 B．4C．1或3 D．1或4解析：选A 由1＝，得m＋2＝4－m，m＝1.4．(2012·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为．解析：＝＝1，＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：45．若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为．解析：由已知得直线l的斜率为k＝－.所以l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.答案：3x＋2y－1＝01.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．典题导入[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝( )A．－1 B．－3C．0 D．2(2)(2012·苏州模拟)直线θ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是．[自主解答] (1)＝＝＝y＋2，因此y＋2＝－1＝－3.(2)由题知k＝－θ，故k∈，结合正切函数的图象，当k ∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪.[答案] (1)B (2)∪由题悟法1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率k＝α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1．(2012·哈尔滨模拟)函数y＝x－x的一条对称轴为x ＝，则直线l：－＋c＝0的倾斜角为( )A．45°B．60°C．120°D．135°解析：选D 由函数y＝f(x)＝x－x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝，即－b＝a，则直线l的斜率为－1，故倾斜角为135°.2．(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段相交，则k的取值范围是( )B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪解析：选D 由题意知直线l恒过定点P(2,1)，如右图．若l与线段相交，则≤k≤.∵＝－2，＝，∴－2≤k≤.典题导入[例2] (1)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是．(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦的中点，则弦所在直线的方程为．[自主解答] (1)设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m＝0，m＝－1.则所求直线方程为x－2y－1＝0.(2)由题意得，×＝－1，所以＝2，故弦所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.[答案] (1)x－2y－1＝0 (2)2x－y－1＝0由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3．(2012·龙岩调研)已知△中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△中平行于边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1)平行于边的中位线就是，中点的连线．因为线段，中点坐标分别为，，所以这条直线的方程为＝，整理一般式方程为得6x－8y－13＝0，截距式方程为－＝1.(2)因为边上的中点为(2,3)，所以边上的中线所在直线的方程为＝，即一般式方程为7x－y－11＝0，截距式方程为－＝1.典题导入[例3] (2012·开封模拟)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P 平分，求此直线的方程．[自主解答] 法一：设点A(x，y)在l1上，点B(，)在l2上．由题意知错误!则点B(6－x，－y)，解方程组错误!得错误!则k＝错误!＝8.故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.法二：设所求的直线方程为y＝k(x－3)，点A，B的坐标分别为(，)，(，)，由错误!解得错误!由错误!解得错误!∵P(3,0)是线段的中点，∴＋＝0，即＋＝0，∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8.若k＝0，则＝1，＝－3，此时＝≠3，∴k＝0舍去，故所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点．(1)当△面积最小时，求直线l的方程；(2)当·取得最小值时，求直线l的方程．解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，，B(0，1－2k)，△的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)∵＝，＝，∴·＝·＝2 ≥2×2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，故直线方程为x＋y－3＝0.[典例] (2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[尝试解题] (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，此时截距相等．故a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得＝a－2，即a＋1＝1，故a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，则错误!或错误!∴a≤－1.综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．——————[易错提醒]———————————————————————————1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x轴与y轴上的截距为零时也满足.2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.——————————————————————————————————————针对训练过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为．解析：①当过原点时，直线方程为y＝－x；②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a.代入点(3，－4)，得a＝7.即直线方程为x－y－7＝0.答案：y＝－x或x－y－7＝01．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝＋b必经过定点( )A．(1，－2) B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)解析：选A 因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b ＝－2，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程是( )A．2x＋11y＋38＝0 B．2x＋11y－38＝0C．2x－11y－38＝0 D．2x－11y＋16＝0解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x＋11y＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得＝，解得C＝16(舍去)或C＝－38.3．(2012·衡水模拟)直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为( ) A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)解析：选D ∵l1∥l2，且l1斜率为2，∴l2的斜率为2.又l2过(－1,1)，∴l2的方程为y－1＝2(x＋1)，整理即得y＝2x＋3.令x＝0，得P(0,3)．4．(2013·佛山模拟)直线＋＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )A．＞0，＜0 B．＞0，＞0C．＜0，＞0 D．＜0，＜0解析：选A 由于直线＋＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－，易知－＜0且－＞0，故＞0，＜0.5．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )A．y＝－x＋B．y＝－x＋1C．y＝3x－3 D．y＝x＋1解析：选A 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.6．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )A．－2 B．－7C．3 D．1解析：选C 线段的中点代入直线x＋2y－2＝0中，得m＝3.7．(2013·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是．解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解得k＜－1或k＞.答案：(－∞，－1)∪8．(2012·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为．解析：直线l过原点时，l的斜率为－，直线方程为y＝－x；l不过原点时，设方程为＋＝1，将点(－2,3)代入，得a＝1，直线方程为x＋y＝1.综上，l的方程为x＋y－1＝0或2y＋3x＝0.答案：x＋y－1＝0或3x＋2y＝09．(2012·天津四校联考)不论m取何值，直线(m－1)x－y ＋2m＋1＝0恒过定点．解析：把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0整理得(x＋2)m－(x＋y－1)＝0，则错误!得错误!答案：(－2,3)10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程．解：设所求直线方程为＋＝1，由已知可得错误!解得错误!或错误!故直线l的方程为2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.11．(2012·莆田月考)已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线的方程；(2)已知实数m∈，求直线的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m＝－1时，直线的方程为x＝－1；当m≠－1时，直线的方程为y－2＝(x＋1)．(2)①当m＝－1时，α＝；②当m≠－1时，m＋1∈∪(0， ]，∴k＝∈(－∞，－ ]∪，∴α∈∪.综合①②知，直线的倾斜角α∈.12.如图，射线、分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线分别交、于A、B两点，当的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线的方程．解：由题意可得＝45°＝1，＝(180°－30°)＝－，所以直线：y＝x，：y＝－x.设A(m，m)，B(－n，n)，所以的中点，由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得错误!解得m＝，所以A(， )．又P(1,0)，所以＝＝＝，所以：y＝(x－1)，即直线的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.1．若直线l：y＝－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )解析：选B 由错误!解得错误!∵两直线交点在第一象限，∴错误!解得k＞错误!.∴直线l的倾斜角的范围是.2．(2012·洛阳模拟)当过点P(1,2)的直线l被圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝5截得的弦最短时，直线l的方程为．解析：易知圆心C的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短．由C(2,1)，P(1,2)可知直线的斜率为＝－1，设直线l的斜率为k，则k×(－1)＝－1，得k＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝03．已知直线l：－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设△的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解：(1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，则0－y0＋1＋2k＝0对任意k ∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，∴x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．(2)直线l的方程为y＝＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则错误!解得k的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴，B(0,1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，∴k>0.故S＝＝×(1＋2k)＝≥(4＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.1．(2012·郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为( )A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0解析：选B ∵1＝3，2＝－k，l1⊥l2，∴k＝，l2的方程为y＝－x＋5，即x＋3y－15＝0.2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是．解析：k＝α＝＝.∵α为钝角，∴＜0，即(a－1)(a＋2)＜0，故－2＜a＜1.答案：(－2,1)3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点如图，求△的面积的最小值及此时直线l的方程．解：设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1，∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.∴1＝＋≥2，即≥24.∴S△＝≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4时，△的面积最小，最小值为12.此时直线l的方程为＋＝1.即2x＋3y－12＝0.第二节两直线的位置关系[知识能否忆起]一、两条直线的位置关系二、两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组错误!的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．三、几种距离1．两点间的距离平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：d(A，B)＝＝.2．点到直线的距离点P(x1，y1)到直线l：＋＋C＝0的距离d＝.3．两条平行线间的距离两条平行线＋＋C1＝0与＋＋C2＝0间的距离d＝.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)．若l1⊥l2，则实数m为( )A．6 B．－6C．5 D．－5解析：选B 由已知得k1＝1，k2＝.∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴1×＝－1，即m＝－6.2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为( )C．5解析：选B d＝＝.3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)C．(－a，－b) D．(－b，－a)解析：选B 设对称点为(x′，y′)，则错误!解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.4．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线＋3y＋5＝0上，则m的值为( )A．3 B．5C．－5 D．－8解析：选D 由错误!得l1与l2的交点坐标为(1,1)．所以m＋3＋5＝0，m＝－8.5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是．解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝，得m＝10或－20.答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝01.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为＋＋C＝0的形式，否则会出错．典题导入[例1] (2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[自主解答] 由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.[答案] A在本例中若l1⊥l2，试求a.解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0，∴a＝－.由题悟法1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．(1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y ＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.以题试法1．(2012·大同模拟)设a，b，c分别是△中角A，B，C所对的边，则直线A＋＋c＝0与－B＋C＝0的位置关系是( ) A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直解析：选C 由已知得a≠0，B≠0，所以两直线的斜率分别为k1＝－)，k2＝B)，由正弦定理得k1·k2＝－)·B)＝－1，所以两条直线垂直．典题导入[例2] (2012·浙江高考)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝.[自主解答] 因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝.[答案]由题悟法1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：(1)点P(x0，y0)到与y轴垂直的直线y＝a的距离d＝0－.(2)点P(x0，y0)到与x轴垂直的直线x＝b的距离d＝0－.以题试法2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋＋c ＝0之间的距离为，则c的值是．解析：由题意得＝≠，得a＝－4，c≠－2，则6x＋＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，则＝，解得c＝2或－6.答案：2或－6典题导入[例3] (2012·成都模拟)在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( ) A．2 B．6C．3 D．2[自主解答] 如图，设点P关于直线，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△的周长＝＋＋＝＋＋＝＝＝2即为光线所经过的路程．[答案] A由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足错误!②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．(2)轴对称①点A(a，b)关于直线＋＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有错误!②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．以题试法3．(2012·南京调研)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0解析：选A 与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.[典例] (2012·银川一中月考)求经过直线l1： 3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[常规解法] 解方程组错误!得l1，l2的交点坐标为(－1,2)．由l3的斜率得l的斜率为－.则由点斜式方程可得l的方程为y－2＝－(x＋1)即5x＋3y －1＝0.——————[高手支招]———————————————————————————运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线＋＋C＝0平行的直线系方程是＋＋m＝0(m∈R且m≠C)；(2)与直线＋＋C＝0垂直的直线系方程是－＋m＝0(m∈R)；(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.——————————————————————————————————————[巧思妙解] 由于l过l1，l2的交点，故可设l的方程为3x ＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率－＝－，得λ＝.代入直线系方程得l方程5x＋3y－1＝0.针对训练求与直线2x＋6y－11＝0平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6的直线方程．解：由题意，设所求直线方程为2x＋6y＋b＝0.令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－，则直线2x＋6y＋b＝0与坐标轴的交点坐标分别为，.又所围成的三角形面积S＝··＝·＝6，所以b2＝144，所以b＝±12.故所求直线方程为2x＋6y＋12＝0或2x＋6y－12＝0.即为x＋3y＋6＝0或x＋3y－6＝0.1．(2012·海淀区期末)已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 由k1＝k2,1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．2．当0＜k＜时，直线l1：－y＝k－1与直线l2：－x＝2k 的交点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B 解方程组错误!得两直线的交点坐标为错误!，因为0＜k＜，所以＜0，＞0，故交点在第二象限．3．(2012·长沙检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )C．4 D．8解析：选B ∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋＝0，∴直线l1与直线l2的距离为＝.4．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)解析：选B 由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)．5．已知直线l1：y＝2x＋3，若直线l2与l1关于直线x＋y ＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )A．－2 B．－D．2解析：选A 依题意得，直线l2的方程是－x＝2(－y)＋3，即y＝x＋，其斜率是，由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.6．(2012·岳阳模拟)直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5,1)．则l的方程是( ) A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0C．x＋3y－8＝0 D．x－3y－4＝0解析：选C 设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4的方程为x＋3y－8＝0.7．(2012·郑州模拟)若直线l1：＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a的值为．解析：由2a＋2(a＋1)＝0得a＝－.答案：－8．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0,1,2.答案：0,1,29．(2013·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是．解析：由题意得，点到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．答案：[0,10]10．(2013·舟山模拟)已知＋＝1(a＞0，b＞0)，求点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值．解：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，当且仅当a2＝2b2，a＋b＝，即a＝1＋，b＝时取等号．所以点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为.11．(2012·荆州二检)过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长＝，求直线l 的方程．解：设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，由错误!解得；由错误!解得错误!.∵＝，∴＝，整理，得7k2－48k－7＝0，解得k1＝7或k2＝－.因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.12．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．∵′·＝－1，即×3＝－1.①又′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×－＋3＝0.②由①②得错误!(1)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.1．点P到点A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为，这样的点P的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C ∵点P到点A和定直线距离相等，∴P点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.设P(t2,2t)，则＝，解得t1＝1，t2＝1＋，t3＝1－，故P点有三个．2．(2012·福建模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是( )A．2 B．2C．4 D．2解析：选C 设原点到点(m，n)的距离为d，所以d2＝m2＋n2，又因为(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y－10＝0的距离为d的最小值，此时d＝＝2，所以m2＋n2的最小值为4.3．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大．解：如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接′并延长交l于P，此时的P满足－的值最大．设B′的坐标为(a，b)，则′·＝－1，即3·＝－1.则a＋3b－12＝0.①又由于线段′的中点坐标为，且在直线l上，则3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.②解①②，得a＝3，b＝3，即B′(3,3)．于是′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.解错误!得错误!即l与′的交点坐标为P(2,5)．1．点(1，θ)(其中0≤θ≤π)到直线θ＋θ－1＝0的距离是，那么θ等于( )或或解析：选B 由已知得θ＋2θ－1|,2θ＋2θ)＝，即θ－2θ|＝，∴42θ－4 θ－1＝0或42θ－4 θ＋1＝0，∴θ＝或θ＝.∵0≤θ≤π，∴0≤θ≤1，∴θ＝，即θ＝或.2．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0解析：选B l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设其关于l的对称点(x，y)，则错误!得错误!即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2方程为x－2y－1＝0.3．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：法一：由错误!得错误!即反射点M的坐标为(－1,2)．又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l 的对称点P′(x0，y0)，由′⊥l可知，′＝－＝.而′的中点Q的坐标为，Q点在l上，即3·－2·＋7＝0.由错误!得错误!根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.法二：设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l 的对称点为P′(x，y)，则＝－，又′的中点在l上，即3×－2×＋7＝0，由错误!可得P点的坐标为x0＝，y0＝，代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，故所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.。
必修2初中数学第三章直线与方程知识点
直线与方程知识点一、基础知识回顾1.倾斜角与斜率 知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.注意: 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠︒的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=. 注意: 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-. 知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k ．知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =-注意：1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在. 2.直 线 的 方 程知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意：⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 . 知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标.知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. 知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程为1=+bya x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线（2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +0C += 3、直线的交点坐标与距离知识点11： 两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.知识点12：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则12PP =特殊地：(,)P x y 与原点的距离为OP 知识点13：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：d =.知识点14：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为d =知识点15：巧妙假设直线方程：（1）与10Ax By C ++=平行的直线可以假设成：20Ax By C ++=（C 1和C 2不相等） （2）与0Ax By C ++=垂直的直线可以假设成：Bx -Ay+m=0 （3）过1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线可以假设成A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0（该方程不包括直线2:l )知识点16：1l :A 1x+B 1y+C 1=0和2:l A 2x+B 2y+C 2=0垂直等价于：A 1A 2+B 1B 2=0(A 1和B 1不全为零；A 2和B 2不全为零；)知识点17：中点坐标公式:1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121,22x x y y x y ++==. 例题解析例1. 在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求 ⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.例2.点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ）. A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)-思考：（1）点关于点的对称点如何求？ （2）线关于点的对称线如何求？ （3）线关于线的对称线如何求？例3. 求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例4．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（ ）. A ．恒过定点(2,3)- B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(2,3)-和(2,3) D ．都是平行直线 例5．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -0=. ⑴若12//l l ，试求a 的值；⑵若12l l ⊥，试求a 的值例6 .已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值. ⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.例7. 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.例8点P(x,y)在x+y-4=0上，则x 2+y 2最小值为多少？巩固练习：1．已知点(3,)m 到直线40x -=的距离等于1，则m =（ ）.A B ． C ． D 2．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a = .3．将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是 .4．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ， ⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程； ⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围。
必修2第三章 直线与方程知识点归纳、习题汇总(精选)
3.1倾斜角和斜率1.直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2.倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3.直线的斜率:直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做直线的斜率,常用k 表示,即 k = tan α.⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 注意：由此可知, 直线的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.4. 斜率公式:若直线过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,斜率公式: k=y 2-y 1/x 2-x 1 . 【题型1】求直线斜率33-D. 33C. 3-B. 3.A 120.1的斜率为（），则直线的倾斜角为若直线l l ︒ 34D. 43C. 34B. 43A..,53sin .2±±=则此直线的斜率为（），若已知直线的倾斜角为αα21D.C.2 21-B. 2-A..52B 31A .3率为（））两点，则此直线的斜，（），，（若直线过 31-D. 31C. 3-B. A.3.013.4的斜率是（）直线=+-y x 【题型2】求直线倾斜角︒︒︒︒D.135C.60 B.45 A.30.1.1的倾斜角为（），则直线的斜率为若直线l l︒︒︒︒=+- D.90C.60 B.45 A.30.0122.2的倾斜角为（）：直线y x l，不存在，不存在，，（）的倾斜角和斜率分别是直线︒︒︒︒-= D.180 C.90 1B .135 1A.45.1.3x不存在的倾斜角为（）直线 D. C.90 B.45 A.0.1.4︒︒︒=y【题型3】直线斜率大小比较123321213231321321 D. C. B. A...1k k k k k k k k k k k k k k k l l l <<<<<<<<，则必有（）、、的斜率分别为、、如图，直线【题型4】求直线斜率、倾斜角范围)2[ ]4D.[0 ]4[0 C. )43[ ]4[0 B. )[0 A..))(1(B )12(A 2.) [0,]1D. ]1 C. ) B.[-1, A.1350.12ππππππππαα，，，，，，（）的倾斜角的取值范围为两点，那么直线，，，经过点直线，（，（），（）的斜率的取值范围为（，则直线，且的倾斜角为已知直线⋃⋃∈∞+⋃-∞--∞-∞+∞+∞-≤≤︒︒l R m m l l l3.2.1 点斜式方程1.点斜式方程：（1）条件：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k .（2）方程：2.斜截式方程：（1）条件：直线l 的斜率为k ，与y 轴的交点为),0(b .（2）方程：3.2.2 两点式方程1.两点式方程：（1）条件：两点),(),,(222111y x P y x P其中),(2121y y x x ≠≠.（2）方程：2.截距式方程：（1）条件：直线l 与x 、y 轴的交点分别为A )0,(a 、B ),0(b ，其中0,0≠≠b a . （2）方程：3.2.3 直线的一般方程1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程 （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。
必修二-直线与方程知识点总结
直线与方程总结 【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. 【知识点三：直线的方程】（1）直线方程的几种形式问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式； 利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0a b ≠≠，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。
必修2-直线与方程知识点归纳总结
第三章 直线与方程直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。
②经过两点),(),,(222111y x P y x P （21x x ≠）的直线的斜率公式是1212x x y y k --=（21x x ≠） ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。
特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性点斜式 )(11x x k y y -=- ),(11y x 为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式 b kx y +=k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式121121x x x x y y y y --=--),(2121y y x x ≠≠其中),(),,(2211y x y x 是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 1=+by a xa 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线一般式 0=++C By Ax ）不同时为其中0,(B A A ，B ，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。
高一数学必修2直线与方程知识点总结
高一数学必修2直线与方程知识点总结（一）高一数学必修2直线与方程知识点总结一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，; 当时，; 当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：( )直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：(A，B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数); 平行于y轴的直线：(a 为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线( 是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线( 是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为( 为参数)，其中直线不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解; 方程组有无数解与重合(8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
高中直线与方程知识点解析及经典例题
高中数学必修2知识点——直线与方程一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即0tan (90)k αα=≠。
斜率反映直线与x 轴的倾斜程度。
当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈时，0<k ； 当90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )A.120°B.150°C.60°（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）即不包含于平行于x 轴或y 直线两点轴的直线，直线两点()11,y x ，()22,y x ，当写成211211()()()()x x y y y y x x --=--的形式时，方程可以表示任何一条直线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必修2直线与方程知识点总结与题型-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x BB=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠. 如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A BA B ⇔≠. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.；总结直线系方程1. 与直线：A x +B y +C= 0平行的直线系方程是：A x +B y +m =0.( m ∊R, C ≠m ).2. 与直线：A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是：B x -A y +m =0.( m ∊R)3. 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0)4. 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ∊R ） 注：该直线系不含l 2.两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP =特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；线段12PP 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++.2.定比分点坐标分式，若点P(x,y)分有向线段1212PP PP PP λλ=所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λλλλ++=++=1,12121y y y x x x点到直线的距离及两平行线距离1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =。
推导过程：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222d A BA B==++关于点对称和关于直线对称1.关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.2.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. 3.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方 程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.一.选择题1.过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A. 012=-+y x B. 052=-+y x C. 052=-+y x D. 072=+-y x3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0斜率存在，倾斜角为θ，且sin cos 0θθ+=,则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23-D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. 已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或2 10、若图中的直线L 1、L 2、L 3）A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211.直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直，则m 值是( )A.21或2 B.21或-2 C .21 D.2或-212、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 13. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0L 1xo14. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C.2D.22 15. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫⎝⎛54 ，52-C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________.2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a 的值为________________.3.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是 。
4.若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是 ①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 三.解答题1.已知两条直线)(12:12,:2416l x m y m l mx y ++=-+=-. m 为何值时, 12:l l 与 （1）相交 （2）平行 （3）垂直2. 求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.3.求平行于直线20,x y --=且与它的距离为的直线方程。