直线与方程常考题型
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（2）直线过象限问题，考虑斜率和在y轴上 的截距的取值（正、负或者0）
变式训练 7、设直线l的方程为(a 1)x y 2 a 0(a R) (1)求直线l所过的定点； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
(1)1,3
(2) ,1
8、若含两个参数 比如直线(3m n)x (m 2n) y n 0.
第三节 点、线综合
题型二、几何方法求最值问题 1、在直线l上求一点P，使PA PB取得最小值：
(1)若点A，B在直线l的同侧，则作点A(或点B)关于l的
对称点A' (或点B' )，连接A'B(或AB' )交l于点P，则点 P即为所求； (2)若点A，B位于直线 l的异侧，直接连接 AB交l于点P，
x2
x1 2
y1 x1
x2 B y1 2
• A 1 B
y2
C 0,
可得到点P1关于l对称的 点P2的坐标 x2 , y2 (其中B
0,
x1 x2 ).
第三节 点、线综合
(2)直线关于直线对称
若直线l1与对称轴 l相交
则l1与l的交点一定在对称直线l2上，且l1上任一异于交点的点P1 关于直线l对称的点P2在直线l2上，用两点式即可求得l2的方程.
第二节 两条直线的位置关系
题型三、距离问题
1、已知P（1 x1, y1), P2 (x2, y2 ), 则P1, P2间的距离为：
P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2
特别地，原点 O(0，0)与任一点P(x, y)的距离
OP x2 y2
第二节 两条直线的位置关系
题型三、距离问题 例4、教材例3
题型三、距离问题
例6、直线l1过A(0,1),l2过B(5,0)，如果l1 // l2, 且l1与l2的 距离为5，求直线l1与l2的方程.
第三节 点、线综合
题型一、对称问题
1、中心对称
（1）点关于点对称
若点M (x1, y1)及N(x2, y2 )关于点P(a,b)对称，则由中点
坐标公式得a b
A. 1
B. 1 C.2
D. 2
2
2
2.直线 3x y a 0的倾斜角为（ B）
A.30
B.60 C.150 D.120
3.已知直线l : x cos y 2 0,则l倾斜角的范围
是 ____________.
0，4
3 4
，
第一节 直线的倾斜角、斜率与方程
题型一、直线的倾斜角与斜率
第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ B ）
A.6
,
3
B. ,
6 2
C. ,
3 2
D.6
,
2
第二节 两条直线的位置关系
斜截式
一般式
直线方程
y k1x b1 y k2 x b2
A1x B1 y C1 0 A2x B2 y C2 0
平行
k1 k2且b1 b2
BA12BC21
1 , 3 7 7
变式训练
9、已知点 A(1,3), B(2,1), 若直线l：y k(x 2) 1
与线段AB相交，则 k的取值范围是（ D ）
A.k 1 2
B.k 2
C.k 1 或k 2 D. 2 k 1
2
2
10、若直线l : y kx 3与直线2x 3y 6 0的交点位于
例2、已知A 2,3, B(3,2),过点P(0,2)的直线l与线段AB没有
公共点，则直线l的斜率的取值范围是____________ .
5 , 4 2 3
练习4：同步解析例2、变式训练4以及教材B 组第6题
第一节 直线的倾斜角、斜率与方程
题型二、求直线的方程
例3、求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)直线l关于点A对称的直线 l';
(4)直线m : 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m'的 方程.
第三节 点、线综合
题型一、对称问题
变式训练1：
直线x 2y 3 0与直线ax 4y b 0关于点A(1,0)对称， 则b _2_______.
第三节 点、线综合
题型一、对称问题
(3)在直线l上求一点 M，使得点 M到A(4,1)和C(3,4) 的距离之和最小； (4)在直线l上求一点 N，使得点 N到A(4,1)和C(3,4) 的距离之差最大 .
第三节 点、线综合
题型二、几何方法求最值问题
变式训练
3、已知A(3,1)，B(5,2)，点P在直线x y 0上，若使
PA PB取最小值，则点P的坐标是（ C）
变式训练2：
已知点A(4,4)，直线l : 3x y 2 0, (1)若点A关于点P对称的点为A' (0,2)，求点P的坐标； (2)求点A关于直线l的对称点A''的坐标； (3)求直线l关于点A的对称直线l '的方程； (4)求直线l关于直线m：x y 6 0对称的直线l''; (5)求直线n : 3x y 1 0关于l对称的直线n'.
A（. 1，-1） B.(1,1)
C.(13 , 13) 55
D.(2,2)
4、已知A(1,3), B(5,2)，点P在x轴上，则使AP BP
取最大值的点P的坐标是（ B ）
A（. 4，0） B（. 13，0） C.(5,0)
D.(1,0)
变式训练：将 A，B坐标改为A(7,4), B(5,6). 法一：同例3，求得x 1
6
法二：结合图象发现所求的点就是线段AB的垂直平分线 与x轴的交点.
故可先求出线段AB的垂直平分线，再求它与x轴的交点 坐标即为点P的坐标.最后求出PA.
第二节 两条直线的位置关系
题型三、距离问题
2、点P0 (x0, y0 )到直线l : Ax By C 0的距离
第二节 两条直线的位置关系
题型三、距离问题
3、已知两平行直线 l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0，
（C1 C2）
则l1与l2之间的距离d
C1 C2 A2 B2
注意：应用公式之前一定要将两条直线方程中
x和 y 的系数化成相同的！
第二节 两条直线的位置关系
若直线l1与对称轴 l平行
则对称直线l2与它们平行，可先根据平行直线设出l2的方程， 再利用l1与l2到对称轴的距离相等列出等式求得参数即可.
第三节 点、线综合
题型一、对称问题
例1、已知直线l：2x 3y 1 0,点A(1,2)，求： (1)点A关于点P(2,3)的对称点A'；
(2)点A关于直线 l的对称点 A''的坐标；
(3)若方程组有无数组解， 则l1与l2 重合
第二节 两条直线的位置关系
题型二、两条直线的交点问题
例3、已知直线l经过两直线x 2y 4 0和x y 2 0的 交点P， (1)若直线l经过点Q(2,1)，求直线l的方程； (2)若直线l与直线3x 4y 5 0垂直,求直线l的方程.
d Ax0 By0 C A2 B2
当A 0,或B 0时，上述公式也成立 .
特别地，点P（0 x0, y0)到直线x a的距离d x0 a 到直线y b的距离d y0 b
第二节 两条直线的位置关系
题型三、距离问题
例5、已知点P(2,1). (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程， 最大距离是多少？
题型一、两条直线的平行与垂直
例1、已知直线l1 : (3 m)x 4 y 5 3m,l2 : 2x (5 m) y 8. 求当m为何值时，使l1与l2 :
（1）平行；（2）相交；（3）垂直.
第二节 两条直线的位置关系
题型一、两条直线的平行与垂直
例2、求过点P(0,2)且与直线l : 3x 4y 5 0 （1）平行的直线l1（; 2）垂直的直线l2.
第二节 两条直线的位置关系
题型二、两条直线的交点问题
设直线l1 : A1x B1y C1 0,l2 : A2x B2 y C2 0, 将这两条 直线的方程联立，得方程组
A1x A2 x
B1 y C1 0, B2 y C2 0，
(1)若方程组有唯一解，则 l1与l2 相交
此解就是 l1, l2交点的坐标； (2)若方程组无解，则 l1与l2 无公共点 此时l1 // l2
变式： 6、将(4)改为“倾斜角是 y 3x倾斜角的2倍”.
第一节 直线的倾斜角、斜率与方程
题型三、直线方程的应用
例4、已知直线l : kx y 1 2k 0(k R), (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围.
分析：（1）直线过定点问题，令参数的系数等于0
则点P即为所求.简记为：同侧对称异侧连！
2、在直线l上求一点P，使 PA PB 取得最大值，其方法
与1恰好相反，即：异侧对称同侧连！
第三节 点、线综合
题型二、几何方法求最值问题
例2、已知直线l：3x y 1 0 (1)在直线l上求一点P，使得点P到A(4,1)和B(0,4) 的距离之和最小； (2)在直线l上求一点 Q，使得点 Q到A(4,1)和B(0,4) 的距离之差最大；
直线与方程常考题型
第一节 直线的倾斜角、斜率与方程
题型一、直线的倾斜角与斜率
例1、直线l经过点A1,2,在x轴上的截距的取值范围 是- 3，3，
则其斜率的取值范围是（ D）
A. 1 k 1 5
C.k 1 或k 1 5
B.k 1或k 1 2
D.k 1 或k 1 2
变式训练
1.已知直线的方程为 x 2y 6 0,则该直线的斜率为 (B )
(2)经过点A(3,4)且与两坐标轴围成一个 等腰直角三角形；
(3)经过点A(3,4)且与两坐标轴围成的三 角形的面积为 3.
变式：5、将(3)中“经过点A(3,4)”改为“斜率为1”
6
第一节 直线的倾斜角、斜率与方程
题型二、求直线的方程
(4)经过点A(1,3)，斜率是直线y 3x的斜率的 1 ; 4
法二：结合图象知点P到两直线的距离相等，
所以列方程求得m即可.
第三节 点、线综合
2、轴对称
(1)点关于直线对称
若两点P1(x1, y1)与P2 (x2 , y2 )关于直线 l : Ax By C 0
对称，则 线段P1P2的中点在l上； 连接P1P2的直线垂直于l.
由方程组
A
y2
Leabharlann Baidu
A2 B1 B1C2
0 0
或
A1B2 A1C2
A2 B1 A2C1
0 0
相交
k1 k2
A1B2 A2B1 0
垂直
k1k2 1
A1A2 B1B2 0
重合
k1 k2且b1 b2
BA12BC21
A2 B1 B1C2
00或
A1B2 A1C2
A2 B1 A2C1
0 0
第二节 两条直线的位置关系
x1 y1
2 2
x2 y2
, .
已知任意两个点可求第三个点！
第三节 点、线综合
(2)直线关于点对称 求直线l1：Ax By C 0关于点P(a,b)对称的直线 l2.
结合图象知 l1 // l2 所以可设l2的直线方程为： Ax By m 0(m C)
法一：在l1上任取一点 A，求出其关于点 P对称的点B， 点B一定在直线 l2上，将其代入 l2的方程求出 m即可.
变式训练 7、设直线l的方程为(a 1)x y 2 a 0(a R) (1)求直线l所过的定点； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
(1)1,3
(2) ,1
8、若含两个参数 比如直线(3m n)x (m 2n) y n 0.
第三节 点、线综合
题型二、几何方法求最值问题 1、在直线l上求一点P，使PA PB取得最小值：
(1)若点A，B在直线l的同侧，则作点A(或点B)关于l的
对称点A' (或点B' )，连接A'B(或AB' )交l于点P，则点 P即为所求； (2)若点A，B位于直线 l的异侧，直接连接 AB交l于点P，
x2
x1 2
y1 x1
x2 B y1 2
• A 1 B
y2
C 0,
可得到点P1关于l对称的 点P2的坐标 x2 , y2 (其中B
0,
x1 x2 ).
第三节 点、线综合
(2)直线关于直线对称
若直线l1与对称轴 l相交
则l1与l的交点一定在对称直线l2上，且l1上任一异于交点的点P1 关于直线l对称的点P2在直线l2上，用两点式即可求得l2的方程.
第二节 两条直线的位置关系
题型三、距离问题
1、已知P（1 x1, y1), P2 (x2, y2 ), 则P1, P2间的距离为：
P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2
特别地，原点 O(0，0)与任一点P(x, y)的距离
OP x2 y2
第二节 两条直线的位置关系
题型三、距离问题 例4、教材例3
题型三、距离问题
例6、直线l1过A(0,1),l2过B(5,0)，如果l1 // l2, 且l1与l2的 距离为5，求直线l1与l2的方程.
第三节 点、线综合
题型一、对称问题
1、中心对称
（1）点关于点对称
若点M (x1, y1)及N(x2, y2 )关于点P(a,b)对称，则由中点
坐标公式得a b
A. 1
B. 1 C.2
D. 2
2
2
2.直线 3x y a 0的倾斜角为（ B）
A.30
B.60 C.150 D.120
3.已知直线l : x cos y 2 0,则l倾斜角的范围
是 ____________.
0，4
3 4
，
第一节 直线的倾斜角、斜率与方程
题型一、直线的倾斜角与斜率
第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ B ）
A.6
,
3
B. ,
6 2
C. ,
3 2
D.6
,
2
第二节 两条直线的位置关系
斜截式
一般式
直线方程
y k1x b1 y k2 x b2
A1x B1 y C1 0 A2x B2 y C2 0
平行
k1 k2且b1 b2
BA12BC21
1 , 3 7 7
变式训练
9、已知点 A(1,3), B(2,1), 若直线l：y k(x 2) 1
与线段AB相交，则 k的取值范围是（ D ）
A.k 1 2
B.k 2
C.k 1 或k 2 D. 2 k 1
2
2
10、若直线l : y kx 3与直线2x 3y 6 0的交点位于
例2、已知A 2,3, B(3,2),过点P(0,2)的直线l与线段AB没有
公共点，则直线l的斜率的取值范围是____________ .
5 , 4 2 3
练习4：同步解析例2、变式训练4以及教材B 组第6题
第一节 直线的倾斜角、斜率与方程
题型二、求直线的方程
例3、求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)直线l关于点A对称的直线 l';
(4)直线m : 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m'的 方程.
第三节 点、线综合
题型一、对称问题
变式训练1：
直线x 2y 3 0与直线ax 4y b 0关于点A(1,0)对称， 则b _2_______.
第三节 点、线综合
题型一、对称问题
(3)在直线l上求一点 M，使得点 M到A(4,1)和C(3,4) 的距离之和最小； (4)在直线l上求一点 N，使得点 N到A(4,1)和C(3,4) 的距离之差最大 .
第三节 点、线综合
题型二、几何方法求最值问题
变式训练
3、已知A(3,1)，B(5,2)，点P在直线x y 0上，若使
PA PB取最小值，则点P的坐标是（ C）
变式训练2：
已知点A(4,4)，直线l : 3x y 2 0, (1)若点A关于点P对称的点为A' (0,2)，求点P的坐标； (2)求点A关于直线l的对称点A''的坐标； (3)求直线l关于点A的对称直线l '的方程； (4)求直线l关于直线m：x y 6 0对称的直线l''; (5)求直线n : 3x y 1 0关于l对称的直线n'.
A（. 1，-1） B.(1,1)
C.(13 , 13) 55
D.(2,2)
4、已知A(1,3), B(5,2)，点P在x轴上，则使AP BP
取最大值的点P的坐标是（ B ）
A（. 4，0） B（. 13，0） C.(5,0)
D.(1,0)
变式训练：将 A，B坐标改为A(7,4), B(5,6). 法一：同例3，求得x 1
6
法二：结合图象发现所求的点就是线段AB的垂直平分线 与x轴的交点.
故可先求出线段AB的垂直平分线，再求它与x轴的交点 坐标即为点P的坐标.最后求出PA.
第二节 两条直线的位置关系
题型三、距离问题
2、点P0 (x0, y0 )到直线l : Ax By C 0的距离
第二节 两条直线的位置关系
题型三、距离问题
3、已知两平行直线 l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0，
（C1 C2）
则l1与l2之间的距离d
C1 C2 A2 B2
注意：应用公式之前一定要将两条直线方程中
x和 y 的系数化成相同的！
第二节 两条直线的位置关系
若直线l1与对称轴 l平行
则对称直线l2与它们平行，可先根据平行直线设出l2的方程， 再利用l1与l2到对称轴的距离相等列出等式求得参数即可.
第三节 点、线综合
题型一、对称问题
例1、已知直线l：2x 3y 1 0,点A(1,2)，求： (1)点A关于点P(2,3)的对称点A'；
(2)点A关于直线 l的对称点 A''的坐标；
(3)若方程组有无数组解， 则l1与l2 重合
第二节 两条直线的位置关系
题型二、两条直线的交点问题
例3、已知直线l经过两直线x 2y 4 0和x y 2 0的 交点P， (1)若直线l经过点Q(2,1)，求直线l的方程； (2)若直线l与直线3x 4y 5 0垂直,求直线l的方程.
d Ax0 By0 C A2 B2
当A 0,或B 0时，上述公式也成立 .
特别地，点P（0 x0, y0)到直线x a的距离d x0 a 到直线y b的距离d y0 b
第二节 两条直线的位置关系
题型三、距离问题
例5、已知点P(2,1). (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； (2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程， 最大距离是多少？
题型一、两条直线的平行与垂直
例1、已知直线l1 : (3 m)x 4 y 5 3m,l2 : 2x (5 m) y 8. 求当m为何值时，使l1与l2 :
（1）平行；（2）相交；（3）垂直.
第二节 两条直线的位置关系
题型一、两条直线的平行与垂直
例2、求过点P(0,2)且与直线l : 3x 4y 5 0 （1）平行的直线l1（; 2）垂直的直线l2.
第二节 两条直线的位置关系
题型二、两条直线的交点问题
设直线l1 : A1x B1y C1 0,l2 : A2x B2 y C2 0, 将这两条 直线的方程联立，得方程组
A1x A2 x
B1 y C1 0, B2 y C2 0，
(1)若方程组有唯一解，则 l1与l2 相交
此解就是 l1, l2交点的坐标； (2)若方程组无解，则 l1与l2 无公共点 此时l1 // l2
变式： 6、将(4)改为“倾斜角是 y 3x倾斜角的2倍”.
第一节 直线的倾斜角、斜率与方程
题型三、直线方程的应用
例4、已知直线l : kx y 1 2k 0(k R), (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围.
分析：（1）直线过定点问题，令参数的系数等于0
则点P即为所求.简记为：同侧对称异侧连！
2、在直线l上求一点P，使 PA PB 取得最大值，其方法
与1恰好相反，即：异侧对称同侧连！
第三节 点、线综合
题型二、几何方法求最值问题
例2、已知直线l：3x y 1 0 (1)在直线l上求一点P，使得点P到A(4,1)和B(0,4) 的距离之和最小； (2)在直线l上求一点 Q，使得点 Q到A(4,1)和B(0,4) 的距离之差最大；
直线与方程常考题型
第一节 直线的倾斜角、斜率与方程
题型一、直线的倾斜角与斜率
例1、直线l经过点A1,2,在x轴上的截距的取值范围 是- 3，3，
则其斜率的取值范围是（ D）
A. 1 k 1 5
C.k 1 或k 1 5
B.k 1或k 1 2
D.k 1 或k 1 2
变式训练
1.已知直线的方程为 x 2y 6 0,则该直线的斜率为 (B )
(2)经过点A(3,4)且与两坐标轴围成一个 等腰直角三角形；
(3)经过点A(3,4)且与两坐标轴围成的三 角形的面积为 3.
变式：5、将(3)中“经过点A(3,4)”改为“斜率为1”
6
第一节 直线的倾斜角、斜率与方程
题型二、求直线的方程
(4)经过点A(1,3)，斜率是直线y 3x的斜率的 1 ; 4
法二：结合图象知点P到两直线的距离相等，
所以列方程求得m即可.
第三节 点、线综合
2、轴对称
(1)点关于直线对称
若两点P1(x1, y1)与P2 (x2 , y2 )关于直线 l : Ax By C 0
对称，则 线段P1P2的中点在l上； 连接P1P2的直线垂直于l.
由方程组
A
y2
Leabharlann Baidu
A2 B1 B1C2
0 0
或
A1B2 A1C2
A2 B1 A2C1
0 0
相交
k1 k2
A1B2 A2B1 0
垂直
k1k2 1
A1A2 B1B2 0
重合
k1 k2且b1 b2
BA12BC21
A2 B1 B1C2
00或
A1B2 A1C2
A2 B1 A2C1
0 0
第二节 两条直线的位置关系
x1 y1
2 2
x2 y2
, .
已知任意两个点可求第三个点！
第三节 点、线综合
(2)直线关于点对称 求直线l1：Ax By C 0关于点P(a,b)对称的直线 l2.
结合图象知 l1 // l2 所以可设l2的直线方程为： Ax By m 0(m C)
法一：在l1上任取一点 A，求出其关于点 P对称的点B， 点B一定在直线 l2上，将其代入 l2的方程求出 m即可.