数值分析典型习题
数值分析期末考试和答案

数值分析期末考试和答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 在数值分析中,下列哪个方法用于求解线性方程组?A. 插值法B. 迭代法C. 直接法D. 拟合法答案:C2. 以下哪个数值方法是用于求解非线性方程的?A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 拉格朗日插值法答案:B3. 在数值积分中,梯形法则的误差与下列哪个因素无关?A. 被积函数的二阶导数B. 积分区间的长度C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案:D4. 以下哪个数值方法是用于求解常微分方程的?A. 欧拉方法B. 牛顿迭代法C. 拉格朗日插值法D. 高斯消元法答案:A5. 在数值分析中,下列哪个方法用于求解特征值问题?A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则答案:B6. 以下哪个数值方法是用于求解线性最小二乘问题的?A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 正交分解法D. 牛顿迭代法答案:C7. 在数值分析中,下列哪个方法用于求解非线性方程组?A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 欧拉方法答案:B8. 在数值分析中,下列哪个方法用于求解偏微分方程?A. 有限差分法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 梯形法则答案:A9. 在数值分析中,下列哪个方法用于求解优化问题?A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 单纯形法答案:D10. 在数值分析中,下列哪个方法用于求解插值问题?A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 拉格朗日插值法答案:D二、填空题(每题2分,共20分)1. 在数值分析中,求解线性方程组的直接法包括______消元法和______消元法。
答案:高斯;LU2. 牛顿迭代法的收敛速度是______阶的。
答案:二3. 梯形法则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案:二4. 欧拉方法是一种求解______阶常微分方程的数值方法。
答案:一5. 幂迭代法是求解______特征值问题的数值方法。
数值分析期末考试题

数值分析期末考试题一、选择题1. 在数值分析中,用于求解线性方程组的雅可比方法属于以下哪种迭代法?A. 直接迭代法B. 间接迭代法C. 外推法D. 松弛法2. 插值法中,拉格朗日插值多项式的主要特点是?A. 适用于多项式插值B. 适用于函数值已知的情况C. 只适用于单点插值D. 适用于分段插值3. 在数值积分中,辛普森法则是一种?A. 单区间求积公式B. 双区间求积公式C. 三区间求积公式D. 多区间求积公式4. 误差分析中,截断误差通常与以下哪个概念相关?A. 舍入误差B. 舍入误差的补偿C. 条件数D. 病态条件5. 非线性方程求解中,牛顿法的收敛速度通常?A. 较慢B. 较快C. 与初始值有关D. 与方程的性质有关二、填空题1. 在求解三对角线性方程组时,托马斯算法是一种________方法。
2. 多项式插值中,牛顿插值多项式可以通过________法来构建。
3. 数值积分中,高斯求积法是一种________方法。
4. 误差传递的估计通常通过________公式来进行。
5. 非线性方程的求解中,二分法是一种________方法。
三、简答题1. 请简述数值分析中的条件数概念及其在解方程中的应用。
2. 描述线性方程组迭代法中的收敛性判断方法,并给出收敛域的计算公式。
3. 解释插值和拟合的区别,并举例说明各自的应用场景。
4. 阐述数值积分中梯形法则的原理及其误差估计方法。
5. 讨论非线性方程求解中不动点理论和收敛性的关系。
四、计算题1. 给定线性方程组如下,请使用高斯消元法求解未知数x、y、z的值: \[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 3y + 2z = 11 \\3x + y + 4z = 17\end{cases}\]2. 假设有一个函数f(x) = sin(x),给定插值节点如下,请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式,并计算在x=π/4处的插值误差。
数值分析题库答案(含详细解题步骤)

第 1 页/共 22 页1. 正方形的边长大约为100cm ,应怎样测量才干使面积误差不超过1cm 22. 已测得某场地长l 的值为110=*l m ,宽d 的值为80=*d m ,已知 2.0≤-*l l m,1.0≤-*d d m, 试求面积ld s =的绝对误差限与相对误差限.3.为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字?4.设x的相对误差界为δ,求n x的相对误差界.5.设有3个近似数a=2.31,b=1.93,c=2.24,它们都有3位有效数字,试计算p=a+bc的误差界和相对误差界,并问p的计算结果能有几位有效数字?第 3 页/共 22 页6. 已知333487.034.0sin ,314567.032.0sin ==,请用线性插值计算3367.0sin 的值,并预计截断误差.7. 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并预计误差.8. 已知16243sin ,sin πππ===请用抛物插值求sin50的值,并预计误差9. . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1求四次牛顿插值多项式时设当==i i x f x第 5 页/共 22 页10. 已知4)2(,3)1(,0)1(=-=-=f f f , 求函数)(x f 过这3点的2次牛顿插 值多项式.11. 设x x f =)(,并已知483240.1)2.2(,449138.1)1.2(,414214.1)0.2(===f f f ,试用二次牛顿插值多项式计算(2.15)f 的近似值,并研究其误差12. 设],[)(b a x f 在上有四阶延续导数,试求满意条件)2,1,0()()(==i x f x P i i 及)()(11x f x P '='的插值多项式及其余项表达式.13. 给定3201219(),,1,,44f x x x x x ====试求()f x 在1944⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的三次埃尔米特插值多项式()P x ,使它满意11()()(0,1,2),()(),i i P x f x i P x f x ''===并写出余项第 7 页/共 22 页表达式.14. 设],1,0[,23)(2∈++=x x x x f 试求)(x f 在]1,0[上关于,,1{,1)(x span x =Φ=ρ}2x 的最佳平方逼近多项式15.已知实验数据如下:用最小二乘法求形如y=a+bx2的拟合曲线,并计算均方误差.16.已知数据表如下第 9 页/共 22 页x i 1 2 3 4 5 y iωi4 4.56 8 8.5 2 1 3 1 1试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合17. .1)(},1{span ,1]41[)(的最佳平方逼近多项式中的关于上的在在求==Φ=x x x x f ρ18. 决定求积公式⎰++≈10110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A , 使其代数精度尽量高,并指出所决定的求积公式的代数精度.19. 用复化辛普森公式计算积分⎰=10dx e I x , 问区间[0,1]应分多少等分才干使截断误差不超过?10215-⨯第 11 页/共 22 页20. 利用下表中给出的数据,分离用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算定积分dx x I ln 21⎰=的近似值(要求结果保留到小数点后六位)21. 用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算积分⎰=6.28.1)(dx x f I ,函数)(x f 在某些节点上的值如下图:(本题共14分)22. 决定公式⎰+≈101100)()()(x f A x f A dx x f x 的系数1010,,,x x A A ,使其具有最高代数精度23. 决定求积公式⎰++≈1110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A ,使其代数精度尽量高,并指出所决定的求积公式的代数精度第 13 页/共 22 页24.用LU 分解法求解以下方程组 (10分)123123142521831520x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭25.用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8892121514131615141321x x x26. 用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛542631531321321x x x27. 设方程组b Ax =,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=220122101A ,Tb ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32,31,21, 已知它有解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛-=0,31,21,若右端有小扰动61021-∞⨯=bδ,试预计由此引起的解的相对误差.第 15 页/共 22 页28. 设方程组b Ax =,其中212 1.0001A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,11.0001b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,当右端向量b 有误差00.0001δ⎛⎫= ⎪⎝⎭b 时,试预计由此引起的解的相对误差(用∞范数计算)29. 给定b Ax =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a a a a a a A 证实:(1) 当121<<-a 时,A 对称正定,从而GS 法收敛. (2) 惟独当2121<<-a 时,J 法收敛.30. 对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+=+1242043 16343232121x x x x x x x ,列出求解此方程组的Jacobi 迭代格式,并判断是否收敛。
数值分析期末试题及答案

数值分析期末试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 在数值分析中,下列哪个算法不是用于求解线性方程组的?A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案:B2. 插值法中,拉格朗日插值法属于:A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案:A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源?A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案:C4. 在数值积分中,梯形法则的误差项是:A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 牛顿插值法中,插值多项式的一般形式为:______。
答案:f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时,迭代公式为:x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案:f'(x_n)3. 在数值分析中,______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案:误差4. 线性方程组的解法中,______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案:克兰特三、解答题(每题10分,共60分)1. 给定函数f(x) = e^(-x),使用拉格朗日插值法,求x = 0.5时的插值值。
解答:首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1,对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为:L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得:L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
典型例题与习题

a
2
b f ( x)dx (b a) f ( a b ) f () (b a)3
a
2
24
9/16
Ex2.复合左矩形求积公式旳求积误差
b a
n1
f ( x)dx h
j0
f (a
h2 jh)
2
n j1
f ( j )
设被积函数在积分区间上旳一阶导数连续,由连续函数
介值定理
1
n
n j 1
N 1
[
n0
f
(
xn
)
4
f
(
xn1/
2
)
f ( xn1 )]
其中, h = (b – a )/N, xn= a + n h ( n = 0,1,2,···, N)
13/16
Ex8.将线性常系数非齐次高阶常微分方程初值问题:
y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) +·······+ an y = f( x, y, ····, y(n-1))
Gm
(h)
4m
Gm
1
(
h 2
)
Gm
1
(h)
4m 1
f ( x) Gm (h) O(h2(m1) )
练习:二阶中心差商旳外推公式?
6/16
常微分方程初值问题 1. Euler措施
y f ( x, y) x x0
y(
x0
)
y0
y0 yn1
y( x0 ), yn
xn1 xn h hf ( xn , yn ),(n
16/16
N 1
试证明用Euler公式计算成果为 y(b) f (tn )h
数值分析练习题加答案(一)

数值分析期末考试一、 设80~=x ,若要确保其近似数的相对误差限为0.1%,则它的近似数x 至少取几位有效数字?(4分)解:设x 有n 位有效数字。
因为98180648=<<=,所以可得x 的第一位有效数字为8(1分) 又因为21101011000110821--⨯=<⨯⨯≤n ε,令321=⇒-=-n n ,可知x 至少具有3位有效数字(3分)。
二、求矩阵A 的条件数1)(A Cond (4分)。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4231A 解:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-5.05.1121A (1分) 1A =7(1分) 2711=-A (1分)249)(1=A Cond (1分)三、用列主元Gauss 消元法法求解以下方程组(6分)942822032321321321=++-=++--=+-x x x x x x x x x解:→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5.245.2405.35.230914220321821191429142821120321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8175835005,245.24091425.33.2305.245.2409142(4分) 等价三角方程组为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=++,8175835,5.245.24,942332321x x x x x x (1分)回代得1,3,5123==-=x x x (1分)四、设.0,2,3,1,103)(3210234=-===-+-=x x x x x x x x f 1)求以3210,,,x x x x 为节3次Lagrange 多项式;(6分) 2)求以3210,,,x x x x 为节3次Newton 多项式;(6分)3)给出以上插值多项式的插值余项的表达式(3分)解:由0,2,3,13210=-===x x x x 可得10)(,34)(,1)(,11)(3210-==-=-=x f x f x f x f即得: +------+------=))()(())()(()())()(())()(()()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f x L=------+------))()(())()(()())()(())()(()(23130321033212023102x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x f+-+--+-⨯-+-+--+-⨯-)03)(23)(13()0)(2)(1()1()01)(21)(31()0)(2)(3(11x x x x x x326610.)20)(30)(10()2)(3)(1()10()02)(32)(12()0)(3)(1(34x x x x x x x x x -+--=+--+--⨯-+---------⨯2)计算差商表如下:i x )(i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 -11 3 -1 5 -2 34 -7 4 0-10-225-1则=+-----+-+-=)2)(3)(1()3)(1(4)1(511)(3x x x x x x x N326610x x x -+--3))2)(3)(1())()()((!4)()(3210)4(3+--=----=x x x x x x x x x x x x f x R ξ五、给定方程组b Ax =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100131w w w w A 。
数值分析练习题附答案

1
2-3 对矩阵 A 进行 LDLT 分解和 GGT 分解,求解方程组 Ax=b,其中
16 4 8
1
A=( 4 5 −4) , b=(2)
8 −4 22
3
解:(注:课本 P26 P27 根平方法)
设 L=(l i j ),D=diag(di),对 k=1,2,…,n,
其中������������=������������������-∑������������=−11 ���������2��������� ������������
������31=(������31 − ∑0������=1 ������3������������1������ ������������)/ ������1=186=12
������32=(������32
−
∑1������=1
������3������������2������
������������ )/
6.6667
,得 ������3 = 1.78570
−1 209
������4
0
������4
0.47847
(
56
−1
780 (������5) 209)
(200)
(������5) ( 53.718 )
1 −1
4
1 −4
15
������1
25
������2
6.6667再由1源自− 15561
− 56
209
x (k1) 1
1 5
(12
2 x2( k )
x (k) 3
)
2 5
x (k) 2
数值分析作业题(1)

第一章 误差与算法1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____, ___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 .2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。
0.2499作为1/4的近似值, 有几位有效数字?00.24990.249910,0m =⨯=即,031|0.2499|0.00010.5100.510,34m n n ---=<⨯=⨯=即22 3.1428751...,7=作为圆周率的近似值,误差和误差限分别是多少,有几位有效数字?2133.142875 3.14159260.00126450.5100.510---=<⨯=⨯有3位有效数字.* 有效数字与相对误差的关系3. 利用递推公式计算积分110,1,2,...,9n x n I x e dx n -==⎰错误!未找到引用源。
, 建立稳定的数值算法。
该算法是不稳定的。
因为:11()()...(1)!()n n n I n I n I εεε-=-==-111n n I I n n -=-, 10110I =4. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_.时间复杂度是指: , 两个n 阶矩阵相乘的乘法次数是 , 则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为 .二 代数插值1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式, 并写出误差估计式, 以及验证插值多项式的唯一性。
x 0 1 4f(x) 1 9 3Lagrange:设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则,, 对应 的标准基函数 为:1200102()()(1)(x 4)1()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------ 1()...l x =2()...l x =因此, 所求插值多项式为:220()()()....i i i P x f x l x ===∑ (3)2()()(0)(1)(x 4)3!f R x x x ξ=--- Newton:构造出插商表:xi f(xi ) 一 二 三0 11 9 84 3 -2 -5/2所以, 所求插值多项式为:2001001201()()[,]()[,,]()()518(0)(0)(1)2...P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x =+-+--=+----=插值余项: 2()[0,1,4,](0)(1)(x 4)R x f x x x =---2. 已知函数f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7,则f[0,1]=___2________, f[0,1,2]=____1______)('],[000x f x x f =3.过0,1两节点构造三次Hermite 插值多项式, 使得满足插值条件: f(0)=1. .’(0)=... f(1.=2. .’(1)=1设0101010,1,()1()2'()0,'()1x x f x f x f x f x ======则,, 写出插商表:xi f(xi) 一 二 三0 10 1 01 a 1 11 a 1 0 a-1因此, 所求插值多项式为:插值余项:222()[0,0,1,1,](1)R x f x x x =-4.求f(x)=sinx 在[a,b]区间上的分段线性插值多项式, 并写出误差估计式。
数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法?A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案:B2. 插值法中,拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是:A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案:A3. 在数值积分中,辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差:A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案:B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法?A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案:A5. 在求解常微分方程的数值解时,欧拉方法属于:A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案:A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法?A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案:B7. 线性插值公式中,如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \),插值多项式是:A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案:C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法?A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案:A9. 在数值微分中,使用有限差分法来近似导数时,中心差分法的误差:A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案:B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法?A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案:C二、简答题(每题10分,共30分)1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
数值分析练习题附答案

目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注:将近似值改写为标准形式X 1 =(5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4)*101 即n=4,m=1 绝对误差限|△X 1|=|X *1-X 1|≤ 12×10m-n =12×10-3 相对误差限|△r X 1|= |X∗1−X1||X∗1|≤|X∗1−X1||X1|= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注:原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法(直接法)2-1用列主元Gauss消元法解方程组解:回代得解:X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中解:(注:详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y=P b 其中P为单位阵(原因是A矩阵未进行行变换)即L y=P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)=(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux =y ,得到结果x即Ux =y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)=(y 1y 2y 3)=(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x =(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解,求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) , b =(123)解:(注:课本 P 26 P 27 根平方法)设L=(l i j ),D=diag(d i ),对k=1,2,…,n,其中d k =a kk -∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11-∑l 1j 20j=1d j =16-0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22-∑l 2j 21j=1d j =5-(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=-32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解:A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解:A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)=(123) ,得(y 1y 2y 3)=(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)=(0.250.8751.7083) ,得(x 1x 2x 3)=(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组:解:(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)=(100200),得(y1y2y3y4y5)=(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)=(256.66671.785700.4784753.718),得(x1x2x3x4x5)=(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法(迭代法)2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3(1) 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式(分量形式) (2) 讨论这两种迭代法的收敛性(3) 取初值x (0)=(0,0,0)T ,若用Jacobi 迭代法计算时,预估误差 ||x*-x (10)||∞ (取三位有效数字)解:(1)Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR(2)因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω(3)由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵,并求解。
数值分析最佳习题(含答案)

第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字?(有效数字的计算) 解:2*103400.0-⨯=x ,325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少?(有效数字的计算) 解:10314159.0⨯= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需41*1021-⨯≤-ππ,3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ,即14209.314109.3*≤≤π3 已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +,b a ⨯有几位有效数字?(有效数字的计算)解:3*1021-⨯≤-aa ,2*1021-⨯≤-b b ,而1811.2=+b a ,1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差?(误差的计算) 解:已知δ=-**xx x ,则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5*=,已知cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
(误差限的计算) 解:*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 以下哪个算法是用于求解非线性方程的?A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 雅可比方法D. 追赶法答案:B2. 线性代数中,矩阵的秩是指:A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行(或列)的最大数目D. 矩阵对角线上元素的乘积答案:C3. 在数值分析中,插值法主要用于:A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 通过已知数据点估计未知数据点的值D. 优化问题答案:C4. 以下哪个方法不是数值积分的方法?A. 梯形规则B. 辛普森规则C. 高斯消元法D. 龙贝格积分答案:C二、填空题(每题5分,共20分)1. 线性方程组的解的存在性和唯一性可以通过矩阵的________来确定。
答案:秩2. 牛顿迭代法中,迭代公式为 x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n),其中 f'(x_n) 表示函数 f(x) 在 x_n 处的________。
答案:导数3. 在数值积分中,如果积分区间被划分得越细,那么数值积分的误差通常会________。
答案:减小4. 用泰勒级数展开函数 f(x) 时,如果 x0 是展开点,那么 f(x) 可以表示为 f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + ________。
答案:更高阶项三、简答题(每题10分,共20分)1. 简述数值稳定性的概念及其在数值分析中的重要性。
答案:数值稳定性是指数值算法在计算过程中对初始数据微小扰动的敏感程度。
一个数值稳定的算法能够保证在有限精度的计算下,算法的结果不会因为数值误差而产生较大的偏差。
在数值分析中,数值稳定性是算法设计的重要考虑因素,它直接影响到算法的可靠性和准确性。
2. 描述一下在数值分析中,如何使用龙贝格积分法来提高数值积分的精度。
答案:龙贝格积分法是一种基于梯形规则的数值积分方法,它通过递归地增加梯形规则的子区间数量来提高积分的精度。
数值分析习题(含标准答案)

数值分析习题(含标准答案)
一、选择题(每题5分,共20分)
1. 下列哪个选项不属于数值分析的研究范畴?
A. 数值微分
B. 数值积分
C. 数值逼近
D. 数据库管理
答案:D
2. 在数值分析中,求解线性方程组常用的方法有?
A. 高斯消元法
B. 迭代法
C. 拉格朗日乘数法
D. 上述所有方法
答案:D
3. 下列哪种方法适用于求解非线性方程组?
A. 牛顿法
B. 梯度下降法
C. 高斯消元法
D. 上述所有方法
答案:D
4. 在数值积分中,下列哪种方法具有最高的精度?
A. 梯形法则
B. 辛普森法则
C. 高斯求积法
D. 上述所有方法
答案:C
二、填空题(每题5分,共20分)
1. 数值分析的主要目的是通过有限步骤的运算,对数学问题进行近似求解。
2. 在数值微分中,常用的差分公式有前向差分、后向差分和中心差分。
3. 数值逼近的主要方法包括插值法和逼近法。
4. 在数值积分中,常用的方法有梯形法则、辛普森法则和高斯求积法。
三、解答题(每题10分,共30分)
1. 已知函数 f(x) = e^x,求其在 x = 0.5 处的导数。
答案:f'(0.5) ≈ 1.6487
2. 求解线性方程组 2x + 3y = 5,4x y = 1。
答案:x ≈ 0.625,y ≈ 1.25
3. 已知函数 f(x) = x^3 3x^2 + 4,求其在区间 [0, 2] 上的积分。
答案:f(x) 在区间 [0, 2] 上的积分≈ 3.6667。
数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列关于数值分析的说法,错误的是()。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案:B2. 在数值分析中,插值法主要用于()。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案:D3. 线性方程组的解法中,高斯消元法属于()。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案:A4. 牛顿法(Newton's method)是一种()。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案:C5. 在数值分析中,下列哪种方法用于求解非线性方程的根?A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案:B6. 下列关于误差的说法,正确的是()。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案:C7. 在数值分析中,下列哪个概念与数值稳定性无关?A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案:D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x,下列哪一项是正确的?A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案:A9. 插值多项式的次数最多为()。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案:B10. 下列关于数值积分的说法,错误的是()。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案:D二、填空题(每题3分,共15分)1. 在数值分析中,条件数是衡量问题的______。
数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、单项选择题(每题3分,共30分)1. 线性代数中,矩阵A的逆矩阵记作()。
A. A^TB. A^-1C. A^+D. A*答案:B2. 插值法中,拉格朗日插值多项式的基函数是()。
A. 多项式B. 指数函数C. 正弦函数D. 余弦函数答案:A3. 在数值积分中,梯形规则的误差是()阶的。
A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1/h)答案:A4. 求解线性方程组时,高斯消元法的基本操作不包括()。
A. 行交换B. 行乘以非零常数C. 行加行D. 行除以非零常数答案:D5. 非线性方程f(x)=0的根的迭代法中,收敛的必要条件是()。
A. f'(x)≠0B. f'(x)=0C. |f'(x)|<1D. |f'(x)|>1答案:C6. 利用牛顿法求解非线性方程的根时,需要计算()。
A. 函数值B. 函数值和导数值C. 函数值和二阶导数值D. 函数值、一阶导数值和二阶导数值答案:B7. 矩阵的特征值和特征向量是()问题中的重要概念。
A. 线性方程组B. 特征值问题C. 线性规划D. 非线性方程组答案:B8. 在数值分析中,条件数是衡量矩阵()的量。
A. 稳定性B. 可逆性C. 正交性D. 稀疏性答案:A9. 利用龙格现象说明,高阶插值多项式在区间端点附近可能产生()。
A. 振荡B. 收敛C. 稳定D. 单调答案:A10. 雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法都是求解线性方程组的()方法。
A. 直接B. 迭代C. 精确D. 近似答案:B二、填空题(每题4分,共20分)11. 线性代数中,矩阵A的行列式记作________。
答案:det(A) 或 |A|12. 插值法中,牛顿插值多项式的基函数是________。
答案:差商13. 在数值积分中,辛普森规则的误差是________阶的。
答案:O(h^4)14. 求解线性方程组时,迭代法的基本思想是从一个初始近似解出发,通过不断________来逼近精确解。
数值分析试题及答案汇总

数值分析试题及答案汇总一、单项选择题(每题5分,共20分)1. 在数值分析中,下列哪个方法用于求解线性方程组?A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案:C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法?A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案:B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法?A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案:B4. 在数值分析中,下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题?A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案:A二、填空题(每题5分,共20分)1. 插值法中,拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。
答案:n2. 泰勒展开法中,如果将函数展开到第三阶,那么得到的多项式是______阶多项式。
答案:三3. 在数值分析中,牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。
答案:x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。
答案:偶数三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。
答案:插值法的基本原理是根据一组已知的数据点,构造一个多项式函数,使得该函数在给定的数据点上与数据值相等,以此来估计未知数据点的值。
2. 解释数值分析中误差的概念,并说明它们是如何影响数值计算结果的。
答案:数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制,导致计算结果与真实值之间的差异。
误差可以分为舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的,而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。
这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。
3. 请说明在数值分析中,为什么需要使用迭代法求解线性方程组。
答案:在数值分析中,迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组,直接方法(如高斯消元法)的计算成本很高,而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解,并且对于稀疏矩阵特别有效。
数值分析习题与答案

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。
解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1.2.4)有已知的相对误差满足,而,故即2.有5位有效数字,其误差限,相对误差限有2位有效数字,有5位有效数字,3.(1)(2)解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。
(1)(2)4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取,利用:式计算误差最小。
1. 给定的数值表解:计(误差限,因误差限,故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少?解:用误差估计式(5.8),令因得3. 若,求和.解:由均差与导数关系于是4. 若互异,求的值,这里解:,由均差对称性可知当有而当P=n+1时于是得5. 求证.解:解:只要按差分定义直接展开得6. 已知由式由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解:先构造差分表计算,用误差估计由公式(5.17)得其中计算时用Newton后插公式(5.18)误差估计由公式(5.19)得这里8.使,显然,再令由9. 令称为第二类的表达式,并证明是[]上带权解:因10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它拟合下列数据,并计算均方误差.解:本题给出拟合曲线,即,故法方程系数解得最小二乘拟合曲线为11.满足条件的插值多项式(2) ,).设为互异节点,=( ),=( ).(4) 设是区间[0,1]上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列,其中,则=( ),=( )答:(1)(2)(3)(4)习题1.解 6.13)对)求出,按式()求得2. 用由(6.8)式估计误差,因,故3. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精确度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精确度.(1)(2)(3)解:本题直接利用求积公式精确度定义,则可突出求积公式的参数。
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模拟试卷(一)一、填空题(每小题3分,共30分)y f (X y)5.解初始值问题的改进的Euler 方法是 ________ 阶方法;y(X o ) y o5x-| 3X 2 0.1x 3 36 .求解线性代数方程组2x , 6X 2 0.7X 3 2的高斯一塞德尔迭代公式为X 1 2X 2 3.5x 3 1若取 X (0) (1. 1.1).则 X ⑴ ______________7.求方程Xf (X)根的牛顿迭代格式是 _______________ .&丨o (x). h(x).L . l n (X)是以整数点X o . X 1.L . X n .为节点的Lagrange 插值基函数,则nxj j (X k )= ----------------- .k 09.解方程组Ax b 的简单迭代格式X (k 1} Bx (k) g 收敛的充要条件是 ___________________ .10 .设f (-1)1. f (0)0. f (1) 1. f (2)5 ,则f (x)的三次牛顿插值多项式为 ___________________ ,其误差估计式为 _________________________ .二、综合题(每题10分,共60分)1. 求一次数不超过 4次的多项式p(x)满足:p(1) 15,p(1) 20 , p (1) 30p(2) 57 , p(2) 72.112.构造代数精度最高的形式为 °xf(x)dx A )f (3)Af(1)的求积公式,并求出1 5 232.设A2 1 0 , x 41422,贝V A =——.,X 广 ----------- 3.已知y=f(x)的均差14flX 0.X 1.X 2]— , flX 1.X 2.X 3]3^5 , flX 2.X 3.X 4]39115,8Hx o .X 2.X 3]- 3,那么均差 f [X 4,X 2, X 3]=4.已知n=4时Newton — Cotes 求积公式的系数分别是:C 04)-,C i (4)9016C (4) .C 2 451有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.(差商)其代数精度.x k x k 13.用Newt on 法求方程x In x 2在区间(2,)内的根,要求 --------------- ----- 10X k25.用矩阵的直接三角分解法解方程组1 02 0X15 0 1 0 1 X 2 3 1 2 4 3 X 317 . 0 1 03 X 476试用数值积分法建立求解初值问题y f (: x ,y)的如下数值求解公式y(0) y o1 32 1 ⑷10. -x x -x, f ()( )(x 1)x(x 1)(x 2)/24( 1,2)6 6二、综合题y n 1y n 1hi (fn1 4fnf n 1),其中f i f (x, %), i n 1, n, n 1.三、证明题(10分) 设对任意的x ,函数f (x)的导数f (x)都存在且0f (x) M ,对于满足0 —的任意,迭代格式X k 1 X k f (xj 均收敛于f (x) 0的根x *.M参考答案一、填空题91, 16 1. 5 ; 2. 8, 9 ; 3.; 4.1545才1)(3 3x 2k) 0.1x 3k))/5 6. x 2k1)(2 2x (k1) 0.7x 3k))/6 , x 3k1)(1 才1) 2x 2k ")*2/75.(0.02 , 0.22, 0.1543)7. x k 1X kX k f(X k ) . 8 1 f (X k )'X j . 9.(B) 1.p(x) 1520( x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(x 2) 5 4x 3x 2 2x 3 x 4其他方法: 设 p(x) 15 20(x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(ax b)令 p(2)57 , p (2)72,求出 a 和 b.2•取f(x) 1,x ,令公式准确成立,得:5•解设1 02 0 11 020 1 0 1 l 21 1u22u 23 u 24 1 2 4 3l31 l321u33u340 1 0 3l 41l42 l 43 1u 44由矩阵乘法可求出U jj 和l ij1 1A 。
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题型一:有效数字1,的首位数字x 1,x *的相对误差不超过0.5×10-5,至少要保留几位有效数字.(2010-2011)1*1151211||10100.5102226n n r x n e x n ---=≤⨯=⨯≤⨯⨯≥=解答:设至少要保留位有效数字,则有解得, n 5.7取位有效数字.2,0.5×10-4,至少要保留几位有效数字?(2009-2010)3,已知21.787654为有效数,确定其绝对误差界与相对误差界.(2007-2008)*6*118711||102111||1010102224n r e e x ----=⨯=⨯=⨯=⨯⨯解答:4,已知30.49876为有效数,确定其绝对误差界.(2006-2007B) 5,设有效数x=12.4567,确定x 的绝对误差界.(2004-2005)题型二:插值多项式1,已知f(x)的函数值:f(0)=-2, f(1)=1, f(2)=5, 用反插值法求f(x)=0在[0,2]内的近似根x *.(2010-2011)11111202012012010210122021()()()()()()()()()()()()()()()()()(2)(5)(2)(1)012(12)(15)(52)(51)2991422884y y y y y y y y y y y y y L y f y f y f y y y y y y y y y y y y y y y y y y ----------=⋅+⋅+⋅------+-+-=+⨯+⨯+-+-=+-解答:对y=f(x)的反函数x=f 进行二次插值2*229(0)42y x L ≈=故,2,已知f(x)的如下函数值及导数值:f(-1)=1, f(0)=2, f ’(0)=3, f(1)=7; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式H 3(x);(2),x ∈[-1,1], 确定用H 3(x)代替f(x)的误差界(已知|f (4)(x)|≤M 4,x ∈[-1,1]).(2010-2011)32001001201232233)),(0,1,2)()()[,]()[,,]()()1(1)2(1)(0)232()()(1)(0)(1)232()'(i i H x f x i N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x H x N x k x x x x x k x x H ===+-+--=++++-=++=++--=+++-解答:(1),满足插值条件((的二次插值多项式为:也可用拉格朗日插值法满足题设插值条件的插值多项式为:2323(4)23443)43(31)'(0)'(0)3()232()(2),(1)(0)(1),(1,1)4!1||=4!496x x k x H f H x x x f R x x x M M R ζζ=++-===+++--∈-≤⨯由得:k=0故:误差(x)=则误差界(x)3,已知f(x)的函数值:f(0)=2, f(1)=4, f(2)=9, 写出二次拉格朗日插值多项式及余项.(2009-2010)4,已知f(x)的如下函数值及导数值:f(1)=1, f(2)=2, f ’(1)=3, f(3)=9; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式;(2)计算f(1.6)的近似值;若M 4=0.5,估计f(1.6)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2009-2010)5,写出满足条件H(0)=1, H(1)=0, H ’(1)=1, H(2)=1的三次插值多项式,并给出误差估计式.(2008-2009B)6,已知一组数据,求函数f(x)=0的根.(2008-2009B)7,已知f(x)的如下函数值及导数值:f(0)=1, f(1)=3, f ’(1)=1, f(2)=9, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式,写出误差估计式;(2),计算f(1.8)的近似值:若M 4=1,估计f(1.8)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2007-2008)8,已知f(x)的如下函数值及导数值:f(1)=2, f(2)=4, f ’(2)=5, f(3)=8, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式;(2),计算f(2.5)的近似值:若M 4=0.5,估计f(2.5)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2006-2007)9,已知f(x)的如下函数值表选取合适的插值节点,用二次插值多项式计算f(0.35)的近似值.(2005-2006) 10,已知f(x)=sinx 的如下函数值表用插值多项式计算sin1.8, 并估计误差界.(2004-2005)11,用f(x)的关于互异节点集112{}{}n ni i i i x x -==和的插值多项式g(x)和h(x)构造出关于节点集1{}ni i x =的插值多项式.(2005-2006)(课后习题)-11111121111{}(),()(){}(),()()()()))()())]()n n i i i i n n n n n n n n n n n n n n q x q x g x x x x x x x x x g A x x g x ==------=----=-解答:法一:设关于节点集x 的插值多项式为则与有共同插值节点x ,则设:q(x)=g(x)+Aw w f(x (x )由q(x )=f(x 得,w w 故:q(x)=g(x)+[f(x (x )w 法二:设q(x)=g(x)+1-122311111()()(){}()()()()(),01()=()[()()]()[()()]()()()()()()[()()]=-n n i i n n n n n n n n n n x g x h x B g x h x B x x x x x x B x x x g x h x BAx x g x h x Bq x f x h x Ah x g x x x g x h x BA B -=---=---≠----===+--Aw 由于和有共同插值节点x ,则存在常数,使得则,w 故:q(x)=g(x)+由得得1111()[()()]()n n x x x x h x g x x x ----则:q(x)=g(x)+12,(1),已知f(x)的如下函数值:f(0)=1,f(1)=3,f(3)=5,写出二次拉格朗日插值多项式L 2(x);(2),若同时已知:f ’(1)=1,用待定系数法求埃尔米特插值多项式H 3(x);(3),当(3)(4)1|()|2|()|4,[0,3]f x f x x ≤≤≤≤∈及3时,x 不取节点,[0,3]x ∈,求32()()||()()f x H x f x L x --的上界.(2011-2012)题型三:最佳平方逼近多项式及最小二乘法1,已知函数值表:用二次多项式y=C 0+C 1X+C 2X 2按最小二乘法拟合改组数据,并求平方逼近误差.(2010-2011)(2005-2006)()000102030410111213142021222324012()()()()()11111()()()()()21012()()()()()4101401210,5010010010034T T T T x x x x x A x x x x x x x x x x y A AC A y c c c ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝解答:法一:线性拟合的法方程组为:即()()01222*20000100011402583,0,3575833570581358||||=(y,y)-Y 01210402023531701(,)0,(,)(T c c y x C x xx δϕϕϕαϕαϕϕϕα⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭===-=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====解得:c 则平方逼近误差:法二:构造首项系数为的正交多项式:(x)=1(x)=x-111211021100002*22022220,)0(,)(,)2,()()2(,)(,)46583()()0(2)(,)514357(,)8||||=(y,y)-(,)35i i i i i i i i ix x y x x x x y ϕϕϕϕϕβααϕβϕϕϕϕϕϕϕϕϕδϕϕ======----==++-=-=∑∑(x)(x)=x 则,平方逼近误差:2,求21()1f x x =+在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式及平方逼近误差(去权函数ρ(x)=x).(2009-2010) 3,通过实验获得以下数据:请用最小二乘法求形如y=a+bx 2的经验公式.(2008-2009)T T A AC A y =解析:4,利用正交多项式的性质构造首项系数为1的正交多项式1{()}i i g x ∞=,有下列公式:010111()1()()()()(),(1,2,...)k k k k k g x g x x g x x g x g x k ααβ+--==-=--=其中:111(,),(0,1,2...)(,)(,),(1,2...)(,)k k k k k k k k k k xg g k g g g g k g g αβ---==== (1),求[0,1]上首项系数为1的正交多项式(权函数ρ(x)=1),g 0(x),g 1(x),g 2(x) (2),以上述正交多项式为基,求sinx 在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式,并求平方逼近误差.(2008-2009B)(2004-2005)010000110001201111211021102110000*010001(1),()1(,)11,()(,)221()(,)121(,)2()2(,)11,()()()()(,)126(,)(,)(2),()(,)(g x xdx xg g g x x x g g dx x x dx xg g g g x dx g g g x x g x g x x x g g g f g f x g g g g αααβαβϕ=====-=--===-===--=-+=+⎰⎰⎰⎰解答:21212211120020111222000222*220(,),)(,)11()sin ()sin sin 11621()()1126()()260.00746 1.09130.23546(,)||||(,)0.000623.(,)i i i ig f g g g g g x x xdx x xdx xdx x x x dx x dx x x dx x x f g f f f g g ϕ=+-+-=⋅+⋅-+⋅-+--+=-+--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑平方逼近误差:5,以正交多项式为基,求函数21()1f x x =+在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式,并求平方逼近误差.(2007-2008)(权函数ρ(x)=x,(2011-2012))20120122201201()1,(),(),111()2,()1,()2242211112234211113454111112224561.0656,0.503x x x x x f In f f In C F In c c c In ϕϕϕπϕϕϕπ=====-=-=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-解答:法一:取解得,,,正规方程组为:H 即:解得:c c 2*222*00001000111110110002,0.07423() 1.06560.503020.07423=(f,f)-F 0.000029041()11(,)223,()1(,)332(,)8(,)1,(,)15(,)T n p x x x C g x xg g g x x x g g xg g g g g g g g δαααβ=-=--======-=-====c 故二次最佳平方逼近多项式:平方逼近误差:法二:构造首项系数为的正交多项式:221100*201220120011222*1882163()()()()()()15318510(,)(,)(,)()()()() 1.06560.503020.07423(,)(,)(,)=(f,f)-F 0.00002904T n g x x g x g x x x x x f g f g f g p x g x g x g x x x g g g g g g C αβδ=--=---=-+=++=--=则:平方逼近误差:6,通过实验获得以下数据:请用最小二乘法求形如v =的经验公式,并求平方误差.(2006-2007)01:c c v=+解答转化题型四:代数精确度1,确定参数α,使求积公式20()[(0)()]['(0)'()]2hhf x dx f f h h f f h α≈++-⎰的代数精确度尽可能高,并求其代数精确度.(2010-2011)23322442320()1,,()1(),=121()()(0)(03)2121()()0+)(04)212()[(0)()]['(0)'()]2h h h f x x f x f x x h f x x f x dx h h h h f x x f x dx h h h hf x dx f f h h f f h αα====++-=≠+-≈++-⎰⎰⎰解答:令显然成立令得又时:时:(故具有三次代数精确度.2,确定参数A 1,A 2,使求积公式12()()(0)()3hh hf x dx A f h A f f h -≈-++⎰的代数精确度尽可能高,并求其代数精确度.(2009-2010)3,建立高斯型求积公式1211221()()()x f x dx A f x A f x -≈+⎰.(2009-2010)23121211311221122411221133511221121200010001,232513()1(,)0,()(,)xA A x dxA x A x x dxA x A x x dxA x A x x dxx A Ag xxg gg x x xg gααα----+==+==+==+===-=======-=⎰⎰⎰⎰解答:法一:已知求积公式有3次代数精确度,令f(x)=1,x,x得解上述方程组得:x法二:构造二次正交多项式1111110022110021211222112111221121(,)(,)30,(,)(,)53()()()()5()0,11,331()[(3xg g g gg g g gg x x g x g x xg x xx x x xA x dx A x dxx x x xx f x dx f fβαβρ---=====--=-==-=--=⋅==⋅=--≈+⎰⎰⎰令得高斯点: x故高斯型求积公式为:方法三:设[-1,1]上权(x)2221221122122121122221122331122212121().223()0,+0,5352()0,0,053().52:325()()(),(g x x ax bbx g x dx bax xg x dx ag x xA AA x A xA x A xA x A xx x x x x x c x c xϕϕ--=++===-⋅====-+=+=+=+==--=++⎰⎰=x,首项系数为1的二次正交多项式为则有:即即所以剩下步骤同法二.法四显然222221122111122212211221112221222332211122211221112221122112)()0()()()()()()()2230,535()()()()()20,053(),5xA x A x A x c x c A x c x c A x A x c A x A x c A AccA x x A x x A x A x c A x A x c A x A xccx xϕϕϕϕϕϕ==+=+++++=+++++=+==-+=+++++====-剩下步骤同法二.4,确定求积公式()()(0)()hh f x dx Af h Bf Cf h -≈-++⎰中的参数A,B,C ,使其代数精度尽量高,并指出其代数精确度.(2008-2009B) 5,确定求积公式10211123()()()()343234f x dx f f f ≈-+⎰的代数精确度.(2006-2007B) 6,确定下列求积公式中的参数,使求积公式的代数精确度尽可能高,并求出代数精确度10120113()()()()424f x dx A f A f A f ≈++⎰.(2005-2006) 7,确定下列求积公式中的参数,使求积公式的代数精确度尽可能高,并求出代数精确度101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰.(2004-2005) 8,已知h>0,建立高斯型求积公式:21122()()()hhx f x dx A f x A f x -≈+⎰.(2011-2012)题型五:求积公式的最少节点数1,设定积分320x e dx -⎰,问用复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算,要求误差小于10-6,所需要的最少节点数为多少?(2010-2011)(4)2244(4)461(),()16301[]||()|101801801696017.0519.x xS f x e f x e b a h f h f h b ahη---==--=-≤⋅=<-=解答:复化辛普森公式截断误差:|R 解得:h<0.176,n>故应取个节点 2,设定积分130x e dx -⎰,问用复化梯形求积公式进行计算,要求误差小于10-6,所需要的最少节点数为多少?(2009-2010)(2)3322(2)261(),()9101[]||()|10121891622.8.x x T f x e fx eb a h f h f h b ahη---==--=-≤⋅=<-=解答:复化梯形公式截断误差:|R 解得:h<0.357,n>故应取4个节点3,给定积分20cos2xdx ⎰,问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算,要求误差小于10-6,所需要的最少节点数各为多少? (注:2(2)4(4)[](),[](),[,]122880T S b a b a R f h f R f h f a b ηηη--=-=-∈)(2008-2009B) 4,给定积分140x e dx -⎰,问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算,要求误差小于10-6,所需要的最少节点数各为多少?(2007-2008) 5,给定积分21Inxdx ⎰,问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算,要求误差小于10-6,所需要的最少节点数各为多少? (已知:2(2)4(4)1212[](),[](),,(,)12180T S b a b a R f h f R f h f a b ηηηη--=-=-∈)(2006-2007) 6,用积分82122dx In x=⎰计算In2,要使所得近似值具有7位有效数字,问用复化辛普森求积公式至少需要取多少个节点?(2005-2006)4(4)8(4)52(4)-744(4)4-7[](),[2,8]18011122,(),()223|()|,[2,8]817[]102631[]||()|101801808802820.04472,S S S b a R f h f In dx f x f x x x xf x x R f b a h R f h f h h n hηηη-=-∈===≤∈≤⨯-=-≤⋅=≤⨯-≤≥=⎰解答:复化辛普森公式截断误差公式:则使所得的近似值具有位有效数字,即令:|134.2137故至少需要取个节点.7,用积分6213dx In x=⎰计算In3,要使所得近似值具有5位有效数字,问用复化梯形求积公式至少需要取多少个节点?(2004-2005)8,对于定积分10()I f x dx =⎰,当M 2=1/8,M 4=1/32,用11点的复化辛普森(Simpson)求积公式求I 的截断误差为R s [f],用n 个节点的复化梯形求积公式求I 的截断误差为R T [f],要使R T [f]≤R s [f],n 至少是多少?(M 2=max|f ”(x)|,M 4=max|f (4)(x)|,[0,1]x ∈).(2011-2012)题型六:Doolittle 分解及方程组求解1,求矩阵212454635⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭的Doolittle 分解.(2010-2011)212100212454210030635321001LU ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭解答:A=2,求矩阵114103241⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭的Doolittle 分解.(2009-2010)3,设线性方程组123410135114152410162116x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解;(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2007-2008&2005-2006)12341234101013101311000132114124100013224101119162116210001313191,,,)(5,0,11,)13,,,)(1,1,1,1).T TT T A LU LY b y y y UX Y x x x --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪-⎪=== ⎪⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==---==--解答:由得:(y 由得:(x4,设线性方程组123411415101312410762118x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解;(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2006-2007)5,设线性方程组:12312312323153478113x x x x x x x x x ++=+-=-++=-(1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解; (2),利用上述分解结果求解该线性方程组.(2004-2005)6,用高斯顺序消去法求解线性方程组:13241234242532431737x x x x x x x x x x +=+=+++=+=.(2010-2011)4321102051020510205010130101301013=124317022312002160103701037000242,2,1, 1.x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭====解答:增广矩阵回代求解:x7,用高斯顺序消去法求解线性方程组:1231231233472212320x x x x x x x x x -+=-+-=---=.(2009-2010)题型七:条件数及范数1,求线性方程组1212391078981510x x x x x --=+==的系数矩阵A 的条件数cond 1(A),并说明其含义.(2010-2011)1111191008900015910089010015()||||||||19193611A A cond A A A A b ----⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭==⨯=解答:系数矩阵条件数远大于,这说明当和有小扰动时会引起解的较大误差,即该方程组是病态的.2,设矩阵15000910089A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪⎝⎭,求cond ∞(A).(2009-2010)3,设三阶对称矩阵A 的特征值分别为:-2,1,3,求||A||2及cond 2(A).(2007-2008)2121222||||3||||()|||||||| 3.A A cond A A A --========解答:则:4,若n 元线性方程组Ax=b 为病态的,可以得到关于系数矩阵A 的什么性质.(2006-2007)5,若111123124A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,求cond 1(A).(2005-2006)求cond ∞(A).(2004-2005)6,设1231032475A -⎛⎫⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭,求1||||||||A A ∞与.(2007-2008)7,若1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求谱半径()A ρ.(2005-2006) 52ρ解答:最大特征值:(A)=题型八:雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代1,写出求解方程组1231231237321241021534818x x x x x x x x x -+=--=--=的雅可比迭代公式,并说明其收敛性.(2010-2011)(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)1(3212)71(4215)101(3418)87324102348.k k k k k k k k k J x x x x x x x x +++=-+=--++=--++-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭解答:雅可比迭代公式为:x 雅可比迭代法迭代矩阵:B 严格对角占优,故求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量x 收敛 2,设有方程组:132********2112212x x x x x x x -=+=-++=,讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性.(2010-2011)112330200030000202100002000121221000200020031()0021102||0,=0=-J J J L D U B D L U E B B λλλλρ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭-=解答:A=雅可比迭代矩阵:得,()<1,故用雅可比迭代法解答此方程组对任意(0)1123(0)20031-()00211001211||0,=012-S S S B D L U E B B λλλλρ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭-===初始向量x 都收敛.高斯赛德尔迭代矩阵:得,()<1,故用高斯赛格尔迭代法解答此方程组对任意初始向量x 都收敛.3,写出求解方程组:123123123532124721535818x x x x x x x x x -+=--=--=的高斯-赛德尔迭代公式,并说明收敛性.(2009-2010)4,用雅可比迭代法求解以313132323A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为系数矩阵的线性方程组时,确定其收敛性.(2009-2010)5,设线性方程组123123123221162222x x x x x x x x x -+=-+-=--+=-,讨论分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此线性方程组的收敛性,若收敛,请给出迭代格式.(2008-2009B)6,设线性方程组:1231231232215202225x x x x x x x x x +-=-++=++=-(1),证明求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量收敛;相应的高斯-赛德尔迭代法不是关于任意初始向量收敛; (2),取(0)(0,0,0)T x=,用雅可比迭代法进行求解,要求(1)()5||||10k k x x +--<.(2007-2008)11231123022()101220||0,===0)1022()023002||0,0,2,)1-J J J S S S D L U E B D L U E λλλλρλλλλρ---⎛⎫ ⎪=-+=-- ⎪⎪--⎝⎭-=<-⎛⎫⎪=-+=- ⎪⎪⎝⎭-====>解答:(1):B B 解得:,(B B 解得:(B 所以用雅可比迭代法解此方程组对任意初始向量都收敛,而用高斯赛德尔迭代法解此方程组不是对任意初始向量都收敛.(2):(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)(1)(2)(3)(4)2215202225(0,0,0)(15,20,25)(105,60,35)(205,160,65)(205,160,65)k k k k k k k k k T T T TTx x x xx x x x x x x x x +++=-+-=--+=---==--=--=-=-雅可比迭代公式:x 当时,计算得:(精确解).7,设线性方程组:123123123821027325431111x x x x x x x x x ++=--++=-+=-(1),写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式,并确定其收敛性; (2),取(0)(0,0,0)T x=,用高斯-赛德尔迭代法计算x (3).(2006-2007)8,设线性方程组Ax=b 的系数矩阵232131t A t t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,其中t<0,问t 取何值时雅可比迭代法关于任意初始向量都收敛.(2006-2007)12122223021()0310422||()0=0=-,=)12||<1,t<-2,or t>20, 2.J J J t t D L U t t t t E B t t ttt t λλλλλλρ-⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-=-=<<<-解答:雅可比迭代矩阵B 得,,雅可比迭代法对于任意初始向量都收敛,则(B 即:得又故9,1),设线性方程组:121232343243430424x x x x x x x +=+-=-+=-写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式,并确定该迭代法的收敛性;2),设线性方程组:123123123104413410811481025x x x x x x x x x ++=++=++=写出求解该方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代公式,并确定该迭代法的收敛性.(2004-2005)10,给定方程组:1231231232251223x x x x x x x x x +-=++=++=(1),用三角分解法解此方程组;(2),写出解此方程组的雅可比迭代公式,说明收敛性;取初始向量x 0=(0,0,0)T,当21||||10k k x x -+-<时,求其解.(2011-2012)11,设()21253sin 3421sincos 43tan 5k k k k k k k Ak k k kk⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪= ⎪+⎪⎪⎪⎭,求()lim k k A →∞.(2007-2008)()020lim 021205K k A →∞⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解答: 12,若()()11,lim 1sin sin k k k k k k AA k k k k →∞⎛⎫⎪+=⎪ ⎪⎪⎝⎭求.(2004-2005) ()01lim 10K k A →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭解答: 题型九:非线性迭代1,设计一个算法求.(2008-2009B)101125(),0.2k k kx x x +=+>解答:牛顿迭代公式:x2,给出用牛顿法求围.(2010-2011)661556'5"4"*00001050517001701170[5]66()170,()60,()300()()0,.1170(5)61170()(5)6k k k k k kx x x x x x x x f x x f x x f x x x f x f x x x x x x g x x x +=-=-=-=+=-=>=>>⋅><=+=+解答:的正根.由牛顿迭代法得迭代公式:当故此时收敛到当0<设'611*01850()(5)0,()0,6:0,.0.x g x x g x g xx x x x x ∈=-<∈>=>>∈>故故回到前段.所以当迭代公式也收敛到综上:3,给出用牛顿法求近似值的迭代公式,并给出初值的取值范围.(2009-2010) 解答:方法同上.4,设φ(x)=x+c(x 2-5),当c 为何值时,x k+1=φ(x k ),(k=0,1,2…)产生的序列{x k }收敛于c 为何值时收敛最快?(2010-2011)2''**1**'*5),||<1,||<110,0;.k k cx x c ϕϕϕϕϕ+-=-<<<<解答:(x)=x+c(x (x)=1+2cxx (x )收敛,则有(x )即1+2cx 又当(x )=0,即5,设2()(3)x x c x ϕ=+-,应如何选取常数c 才能使迭代1(),(0,1,2)k k x xk ϕ+==具有局部收敛性?C 取何值时,这个迭代收敛最快?取x 0=2,c =计算()x ϕ的不动点,要求当61||10k k x x -+-<时结束迭代.(2004-2005)****21*2'****'**1(),(3)()(3)()|1|12|1,11,0,,033(2),()0+0,6(3),k kkx x x x c xx x x c x xcx cx x c or cxxϕϕϕϕ++==+-==+-<+<-<<=<<<<==±±解答:(1),令x收敛于则故要局部收敛,即|又得根据收敛阶定理,当时,迭代至少二阶收敛,即12cx得c=故c=.迭代公式为:212346*433)21.7113248651.7319268031.7320508041.732050808|10,: 1.732050808.k kx xxxxxxx x x-=-=====-<=又因为|故6,方程x3-3x-1=0在x=2附近有一根,构造一个局部收敛的不动点迭代法,并说明收敛的理由.(2009-2010)'2(1.5) 1.765174168,(2.5) 2.040827551[1.5,2.5]()[1.5,2.5]()|0.33,xx xxϕϕϕϕϕ===∈∈=≤<解答:取的邻域[1.5,2.5]当时,又因为|故迭代在[1.5,2.5]上整体收敛.7,已知方程42()440f x x x=-+=有一个两重根0x=,请以初值x0=1.5,用m重根的牛顿迭代法计算其近似值,要求51||10k kx x-+-<.(2008-2009B)(P204例7.7)8,(1),已知方程240xe x+-=在0.6附近有一根x,迭代法214,0,1,2kxkx e k+=-=是否局部收敛?如果不收敛,试构造一个局部收敛的不动点迭代法,并说明收敛的理由.(2),取x 0=0.6,用你所构造的不动点迭代法求解该方程,迭代至x 5. (3),给出牛顿法求围.(2007-2008)2'2'**1'''1(1):()4,()2|()|1,(0),1(4)211(4),()22(4)1(0)2,(1)3()[0,1]21()||(1)|161(4)2x xk k k k x e x e x x x In x In x x x In In x x x In x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++=-=->>=---=-==∈≤=<=-解答:故该迭代公式不是局部收敛的.构造:理由:取邻域[0,1](x)=故又|故迭代式在[0,1]上整体收敛11021324354101(2),(4),21(4)0.61188771521(4)0.61013645921(4)0.61039483321(4)0.61035672221(4)0.61036234421120(3),(),0.2k k k k kx In x x In x x In x x In x x In x x In x x x x x ++=-=-==-==-==-==-==+>.则9,给定方程x 2+x-2=0,[0,2]x ∈,采用迭代公式x k+1=x k +c(x k 2+x k -2),(k=0,1,2…)求其根,问当c 为何值时,迭代法收敛?又当c 为何值时,迭代法收敛最快?(2011-2012)*2'''1,()(2)()1(21)2(1)||1(21)|1,-0.31(1)=03x x x c x x x c x c c ϕϕϕϕ==++-=++=++<<<解答:当|即时,线性收敛当,即c=-时收敛最快.10,给定方程230xx e -=,[3,4]x ∈(1),构造一种线性收敛的不动点迭代公式求该方程的根(含迭代公式,初值取何值或何区间,迭代法收敛的原因);(2),构造一种二次收敛的不动点迭代公式求该方程的根(含迭代公式,初值取何值或何区间,迭代法收敛的原因).(2011-2012)21111'12102'"0(1),()(3),3.29(3)()(4) 3.8712(),[3,4]23(3),(0,1,2,)[3,4].(2),()3,[3,4](3)0,(4)0()60,()60,[3,4]3k k x x x x In x x x x In x k x f x x e x f f f x x e f x e x x ϕϕϕϕϕ+==≤≤=≤≤∈==∈=-∈><=-<=-<∈=解答:故不动点迭代公式:x 对于任意初值收敛取初值时,牛顿213.6kkx kk k x k x ex x x e +-=--迭代法:收敛,且二次收敛11,方程x 3-x 2-1=0在x=1.5附近有根,建立一个收敛的迭代公式,并证明其收敛性.(2004-2005)122''33312111.51()1(1.3) 1.591715976,(1.6) 1.390625[1.3,1.6]()[1.3,1.6]222(),|()|||0.921.311k k k kx x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ++=+==+==∈∈=-=-≤<=+解答:取的邻域[1.3,1.6]故当时,又故迭代公式:在[1.3,1.5]上整体收敛.12,(1),已知方程1020xex +-=在0.09附近有一根x,迭代法1(210),(0,1,2)k k x In x k +=-=是否局部收敛?如果不收敛,请构造一个局部收敛的不动点迭代法,并说明收敛的理由; (2),取x 0=0.09,用局部收敛的迭代法计算x 5;(3),用牛顿法求的近似值,并给出初值的取值.(2006-2007)'''*1''5(1),()(210),()15|()|1,[0,1],|()|>1.11510111(),()51010(0)0.1,(0.12)0.087250323[0,0.12]()[0,0.12]()|kx k x xx In x x xx x x x e x e x e x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+-=-=->∈=-=-=-==∈∈≤解答:显然故该迭代公式不是局部收敛的构造:因为取[0,0.12]邻域考察故当时,又|'0.12110.09010.09058257820.09051881530.0905241|(0.12)|||0.1131101151011(2),510110.09,0.090582578510110.090518815510110.09052579651011510k kx k x k e x e x e x x e x e x e x e ϕ++=-<<=-=-==-==-==-==-故迭代公式:在[0,0.12]上整体收敛.57960.09052503151200.090525031110.0905251155102117(3),()30.k k k x e x x x +==-==+>使用迭代公式:进行求解.初值:x13,设方程x 3-3x-1=0在x=2附近有根;1),证明该方程在区间[1.5,2.5]内有唯一根x *;2),确定迭代函数φ(x).当初始值x 0在何区间取值时,迭代公式x k+1=φ(x k ),(k=0,1,2…)收敛到x *,并说明理由.3),写出求解该方程组的牛顿法迭代公式,当初始值x 0在何区间取值时,牛顿法迭代公式收敛到x,并说明理由.取x 0=1.8,用牛顿法迭代公式计算x,要求(1)()4||||10k k x x +--<.4),写出求解该方程的弦截法迭代公式,当初始值在何区间取值时,弦截法迭代公式收敛到x,并说明理由.(2005-2006)3'2'331223(1),()31,()33(1.5) 2.125,(2.5)7.125(1.5)(2.5)0,()0()0,[1.5,2.5][1.5,2.5].(2),3121(3),,3333()3k k k k k k k f x x x f x x f f f f f x f x x x x x x x x x f x x +=--=-=-=⋅<=>∈--+=-=--=-解答:证明:故在[1.5,2.5]内有根.又故方程在区间内有唯一根牛顿法迭代公式:'2"1,()33,()6x f x x f x x-=-=题型十:稳定算法1,对给定的x ,下列两式能否直接计算,说明理由;如果不能,请给出变换算式:(1x ,x 很大;(21,|x|很小.(2010-2011)3(1)x =解答:不能直接计算,因为两个相近的数相减,会产生较大的误差:2,为了提高计算精度,当正数x.(2005-2006)3,给出计算积分10,(0,1,2,10)10nn x I dx n x ==+⎰的递推稳定算法和初值.(2010-2011)1111111000-11110002010101101010101=101011111)11101010(1)11121[].2111)101)220(1)n n n n n n n n n n x x dx x dx x dx I I x x nn n x x x dx dx dx n x n n n n ----+-===-=-++-=<<=+++=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:I 该算法不稳定,变形得:I 因为(取初值I ((4,设计一种求10x nn I e x dx =⎰(n 为非负整数)稳定的递推算法,包括递推公式,初值的确定;当初值201221e I =⋅时,利用上述稳定的递推公式计算三个连续的积分值.(2011-2012)题型十一:部分证明题1,利用差分的性质证明:12+22+…n 2=n(n+1)(2n+1)/6222()12,g n n n =++证明:设函数对任意的建立差分表:函数g(n)的三阶差分是与n 无关的非零常数,故g(n)是n 的三次多项式:3(1)1,(2)5,(3)14,(4)30111()()14521231(1)(2)(1)(2)(3)(1)(21)14521!2!3!6g g g g n n n g n N n n n n n n n n n n ====---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭------++=+⋅+⋅+⋅=按等距节点牛顿向前插值公式建立三次插值多项式,则2,证明:n+1个互异节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n.(2010-2011)(1)0()(),.(1)!n nb i ai f x x dx n ζ+=-+∏⎰证明:截断误差R[f]=易证 3,若0{()}ni i l x =是关于互异节点0{}ni i x =的拉格朗日插值基函数组,函数0011()()()(),(1)n n f x x l x x l x x l x n =++≥,证明:f(x)≡x.(2009-2010)00110()()()()()()()()n n i i n n i f x L x f x l x x l x x l x x l x f x x=≈==+++≡∑证明:故:4,证明:0101'()[()()]"()2hf x f x f x f h ζ=--,其中h=x 1-x 0,01(,)x x ζ∈.(2009-2010)"'20000"'211001010'"010())()()()2!(),())()()()2!1()[()()]()2f f x x x x x f x x f x f x x x x x hf x f x f x f h ζζζ+-+-==+-+-=--证明:由泰勒公式得f(x)=f(x 令则f(x 整理得: 5,证明:关于互异节点0{}ni i x =的拉格朗日插值基函数0{()}ni i l x =满足恒等式012()()()()1n l x l x l x l x +++≡.(2008-2009B)(2006-2007B)(2004-2005)120(1)(1)1010()1,(),,1=L ()()()()()()()1,()0,()()0(1)!()()()()1n nn n i n i n n n n ni n i f x f x x x x x R x l x f x R x f f x fx R x W x n l x l x l x l x ζ=+++==+=+=≡==+=+++≡∑∑证明:令对在上进行拉格朗日插值,有因故故:6,证明求积公式()[()()]2ba b af x dx f a f b -≈+⎰的截断误差:3"()[](),12f R f b a ηη=--∈其中:(a,b).(2007-2008) (1)001(2)(2)(2)33()()(1)!1,,()()()1"()()()()()()()2!2!2!612n nb i ai b b aa f x x dx n n x a xb f f f f x a x b dx x a x b dx a b b a ζζηηη+=-+===--=--=⋅-=--∏⎰⎰⎰证明:插值型求积公式截断误差R[f]=R[f]=7,设矩阵A 为可逆上三角阵,证明A -1仍为上三角阵,并导出求逆算法.(2006-2007B)8,设x k =a+kh(k=0,1,2;h>0),f(x)的三阶导数连续,证明:2(3)102021'()[()()](),(,)26h f x f x f x f x x h ζζ=-+-∈其中为中值.(2011-2012)001122120201201201021012202112020101222,),,),,)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(22x y x y x y x x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x h h h ------=++------------=-+证明:过(((的拉格朗日插值多项式为:L 12'2102(3)201202(3)'''1210122'(3)10202)1()[()()]2()()()()()(),(,)3!()()()[()()()]3!1()[()()](),(,)26x x L x f x f x hf f x L x x x x x x x x x f f x L x x x x x x x h f x f x f x f x x h ηηηζζ==-+-=---∈-=---=-+-∈又故:。