数值分析典型习题

题型一:有效数字
1,
的首位数字x 1,
x *的相对误差不超过0.5×10-5，至少
要保留几位有效数字.(2010-2011)
1*115
12
11||10100.510222
6n n r x n e x n ---=≤
⨯=⨯≤⨯⨯≥=解答：设至少要保留位有效数字，则有解得， n 5.7取位有效数字.
2，
0.5×10-4，至少要保留几位有效数字?(2009-2010)
3,已知21.787654为有效数，确定其绝对误差界与相对误差界.(2007-2008)
*6
*1187
11
||102111||1010102224
n r e e x ----=⨯=⨯=⨯=⨯⨯解答：
4,已知30.49876为有效数，确定其绝对误差界.(2006-2007B) 5,设有效数x=12.4567,确定x 的绝对误差界.(2004-2005)
题型二：插值多项式
1,已知f(x)的函数值：f(0)=-2, f(1)=1, f(2)=5, 用反插值法求f(x)=0在[0，2]内的近似根x *.(2010-2011)
11111202012012010210122021()()()()()()()
()()()()()()()()()()
(2)(5)(2)(1)
012(12)(15)(52)(51)2991422884
y y y y y y y y y y y y y L y f y f y f y y y y y y y y y y y y y y y y y y ----------=⋅+⋅+⋅
------+-+-=+⨯
+⨯
+-+-=+-解答：对y=f(x)的反函数x=f 进行二次插值2*229
(0)42
y x L ≈=
故，
2,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(-1)=1, f(0)=2, f ’(0)=3, f(1)=7; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式H 3(x);
(2),x ∈[-1,1], 确定用H 3(x)代替f(x)的误差界（已知|f (4)(x)|≤M 4，x ∈[-1,1]).(2010-2011)
32001001201232233)),(0,1,2)()()[,]()[,,]()()1(1)2(1)(0)232
()()(1)(0)(1)232()'(i i H x f x i N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x H x N x k x x x x x k x x H ===+-+--=++++-=++=++--=+++-解答：(1),满足插值条件（（的二次插值多项式为：也可用拉格朗日插值法
满足题设插值条件的插值多项式为：2323(4)23
44
3)43(31)'(0)'(0)3()232
()(2),(1)(0)(1),(1,1)4!
1||=4!496
x x k x H f H x x x f R x x x M M R ζζ=++-===+++--∈-≤⨯由得：k=0故：误差（x)=则误差界（x)
3,已知f(x)的函数值：f(0)=2, f(1)=4, f(2)=9, 写出二次拉格朗日插值多项式及余项.(2009-2010)
4,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=1, f(2)=2, f ’(1)=3, f(3)=9; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；
(2)计算f(1.6)的近似值；若M 4=0.5，估计f(1.6)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2009-2010)
5,写出满足条件H(0)=1, H(1)=0, H ’(1)=1, H(2)=1的三次插值多项式，并给出误差估计式.(2008-2009B)
6,已知一组数据，求函数f(x)=0的根.(2008-2009B)
7,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(0)=1, f(1)=3, f ’(1)=1, f(2)=9, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式，写出误差估计式；
(2),计算f(1.8)的近似值：若M 4=1，估计f(1.8)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2007-2008)
8,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=2, f(2)=4, f ’(2)=5, f(3)=8, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；
(2),计算f(2.5)的近似值：若M 4=0.5,估计f(2.5)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2006-2007）
9,已知f(x)的如下函数值表
选取合适的插值节点，用二次插值多项式计算f(0.35)的近似值.(2005-2006) 10,已知f(x)=sinx 的如下函数值表
用插值多项式计算sin1.8, 并估计误差界.(2004-2005)
11,用f(x)的关于互异节点集112{}{}n n
i i i i x x -==和
的插值多项式g(x)和h(x)构造出关于节点集1{}n
i i x =的插值多项式.(2005-2006)（课后习题）
-11111121111{}(),()(){}(),()()()()
))()
())]()
n n i i i i n n n n n n n n n n n n n n q x q x g x x x x x x x x x g A x x g x ==------=----=
-解答：法一：设关于节点集x 的插值多项式为则与有共同插值节点x ，则设：q(x)=g(x)+Aw w f(x (x )
由q(x )=f(x 得，w w 故：q(x)=g(x)+[f(x (x )w 法二：设q(x)=g(x)+1-122311111()
()(){}()()()()(),0
1
()=
()[()()]()[()()]
()()()()()()[()()]=-n n i i n n n n n n n n n n x g x h x B g x h x B x x x x x x B x x x g x h x B
A
x x g x h x B
q x f x h x A
h x g x x x g x h x B
A B -=---=---≠----===+--Aw 由于和有共同插值节点x ，则存在常数，使得则，w 故：q(x)=g(x)+由得得
1
111()
[()()]
()
n n x x x x h x g x x x ----则：q(x)=g(x)+
12,(1),已知f(x)的如下函数值：f(0)=1,f(1)=3,f(3)=5,写出二次拉格朗日插值多项式L 2(x);
(2),若同时已知：f ’(1)=1,用待定系数法求埃尔米特插值多项式H 3(x)；
(3),当(3)(4)
1|()|2|()|4,[0,3]f x f x x ≤≤≤≤∈及3时，x 不取节点，[0,3]x ∈，求
32()()
|
|()()
f x H x f x L x --的上界.(2011-2012)
题型三：最佳平方逼近多项式及最小二乘法
1,已知函数值表：
用二次多项式y=C 0+C 1X+C 2X 2
按最小二乘法拟合改组数据,并求平方逼近误差.(2010-2011)（2005-2006）
()
000102030410111213142021222324012()()()()()11111()()()()()21012()()()()()4101401210,5010010010034T T T T x x x x x A x x x x x x x x x x y A AC A y c c c ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
==-- ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
==⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝解答：
法一：线性拟合的法方程组为：即()()0122
2*
2
0000100011402583
,0,357583357
0581358||||=(y,y)-Y 01210402023531701(,)0,(,)(T c c y x C x x
x δϕϕϕαϕαϕϕϕα⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭
===-
=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
====解得:c 则平方逼近误差：法二：构造首项系数为的正交多项式：
（x)=1
（x)=x-1112
11021100
002
*
22
022
2
2
0,)0
(,)(,)2,()()2(,)(,)46583
()()0(2)(,)514357
(,)8
||||=(y,y)-(,)35i i i i i i i i i
x x y x x x x y ϕϕϕϕϕβααϕβϕϕϕϕϕϕϕϕϕδϕϕ======----==++-=-=
∑
∑（x)（x)=x 则,平方逼近误差：
2,求2
1
()1f x x =
+在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式及平方逼近误差（去
权函数ρ(x)=x).(2009-2010) 3,通过实验获得以下数据：
请用最小二乘法求形如y=a+bx 2
的经验公式.(2008-2009)
T T A AC A y =解析：
4,利用正交多项式的性质构造首项系数为1的正交多项式1{()}i i g x ∞
=,有下列公
式：010
111()1
()()()()(),(1,2,...)
k k k k k g x g x x g x x g x g x k ααβ+--==-=--=其中：
111(,)
,(0,1,2...)
(,)
(,)
,(1,2...)
(,)
k k k k k k k k k k xg g k g g g g k g g αβ---=
=== (1),求[0,1]上首项系数为1的正交多项式（权函数ρ(x)=1),g 0(x),g 1(x),g 2(x) (2),以上述正交多项式为基，求sinx 在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2008-2009B)(2004-2005)
01
00001
1
0001
2
01111211021102110000*010001(1),()1(,)11,()(,)
2
2
1()(,)121(,)2()2
(,)11,()()()()(,)126(,)(,)(2),()(,)(g x xdx xg g g x x x g g dx x x dx xg g g g x dx g g g x x g x g x x x g g g f g f x g g g g αααβαβϕ===
==-=-
-===
-===--=-+
=
+⎰⎰⎰⎰解答：212
12211
1
2
0020
111222
0002
2
2
*
2
2
0(,)
,)(,)
11()sin ()sin sin 11621()()1126()()260.00746 1.09130.23546(,)||||(,)0.000623.
(,)i i i i
g f g g g g g x x xdx x xdx xdx x x x dx x dx x x dx x x f g f f f g g ϕ=+-+-=⋅+⋅-+⋅-+--+=-+--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑平方逼近误差：
5,以正交多项式为基，求函数2
1()1f x x =
+在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多
项式，并求平方逼近误差.(2007-2008)(权函数ρ(x)=x,(2011-2012))
2012012220
1201()1,(),(),111()2,()1,()22422
111122342
1111345411
1112224
5
61.0656,0.503x x x x x f In f f In C F In c c c In ϕϕϕπϕϕϕπ=====-=-=⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭==-解答：
法一：取解得，，，正规方程组为：H 即：解得：c c 2*222*00001000111110110002,0.07423
() 1.06560.503020.07423=(f,f)-F 0.000029041()1
1
(,)223,()1(,)332
(,)8(,)1,(,)15(,)T n p x x x C g x xg g g x x x g g xg g g g g g g g δαααβ=-=--======-=-
====
c 故二次最佳平方逼近多项式：平方逼近误差：法二：构造首项系数为的正交多项式：221100*2
01220120011222*18
82163
()()()()()()15318510
(,)(,)(,)
()()()() 1.06560.503020.07423(,)(,)(,)=(f,f)-F 0.00002904
T n g x x g x g x x x x x f g f g f g p x g x g x g x x x g g g g g g C αβδ=--=-
--=-+=++=--=则：平方逼近误差：
6,通过实验获得以下数据：
请用最小二乘法求形如v =的经验公式，并求平方误差.(2006-2007)
01
:c c v
=+解答转化
题型四：代数精确度
1,确定参数α，使求积公式20
()[(0)()]['(0)'()]2
h
h
f x dx f f h h f f h α≈++-⎰的代数精确度
尽可能高，并求其代数精确度.(2010-2011)
23322
4423
20()1,,()1
(),=
121()()(0)(03)2121()()0+)(04)212
()[(0)()]['(0)'()]2
h h h f x x f x f x x h f x x f x dx h h h h f x x f x dx h h h h
f x dx f f h h f f h αα====++-=≠+-≈++-⎰⎰⎰解答：令显然成立
令得又时：时：（故具有三次代数精确度.
2,确定参数A 1，A 2，使求积公式12()()(0)()3
h
h h
f x dx A f h A f f h -≈-++⎰的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2009-2010)
3,建立高斯型求积公式1
211221()()()x f x dx A f x A f x -≈+⎰.(2009-2010)
23
12
121
13
11221
1
224
11221
1
335
11221
1212
00
010
00
1
,
2
3
2
5
1
3
()1
(,)
0,()
(,)
x
A A x dx
A x A x x dx
A x A x x dx
A x A x x dx
x A A
g x
xg g
g x x x
g g
αα
α
-
-
-
-
+==
+==
+==
+==
=-===
=
===-=
⎰
⎰
⎰
⎰
解答：
法一：已知求积公式有3次代数精确度，令f(x)=1,x,x得
解上述方程组得：x
法二：构造二次正交多项式
1111
1100
2
21100
212
11
22
21
12
11
1221
12
1
(,)(,)3
0,
(,)(,)5
3
()()()()
5
()0,
11
,
33
1
()[(
3
xg g g g
g g g g
g x x g x g x x
g x x
x x x x
A x dx A x dx
x x x x
x f x dx f f
β
αβ
ρ
--
-
====
=--=-
==-=
--
=⋅==⋅=
--
≈+
⎰⎰
⎰
令得高斯点： x
故高斯型求积公式为：
方法三：设[-1,1]上权(x)22
2
1
2
2
1
12
2
1
2
2
12
1122
22
1122
33
1122
2
12121
().
223
()0,+0,
535
2
()0,0,0
5
3
().
5
2
:
3
2
5
()()(),(
g x x ax b
b
x g x dx b
a
x xg x dx a
g x x
A A
A x A x
A x A x
A x A x
x x x x x x c x c x
ϕϕ
-
-
=++
===-
⋅===
=-
+=
+=
+=
+=
=--=++
⎰
⎰
=x,首项系数为1的二次正交多项式为
则有：即
即
所以剩下步骤同法二.
法四
显然
2
2222
11221111222122112211122212
2
2
3322
11122211221112221122
1
1
2
)()0
()()()()()()()
223
0,
535
()()()()()
2
0,0
5
3
(),
5
x
A x A x A x c x c A x c x c A x A x c A x A x c A A
c
c
A x x A x x A x A x c A x A x c A x A x
c
c
x x
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
==
+=+++++=+++++
=+==-
+=+++++
===
=-剩下步骤同法二.
4,确定求积公式()()(0)()h
h f x dx Af h Bf Cf h -≈-++⎰中的参数A,B,C ，使其代数精度尽量高，并指出其代数精确度.(2008-2009B) 5,确定求积公式1
0211123
()()()()343234
f x dx f f f ≈
-+⎰的代数精确度.(2006-2007B) 6,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度1
0120113
()(
)()()424
f x dx A f A f A f ≈++⎰.(2005-2006) 7,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度101()()(0)()h
h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰.(2004-2005) 8,已知h>0，建立高斯型求积公式：
21122()()()h
h
x f x dx A f x A f x -≈+⎰
.(2011-2012)
题型五：求积公式的最少节点数
1,设定积分32
0x e dx -
⎰，问用复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6
，所需要的最少节点数为多少？(2010-2011)
(4)2
2
4
4(4)46
1
(),()16
301[]||()|1018018016960
17.05
19.
x x
S f x e f x e b a h f h f h b a
h
η---==--=-≤⋅=<-=解答：复化辛普森公式截断误差：|R 解得：h<0.176,n>故应取个节点 2,设定积分13
0x e dx -
⎰，问用复化梯形求积公式进行计算，要求误差小于10-6
，所
需要的最少节点数为多少？（2009-2010）
(2)
3
3
2
2(2)26
1(),()9
101[]||()|1012189162
2.8
.
x x T f x e f
x e
b a h f h f h b a
h
η-
--==--=-≤⋅=<-=解答：复化梯形公式截断误差：|R 解得：h<0.357,n>故应取4个节点
3,给定积分2
0cos2xdx ⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6
，所需要的最少节点数各为多少？ （注：2(2)4(4)
[](),[](),[,]122880
T S b a b a R f h f R f h f a b ηηη--=-
=-∈）(2008-2009B) 4,给定积分14
0x e dx -
⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6
，所需要的最少节点数各为多少？（2007-2008） 5，给定积分2
1Inxdx ⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？ （已知：2(2)4(4)
1212[](),[](),,(,)12180
T S b a b a R f h f R f h f a b ηηηη--=-=-∈）（2006-2007） 6,用积分8
2
1
22dx In x
=⎰计算In2，要使所得近似值具有7位有效数字，问用复化辛普森求积公式至少需要取多少个节点？（2005-2006）
4(4)
8(4)5
2(4)-7
44(4)4-7[](),[2,8]
18011122,(),()223
|()|,[2,8]
8
1
7[]102
631
[]||()|10180180880282
0.04472,S S S b a R f h f In dx f x f x x x x
f x x R f b a h R f h f h h n h
ηηη-=-∈===≤∈≤⨯-=-≤⋅=≤⨯-≤≥=⎰解答：复化辛普森公式截断误差公式：
则使所得的近似值具有位有效数字，即令：|134.2
137故至少需要取个节点.
7，用积分6
21
3dx In x
=⎰计算In3，要使所得近似值具有5位有效数字，问用复化梯形求积公式至少需要取多少个节点？（2004-2005）
8,对于定积分1
0()I f x dx =⎰，当M 2=1/8,M 4=1/32,用11点的复化辛普森(Simpson)求积公式求I 的截断误差为R s [f],用n 个节点的复化梯形求积公式求I 的截断误差为R T [f],要使R T [f]≤R s [f]，n 至少是多少？
（M 2=max|f ”(x)|,M 4=max|f (4)
(x)|,[0,1]x ∈).(2011-2012)
题型六：Doolittle 分解及方程组求解
1,求矩阵212454635⎛⎫
⎪ ⎪
⎪-⎝⎭
的Doolittle 分解.(2010-2011)
212100212454210030635321001LU ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪
== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解答：A=
2,求矩阵114103241⎛⎫
⎪- ⎪
⎪⎝⎭
的Doolittle 分解.(2009-2010)
3,设线性方程组1234101351
1415241016
2
1
16x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪
⎪ ⎪
⋅= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；
(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2007-2008&2005-2006)
123412341
010
1
3101
311000
1321
14
124100
0132241011
1916
2116
210
001313191,,,)(5,0,11,)
13
,,,)(1,1,1,1).T T
T T A LU LY b y y y UX Y x x x --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪
⎪
- ⎪ ⎪⎪-
⎪
=== ⎪⎪
--- ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎪
-- ⎪⎪
⎝⎭⎝
⎭⎝⎭==---==--解答：由得：(y 由得：(x
4,设线性方程组123411
4
151
0131241076
2118x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
-- ⎪
⎪ ⎪
⋅=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；
(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2006-2007)
5,设线性方程组：123123123231
53478113
x x x x x x x x x ++=+-=-++=-
(1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解； (2),利用上述分解结果求解该线性方程组.(2004-2005)
6,用高斯顺序消去法求解线性方程组：
1324123424253
2431737
x x x x x x x x x x +=+=+++=+=.(2010-2011)
4321102051
02051
02050
10130
10130
1013=124317
022312
002160
10
370
10
370
00242,2,1, 1.x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
====解答：增广矩阵回代求解：x
7,用高斯顺序消去法求解线性方程组:123123123347
2212320
x x x x x x x x x -+=-+-=---=.(2009-2010)
题型七：条件数及范数
1,求线性方程组121239107
898
1510
x x x x x --=+==的系数矩阵A 的条件数cond 1(A),并说明其含义.
（2010-2011）
1111191008900015910089010015()||||||||1919361
1A A cond A A A A b ----⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪
⎪
⎪
⎝
⎭==⨯=解答：系数矩阵条件数远大于，这说明当和有小扰动时会引起解的较大误差，即该方程组是病态的.
2,设矩阵150
00910089A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪
⎪⎝⎭
，求cond ∞(A).（2009-2010）
3,设三阶对称矩阵A 的特征值分别为：-2,1,3，求||A||2及cond 2(A).(2007-2008)
2121222||||3
||||()|||||||| 3.
A A cond A A A --========解答：则：
4,若n 元线性方程组Ax=b 为病态的，可以得到关于系数矩阵A 的什么性质.(2006-2007)
5,若111123124A ⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
,求cond 1(A).（2005-2006）求cond ∞(A).(2004-2005)
6,设1231032475A -⎛⎫
⎪=-- ⎪
⎪-⎝⎭
,求1||||||||A A ∞与.(2007-2008)
7,若1234A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,求谱半径()A ρ
.(2005-2006) 52
ρ解答：最大特征值：（A)=
题型八：雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代
1，写出求解方程组12312312373212
41021534818
x x x x x x x x x -+=--=--=的雅可比迭代公式，并说明其收敛
性.(2010-2011)
(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)1
(3212)
71
(4215)
101(3418)8
7324102348.
k k k k k k k k k J x x x x x x x x +++=-+=--++=--++-⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
解答：雅可比迭代公式为：
x 雅可比迭代法迭代矩阵：B 严格对角占优，
故求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量x 收敛 2，设有方程组：132********
211
2212
x x x x x x x -=+=-++=，讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法
解此方程组的收敛性.(2010-2011)
112330200030000202100002000121221000200020031
()0021102||0,=0=-J J J L D U B D L U E B B λλλλρ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛
⎫ ⎪ ⎪
⎪
=-+=- ⎪ ⎪
⎪- ⎪⎝⎭-=解答：A=雅可比迭代矩阵：得，（）<1,故用雅可比迭代法解答此方程组对任意(0)1123(0)20031
-()00211001211
||0,=012
-S S S B D L U E B B λλλλρ-⎛
⎫ ⎪ ⎪
⎪
=-+=- ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭-===
初始向量x 都收敛.
高斯赛德尔迭代矩阵：得，（）<1,故用高斯赛格尔迭代法解答此方程组对任意初始向量x 都收敛.
3,写出求解方程组：12312312353212
4721535818
x x x x x x x x x -+=--=--=的高斯-赛德尔迭代公式，并说明收敛
性.(2009-2010)
4,用雅可比迭代法求解以313132323A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
为系数矩阵的线性方程组时，确定其收
敛性.(2009-2010)
5,设线性方程组1231231232211
6
2222
x x x x x x x x x -+=-+-=--+=-，讨论分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭
代法解此线性方程组的收敛性，若收敛，请给出迭代格式.(2008-2009B)
6,设线性方程组：1231231232215
20
2225
x x x x x x x x x +-=-++=++=-
(1),证明求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量收敛；相应的高斯-赛德尔迭代法不是关于任意初始向量收敛； (2),取(0)
(0,0,0)T x
=，用雅可比迭代法进行求解，要求
(1)()5||||10k k x x +--<.(2007-2008)
11231123022()101220||0,===0)1022()023002||0,0,2,)1
-J J J S S S D L U E B D L U E λλλλρλλλλρ---⎛⎫ ⎪
=-+=-- ⎪
⎪--⎝⎭
-=<-⎛⎫
⎪
=-+=- ⎪
⎪⎝⎭
-====>解答：
(1):B B 解得：，（B B 解得：（B 所以用雅可比迭代法解此方程组对任意初始向量都收敛,而用高斯赛德尔迭代法解此方程组不是对任意初始向量都收敛.(2):(1)()()123(1)
()
()
2
1
3
(1)()()312(0)(1)(2)(3)(4)221520
2225(0,0,0)(15,20,25)(105,60,35)(205,160,65)(205,160,65)k k k k k k k k k T T T T
T
x x x x
x x x x x x x x x +++=-+-=--+=---==--=--=-=-雅可比迭代公式：x 当时，计算得：（精确解）.
7,设线性方程组:1231231238210
27325431111
x x x x x x x x x ++=--++=-+=-
(1),写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定其收敛性； (2),取(0)
(0,0,0)T x
=，用高斯-赛德尔迭代法计算x (3).(2006-2007)
8,设线性方程组Ax=b 的系数矩阵232131t A t t ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，其中t<0，问t 取何值时雅可
比迭代法关于任意初始向量都收敛.(2006-2007)
12122223021
()0310422
||()0=0=-,=
)12||<1,t<-2,or t>2
0, 2.
J J J t t D L U t t t t E B t t t
t
t t λλλλλλρ-⎛
⎫-- ⎪ ⎪ ⎪
=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭
-=-=<<<-解答：雅可比迭代矩阵B 得，，雅可比迭代法对于任意初始向量都收敛，则（B 即：得又故
9,1),设线性方程组：12123234324
3430424
x x x x x x x +=+-=-+=-
写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性；
2),设线性方程组：123123123104413
410811481025
x x x x x x x x x ++=++=++=
写出求解该方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性.(2004-2005)
10,给定方程组：123123123225
1
223
x x x x x x x x x +-=++=++=
(1),用三角分解法解此方程组；
(2),写出解此方程组的雅可比迭代公式，说明收敛性；取初始向量x 0=(0,0,0)T
,
当2
1||||10k k x x -+-<时，求其解.(2011-2012)
11,
设()
2
125
3sin 3
421sin
cos 43tan 5k k k k k k k A
k k k k
k
⎛⎫
- ⎪+ ⎪ ⎪
= ⎪+⎪⎪⎪
⎭
，求()lim k k A →∞.(2007-2008)
()
020lim 021205K k A →∞
⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
解答： 12,若()
()11,lim 1sin sin k k k k k k A
A k k k k →∞⎛⎫
⎪
+=
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
求.(2004-2005) ()01lim 10K k A →∞
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
解答： 题型九：非线性迭代
1,
设计一个算法求.(2008-2009B)
101125
(),0.2k k k
x x x +=+>解答：牛顿迭代公式：x
2,
给出用牛顿法求围.(2010-2011)
66155
6'5"4"*00001050
517001701170
[5]66()170,()60,()300()()0,.1170
(5)61170
()(5)6k k k k k k
x x x x x x x x f x x f x x f x x x f x f x x x x x x g x x x +=-=-=-=+=-=>=>>⋅><=+=+
解答：的正根.
由牛顿迭代法得迭代公式：当故此时收敛到当0<
设'611*01850
()(5)0,()0,
6:0,.0.
x g x x g x g x
x x x x x ∈=-<∈>=
>>∈>故故回到前段.所以当迭代公式也收敛到综上：
3,给出用牛顿法求近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2009-2010) 解答：方法同上.
4,设φ(x)=x+c(x 2
-5),当c 为何值时，x k+1
=φ(x k )，(k=0,1,2…)产生的序列
{x k }
收敛于c 为何值时收敛最快？
(2010-2011)
2'
'**1**'*5),||<1,||<110,0;.
k k cx x c ϕϕϕϕϕ+-=-<<<<解答：(x)=x+c(x (x)=1+2cx
x (x )收敛，则有(x )即1+2cx 又当(x )=0,即
5,设2
()(3)x x c x ϕ=+-，应如何选取常数c 才能使迭代1(),(0,1,2)k k x x
k ϕ+==
具有局部收敛性？C 取何值时，这个迭代收敛最快？取x 0=2,c =计算()
x ϕ的不动点，要求当61||10k k x x -+-<时结束迭代.(2004-2005)
****2
1
*2'*
***
'**
1
(),(3)
()(3)()|1
|12|1,11,0,,0
33
(2),()0+0,
6
(3),
k k
k
x x x x c x
x x x c x x
cx cx x c or c
x
x
ϕ
ϕϕ
ϕ
+
+
==+-
==+-<
+<-<<=<<<<
==±
±
解答：(1),令x收敛于则
故要局部收敛，即|
又得
根据收敛阶定理，当时，迭代至少二阶收敛，即12cx得c=
故c=.
迭代公式为：2
1
2
3
4
6*
43
3)
2
1.711324865
1.731926803
1.732050804
1.732050808
|10,: 1.732050808.
k k
x x
x
x
x
x
x
x x x
-
=-
=
=
=
=
=
-<=
又
因为|故
6,方程x3-3x-1=0在x=2附近有一根，构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由
.(2009-2010)
'
2
(1.5) 1.765174168,(2.5) 2.040827551
[1.5,2.5]()[1.5,2.5]
()|0.33,
x
x x
x
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
=
==
∈∈
=≤<
解答：
取的邻域[1.5,2.5]
当时，
又因为|
故迭代在[1.5,2.5]上整体收敛.
7,已知方程42
()440
f x x x
=-+=
有一个两重根0x=,请以初值x0=1.5,用m
重根的牛顿迭代法计算其近似值，要求5
1
||10
k k
x x-
+
-<.(2008-2009B)(P204例7.7）
8,(1),已知方程240
x
e x
+-=在0.6附近有一根x，迭代法
2
1
4,0,1,2
k
x
k
x e k
+
=-=是否局部收敛？如果不收敛，试构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由.
(2),取x 0=0.6,用你所构造的不动点迭代法求解该方程，迭代至x 5. (3),
给出牛顿法求围.(2007-2008)
2'2'**1'''1(1):()4,()2|()|1,(0),1
(4)
2
11(4),()22(4)
1(0)2,(1)3()[0,1]
2
1()||(1)|16
1
(4)2
x x
k k k k x e x e x x x In x In x x x In In x x x In x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++=-=->>=---=
-==∈≤=<=-解答：
故该迭代公式不是局部收敛的.
构造：理由：取邻域[0,1]
(x)=故又|故迭代式在[0,1]上整体收敛11021324354101
(2),(4),2
1
(4)0.61188771521
(4)0.610136459
21
(4)0.610394833
21
(4)0.610356722
21
(4)0.610362344
2
1120
(3),(),0.
2k k k k k
x In x x In x x In x x In x x In x x In x x x x x ++=-=
-==-==-==-==-==+>.则
9,给定方程x 2
+x-2=0,[0,2]x ∈,采用迭代公式x k+1=x k +c(x k 2
+x k -2),(k=0,1,2…)
求其根，问当c 为何值时，迭代法收敛？又当c 为何值时，迭代法收敛最快?(2011-2012)
*2'''1,()(2)
()1(21)
2
(1)||1(21)|1,-0.3
1
(1)=03
x x x c x x x c x c c ϕϕϕϕ==++-=++=++<<<解答：当|即时，线性收敛当，即c=-时收敛最快.
10,给定方程230x
x e -=，[3,4]x ∈
(1),构造一种线性收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因）；
(2),构造一种二次收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因).(2011-2012)
21111'12102'"0(1),()(3),3.29(3)()(4) 3.87
12
(),[3,4]23
(3),(0,1,2,)[3,4].(2),()3,[3,4](3)0,(4)0
()60,()60,[3,4]3k k x x x x In x x x x In x k x f x x e x f f f x x e f x e x x ϕϕϕϕϕ+==≤≤=≤≤∈==∈=-∈><=-<=-<∈=解答：故不动点迭代公式:x 对于任意初值收敛取初值时，牛顿213.
6k
k
x k
k k x k x e
x x x e +-=-
-迭代法：收敛，且二次收敛
11,方程x 3
-x 2
-1=0在x=1.5附近有根,建立一个收敛的迭代公式，并证明其收敛性.(2004-2005)
12
2
''333121
11.51()1(1.3) 1.591715976,(1.6) 1.390625
[1.3,1.6]()[1.3,1.6]
222
(),|()|||0.92
1.3
1
1k k k k
x x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ++=+
==+
==∈∈=-=-≤<=+解答：取的邻域[1.3,1.6]
故当时，又故迭代公式：在[1.3,1.5]上整体收敛.
12,(1),已知方程1020x
e
x +-=在0.09附近有一根x,迭代法
1(210),(0,1,2)k k x In x k +=-=是否局部收敛？如果不收敛，请构造一个
局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由； (2),取x 0=0.09,用局部收敛的迭代法计算x 5；
(3),
用牛顿法求的近似值，并给出初值的取值.(2006-2007)
'''*1''5
(1),()(210),()15|()|1,[0,1],|()|>1.
11
510111
(),()51010
(0)0.1,(0.12)0.087250323
[0,0.12]()[0,0.12]
()|k
x k x x
x In x x x
x x x x e x e x e x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+-=-=->∈=-=-=-==∈∈≤解答：显然故该迭代公式不是局部收敛的构造：因为取[0,0.12]邻域考察
故当时，又|'0.12110.09010.09058257820.09051881530.0905241
|(0.12)|||0.1131
1011
510
11
(2),510
11
0.09,0.090582578
510
11
0.090518815
51011
0.090525796
51011
510k k
x k x k e x e x e x x e x e x e x e ϕ++=-<<=-=-==-==-==-==-故迭代公式：在[0,0.12]上整体收敛.
57960.09052503151200.090525031
11
0.090525115
510
2117
(3),()30.
k k k x e x x x +==-==+>使用迭代公式：进行求解.
初值:x
13,设方程x 3
-3x-1=0在x=2附近有根;
1),证明该方程在区间[1.5,2.5]内有唯一根x *
;
2),确定迭代函数φ(x).当初始值x 0在何区间取值时，迭代公式x k+1=φ(x k ),(k=0,1,2…)收敛到x *
,并说明理由.
3),写出求解该方程组的牛顿法迭代公式，当初始值x 0在何区间取值时，牛顿法迭代公式收敛到x,并说明理由.取x 0=1.8,用牛顿法迭代公式计算x,要求
(1)()4||||10k k x x +--<.
4),写出求解该方程的弦截法迭代公式，当初始值在何区间取值时，弦截法迭代公式收敛到x,并说明理由.(2005-2006)
3'2'331223(1),()31,()33(1.5) 2.125,(2.5)7.125
(1.5)(2.5)0,()0()0,[1.5,2.5]
[1.5,2.5].(2),
3121
(3),,
3333
()3k k k k k k k f x x x f x x f f f f f x f x x x x x x x x x f x x +=--=-=-=⋅<=>∈--+=-=--=-解答：
证明：故在[1.5,2.5]内有根.又故方程在区间内有唯一根牛顿法迭代公式：'2"1,()33,()6x f x x f x x
-=-=
题型十:稳定算法
1,对给定的x ，下列两式能否直接计算，说明理由；如果不能，请给出变换算式：（1
x ，x 很大；（2
1，|x|很小
.(2010-2011)
3(1)x =解答：不能直接计算，因为两个相近的数相减，会产生较大的误差：
2,为了提高计算精度，当正数x
.
（2005-2006）
3,给出计算积分1
0,(0,1,2,10)10
n
n x I dx n x ==+⎰的递推稳定算法和初值.(2010-2011)
1
111111
000-11110002010101
101010101=1010
11
111)11101010(1)11121
[].
2111)101)220(1)
n n n n n n n n n n x x dx x dx x dx I I x x n
n n x x x dx dx dx n x n n n n ----+-===-=-++-
=<<=
+++=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：I 该算法不稳定，变形得：
I 因为（取初值I （（
4,设计一种求1
0x n
n I e x dx =⎰（n 为非负整数）稳定的递推算法，包括递推公式，
初值的确定；当初值201
221
e I =⋅时，利用上述稳定的递推公式计算三个连续的积
分值.(2011-2012)
题型十一:部分证明题
1,利用差分的性质证明：12
+22
+…n 2
=n(n+1)(2n+1)/6
222()12,g n n n =++
证明：设函数对任意的建立差分表：
函数g(n)的三阶差分是与n 无关的非零常数，故g(n)是n 的三次多项式：
3(1)1,(2)5,(3)14,(4)30
111()()14521231(1)(2)(1)(2)(3)(1)(21)
14521!2!3!6
g g g g n n n g n N n n n n n n n n n n ====---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
------++=+⋅+⋅+⋅=
按等距节点牛顿向前插值公式建立三次插值多项式，则
2,证明：n+1个互异节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n.(2010-2011)
(1)0
()(),.(1)!n n
b i a
i f x x dx n ζ+=-+∏⎰
证明：截断误差R[f]=易证 3,若0{()}n
i i l x =是关于互异节点0{}n
i i x =的拉格朗日插值基函数组，函数
0011()()()(),(1)n n f x x l x x l x x l x n =++
≥，证明：f(x)≡x.（2009-2010）
00110
()()()()()()()
()n n i i n n i f x L x f x l x x l x x l x x l x f x x
=≈==+++≡∑证明：故：
4,证明：010
1'()[()()]"()2
h
f x f x f x f h ζ=--，其中h=x 1-x 0,01(,)x x ζ∈.(2009-2010)
"'
2
0000"'
2
11001010'"010()
)()()()2!
(),())()()()2!
1()[()()]()
2
f f x x x x x f x x f x f x x x x x h
f x f x f x f h ζζζ+-+-==+-+-=--证明：由泰勒公式得f(x)=f(x 令则f(x 整理得： 5,证明：关于互异节点0{}n
i i x =的拉格朗日插值基函数0{()}n
i i l x =满足恒等式
012()()()()1n l x l x l x l x +++
≡.(2008-2009B)(2006-2007B)(2004-2005)
120
(1)(1)
1010
()1,(),,
1=L ()()()()()()
()1,()0,()()0
(1)!
()()()()1
n n
n n i n i n n n n n
i n i f x f x x x x x R x l x f x R x f f x f
x R x W x n l x l x l x l x ζ=+++==+=+=≡==+=++
+≡∑∑证明：令对在上进行拉格朗日插值，有
因故故：
6,证明求积公式()[()()]2
b
a b a
f x dx f a f b -≈
+⎰的截断误差：3"()
[](),12
f R f b a ηη=-
-∈其中：（a,b).(2007-2008) (1)0
01(2)(2)(2)3
3
()()(1)!1,,()()()1"()()()()()()()2!2!2!612
n n
b i a
i b b a
a f x x dx n n x a x
b f f f f x a x b dx x a x b dx a b b a ζζηηη+=-+===--=--=⋅-=--∏⎰⎰
⎰证明：插值型求积公式截断误差R[f]=R[f]=
7,设矩阵A 为可逆上三角阵，证明A -1
仍为上三角阵，并导出求逆算法.(2006-2007B)
8,设x k =a+kh(k=0,1,2;h>0),f(x)的三阶导数连续，证明：
2(3)
102021'()[()()](),(,)26
h f x f x f x f x x h ζζ=-+-∈其中为中值.(2011-2012)
001122120201201201021012202112020101222
,),,),,)()()()()()()
()()()()
()()()()()()
()()()()()()
()()(22x y x y x y x x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x h h h ------=++------------=
-+证明：过（（（的拉格朗日插值多项式为：L 1
2'2102(3)201202(3)''
'1210122'
(3)10202)1
()[()()]
2()
()()()()(),(,)
3!()()()[()()()]3!1()[()()](),(,)
26
x x L x f x f x h
f f x L x x x x x x x x x f f x L x x x x x x x h f x f x f x f x x h ηηηζζ==-+-=---∈-=---=-+-∈又故：。