三角函数的解析式(8.3.3)第三课时
由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)
图像的变换与对称性
01
平移变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上平移，而不改变其形状和性质。
例如，正弦函数向右平移a个单位后变为$y=sin(x-a)$。
02
伸缩变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上伸缩，从而改变其周期和振幅。
例如，正弦函数在x轴方向上伸缩a倍后变为$y=sin(frac{1}{a}x)$。
余弦函数
定义域
全体实数，即$R$。
值域
$[-1,1]$。
周期性
余弦函数具有周期性，最小正 周期为$2pi$。
单调性
在每个周期内，余弦函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$
上单调递增。
正切函数
定义域
01
不连续，无周期性。
值域
02
全体实数，即$R$。
单调性
03
正切函数在每一个开区间$(kpi-frac{pi}{2}, kpi+frac{pi}{2})$内
01
1. 绘制直角坐标系
根据解析式的定义域，绘制直角 坐标系。
02
03
2. 确定关键点
3. 绘制图像
根据解析式的值，确定直角坐标 系中的关键点。
根据关键点，绘制三角函数的图 像。
例题三：综合应用题
1. 分析题目
仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
2. 确定解题步骤
根据题目要求，确定解题步骤，包括已知条件的分析、未知条件的推导等。
由三角函数图像求解析式
contents
目录
• 引言 • 三角函数的基本性质 • 三角函数图像的绘制 • 由三角函数图像求解析式的方法 • 实例分析 • 总结与思考
三角函数图象解析式的求法 ppt课件
O
1、先用明显的性质来求对应参数；
2、再用方程（五点对应）p来pt课件求余下参数.
6
变式2 已知f (x) Asin(x )(A 0, 0,0 )
2
的图像上相邻的两个对称中心距离为 ，且图像
2
上一个最低点为（7 ， 2），则其解析式为___.
12
由性质反映参数，或由几何描述和性质的几何特征画图辅助解题；
4
问题：已知 f (x) Asin(x )(A 0, 0,| | ) 的部分图像如图，则其解析式为____.
O
1、先用明显的性质来求对应参数；
2、再用方程（五点对应）p来pt课件求余下参数.
5
变式1：已知 f (x) Asin(x )(A 0, 0,| | ) 的部分图像如图，则其解析式为______.
注意多值的取舍（利用单调性判断）， 优先选择最值点。
ppt课件
16
作业： 配套检测卷 P123
ppt课件
17
ppt课件
18
2 ( x).
3
ppt课件
8
例2.已知f ( x) Asin(x )(其中A, 0, )的部分
图象如下，确定函数解析式.
y
3
O1 3
3
ppt课件
x
9
例3.下列函数中，图象的一部分如图的是( )
A. y sin( x )
6
C . y cos(4x )
ppt课件
1
考情析
• “根据图像和性质求三角型函数解析式”是 高考常考内容.一般以小题和大题的第一问 为主,考察时有时只求部分参数,且往往会再 结合其他性质提出问题.难度一般不大.
解析式—三角式(初等数学课件)
三角式
三角式恒等变形的常用方法有：
（1）只含同角的三角式、可把正切、余切化为正弦和余弦。
（2）只含正切和余切的三角式，一般利用倒数关系和代数恒等变形法则来 变形。
在三角式恒等变形过程中，要有化为同名函数、减少角的个数。另外，还 要注意变形中角的取值范围的变化和根号的处理。
初等数学研究 三 角 式
三角式
定义 只含有三角函数的解析式叫做三角式。 三角式在它的定义域内可以进行恒等变形，由一个三角式变成另一个 与它恒等的三角式。变形的基础是一系列三角公式，主要有：
（1）同角三角函数间关系式， 如，tan sin ,sin2 cos 2 1 ； cos
（2）诱导公式，如，sin sin,cos cos 等；
解得
又 0, ，所以
因此
x1Biblioteka 4 5, x23 5
sin 4 ,cos 3
5
5
tan sin 3 cos 4
例题讲解
例 已知 sin cos 1 , 0, ，求 tan 的值。
5
解 对 sin cos 1 两边平方，得 1 2sin cos 1 ，
5
25
所以
sin cos 12
25
由韦达定理， sin ,cos 是方程 x2 1 x 12 0 的两个根。
5 25
例题讲解
三角函数的解析式
三角函数的解析式三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的解析式，即用数学公式表示三角函数的关系式。
一、正弦函数的解析式正弦函数是三角函数中的一种，用sin(x)表示，其中x表示角度。
正弦函数的解析式可以表示为：sin(x) = a其中a为角度x所对应的正弦值。
二、余弦函数的解析式余弦函数也是常见的三角函数，用cos(x)表示，其中x表示角度。
余弦函数的解析式可以表示为：cos(x) = b其中b为角度x所对应的余弦值。
三、正切函数的解析式正切函数是三角函数中的一种，用tan(x)表示，其中x表示角度。
正切函数的解析式可以表示为：tan(x) = c其中c为角度x所对应的正切值。
四、余切函数的解析式余切函数也是常见的三角函数，用cot(x)表示，其中x表示角度。
余切函数的解析式可以表示为：cot(x) = d其中d为角度x所对应的余切值。
五、正割函数的解析式正割函数是三角函数中的一种，用sec(x)表示，其中x表示角度。
正割函数的解析式可以表示为：sec(x) = e其中e为角度x所对应的正割值。
六、余割函数的解析式余割函数也是常见的三角函数，用csc(x)表示，其中x表示角度。
余割函数的解析式可以表示为：csc(x) = f其中f为角度x所对应的余割值。
综上所述，我们介绍了六种三角函数的解析式，分别为正弦函数的sin(x)、余弦函数的cos(x)、正切函数的tan(x)、余切函数的cot(x)、正割函数的sec(x)和余割函数的csc(x)。
这些解析式可以帮助我们计算角度与三角函数值之间的关系，深入研究三角函数的性质和应用。
在实际问题中，我们可以通过使用这些解析式来解决各种涉及角度的计算和建模问题。
三角函数的解析式是数学中的重要工具，它们在科学研究和实际应用中发挥着重要的作用。
通过学习和理解三角函数的解析式，我们能够更加深入地研究角度的性质和变化规律，为解决实际问题提供更加准确和高效的方法。
第3章《三角函数、解三角形》(第3节)ppt 省级一等奖课件
第三章 三角函数、解三角形
5．(教材习题改编)y＝2－3cosx＋π4 的最大值为________．此时 x
＝________．
解析 当 cosx＋π4 ＝－1 时，函数 y＝2－3cosx＋π4 取得最大
值
5，此时
π x＋ 4 ＝π＋2kπ，从而
x＝34π＋2kπ，k∈Z.
2．最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期．
第三章 三角函数、解三角形
二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
第三章 三角函数、解三角形
定 义 域 值域
R [－1，1]
[规律方法] 1．三角函数的奇偶性的判断技巧 首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公 式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．
第三章 三角函数、解三角形
2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义； (2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为
(kπ －π2 ，π2 ＋k π ) (k∈Z)上递增
减
第三章 三角函数、解三角形
x＝
π 2
＋2kπ
(k∈Z)
x＝ 2kπ
(k∈Z)
最 时，ymax＝1；x＝
时，ymax＝1；x＝
值
－π2 ＋2kπ (k∈Z)
π ＋2kπ (k∈Z) 时，ymin＝－1
时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
第三章 三角函数、解三角形
(2)下列函数中，周期为π ，且在[π4 ，π2 ]上为减函数的是(
高考文数一轮复习经典教案(带详解)第四章：三角函数 第3节
第3节 三角函数的图象与性质【最新考纲】 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性.【高考会这样考】 1.考查三角函数的图像：五点法作简图、图像变换、图像的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想．要 点 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)， ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )[友情提示]1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.2． 求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( ) A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C3.函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B.1 C.35D.15解析 cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝ 65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A4.若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________.解析 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )，又φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2.答案3π25.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 因为y ＝tan x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )， 所以由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )题型分类 考点突破考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________.(2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________. 解析 (1)要使函数有意义，必须有 ⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z . (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π （k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π （k ∈Z ），所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z规律方法 1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域. (2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【变式练习1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)(一题多解)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为___________________________.解析 (1)由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.(2)法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). 所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π(k ∈Z )，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z ).所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4 ≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z考点二 三角函数的值域(最值)【例2】 (1)函数y ＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为________.(2)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)∵y ＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝ 3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∴函数y ＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为[－3，3]. (2)f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34，令cos x ＝t 且t ∈[0，1]，则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎫t －322＋1，则当t ＝32时，f (x )取最大值1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2，∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1. 答案 (1)[－3，3] (2)1 (3)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【变式练习2】 (1)函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π的值域是( )A.[－3，1]B.[－2，1]C.(－3，1]D.(－2，1](2)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7解析 (1)由y ＝sin x 在⎣⎡⎭⎫76π，136π上，－1≤sin x <12，所以函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎡⎭⎫7π6，136π的值域是(－2，1].(2)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 (1)D (2)B考点三 三角函数的性质(多维探究) 命题角度1 三角函数的奇偶性与周期性【例3－1】 (1)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2B.2π3C.πD.2π(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6B.π6C.－π3D.π3解析 (1)∵y ＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π. (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝±1， ∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z )，∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.答案 (1)C (2)A规律方法 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.命题角度2 三角函数的单调性【例3－2】 (1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.(2)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由已知可得函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调增区间.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3ω＝1. 由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案 (1)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)32规律方法 1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.命题角度3 三角函数的对称轴或对称中心【例3－3】 (1)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( ) A.2B.4C.6D.8(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5解析 (1)因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π8＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6，故选C. (2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω，所以ω＝2k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，结合选项经验证，当ω＝11时，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调；当ω＝9时，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，选项B 满足条件. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可. 2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【变式练习3】 设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误.答案 D错误!课后练习A 组 (时间：40分钟)一、选择题1.关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A.是奇函数B.在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π解析 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误.∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心. 答案 C2.若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A.1B.2C.4D.8解析 由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2. 答案 B3.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A.答案 A4.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23B.32C.2D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. 答案 B5.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π解析 由题意得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z .不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2，得k π＋π3<x <k π＋56π.取k ＝0，得函数f (x )的一个单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，56π.答案 B 二、填空题6.若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.解析 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.答案 5π67.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________. 解析 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 8.已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ，其中x ∈R ，给出下面四个结论： ①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )的图象的一条对称轴是x ＝2π3；③函数f (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3 (k ∈Z )，则正确结论的序号为________. 解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x ·sin π3－cos 2x ＝－32sin 2x －12cos 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π，但它不是奇函数，故①错误；由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的图象的一条对称轴是x ＝2π3，故②正确；由2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，所以f (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，故③正确；由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，故④正确.答案 ②③④三、解答题9.已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π].(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0. ∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3. ∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3， 当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.10.已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2. 于是，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )， 故函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；其单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2. B 组 (时间：20分钟)11.设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A.ω＝23，φ＝π12B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z ， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A12.若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________.解析 f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4. 答案 (－∞，－4]13.已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值.解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1， 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8. 综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。
三角函数的解析式
三角函数的解析式三角函数是数学中的一类重要的函数，包括三角比值函数和反三角函数。
它们广泛应用于数学、物理、工程等领域。
三角函数的解析式是指用表达式表示三角函数的方式。
本文将介绍三角函数的解析式及其应用。
三角函数的解析式包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
以最常见的正弦函数为例，它的解析式可以表示为Sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的值等于直角三角形中与一个锐角相关的特定比率。
具体而言，正弦函数的值等于一个锐角所对边的长度与斜边长度的比值。
这一比值的范围在-1到1之间，表示角度的变化从0到90度。
正弦函数的解析式可以通过泰勒级数进行展开，即Sin(x) = x -(x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...，其中!表示阶乘。
通过这个级数展开，可以计算出给定角度的正弦函数的近似值。
这在数学计算、信号处理等许多应用中是非常有用的。
余弦函数的解析式类似于正弦函数的展开式，可以表示为Cos(x) =1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...。
余弦函数与正弦函数有一个重要的关系，即它们的值在一定的条件下可以相互转换。
这个关系被称为正弦-余弦关系，即Sin^2(x) + Cos^2(x) = 1。
这个关系在解决三角方程、解析几何等问题时经常被使用。
正切函数是另一个重要的三角函数，它的解析式可以表示为Tan(x) = Sin(x) / Cos(x)，即正弦函数与余弦函数的比值。
正切函数经常用于解决直角三角形中的问题，如计算斜边长度、角度等。
除了以上三个基本的三角函数，还有反三角函数。
反正弦函数的解析式可以表示为Asin(x)，表示正弦函数的逆运算。
它的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]，对应于正弦函数在这个范围内的值。
反余弦函数的解析式可以表示为Acos(x)，对应于余弦函数的逆运算。
它的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
最新人教A版高中数学必修一第五章三角函数第4节三角函数的图象与性质第3课正切函数的性质与图象
5．4.3 正切函数的性质与图象教材要点要点 函数y ＝tan x 的图象和性质 y ＝tan x______________ 如何作正切函数的图象(1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．(2)“三点两线”法“三点”是指⎝⎛⎭⎫－π4，－1 ，(0，0)，⎝⎛⎭⎫π4，1 ；“两线\”是指x ＝－π2 和x ＝π2 .在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2 上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( )(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.( )(4)函数y ＝tan x 为奇函数，故对任意x ∈R 都有tan (－x )＝－tan x ．( )2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 的定义域是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z 3．已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ，则函数f (x )的最小正周期为( ) A ．π4 B ．π2C ．πD ．2π4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)正切函数的定义域、周期性、奇偶性例1 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3 的最小正周期为( ) A ．π4 B ．π2C ．πD ．2π(2)函数f (x )＝x ·tan x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数(3)函数y ＝tan x －1tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 的定义域为________________．方法归纳(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2 ＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用正切函数的图象求解．(2)一般地，函数y ＝A tan (ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常利用此公式来求与正切函数有关的周期．(3)函数y ＝tan x 是奇函数，其图象关于原点对称．若函数y ＝tan (ωx ＋φ)是奇函数，则φ＝k π2(k ∈Z ).跟踪训练1 (1)函数y ＝1tan x 的定义域为( )A ．{x |x ≠0}B ．{x |x ≠k π，k ∈Z }C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z (2)(多选)关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3 上单调递减 C ．⎝⎛⎭⎫π6，0 为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π2题型2 正切函数的单调性及应用 【角度1】 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4 的单调区间．方法归纳求函数y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换\”的思想，令k π－π2 ＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan (ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan (－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换\”的思想，求得x 的范围即可．【角度2】 比较大小例3 比较tan 1.5，tan 2.5，tan 3.5的大小．方法归纳运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．跟踪训练2 (1)已知a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c(2)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4 的单调增区间为________．正切函数图象与性质的综合应用例4 已知函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 . (1)求f (x )的最小正周期、定义域； (2)若f (x )≥2，求x 的取值范围．方法归纳解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0 (k ∈Z )，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每个⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．跟踪训练3 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 .(1)求函数f (x )的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3 的解集．易错辨析 不能正确掌握正切函数的对称中心致误例5 函数y ＝tan (2x ＋θ)＋n 的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π6，－1 ，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，则点(θ，n )对应的坐标为________.解析：因为y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0 ，k ∈Z ，所以由y ＝tan (2x ＋θ)＋n 的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π6，－1 可知，n ＝－1，2×π6 ＋θ＝k π2，k ∈Z . 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，所以θ＝π6 . 答案：⎝⎛⎭⎫π6，－1 易错警示课堂十分钟1．函数y ＝tan 35x 是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为5π3 的奇函数C ．周期为5π3的偶函数 D ．周期为π的奇函数2．函数y ＝tan (x ＋π5 )的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z ) B ．⎝⎛⎭⎫－7π10＋k π，3π10＋k π (k ∈Z ) C ．⎝⎛⎭⎫－3π10＋k π，7π10＋k π (k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎫－π5＋k π，π5＋k π (k ∈Z ) 3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋6x 的定义域为________． 4．设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 3－π3 .(1)求函数f (x )的最小正周期、对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．5．4.3 正切函数的性质与图象新知初探·课前预习要点⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z R π 奇函数 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )[基础自测]1．(1)× (2)× (3)× (4)×2．答案：D 3．答案：B4．答案：＜题型探究·课堂解透例1 解析：(1)由T ＝π|ω| ，得T ＝π12 ＝2π.故选D.(2)因为函数f (x )＝x ·tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，且f (－x )＝(－x )·tan (－x )＝(－x )·(－tan x )＝x ·tan x ＝f (x )，所以函数f (x )＝x ·tan x 是偶函数．故选B.(3)由题意知⎩⎨⎧tan x －1≥0，tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≠0，x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧π4＋k π≤x ＜π2＋k π（k ∈Z ），x ≠－π6＋k π（k ∈Z ），x ≠π3＋k π（k ∈Z ）.所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π4＋k π，π3＋k π ∪⎝⎛⎭⎫π3＋k π，π2＋k π (k ∈Z ) 答案：(1)D (2)B(3)⎣⎡⎭⎫π4＋k π，π3＋k π ∪⎝⎛⎭⎫π3＋k π，π2＋k π (k ∈Z )跟踪训练1 解析：(1)函数y ＝1tan x有意义时，需使⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .故选D.(2)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3 是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝⎛⎭⎫0，π3 上单调递增，B 错误；因为当x ＝π6 时，tan ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3 ＝0，所以⎝⎛⎭⎫π6，0 为其图象的一个对称中心，C 正确；最小正周期为π2，D 正确．答案：(1)D (2)CD例2 解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫3x －π4 . 由－π2 ＋k π<3x －π4 <π2 ＋k π(k ∈Z )，得－π12 ＋k π3 <x <π4 ＋k π3 (k ∈Z ).所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π3，π4＋k π3 (k ∈Z ). 例3 解析：tan 2.5＝tan (2.5－π)，tan 3.5＝tan (3.5－π)，又－π2 <2.5－π<3.5－π<1.5<π2 ，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2 上是增函数．故tan (2.5－π)<tan (3.5－π)<tan 1.5，即tan 2.5<tan 3.5<tan 1.5.跟踪训练2 解析：(1)a ＝tan 1>0，b ＝tan 2＝－tan (π－2)<0，c ＝tan 3＝－tan (π－3)<0，∵π2>π－2>π－3>0，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2 上单调递增，∴tan (π－2)>tan (π－3)>0，∴－tan (π－2)<－tan (π－3)<0，故a >0>c >b .故选C.(2)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4 ，由k π－π2 <12 x －π4 <k π＋π2 ，k ∈Z ，得2k π－π2 <x <2k π＋3π2 ，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4 的递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2 ，k ∈Z . 答案：(1)C (2)⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2 ，k ∈Z 例4 解析：(1)对于函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 ，它的最小正周期为π12 ＝2π，由x 2 －π3≠k π＋π2 ，求得x ≠2k π＋5π3 ，故它的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . (2)f (x )≥2，即tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 ≥1，故π4 ＋k π≤x 2 －π3 <k π＋π2 ，解得2k π＋7π6 ≤x <2k π＋5π3 ，故x 的取值范围为⎣⎡⎭⎫2k π＋7π6，2k π＋5π3 ，k ∈Z . 跟踪训练3 解析：(1)由x 2 －π3 ≠π2 ＋k π(k ∈Z ).得x ≠5π3 ＋2k π(k ∈Z ).所以f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .因为ω＝12 ，所以最小正周期T ＝πω ＝π12 ＝2π.由－π2 ＋k π<x 2 －π3 <π2 ＋k π(k ∈Z )，得－π3 ＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z ).所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π (k ∈Z ). 由x 2 －π3 ＝k π2 (k ∈Z )，得x ＝k π＋23 π(k ∈Z )，故函数f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0 ，k ∈Z .(2)由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 ≤3 ，得－π4 ＋k π≤x 2 －π3 ≤π3 ＋k π(k ∈Z )，解得π6 ＋2k π≤x ≤4π3 ＋2k π(k ∈Z ).所以不等式－1≤f (x )≤3 的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z . [课堂十分钟]1．答案：B2．答案：B3．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π6＋π24，k ∈Z 4．解析：(1)f ()x ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 3－π3 ，T ＝π13 ＝3π， 令x 3 －π3 ＝k π2 ，k ∈Z ，解得x ＝π＋32 k π，k ∈Z ， 故对称中心为⎝⎛⎭⎫π＋32k π，0 ()k ∈Z . (2)令x 3 －π3 ＝0，解得x ＝π，令x 3 －π3 ＝π4 ，解得x ＝7π4 ， 令x 3 －π3 ＝－π4 ，解得x ＝π4 ， 令x 3 －π3 ＝π2 ，解得x ＝5π2 ， 令x 3 －π3 ＝－π2 ，解得x ＝－π2， 所以函数f ()x ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 3－π3 的图象与x 轴的一个交点坐标为()π，0 ，图象上的点有⎝⎛⎭⎫7π4，1 、⎝⎛⎭⎫π4，－1 两点， 在这个⎝⎛⎭⎫－π2，5π2 周期内左右两侧相邻的渐近线方程分别为x ＝－π2 和x ＝5π2 ， 从而得到函数f ()x 在一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，5π2 内的简图(如图).。
三角函数的解析式与应用
三角函数的解析式与应用一、引言在数学中，三角函数是一类重要的函数，由正弦函数、余弦函数、正切函数等组成。
三角函数不仅在数学中具有广泛的应用，还在物理、工程等领域中扮演着重要的角色。
本文将介绍三角函数的解析式及其应用，并探讨其在实际问题中的运用。
二、三角函数的解析式1. 正弦函数（sin）正弦函数是以单位圆上的一个点的纵坐标为函数值的函数，其解析式为：sinθ = y / r其中，θ为与x轴的夹角，y为点在单位圆上的纵坐标，r为点到圆心的距离。
2. 余弦函数（cos）余弦函数则是以单位圆上的一个点的横坐标为函数值，其解析式为：cosθ = x / r其中，θ为与x轴的夹角，x为点在单位圆上的横坐标，r为点到圆心的距离。
3. 正切函数（tan）正切函数是以正弦与余弦的比值为函数值，其解析式为：tanθ = sinθ / cosθ = y / x其中，θ为与x轴的夹角，x、y同样为单位圆上的坐标值。
三、三角函数的应用1. 几何应用三角函数在几何学中有广泛的应用。
例如，在三角形中，我们可以通过正弦定理和余弦定理来计算其边长、面积等。
正弦函数和余弦函数也被用于解决直角三角形中的问题，如求解角度、边长等。
2. 物理应用三角函数在物理学中是不可或缺的。
在力学中，通过三角函数可以描述物体在斜面上的运动，这有助于我们计算物体的加速度、速度等。
此外，三角函数在波动学、光学等方面也有广泛应用，如描述波的传播和干涉现象。
3. 工程应用在工程领域中，三角函数也扮演着重要的角色。
例如，在建筑设计中，我们可以利用正切函数来计算斜坡、楼梯的倾斜程度。
在电路中，正弦函数和余弦函数被广泛用于描述电压和电流的变化规律，以及交流电的特性等。
四、三角函数的实际问题运用举例1. 实例一：测量高楼的高度假设我们要测量一座高楼的高度，但无法直接测量。
我们可以利用三角函数来解决这个问题。
首先，在高楼底部平行于地面的位置A处测量与地平线的夹角α，然后，在远离该高楼的位置B处测量与地平线的夹角β。
高一数学课程教案三角函数的解析式与像的性质与变换
高一数学课程教案三角函数的解析式与像的性质与变换一、引言三角函数是数学中一种重要的函数，它与解析式以及像的性质与变换密切相关。
本文将介绍三角函数的解析式以及像的性质与变换，并给出相关的教学案例。
二、三角函数的解析式1. 正弦函数的解析式：sin(x)在单位圆上，取点P(x,y)，设P在单位圆上对应角为α，则有：x = cos(α)，y = sin(α)因此，sin(x) = y2. 余弦函数的解析式：cos(x)在单位圆上，取点P(x,y)，设P在单位圆上对应角为α，则有：x = cos(α)，y = sin(α)因此，cos(x) = x3. 正切函数的解析式：tan(x)在单位圆上，取点P(x,y)，设P在单位圆上对应角为α，则有：x = cos(α)，y = sin(α)因此，tan(x) = sin(x) / cos(x)三、三角函数的像的性质1. 正弦函数的像的性质- 定义域：(-∞,∞)- 值域：[-1,1]- 周期性：周期为2π- 对称性：奇函数，即sin(-x) = -sin(x) 2. 余弦函数的像的性质- 定义域：(-∞,∞)- 值域：[-1,1]- 周期性：周期为2π- 对称性：偶函数，即cos(-x) = cos(x) 3. 正切函数的像的性质- 定义域：x ≠ (2k+1)π/2，其中k为整数 - 值域：(-∞,∞)- 周期性：周期为π- 对称性：奇函数，即tan(-x) = -tan(x)四、三角函数的像的变换1. 上下平移对于函数y = a * sin(bx + c) + d，其中a、b、c、d为常数，上下平移d个单位。
2. 左右平移对于函数y = a * sin(bx + c) + d，其中a、b、c、d为常数，左右平移c/b个单位。
3. 垂直伸缩对于函数y = a * sin(bx + c) + d，其中a、b、c、d为常数，垂直伸缩a倍。
4. 水平伸缩对于函数y = a * sin(bx + c) + d，其中a、b、c、d为常数，水平伸缩1/b倍。
人教版数学高一A版必修4 1.4三角函数的图象与性质(第3课时)
课堂探究探究一三角函数奇偶性的判断1．判断函数奇偶性的常用方法：(1)定义法，即从f (－x )的解析式中拼凑出f (x )的解析式，再看f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是否成立．(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性．(3)验证法，即验证f (－x )＋f (x )＝0或f (－x )－f (x )＝0=1f x f x ⎛⎫(-)± ⎪()⎝⎭或是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶函数．【典型例题1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin(π＋x )；(2)f (x )＝cos sin 1x x +； (3)f (x )＝sin x sin 2x π⎛⎫+⎪⎝⎭. 思路分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，进而可确定函数的奇偶性．解：(1)f (x )的定义域为R ，∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ，∴f (－x )＝－(－x )sin(－x )＝－x sin x ＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(2)f (x )有意义时，sin x ＋1≠0，∴sin x ≠－1.∴x ≠2k π－2π，k ∈Z . ∴f (x )的定义域为2,2x x k k ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭Z .∴f (x )的定义域不关于原点对称．∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)f (x )的定义域为R ，由已知可得f (x )＝sin x cos x ，∴f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．探究二 正、余弦函数的单调性1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω≠0)单调区间的方法：运用整体变量代换法，即将比较复杂的三角函数符号后的整体当作一个角u ，利用基本三角函数的单调性求所要求的三角函数的单调区间，但要注意A ，ω的符号对单调性的影响．A >0与A <0时，单调区间相反，当ω<0时，先用诱导公式将x 的系数化为正．例如：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调递增区间、递减区间分别由以下不等式确定： －2π＋2k π≤ωx ＋φ≤2π＋2k π(k ∈Z )，2π＋2k π≤ωx ＋φ≤32π＋2k π(k ∈Z )． 2．比较三角函数值的大小时：(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式化为同一单调区间；(3)利用函数的单调性比较大小．【典型例题2】 (1)函数y ＝2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的单调递增区间为__________． (2)已知a ＝sin 537π⎛⎫- ⎪⎝⎭，b ＝sin 598π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a ，b 的大小关系是__________． 解析：(1)∵y ＝2sin x 的单调递增区间是2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 令2k π－2π≤2x －6π≤2k π＋2π，k ∈Z ，解得k π－6π≤x ≤k π＋3π，k ∈Z . ∴所求的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .(2)a ＝－sin 537π＝－sin 387ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 37π. b ＝－sin 598π＝－sin 588ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－sin 58π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝sin 58π＝sin 38π. ∵0<38π<37π<2π，y ＝sin x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数， ∴sin 37π>sin 38π.∴a >b . 答案：(1) ,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z (2)a >b 探究三 三角函数的值域(最值)三角函数最值问题的常见类型及求解方法(1)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)，利用换元思想设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值，t 的范围需要根据定义域来确定．(2)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)的范围，最后得最值．【典型例题3】 (1)函数f (x )＝2sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭－1，x ∈,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为__________．当x ＝__________时，f (x )取最小值，当x ＝__________时，f (x )取最大值．(2)函数f (x )＝2cos 2x －4cos x ＋1，x ∈R 的值域为__________；且当f (x )取最大值时，x 的取值集合是__________．思路分析：(1)先利用x ∈,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦求出x ＋6π的范围，再将x ＋6π看成整体利用正弦函数图象性质求得．(2)把cos x 看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．解析：(1)∵－3π≤x ≤2π，∴－6π≤x ＋6π≤23π. ∴由正弦函数图象性质得，当x ＋6π＝－6π，即x ＝－3π时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取最小值－12，∴f (x )的最小值为－2. 当x ＋6π＝2π，即x ＝3π时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取最大值1， ∴f (x )的最大值为1.当x ∈,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，f (x )的值域为[－2,1]． (2)f (x )＝2cos 2x －4cos x ＋1＝2(cos 2x －2cos x )＋1＝2(cos x －1)2－1，设t ＝cos x ，∴y ＝2(t －1)2－1，且图象开口向上，对称轴为t ＝1.∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤t ≤1.则当t ∈[－1,1]时，函数y ＝2(t －1)2－1单调递减．∴当t ＝－1时，y max ＝7，当t ＝1时，y min ＝－1.∴f (x )的值域为[－1,7]，且cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，f (x )取最大值． ∴f (x )取最大值时，x 的取值集合为{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }．答案：(1)[－2,1] －3π 3π (2)[－1,7] {x |x ＝2k π＋π，k ∈Z } 探究四易错辨析易错点：忽视x 的系数是负数【典型例题4】 求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 的单调递增区间．错解：令3π－x ＝t ， ∵y ＝sin t 的递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )， 令2k π－2π≤3π－x ≤2k π＋2π (k ∈Z )，解得－2k π－6π≤x ≤－2k π＋5π6(k ∈Z )，即2k π－6π≤x ≤2k π＋56π (k ∈Z )， ∴y ＝sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间为52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．错因分析：在3π－x 中，x 的系数－1是负数，应整体代入正弦函数的单调递减区间，这样才能求出原函数的单调递增区间．正解：∵y ＝sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴要求原函数的单调递增区间，只需求y ＝sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭的单调递减区间． 令2k π＋2π≤x －3π≤2k π＋32π (k ∈Z )， ∴2k π＋56π≤x ≤2k π＋116π (k ∈Z )．∴y ＝sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间是5112,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．。
三角函数的解析式
三角函数的解析式三角函数是高等数学中的重要内容，它们可以用于描述和计算三角形及其它几何图形中的各种性质。
在这篇文章中，我们将介绍三角函数的解析式以及它们在数学和实际问题中的应用。
1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它的解析式为：sin(x) = opposite/hypotenuse其中，opposite表示一个角的对边的长度，hypotenuse表示斜边的长度。
这个比值表示了一个角的正弦值。
正弦函数的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]之间。
正弦函数在物理、工程和计算机图形等领域中有广泛的应用。
例如，在振动领域中，正弦函数可以用来表示周期性的波动。
2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数是另外一个常见的三角函数，它的解析式为：cos(x) = adjacent/hypotenuse其中，adjacent表示一个角的邻边的长度，hypotenuse表示斜边的长度。
余弦函数的定义域也为所有实数，值域同样为[-1, 1]之间。
余弦函数在几何计算、信号处理和图像处理等领域中有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，余弦函数常用于模拟光线在物体表面的反射和折射过程。
3. 正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一个重要函数，它的解析式为：tan(x) = opposite/adjacent正切函数表示一个角的对边与邻边之间的比值。
正切函数的定义域为除了所有余切函数为零的实数之外的所有实数。
正切函数在工程、物理和天文学等领域中经常被使用。
例如，在工程测量中，正切函数可以用于计算斜坡的坡度。
4. 反三角函数（Inverse Trigonometric Functions）除了正弦、余弦和正切函数之外，还有一系列的反三角函数，它们是三角函数的反函数。
常见的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，它们的解析式分别为：arcsin(x), arccos(x), arctan(x)反三角函数可以用于计算某个三角函数值对应的角度。
第3讲 三角函数
5.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. sin α (2)商数关系：tan α＝ . cos α k 6.三角函数诱导公式( π＋α)(k∈Z)的本质是： 奇变偶不变 2 (对 k 而言， k 取奇数或偶数)， 指 符号看象限(看原函数， 同时可把 α 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的 三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成 2kπ ＋α，0≤α<2π；(2)转化为锐角三角函数. 2 3 9π 7π － 如①cos ＋tan(－ )＋sin 21π 的值为__________. 2 3 4 6
(3)周期性：①y＝sin x、y＝cos x 的最小正周期都是 2π； ②f(x)＝Asin(ωx＋φ)和 f(x)＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期 2π πx 都是 T＝ .如若 f(x)＝sin ，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋ |ω| 3 f(2 010)＝ 0 . (4)奇偶性与对称性：正弦函数 y＝sin x(x∈R)是奇函数， π 对称 中心是 (kπ，0)(k∈Z)，对 称轴是 直线 x＝ kπ＋ 2 (k∈Z)；余弦函数 y＝cos x(x∈R)是偶函数，对称中心是 π (kπ＋ ，0)(k∈Z)，对称轴是直线 x＝kπ(k∈Z)(正(余)弦 2 型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直 5π 线，对称中心为图象与 x 轴交点).如①函数 y＝sin( － 2 2x)的奇偶性是 偶函数 .
第3讲
三角函数
高考要点回扣
1.角的概念、象限角的概念、终边相同的角的表示 (1)α 终边与 θ 终边相同(α 的终边在 θ 终边所在的射线 上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相 同， 终边相同的角不一定相等.如与角－1 825° 的终边相 5 － π －25° 同，且绝对值最小的角的度数是 ，合 36 弧度. (2)α 终边与 θ 终边共线(α 终边在 θ 终边所在的直线上) ⇔α＝θ＋kπ(k∈Z).
中学数学教案三角函数的解析式与图像
中学数学教案三角函数的解析式与图像中学数学教案：三角函数的解析式与图像引言：三角函数是数学中的重要知识点，也是高中数学的基础。
掌握三角函数的解析表达式和图像是理解与应用三角函数的关键。
本教案将介绍三角函数的解析式与图像的概念、性质和画法，并提供一些例题来加深学生对该知识点的理解。
一、解析式与图像的概念1. 三角函数的解析式三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
其解析式如下：正弦函数：y = sin(x)余弦函数：y = cos(x)正切函数：y = tan(x)其中，x 表示角度，y 表示函数的值。
2. 三角函数的图像三角函数的图像是将解析式中的变量 x（角度）从0度到360度之间取值，计算对应的函数值 y，然后将这些点连成曲线。
三角函数的图像具有周期性，周期为360度或2π弧度。
二、三角函数的性质1. 正弦函数的性质正弦函数的图像在[0, 360]度范围内一共有一个周期。
其性质包括：- 定义域：整个实数集R- 值域：[-1, 1]- 奇偶性：奇函数，即sin(-x) = -sin(x)- 对称性：关于y轴对称- 最值：最大值为1，最小值为-1，分别对应于sin(90°)和sin(270°)2. 余弦函数的性质余弦函数的图像在[0, 360]度范围内一共有一个周期。
其性质包括：- 定义域：整个实数集R- 值域：[-1, 1]- 奇偶性：偶函数，即cos(-x) = cos(x)- 对称性：关于y轴对称- 最值：最大值为1，最小值为-1，分别对应于cos(0°)和cos(180°)3. 正切函数的性质正切函数的图像在每个90度的整数倍处有一个渐进线。
其性质包括：- 定义域：整个实数集R，除了90度的整数倍处- 值域：(-∞, +∞)- 奇偶性：奇函数，即tan(-x) = -tan(x)- 对称性：关于原点对称- 渐近线：在90度的整数倍处有垂直渐近线三、三角函数图像的画法1. 步骤一确定横坐标的范围，一般为0度到360度，或0弧度到2π弧度。
7三角函数的图像与性质第三课时
三角函数的图像与性质第三课时目标：1．会求三角函数的单调区间，能够利用单调性比较两个三角函数值的大小。
2．知道求值域与最值的几种常见方法，会求三角函数的值域与最值。
一．基础知识梳理：x y sin =的递增区间是____________________;递减区间是________________________. x y cos =的递增区间是____________________;递减区间是________________________. x y tan =的递增区间是____________________。
二．基础知识自测（限时10分钟）1.求下列函数的值域：（1）cos 2cos 1x y x =+； （2）23sin log 3sin x y x -=+2.设64x ππ-≤≤，求函数22log (1sin )log (1sin )y x x =++-的最大值和最小值。
三．考点突破：1.求函数cos(2)3y x π=-+的单调区间。
2.已知函数2()2cos2sin 4cos f x x x x =+-。
（1）求()3f π的值； （2）求()f x 的最大值和最小值。
四．课堂检测（限时10分钟）1．函数y =21sin （4π－32x ）的递增区间_________________;递减区间___________________。
2. 若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为_________.3. 函数sin 2x y =的单调增区间是_________________。
五．拓展延伸：已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x R ∈(其中0,0,0)2A πωϕ>><<的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (1)求()f x 的解析式；（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域。
2015届高考数学总复习第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时三角函数的图象和性质教学案
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时 三角函数的图象和性质第四章 (对应学生用书(文)、(理)44～46页)1. (必修4P 25练习2改编)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．答案：4π解析：函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4的最小正周期为T ＝2π12＝4π.2. (必修4P 39第2题改编)将函数y ＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________________．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 解析：∵ 向右平移π10个单位，∴ 用x －π10代替y ＝sinx 中的x ；∵ 各点横坐标伸长到原来的2倍，∴ 用12x 代替y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10中的x ，∴ y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 3. (必修4P 45第9题改编)如图，它表示电流I ＝Asin (ωt ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则I ＝Asin (ωt ＋φ)的解析式为________________．答案：I ＝3sin ⎝⎛⎭⎫100π3t ＋π3解析：由图可知A ＝3，ω＝100π3.代入⎝⎛⎭⎫150，0和⎝⎛⎭⎫120，0，解得φ＝π3，于是I ＝3sin ⎝⎛⎭⎫100π3t ＋π3.4. (必修4P 32练习6改编)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递增区间是________．答案：⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )解析：－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，所求单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．5. (必修4P 32第5题改编)函数y ＝2sinx ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．答案：[1，2]解析：根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x ＝π2时，函数取到最大值2.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，则称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin (ωx ＋φ)和y ＝Acos (ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan (ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|．2. 三角函数的图象和性质“五点法”作图原理：在确定正弦函数y ＝sinx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎝⎛⎭⎫3π2，－1、 (2π，0)． 余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin (ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin (ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记]题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 (2013·南京三模)已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：23解析：由图象可知函数的四分之三周期为15π8－⎝⎛⎭⎫－3π8＝34T ，T ＝3π，ω＝2π3π＝23.变式训练已知函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：3解析：由图知，A ＝2，将(0，2)、⎝⎛⎭⎫π12，2代入函数，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin ⎝⎛⎭⎫π12w ＋φ＝2，2sin φ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧φ＝π4，ω＝3.题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6(x ∈R )的图象，只需把函数y ＝2sinx(x ∈R )的图象上所有的点经过怎样的变换得到？解：y ＝2sinx 用6x p +代替x ，左移 6p个单位 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6再用3p代替x ，各点横坐标伸长到原来的3倍。
4.4 三角函数的图象 解析式Microsoft Word 文档
4.4 三角函数的图象 解析式一、明确复习目标1.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，2.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A ω、φ的物理意义3.会由图象求y=Asin(ωx+φ)的解析式.二．建构知识网络1．三角函数线[见课本]利用三角函数线可以:比较三角函数值的大小,求取值范围,证明:“若0<α<2π则 sin α＜α＜tan α”; 画三角函数y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象； 2．y=Asin(ωx+φ)的图象：①用五点法作图:五点取法由ωx +ϕ=0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.②图象变换：先平移、再伸缩两个程序③A---振幅 ϖπ2=T ----周期 πω21==T f ----频率 相位--+ϕωx 初相--ϕ3．图象的对称性①y=sinx 图象的对称中心(k π,0), 对称轴x=k π+2π; y=cosx 呢? ②y=tanx 图象的对称中心(2k π,0), 渐近线x= k π+2π;③ y=Asin(ωx+φ)图象的对称轴是: ωx+φ=k π+2π,即x=? (k ∈Z).由ωx+φ=k π得对称中心为:(ωφπ-k ,0), k ∈Z.4.给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题，一般先找“五点”中的第一零点或第一个最大值点确定ω或φ.三、双基题目练练手1.在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是 ( ) A .（4π，2π）∪（π，4π5） B .（4π，π） C .（4π，4π5）D .（4π，π）∪（4π5，2π3） 2.函数y =cos （x +3π4）的图象向左平移φ个单位，所得的函数为偶函数，则ϕ的最小值是 ( )A .3π4B .3π2C .3πD .3π5 3. (2006天津)已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是 （ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 4.（2005湖北）若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin （ ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππC ．)3,4(ππD ．)2,3(ππ5.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是______________6.（2005湖南）设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0，nπ]上的面积为n 2（n ∈N * ），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .✿简答:1-4.CBDC; 1.利用三角函数线; 2.设平移后:y =cos （x +3π4+ϕ）， 则3π4+ϕ=k π.ϕ=k π－3π4＞0.∴k ＞34.∴k =2.∴ϕ=3π2;3.()),f x x ϕ=-可取35,424πππϕϕ-==-得,∴5())4f x x π=+, 3())4f x x x ππ-=-= 4.利用图象可得解.5.平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，答案sin(2)3y x π=+。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.函数 的定义域是 ,值域是 ,周期是 ,振幅是 ,频率是 ,相位是 ,
初相是 .
B.能力培养
5.如下图所示为函数
图象的一部分,则 的一个解析式为 ( )
6.如下图是函数 的图象的一部分,则其解析式为 ( )
7.已知函数 在同一周期内,当 时,取最大值 ,当 时取最小值 ,
11.设有函数 和函数
,若它们的最小正周期之和为 ,且
,求这两个函数的解析式.
12.如下图是函数 的图象的一部分,求正实数 和 的值.
第 页
则函数解析式为 ( )
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第 □ 讲
三角函数的解析式
8.如下图是函数 在一个周期内的图象,那么这个函数的一个解析式为 ( )
9.如下图为函数
的图象中的一段,求其解析式.
10.如下图是函数 的图象一部分,
求其解析式:
C.综合提高
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
三角函数的解析式
是 ,振幅频率是
,相位是 ,初相是 .
2.函数 的图象的最高点的纵坐标就是 ,与 轴的相邻的两个交点间的距离是 .
3.函数 的最大值为 ,最小值为 ,则 .
的图象的一部分,试求该函数的解析式.
例2如下图,表示函数
的图象的一段,求此函数的解析式.
[分级训练]:
A.基础训练
1.将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度,再把所得图象上各点横坐标变为原来的5倍,则最后所得图象的解析式为 ( )
2.把函数 的图象向右平移 个单位后,所得图象对应的函数解析式为 ( )
[规律总结]:
1.求函数 的解析式,一般根据条件很容易求出 ,确定 后,再根据条件求
2.求函数解析式,求 的关键,最常用的方法是找平衡点法,即与原点相邻的且处于递增部分上与 轴的交点 与正弦曲线上 点对应,即 ,有时还用最值点求解,即 处应
有 ,选取 值,确定符合条件的 值.
[激活思维]:
例1如下图是函数