工程振动第一章(3)ch1cPPT课件
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第一课振动第1章第2章
第2章 单自由度系统的自由振动
2.2 能量法（3）：举例II
ksa mgl T 1 m l 2
2
U 1 k a 2
2
Tmax
n2
2
ml 2 A2
U max
1 2
ka2 A2
第2章 单自由度系统的自由振动
2.3 瑞利法（1）：基本原理
考虑弹性元件分布质量 对固有频率影响的一种近 似计算方法。一般假设弹 性元件在振动过程中为均 匀变形，据此计算系统动 能，而后利用能量法计算 固有频率。
n
k I
T 2 2 I
n
k
f n 1 k 2 2 I
第2章 单自由度系统的自由振动
2.2 能量法（1） ：基本原理 对于保守系统，可由机械能守恒定律导
出系统运动方程。以T和U分别表示系统的 动能和势能，则
T+U=常数 d(T+U)/dt=0 对于自由振动为简谐振动的系统，可 据下面关系直接得到固有频率
n
k
m l 3
第2章 单自由度系统的自由振动
2.3 瑞利法（2）：举例I
yx
ym
3l2 x l3
4x3
ys mgl3 , k 48EJ
m 48EJ
l3
T
2
l 0
2
1 2
y2dx
1 17 2 35
l
ym2
Tmax
1 2
m
17 35
第1章 绪论——振动的分类
1.4 振动的分类 确定振动与随机振动 自由振动 强迫振动 自激振动 参激振动
声与振动基础完整课件
如果，关于x (t的) 初始条件为实数，则 的另x(一t ) 种表示：
x t C 1 co 0 t C 2 s si 0 tn
式中C1,，C2 为两个待定常数，由运
动的初始条件来确定。
A
18
2、振动的一般规律 数学基础
ej0tco0tsjsin 0t
ej0tco0tsjsin 0t
A
19
A
31
3、振动速度、加 速度
位移、速度、加速度的区别与联系
相位关系：
π 速度的相位比位移的相位超2前
π 加速度的相位比速度的相位超前2
加速度和位移恰好反相
A
32
3、振动速度、加 速度
位移、速度、加速度的区别与联系
幅度关系
位移振幅 振速振幅 加速度振幅
A
0A
2 0
A
A
33
3、振动速度、加 速度
对于谐合振动，可以引入复数表示：
总结：
无阻尼系统的自由振动过程中，系统总能量不变。 无阻尼系统的自由振动是系统质量上的动能与
弹簧上的势能相互循环转化的过程。
A
42
二、阻尼自由振动
❖1、阻尼振动方程
❖2、阻尼振动的一般规律
❖3、阻尼振动的能量
❖4、阻尼振动系统中的阻尼量的描
述
A
43
1、阻尼振动方 程
机械振动系统的振动若有阻力
作用，则为阻尼振动系统。受
A
45
1、阻尼振动方程
mdd22txDxRmddxt
dd2x2t 2ddxt02x0
定义 为阻尼系数
Rm
2m
0
D m
A
46
2、阻尼振动的一般规律 阻尼振动方程是常系数的二阶齐次 微分方程，其一般解为
x t C 1 co 0 t C 2 s si 0 tn
式中C1,，C2 为两个待定常数，由运
动的初始条件来确定。
A
18
2、振动的一般规律 数学基础
ej0tco0tsjsin 0t
ej0tco0tsjsin 0t
A
19
A
31
3、振动速度、加 速度
位移、速度、加速度的区别与联系
相位关系：
π 速度的相位比位移的相位超2前
π 加速度的相位比速度的相位超前2
加速度和位移恰好反相
A
32
3、振动速度、加 速度
位移、速度、加速度的区别与联系
幅度关系
位移振幅 振速振幅 加速度振幅
A
0A
2 0
A
A
33
3、振动速度、加 速度
对于谐合振动，可以引入复数表示：
总结：
无阻尼系统的自由振动过程中，系统总能量不变。 无阻尼系统的自由振动是系统质量上的动能与
弹簧上的势能相互循环转化的过程。
A
42
二、阻尼自由振动
❖1、阻尼振动方程
❖2、阻尼振动的一般规律
❖3、阻尼振动的能量
❖4、阻尼振动系统中的阻尼量的描
述
A
43
1、阻尼振动方 程
机械振动系统的振动若有阻力
作用，则为阻尼振动系统。受
A
45
1、阻尼振动方程
mdd22txDxRmddxt
dd2x2t 2ddxt02x0
定义 为阻尼系数
Rm
2m
0
D m
A
46
2、阻尼振动的一般规律 阻尼振动方程是常系数的二阶齐次 微分方程，其一般解为
机械振动基础一章的PPT
模型建立起来了，实际 问题化成了数学问题。
5
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
实际 系统
简化系统
离散模型 连续体模型
2019年9月22日
简化系统
有限元 模型
对于振动问题的适应性强，应用范围广，
能详细给出各种数值结果，并通过图像
6
显示还可以形象地描述振动过程。
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
静平衡位置
29
1.2 无阻尼系统的自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
u0
m h
u0 2gh
则自由振动振幅为 ：
l/2
0
l/2
静平衡位置
2
a
u02
u0
0
2 2h
u
梁的最大扰度：
2019年9月22日
max A
• 单自由度系统
仅需一个独立坐标来描述的系统。
������ 注意：对于实际系统，当考虑问题的深度、广度
不2019年9月22日
3
1.1 概述
• 构成机械振动系统的基本元素
构成振动系统的基本元素有惯性(质量) 、恢复性（弹簧）和阻尼（阻尼器）。 惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。 阻尼就是阻碍物体运动的性质。
从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是 贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。
2019年9月22日 4
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
分析复杂的实际问题， 发现其中的可以用数学 语言来描述的关系或规 律，把这个实际问题化 成一个数学问题，这就 称为建模。
5
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
实际 系统
简化系统
离散模型 连续体模型
2019年9月22日
简化系统
有限元 模型
对于振动问题的适应性强，应用范围广，
能详细给出各种数值结果，并通过图像
6
显示还可以形象地描述振动过程。
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
静平衡位置
29
1.2 无阻尼系统的自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
u0
m h
u0 2gh
则自由振动振幅为 ：
l/2
0
l/2
静平衡位置
2
a
u02
u0
0
2 2h
u
梁的最大扰度：
2019年9月22日
max A
• 单自由度系统
仅需一个独立坐标来描述的系统。
������ 注意：对于实际系统，当考虑问题的深度、广度
不2019年9月22日
3
1.1 概述
• 构成机械振动系统的基本元素
构成振动系统的基本元素有惯性(质量) 、恢复性（弹簧）和阻尼（阻尼器）。 惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。 阻尼就是阻碍物体运动的性质。
从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是 贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。
2019年9月22日 4
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
分析复杂的实际问题， 发现其中的可以用数学 语言来描述的关系或规 律，把这个实际问题化 成一个数学问题，这就 称为建模。
工程中的振动问题 ppt课件
PPT课件
16
海洋平台的减震（1983年）
渤海公司埕北油田A平台。 钻机开动时，平台振动强烈，生活区工人
很难入睡。 强烈振动有可能影响平台的寿命。 要求分析原因，采取有效的减震措施。
PPT课件
17
海洋平台的结构示意
钻机转速有三档，现用 一档。
三档转速为： n=90，120，150r/min
PPT课件
3
矿山通风机叶片开裂的治理（1990年）
平顶山矿 2K58-30通风机。 沈阳风机厂生产。 1988年11月至1989年10月，14支叶片开裂，
故被煤炭部冻结销售。 要求分析开裂原因，提出根治的措施。
PPT课件
4
2K58-30通风机的结构示意
转速 600r/min。
11 19
中导叶数 z2 =19, 机器转速为
n=10Hz。
扰动频率为nz1和 nz2。
0 50 100 150 200 250 300 Hz
扰动频率带为绿色区，不会激起叶片 共振。
改进工艺，减小叶片制造质量和频率
分散度。
PPT课件
10
风机的减震和隔震（1996年）
北京燕山石化一厂聚苯一烯车间，屋顶 上装有三台通风机F-730、731、732。
平台高度为 20多米，面 积有如半个足球场。
PPT课件
18
海洋平台的减震分析
初步观察：
走廊作水平转动，平台四角作 切向运动，故平台作扭转振动。
有限元计算：
第一阶扭振固有频率1.12Hz
实测：
固有频率1.1Hz。 扭转扰动频率：1.5Hz
结论： 平台为处于扭转共振中。
PPT课件
机械振动基础CH1
1.2无阻尼单自由度系统的自由振动
方程 mu(t) ku(t) 0 注意
特点 二阶常系数齐次方程
初始条件 (定解条件)
u(0) u0, u(0) u0
振动工程研究所
解的形式与试探解
数学理论
微分方程解=通解（+特解）
（1）试探解的提出与代入
实际经验
单频、等幅、初始点
（2）用初始条件定系数
u(t) uest
与材料力学联系
单自由度扭振
假定盘和轴都为均质体，不考 虑轴的质量。设扭矩作用在盘 面，此时圆盘产生一角位移，
Tl 其中 I π d 4
GI
32
定义轴的扭转刚度为
kT
T
GI l
GI kT
l
振动工程研究所
扭转振动方程
J kT 0
扭转振动固有频率
n
kT J
系统对初始扰动的自由振动响应
(t)
u(t T0 ) u1(t mT1) u2 (t nT2 ) u1(t) u2 (t) u(t)
振动工程研究所
2. 调制信号——用高频传递低频信号
u(t) 2a cos(2 1 t 2 1 ) sin(2 1 t 2 1 )
2
2
2
2
a (t)sin[2 1 t (t)]
Im(aej e j0t )
a sin(0t )
振动工程研究所
不同频率的简谐振动的合成不再是简谐 振动
1. 周期振动(频率可通约)
关键
u1(t) a1 sin(1t 1) 整数倍数 u2 (t) a2 sin(2t 2 )
证
1 m
明 2 n
T2 m , T1 n
《振动》学习课件
旋转矢量转动过程所用的时间：
t 5s 6
x=0.12cos( t )m
3
2
3
A o
x
2
这就是谐振动质点从x=-0.06m, 且向x轴负方向运动时刻回
到平衡位置所需的最短时间。
18
例5: 质点作谐振动, t=0时向右通过A点，经2s第一次通过B
点，再经2s质点第二次通过B点，A=B，AB=10cm，求振动
x0 2m, υ0 2 2m / s, 求振动方程。
解：
2 2,
T
A
x02
2 0
2
2,
arctan( 0 ) arctan(1) x0
且 x0<0, 0<0
显然 在第2象限 + 3
4
4
代入：x =Acos( t+ ) x 2cos(2t 3 )m
4
8
2. 旋转矢量法(几何表示法)
x0 =Acos v0 = - Asin
6
x0 =Acos v0 = - Asin
于是可求得：
A
x02
2 0
2
arctan( 0 ) x0
Ⅱ
x0<0, 0<0
x0<0,0>0
Ⅲ
注意！
Ⅰ
x0>0, 0< 0
x0>0, 0>0
Ⅳ
学会根据x0和0的正负正确判断 所在象限，如图期T=s, t=0时，
位置：x =Acos( t+ ) 速度： Asin(t )
• ( t+ )=0, x=A,=0 ——正最大 • ( t+ )=+/2, x=0, < 0 ——平衡位置 • ( t+ )= , x= -A, =0 ——负最大 • ( t+ )= 3/2, x=0, > 0 ——平衡位置 • ( t+ )=2 , x=A, =0 ——正最大
t 5s 6
x=0.12cos( t )m
3
2
3
A o
x
2
这就是谐振动质点从x=-0.06m, 且向x轴负方向运动时刻回
到平衡位置所需的最短时间。
18
例5: 质点作谐振动, t=0时向右通过A点，经2s第一次通过B
点，再经2s质点第二次通过B点，A=B，AB=10cm，求振动
x0 2m, υ0 2 2m / s, 求振动方程。
解：
2 2,
T
A
x02
2 0
2
2,
arctan( 0 ) arctan(1) x0
且 x0<0, 0<0
显然 在第2象限 + 3
4
4
代入：x =Acos( t+ ) x 2cos(2t 3 )m
4
8
2. 旋转矢量法(几何表示法)
x0 =Acos v0 = - Asin
6
x0 =Acos v0 = - Asin
于是可求得：
A
x02
2 0
2
arctan( 0 ) x0
Ⅱ
x0<0, 0<0
x0<0,0>0
Ⅲ
注意！
Ⅰ
x0>0, 0< 0
x0>0, 0>0
Ⅳ
学会根据x0和0的正负正确判断 所在象限，如图期T=s, t=0时，
位置：x =Acos( t+ ) 速度： Asin(t )
• ( t+ )=0, x=A,=0 ——正最大 • ( t+ )=+/2, x=0, < 0 ——平衡位置 • ( t+ )= , x= -A, =0 ——负最大 • ( t+ )= 3/2, x=0, > 0 ——平衡位置 • ( t+ )=2 , x=A, =0 ——正最大
振 动ppt课件
振 动
主要内容
一、基本概念及物理量 二、接触振动的主要作业 三、振动的主观感觉 四、手臂振动病 五、影响振动对机体作用的因素 六、预防措施
一、概念及物理量
1. 振动（Vibration）：物体在外力的作用下 沿直线或弧线围绕一平衡位置来回重复的运动。 2. 位移（displacement）：振动体离开平衡位 置的瞬时距离，（mm）。 3. 振幅：振动体离开平衡位置的最大距离。 4. 速度（velocity）：振动体在单位时间内位 移变化的量（m/s）。 5. 加速度（acceleration）：振动体在单位时 间内速度变化的量（m/s2）。 频率相同，加速度大，振幅大的振动对人的危 害性大。
人体的皮肤和深部组织分布着各种振动感受器， 也称机械感受器（ mechanoreceptor ）。当振动 作用于人体，振动感受器形成的电位足够大时， 可以产生动作电位，通过神经通路传导至中枢， 从而产生振动觉。 在一定范围内，感受器产生的动作电位与振动 的强度成正比。长期、过量的接触振动，可使 振动感受器的敏感性降低，振动觉阈值升高， 即振动觉下降。 振动作用于人体，不仅可以引起机械效应，而 且引起生理和心理效应。不同频率，不同强度 的振动，人体的主观感受不同。同样的振动作 用于不同的人体，感觉和反应也可能不同。
三、振动的主观感觉
振动对人体有两个方面的作用。适宜的振动有 益于身心健康，具有增强肌肉活动能力，解除 疲劳，减轻疼痛，促进代谢，改善组织营养， 加速伤口恢复等功效。在生产条件下，作业人 员接触的振动强度大、时间长，对机体可以产 生不良影响，甚至引起疾病。 （一）全身振动：（whole body vibration）40 Hz 以下的振动 1、神经系统： 接受一定强度的振动可以引起不适感，甚至不 能忍受。振动可以干扰发育，影响手眼配合， 影响注意力集中，空间定向障碍，降低工作效 率，影响作业能力，降低工作效率。
主要内容
一、基本概念及物理量 二、接触振动的主要作业 三、振动的主观感觉 四、手臂振动病 五、影响振动对机体作用的因素 六、预防措施
一、概念及物理量
1. 振动（Vibration）：物体在外力的作用下 沿直线或弧线围绕一平衡位置来回重复的运动。 2. 位移（displacement）：振动体离开平衡位 置的瞬时距离，（mm）。 3. 振幅：振动体离开平衡位置的最大距离。 4. 速度（velocity）：振动体在单位时间内位 移变化的量（m/s）。 5. 加速度（acceleration）：振动体在单位时 间内速度变化的量（m/s2）。 频率相同，加速度大，振幅大的振动对人的危 害性大。
人体的皮肤和深部组织分布着各种振动感受器， 也称机械感受器（ mechanoreceptor ）。当振动 作用于人体，振动感受器形成的电位足够大时， 可以产生动作电位，通过神经通路传导至中枢， 从而产生振动觉。 在一定范围内，感受器产生的动作电位与振动 的强度成正比。长期、过量的接触振动，可使 振动感受器的敏感性降低，振动觉阈值升高， 即振动觉下降。 振动作用于人体，不仅可以引起机械效应，而 且引起生理和心理效应。不同频率，不同强度 的振动，人体的主观感受不同。同样的振动作 用于不同的人体，感觉和反应也可能不同。
三、振动的主观感觉
振动对人体有两个方面的作用。适宜的振动有 益于身心健康，具有增强肌肉活动能力，解除 疲劳，减轻疼痛，促进代谢，改善组织营养， 加速伤口恢复等功效。在生产条件下，作业人 员接触的振动强度大、时间长，对机体可以产 生不良影响，甚至引起疾病。 （一）全身振动：（whole body vibration）40 Hz 以下的振动 1、神经系统： 接受一定强度的振动可以引起不适感，甚至不 能忍受。振动可以干扰发育，影响手眼配合， 影响注意力集中，空间定向障碍，降低工作效 率，影响作业能力，降低工作效率。
工程振动第一章(3)ch1c
mx cx kx mD2eit
x1 2 x1 02 x1 D2eit
•当m很大，k相对小时， 很小，上式左端2、
3两项比第一项小，可略去。改写为：x1 D2eit
•积分后有： x1 Deit xf (t) 移传感器。
得到的是位
•当m很小，k相对大时，0 很大，上式左端1、 2两项比第三项小，可略去。改写为： 02x1 D2eit •得到的是加速度传感器。
隔振材料：k，c k
c
k
A F0
k
2020年9月17日
<<振动力学>>
1
(1 s2 )2 (2s)2
1
tg 1
2s
1 s2
11
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离
x F0 ei(t1)
k
1
(1 s2 )2 (2s)2
1
tg 1
2s
1 s2
隔振后通过k、c传到地基上的力： 隔振前
阻尼比 0.15
机器转速 n＝2400r/min
不平衡力的幅值 1470N
求：（1）机器振幅，（2）主动隔振系数（3）传到地基上的力幅
解： 频率比： s 2n 1 3.2
0 60 2f n
弹性支承的刚度： k m02 880 (2 12.5)2 5.43 106 N
机器振动的振幅 ： B F0
F1 cx kx
(ic k) F0 ei(t1)
k
F0 (1 i2s)ei(t1)
m
F0eit
隔振材料：k，c
F0
(1
1 (2s)2 s2 )2 (2s)2
ei[t
(1
2
振动的基本知识PPT课件
第7页/共58页
振动的时域参数计算
• 瞬时值 (Instant value) 振动的任一瞬时的数值。
x = x(t)
• 峰值 (Peak value)
xp
振动离平衡位置的最大偏离。
• 平均绝对值 (Aver. absolute
xav
1 T
T
x dt
0
value) • 均值 (Mean value)
• 有效值
xrms=0.707A
• 平均值
对非简谐振动，上述关系splacement (distance) – mils or micrometers, m
• Velocity (speed - rate of change of displacement) – in/sec or mm/sec
本章内容
• 简谐振动三要素 • 振动的时域描述 • 振动的频域描述 • 系统对激励的响应 • 单自由度系统 • 多自由度系统 • 自由振动，模态 • 强迫振动，共振 • 幅频响应和相频响应
•振动测量框图 •传感器及其选用 •旋转机械振动测量的 • 几个特殊问题 • 相位和基频的测量 • 波德图和极坐标图 • 三维频谱图 • 轴心轨迹和轴心位置图 • 摆振信号来源及其补偿
• 以参考脉冲后到第一个正峰值的转角定义振动相位，即a。
• 振动相位直接和转子的转动角度有关，在平衡和故障诊断中 有重要作用。
• 参考脉冲也用于测量转子的转速。
第43页/共58页
振动相位
• The relationship of the movement of part of a machine to a reference – for example the position of the shaft as it rotates
振动的时域参数计算
• 瞬时值 (Instant value) 振动的任一瞬时的数值。
x = x(t)
• 峰值 (Peak value)
xp
振动离平衡位置的最大偏离。
• 平均绝对值 (Aver. absolute
xav
1 T
T
x dt
0
value) • 均值 (Mean value)
• 有效值
xrms=0.707A
• 平均值
对非简谐振动，上述关系splacement (distance) – mils or micrometers, m
• Velocity (speed - rate of change of displacement) – in/sec or mm/sec
本章内容
• 简谐振动三要素 • 振动的时域描述 • 振动的频域描述 • 系统对激励的响应 • 单自由度系统 • 多自由度系统 • 自由振动，模态 • 强迫振动，共振 • 幅频响应和相频响应
•振动测量框图 •传感器及其选用 •旋转机械振动测量的 • 几个特殊问题 • 相位和基频的测量 • 波德图和极坐标图 • 三维频谱图 • 轴心轨迹和轴心位置图 • 摆振信号来源及其补偿
• 以参考脉冲后到第一个正峰值的转角定义振动相位，即a。
• 振动相位直接和转子的转动角度有关，在平衡和故障诊断中 有重要作用。
• 参考脉冲也用于测量转子的转速。
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振动相位
• The relationship of the movement of part of a machine to a reference – for example the position of the shaft as it rotates
《振动基础》PPT课件
s2 n2 0
xs2est x est
通解
s1,2 in
xce 精选PPs1 Tt 1
c2es2t
44
xc1 eintc2e in t
c1co sntisinntc2co sn tisinn t
引入： b 1 c 1 c 2 ,b 2 i( c 1 c 2 )
x (t 0 ) x 0 ,x (t 0 ) x 0 x b 1 c o sn t b 2 s inn t
模型。由了机器人结构的复杂性，机器人的动力学模型也常
常很复杂，因此很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。
精选PPT
3
3、Application
Mars e精xp选lPoPrTation
4
3、Application
Special Purpose Dex精t选eProPTus Manipulator
xAsint
T
2
1）振幅A的物理含义？ 与哪些因素有关？
A
x02
x0
n
2）初始相位的物理含义 与哪些因素有关？
tg1 nx0
x0
精选PPT
47
六、单自由度扭转振动
I k
K
d精4G选PPT 32l
48
七、固有频率的计算
1）静变形法 (Static Deformation Method)
对于单自由度振动系统，当系统处于平衡时，其重力应
定系统由此发生的无阻尼自由振动。
精选PPT
54
精选PPT
22
①第i关节的有效惯量： D i i
D 11m 1m 2 l1 2m 2l2 22m 2l1l2cos2
D 22m 2l2 2
大学物理上册振动课件
3、旋转矢量合成法（几何法）
振动
同方向同频率的两个简谐振动的合成
振动
A2
AA 1A2
20
A1
0
10
x1
x2
x
x
O
xAcots(0)
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s 0(1)0 tg0A A11csoin11s00 A A22scion220s0
A A3
3
x
A2
2
1 A1
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
振动
*二. 同方向不同频率简谐振动的合成
分振动 x1Aco1 st (0)
x2A co2 st (0)
合振动 xx1x2
x 2 A co22 s1 ()tco22 s1 (t0 )
AA1A2 两分振动相互减弱
如 A1=A2 , 则 A=0
振动
多个同方向同频率简谐运动的合成
x 1 A 1 co t s1 ) ( x 2 A 2 co t s2 ) (
x n A ncot sn ( )
x x 1 x 2 x n
xA co ts () o
合振动不是简谐振动
振动
x 2 A co 22 s 1 ()tco 22 s 1 (t 0)
当21时,21 21 则： xA(t)cost
式中 A(t)2Aco s2(1)t
2
c ostc o s2(1)t
2
随t 缓变 随t 快变
某一时刻
E =Ek+Ep
vA si n t (0)
xAcost(0)
Ek
振动
同方向同频率的两个简谐振动的合成
振动
A2
AA 1A2
20
A1
0
10
x1
x2
x
x
O
xAcots(0)
A A 1 2A 2 22A 1A 2co2s 0(1)0 tg0A A11csoin11s00 A A22scion220s0
A A3
3
x
A2
2
1 A1
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
振动
*二. 同方向不同频率简谐振动的合成
分振动 x1Aco1 st (0)
x2A co2 st (0)
合振动 xx1x2
x 2 A co22 s1 ()tco22 s1 (t0 )
AA1A2 两分振动相互减弱
如 A1=A2 , 则 A=0
振动
多个同方向同频率简谐运动的合成
x 1 A 1 co t s1 ) ( x 2 A 2 co t s2 ) (
x n A ncot sn ( )
x x 1 x 2 x n
xA co ts () o
合振动不是简谐振动
振动
x 2 A co 22 s 1 ()tco 22 s 1 (t 0)
当21时,21 21 则： xA(t)cost
式中 A(t)2Aco s2(1)t
2
c ostc o s2(1)t
2
随t 缓变 随t 快变
某一时刻
E =Ek+Ep
vA si n t (0)
xAcost(0)
Ek
工程振动基础..
周期函数的的频谱总是由若干沿f轴离散分布的普线组成，普 线长度分别代表频率分量的幅值和初相位。
第 1章 概 论
工程振动基础 1.3 振动的频谱
正如简谐振动可以用复振动表示，周期振动也可采用复指 数形式的傅里叶级数。 根据欧拉公式可知
an jn1t an cos n1t (e e jn1t ) 2 an jn1t bn sin n1t (e e jn1t ) 2j
T 2 T 2
（ 1-14 ）和（ 1-15 ）即为傅里叶级数的复指数形式。
工程振动基础
1.3 振动的频谱
非周期过程的傅里叶级数的复指数形式
d jt jt x(t ) [ x ( t ) e dt ] e 2 1 [ x(t )e jt dt ]e jt d 2
x(t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t )
n 1
（1-8）
其中
T 1 T 2 2 a0 2T xdt a x cos n tdt T n 1 T 2 T 2 T 2 2 bn T x sin n1tdt 其中 (n 1, 2, 3, ...) T 2
工程振动基础
1.4 振动问题及其求解方法
第 1章 概 论
高层建造结构振动台模型试验
第 1章 概 论
第 1章 概 论
1 2π T f ω 1 ω f T 2π
（1-2）
z A cosθ jA sin θ Ae jθ
工程振动基础 1.2 工程振动的表示方法
旋转复矢量与简谐振动的关系
第 1章 概 论
工程振动基础 1.2 工程振动的表示方法
z A cos(t ) jAsin(t ) Ae
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解2：x(t) 1B1 sin(t )
1
s2
(1 s2 )2 (2s)2
解1：x(t) B sin(t )
1
(1 s2 )2 (2s)2
B me 20211/3/20
0
M <<振动力学>>
k M
s 0
tg 1
2s
1 s2
me 2
B k4
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪
mx cx kx mD 2eit
x1 2 x1 02 x1 D2eit
•当m很大，k相对小时， 很小，上式左端2、
3两项比第一项小，可略去。改写为：x1 D2eit
•积分后有： x1 Deit x f (t) 移传感器。
得到的是位
•当m很小，k相对大时，0 很大，上式左端1、 2两项比第三项小，可略去。改写为： 02x1 D2eit •得到的是加速度传感器。
2s
1 s2
<<振动力学>>
绝对位移
x x1 x f 2 Dei(t )
2
1 (2s)2 (1 s2 )2 (2s)2
1 2
2 tg 1(2s)
3
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
偏心质量情况
me 2 sin t
m
e t
x M
x
k
c
m
x
e
M t
k
c
k
ck
2
2
Mx cx kx me 2 sin t
单自由度系统受迫振动
教学内容
• 线性系统的受迫振动 • 工程中的受迫振动问题 • 任意周期激励的响应 • 非周期激励的响应
2021/3/20 1
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
• 工程中的受迫振动问题
• 惯性式测振仪 (p57) • 振动的隔离 • 转子的临界转速
2021/3/20 2
• 振动的隔离
将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为
主动隔振
＝ 主动隔振系数
隔振后传到地基的力幅值
隔振前传到地基的力幅值
隔振前机器传到地基的力：F0eit 隔振后系统响应：
隔振前
m
F0eit
隔振后
m
F0eit
x F0 ei(t1)
隔振材料：k，c k
c
k
A F0
k
2021/3/20
＝ 主动隔振系数
隔振后传到地基的力幅值
隔振前传到地基的力幅值
隔振前机器传到地基的力：
F0eit
隔振前
m
F0eit
隔振后通过k、c传到地基上的力： 隔振材料：k，c
隔振后
m
F0eit
k
c
F1 F0
(1
1 (2s)2 s2 )2 (2s
)
2
ei[t
(1
2
)]
隔振系数：
F1max
F0
1 (2s)2 (1 s2 )2 (2s)2
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
回顾：
支承运动情况
基座位移规律 ：
x f (t) Deit
x
m0
x1
k
c
xf
x1
k
xf
m
c
x
相对位移
mx1 cx1 kx1 mD2eit
x1
Dei(t1 ) 1
1(s)
s2
(1 s2 )2 (2s)2
1
(s) tg 1
2021/3/20
k
F0 (1 i2s)ei(t1)
m
F0eit
隔振材料：k，c
F0
(1
1 (2s)2 s2 )2 (2s)2
ei[t
(1
2
)]
隔振后
m
F0eit
k
c
2 tg 12s
2021/3/20 <<振动力学>>
c
k
c 02m
cs
m 0
20
s
0
2s
12
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离
<<振动力学>>
1
(1 s2 )2 (2s)2
1
tg
1
2s
1 s2
11
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离
x F0 ei(t1)
k
1
(1 s2 )2 (2s)2
1
tg
1
2s
1 s2
隔振后通过k、c传到地基上的力： 隔振前
F1 cx kx
(ic k ) F0 ei(t1)
m
k
c
xf
s 0 0
lim
s0
A1
1
02
(D 2 )
D 2 ：被测物体的加速度幅值
当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值
A1与外壳加速度的幅值成正比
高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为加速度计
2021/3/20 6
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪
求：（1）机器振幅，（2）主动隔振系数（3）传到地基上的力幅
Байду номын сангаас
解： 频率比： s 2n 1 3.2
0 60 2f n 弹性支承的刚度： k m02 880 (2 12.5)2 5.43106 N
机器振动的振幅 ： B F0
1
0.0291(mm)
k (1 s2 )2 (2s)2
主动隔振系数 ：
s
A1
D
2021/3/20
<<振动力学>>
当仪器的固有频率远小于外壳振动 频率时，仪器读数的幅值 A1 接近 外壳振动的振幅 D
5
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪
A1
s2
D
(1 s 2 )2 (2s)2
A1 还可写为：
1
D 2
A1 (1 s2 )2 (2s)2 ( 02 )
• 惯性式测振仪
基础位移 x f Deit
x 为 m 相对于外壳的相对位移
m
动力方程 ：
k
c
m(x xf ) cx kx 0
xf
mx cx kx mD 2eit
振幅 ： A1
s2
D 低固有频率测量仪用于测量振
(1 s2 )2 (2s)2 动的位移幅值，称为位移计
s 0
lim
2021/3/20 13
<<振动力学>>
2021/3/20 14
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离
例：机器安装在弹性支承上
已测得固有频率 fn 12.5Hz 参与振动的质量是 880kg
阻尼比 0.15
机器转速 n＝2400r/min
不平衡力的幅值 1470N
1 (2s)2 (1 s2 )2 (2s)2 0.149
传到2地021基/3/2上0 的力幅 ： F1m F0 0.149 1470 219N
2021/3/20 7
<<振动力学>>
2021/3/20 8
<<振动力学>>
2021/3/20 9
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
• 工程中的受迫振动问题
• 惯性式测振仪 • 振动的隔离(p53) • 转子的临界转速
2021/3/20 10
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离