组合数学题库答案
组合数学题目及标准答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
数学竞赛组合试题及答案
数学竞赛组合试题及答案试题一：排列组合问题题目：某班级有30名学生，需要选出5名代表参加校际数学竞赛。
如果不考虑性别和成绩，仅考虑组合方式，问有多少种不同的选法？答案：这是一个组合问题，可以用组合公式C(n, k) = n! / (k! *(n-k)!)来计算，其中n为总人数，k为选出的人数。
将数值代入公式，得到C(30, 5) = 30! / (5! * 25!) = 142506。
试题二：概率问题题目：一个袋子里有10个红球和20个蓝球，随机抽取3个球，求至少有1个红球的概率。
答案：首先计算没有红球的概率，即抽到3个蓝球的概率。
用组合公式计算，P(3蓝) = C(20, 3) / (C(30, 3)) = (20! / (3! * 17!)) / (30! / (3! * 27!))。
然后，用1减去这个概率得到至少有1个红球的概率，P(至少1红) = 1 - P(3蓝)。
试题三：几何问题题目：在一个半径为10的圆内，随机选择两个点，连接这两点形成弦。
求这条弦的长度小于8的概率。
答案：首先，弦的长度小于8意味着弦所对的圆心角小于某个特定角度。
通过几何关系和圆的性质，可以计算出这个特定角度。
然后，利用面积比来计算概率。
圆的面积为πr²，而弦所对的扇形面积可以通过角度来计算。
最后，将扇形面积除以圆的面积得到概率。
试题四：数列问题题目：给定一个等差数列，其首项为3，公差为2，求前10项的和。
答案：等差数列的前n项和公式为S_n = n/2 * (2a + (n-1)d)，其中a为首项，d为公差，n为项数。
将数值代入公式，得到S_10 = 10/2* (2*3 + (10-1)*2) = 10 * 13 = 130。
试题五：逻辑推理问题题目：有5个盒子，每个盒子里都有不同数量的球，分别是1个，2个，3个，4个和5个。
现在有5个人，每个人随机选择一个盒子，每个人只能拿一个盒子。
问至少有一个人拿到的盒子里球的数量与他选择的顺序号相同的概率。
组合数学课后习题答案
组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数：(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答：(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。
根据组合数的定义，我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。
计算 C(5, 2)： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。
(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。
计算 C(7, 3)： C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。
(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。
计算 C(10, 5)： C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。
问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中，求解以下问题：(a)有多少种不同的3个元素的子集？(b)有多少种不同的4个元素的子集？(c)有多少种不同的空集合？(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。
子集的元素个数为3，所以我们需要从5个元素中选取3个。
利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，我们可以计算组合数。
最新组合数学习题答案(1-4章全)
第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
组合数学题库答案
填空题1．将5封信投入3个邮筒，有_____243 _种不同的投法．2．5个男孩和4个女孩站成一排。
如果没有两个女孩相邻，有 43200 方法．3．22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______． 4．6()x y +所有项的系数和是_64_ _．答案：64 5．不定方程1232++=x x x 的非负整数解的个数为_ 6 ___．6．由初始条件f f (0)1,(1)1==及递推关系)()1()2(n f n f n f ++=+确定的数列f n n {()}(0)≥叫做Fibonacci 数列7．（3x-2y ）20 的展开式中x 10y 10的系数是10101020)2(3-c．8．求6的4拆分数P 4(6)= 2 ．9．已知在Fibonacci 数列中，已知f f f (3)3,(4)5,(5)8===，试求Fibonacci 数f (20)=1094610．计算P 4(12)=k k P P P P P P 4412341(12)(12)(8)(8)(8)(8)===+++∑k k k k P P P P 341211(8)(8)(5)(4)145515===+++=+++=∑∑11．P 4(9)=（ D ）A ．5 B. 8 C. 10 D. 612．选择题 1．集合A a a a 1210{,,,}=的非空真子集的个数为（ A ）A.1022 B.1023 C. 1024 D.10212．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有2名男同学，5名女同学；乙组有3名男同学，6名女同学，从甲乙两组均选出3名同学来比赛，则选出的6人中恰有1名男同学的方式数是（ D ）A ．800 B. 780 C. 900 D. 8503．设x y (,)满足条件x y 10+≤，则有序正整数对x y (,)的个数为（ D ） A. 100 B.81 C. 50 D.454．求60123(32)+++x x x x 中x x x 23012项的系数是（ C ） A.1450 B. 60 C.3240 D.34605．多项式40123(24)x x x x +++中项22012x x x ⋅⋅的系数是（ C ） A ．78 B. 104 C. 96 D. 486．有4个相同的红球，5个相同的白球，那么这9个球有（ B ）种不同的排列方式 A. 63 B. 126 C. 252 D.3787．递推关系f n f n f n ()4(1)4(2)=---的特种方程有重根2，则（B ）是它的一般解 A ．n n c c 11222-+ B. n c c n 12()2+ C. nc n (1)2+ D. n n c c 1222+8．用数字1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个2且至少含有一个3的n n (1)>位数（ ）运用指数生产定理A.n n n43(1)4-+- B. n n 4314-+ C.n n4213-+ D. n n n 43(1)3-+-9．不定方程()12n x x x r r n +++=≥正整数的解的个数为多少？（ A / C ）不确定A.1r r n -⎛⎫⎪-⎝⎭ B.r r n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C.1n r r +-⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1n r r n +-⎛⎫⎪-⎝⎭10．x x x 12314++=的非负整数解个数为（ A ）A.120B.100C.85D. 5011．从1至1000的整数中，有多少个整数能被5整除但不能被6整除？（ A ） A.167 B.200 C.166 D.3312．期末考试有六科要复习，若每天至少复习完一科（复习完的科目不再复习），5天里 把全部科目复习完，则有多少种不同的安排？（ D ）A. 9B. 16C.90D.180013．某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人；同时参加数学、语文两个小组的有7人。
组合数学考试题目及答案
组合数学考试题目及答案**组合数学考试题目及答案**一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 从10个不同的元素中取出3个元素的组合数为（）。
A. 120B. 210C. 100D. 150答案：B2. 以下哪个不是排列数的性质？（）。
A. \( P(n, n) = n! \)B. \( P(n, 0) = 1 \)C. \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)D. \( P(n, k) = \frac{n!}{k!} \)答案：D3. 从5个不同的元素中取出2个元素的排列数为（）。
A. 10B. 20C. 15D. 25答案：B4. 组合数 \( C(n, k) \) 和排列数 \( P(n, k) \) 之间的关系是（）。
A. \( C(n, k) = \frac{P(n, k)}{k!} \)B. \( P(n, k) = \frac{C(n, k)}{k!} \)C. \( C(n, k) = k \times P(n, k) \)D. \( P(n, k) = k \times C(n, k) \)答案：A5. 以下哪个是组合数的性质？（）。
A. \( C(n, k) = C(n, n-k) \)B. \( C(n, k) = C(n-1, k-1) \)C. \( C(n, k) = C(n, k+1) \)D. \( C(n, k) = C(n+1, k+1) \)答案：A6. 从8个不同的元素中取出3个元素的组合数为（）。
A. 56B. 54C. 48D. 35答案：A7. 以下哪个是排列数的递推关系？（）。
A. \( P(n, k) = P(n-1, k) + P(n-1, k-1) \)B. \( P(n, k) = P(n-1, k) - P(n-1, k-1) \)C. \( P(n, k) = P(n-1, k) \times P(n, 1) \)D. \( P(n, k) = P(n-1, k-1) \times P(n, 1) \)答案：D8. 从7个不同的元素中取出4个元素的排列数为（）。
组合数学试题及答案
组合数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在组合数学中，从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. nCm答案：A2. 如果一个集合有10个元素，从中任取3个元素的组合数为：A. 120B. 210C. 1001D. 1000答案：B3. 组合数学中的排列数与组合数的关系是：A. P(n, m) = C(n, m) * m!B. C(n, m) = P(n, m) / m!C. P(n, m) = C(n, m) + m!D. P(n, m) = C(n, m) * n!答案：B4. 以下哪个公式用于计算组合数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A5. 如果一个集合有8个元素，从中任取2个元素的排列数为：A. 28B. 56C. 8!D. 7!答案：B6. 组合数学中，排列数P(n, m)的定义是：A. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量B. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量C. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的排列方式的数量，不考虑顺序D. 从n个元素中取出m个元素的所有可能的组合方式的数量，考虑顺序答案：A7. 以下哪个公式用于计算排列数？A. P(n, m) = n! / (n-m)!B. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A8. 如果一个集合有15个元素，从中任取5个元素的组合数为：A. 3003B. 3000C. 1365D. 15504答案：D9. 组合数学中的二项式系数表示为：A. C(n, m)B. P(n, m)C. A(n, m)D. B(n, m)答案：A10. 以下哪个公式用于计算二项式系数？A. C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)B. P(n, m) = n! / (n-m)!C. A(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)D. B(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 从5个不同元素中取出3个元素的组合数为 ________。
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组合数学习题1．Show that if n+1 integers are chosen form the set {1,2, …,2n},then there are always two which differ by at most 2.从{1,2, …,2n}中选出n+1个数，在这n+1个数中，一定存在两个数，其中一个整数能整除另外一个整数。
任何一个数都可以写成2k*L，其中k是非负数，L是正奇数。
现在从1到2n之间只有n个奇数。
由于有n+1个数都能表示成2k*L，而L的取值只有n中，所以有鸽子洞原理知道，至少有两个数的L是一样的，于是对应k小的那个就可以整除k大的另一个数。
至少有两个L是一样的，则它们的差=(2i-2j)L>=2，题目应该是说差最大为2，而不是除。
2．Show that for any given 52 integers there are exist two of them whose sum, or else difference, is divisible 100.设52个整数a1，a2，…，a52被100除的余数分别是r1,r2,…,r52，而任意一个数被100除余数为0，1，2，…，99，一共100个。
他们可以分为51个类{0},{1,99},{2,98},…,{49,51},{50}。
将这51个集合视为鸽笼，则将r1,r2,…,r52放入51个笼子中，至少有两个属于同一个笼子，所以要么有ri＝rj，要么有ri＋rj＝100，也就是说ai－aj|100或者ai＋aj|100。
3．从1，2，3，…，2n中任选n+1个数，证明在这n+1个数中至少有一对数互质。
鸽子洞原理，必有两个数相邻，相邻的两个数互质4．Prove that Ramsey number R(p,q)≤R(p,q-1)+R(p-1,q).令N＝R(p,q-1)+R(p-1,q)，从N个人中中随意选取一个a，F表示与a相识的人，S表示与a不相识的人。
组合训练测试题及答案解析
组合训练测试题及答案解析一、单项选择题1. 组合数公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)中，n!表示的是（）。
A. n的阶乘B. m的阶乘C. (n-m)的阶乘D. 1到n的连乘积答案：A解析：n!表示n的阶乘，即从1乘到n的连乘积。
2. 在组合数C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)中，若m=0，则C(n, 0)的值为（）。
A. 0B. 1C. nD. n+1答案：B解析：根据组合数公式，当m=0时，C(n, 0) = n! / (0!(n-0)!) = n! / (1 * n!) = 1。
3. 从5个不同的元素中任取3个元素进行组合，其组合数为（）。
A. 10B. 15C. 20D. 25答案：B解析：根据组合数公式，C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)) = 10 / 2 = 15。
4. 组合数C(n, m)与C(n, n-m)之间的关系是（）。
A. C(n, m) = C(n, n-m)B. C(n, m) = -C(n, n-m)C. C(n, m) ≠ C(n, n-m)D. C(n, m) = 2 * C(n, n-m)答案：A解析：根据组合数的性质，C(n, m) = C(n, n-m)。
5. 从10个不同的元素中任取5个元素进行组合，其组合数为（）。
A. 252B. 210C. 120D. 126答案：A解析：根据组合数公式，C(10, 5) = 10! / (5!(10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252。
二、多项选择题6. 下列哪些选项是组合数的性质（）。
A. C(n, m) = C(n, n-m)B. C(n, m) = C(m, n)C. C(n, 0) = 1D. C(n, n) = 1答案：ACD解析：A选项正确，根据组合数的性质，C(n, m) = C(n, n-m)；B选项错误，C(n, m) ≠ C(m, n)；C选项正确，C(n, 0) = 1；D选项正确，C(n, n) = 1。
高中试卷-6.2.2 组合及组合数(精练)(含答案)
6.2.2 组合及组合数（精练）【题组一 组合的概念】1．下列问题不是组合问题的是 ( )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B ．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【答案】 D【解析】 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2.给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？【答案】见解析【解析】(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题．(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．【题组二 组合数】1．（2020·山东菏泽·高二期末）已知4m ≥，3441m m m C C C +-+=（ ）A ．1B ．m C ．1m +D ．0【答案】D【解析】3443444411110m m m m m m m m C C C C C C C C ++++=--++-==.故选：D 2．（2020·山东莱州一中高二期末）下列等式中，错误的是（ ）A ．11(1)m m n n n A A +++=B ．!(2)!(1)n n n n =--C ．!m m nnA C n =D ．11m mn nA A n m+=-【答案】C【解析】通过计算得到选项A,B,D 的左右两边都是相等的.对于选项C,!m m nnA C m =,所以选项C 是错误的.故答案为C.3．444444456789C C C C C C +++++=（ ）．A ．410C B ．510C C ．610C D ．410A 【答案】B【解析】因为111C C C mm m n nn ++++=，所以44444454444454444567895567896678C C C C C C C C C C C C C C C C +++++=+++++=+++45444544545977898899910C C C C C C C C C C C +=+++=++=+=．故选：B4．（2020·广东佛山·高二期末）若3221364n n n A A C +-=，则n =（ ）A ．5B ．8C ．7D ．6【答案】A【解析】∵3221364n n n A A C +-=，∴()()()()13126142n n n n n n n +----=⨯，即()()()3126122n n n n ----=+，求得5n =，或23n =（舍去），故选：A.5．（多选）（2020·江苏连云港·高二期末）关于排列组合数，下列结论正确的是（ ）A ．C C mn mn n-=B ．11C C C m m m n nn -+=+C ．11A A m m n n m --=D ．11A A A mm m n nn m -++=【答案】ABD【解析】根据组合数的性质或组合数的计算公式!()!!m n n C n m m =-，可知A ，B 选项正确；!()!m n n A n m =-，而()111!()!m n m n mA n m ---=-，故C 选项错误；()()111!1!!!!()!(1)!(1)!(1)!(1)!m m mnnn n m n n n m n m n A mAA n m n m n m n m n m -+-+×+××+=+=+==--+-+-++-，故D 选项正确；故选：ABD .6．（2020·苏州市第四中学校高二期中）计算()2973100100101CC A +¸的值为__________．（用数字作答）【答案】16【解析】由组合数的基本性质可得()()297323333100100101100100101101101101!98!13!98!101!6C C A C C A C A +¸=+¸=¸=⨯=⨯.故答案为：16.7．求值：（1）333364530C C C C +++×××+；（2）12330303030302330C C C C +++×××+.【答案】（1）31464；（2）29302×.【解析】（1）333343333456304456301C C C C C C C C C +++×××+=++++×××+-4311C =-31464=（2）()12330012293030303029292929233030C C C C C C C C +++×××+=+++×××+29302=×【题组三 组合应用 】1．（2020·北京高二期末）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）A ．36种B ．40种C ．44种D ．48种【答案】B【解析】根据题意，将9个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：2､4､6､8，若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有3510C =种情况，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，有1254C C 30=种情况，则和为奇数的情况有103040+=种.故选：B .2．（2020·北京朝阳·高二期末）从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是（ ）A ．12B ．18C ．35D ．36【答案】B【解析】先从3名男生中选出2人有233C =种，再从4名女生中选出2人有246C =种，所以共有1863=⨯种，故选：B3．（2020·新疆乌鲁木齐市第70中高二期中（理））已知集合{1,2,3,4,5}A =，则集合A 各子集中元素之和为（ ）A ．320B ．240C ．160D ．8【答案】B【解析】当集合A 的子集为空集时，各元素之和为0；当集合A 的子集含有1个元素时，共有155C =个集合，1、2、3、4、5各出现1次；当集合A 的子集含有2个元素时，共有2510C =个集合，1、2、3、4、5各出现4次；当集合A 的子集含有3个元素时，共有3510C =个集合，1、2、3、4、5各出现6次；当集合A 的子集含有4个元素时，共有455C =个集合，1、2、3、4、5各出现4次；当集合A 的子集含有5个元素时，共有551C =个集合，1、2、3、4、5各出现1次；所以集合A 各子集中，1、2、3、4、5各出现了1464116++++=次，所以集合A 各子集中元素之和为()1234516240++++⨯=.故选：B.4．（2020·湖北高二月考）2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，M 、N 两社区需要招募义务宣传员，现有A 、B 、C 、D 、E 、F 六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往M 、N 两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及2位大学生，且B 由于工作原因只能派往M 社区，则不同的选派方案种数为（ ）A ．120B ．90C ．60D ．30【答案】C【解析】由于B 只能派往M 社区，所以分组时不用考虑B .按照要求分步将大学生和党员教师分为两组，再分别派往两个社区.第一步：按题意将剩余的5位大学生分成一组2人，一组3人，有2510C=种，第二步：按题意将3位大学生分成一组1人，一组2人，有133C=种，再分别派往两个社区的不同选派种数：103260⨯⨯=种，故选：C。
大学组合数学试题及答案
大学组合数学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个选项不是组合数学中的基本概念？A. 排列B. 组合C. 概率D. 矩阵答案：D2. 从5个不同的元素中取出3个元素进行排列，其排列数为：A. 5B. 10C. 15D. 60答案：D3. 以下哪个公式用于计算组合数？A. \( P(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)B. \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)C. \( A(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)D. \( B(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)答案：B4. 以下哪个选项是组合数学中“鸽巢原理”的描述？A. 任何一组数中至少有一个数是偶数B. 任何一组数中至少有一个数是质数C. 如果有n个鸽巢和n+1只鸽子，那么至少有一个鸽巢里有两只或以上的鸽子D. 如果有n个鸽巢和n-1只鸽子，那么至少有一个鸽巢是空的答案：C5. 以下哪个选项是组合数学中“二项式定理”的描述？A. 任何多项式都可以表示为一次项和常数项的和B. 任何多项式都可以表示为二次项和常数项的和C. \( (a+b)^n \) 的展开式中，每一项都是 \( C(n, k) \cdota^{n-k} \cdot b^k \) 的形式D. \( (a+b)^n \) 的展开式中，每一项都是 \( P(n, k) \cdota^{n-k} \cdot b^k \) 的形式答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 从8个不同的元素中取出4个元素进行组合，其组合数为________ 。
答案：707. 排列数 \( P(7, 3) \) 的值为 ________ 。
答案：2108. 组合数 \( C(10, 5) \) 的值为 ________ 。
答案：2529. 根据鸽巢原理，如果有10个鸽巢和15只鸽子，那么至少有一个鸽巢里有 ________ 只或以上的鸽子。
组合数学竞赛试题及答案
组合数学竞赛试题及答案1. 排列问题给定一个包含n个不同元素的集合，求这个集合的所有排列的数量。
2. 组合问题从n个不同元素的集合中选取k个元素（k≤n），求所有可能的组合数量。
3. 二项式系数计算二项式系数C(n, k)，即从n个元素中选取k个元素的组合数。
4. 鸽巢原理如果有m个鸽巢和n个鸽子（n > m），至少有一个鸽巢至少有几只鸽子？5. 包含与排除原理在一个有30个元素的集合中，有A和B两个子集，A有15个元素，B有20个元素。
求同时属于A和B的元素数量。
6. 组合恒等式证明：\( \sum_{k=0}^{n} C(n, k) = 2^n \)。
7. 组合优化问题给定一个由n个元素组成的集合，要求找到一个子集，使得子集中任意两个元素的和都不是2的倍数，求这个子集的最大可能大小。
8. 组合图论问题在一个无向图中，有n个顶点和m条边。
如果图中的每个顶点至少有一个邻接点，求证图是连通的。
9. 组合几何问题在一个平面上，有n个点，没有任何三个点共线。
求这些点可以形成多少条直线段。
10. 组合设计问题给定一个有限集合，设计一个方案，使得对于任意两个不同的元素，它们要么完全相同，要么互不相交。
答案1. 排列的数量是n!（n的阶乘）。
2. 组合的数量是C(n, k) = n! / [k! * (n - k)!]。
3. 二项式系数C(n, k)可以通过组合公式计算。
4. 根据鸽巢原理，至少有一个鸽巢有 \( \lceil \frac{n}{m}\rceil \) 只鸽子，其中 \( \lceil x \rceil \) 表示向上取整。
5. 同时属于A和B的元素数量可以通过公式|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B| 来计算。
6. 组合恒等式可以通过二项式定理证明。
7. 这个问题可以通过构造性地选择元素来解决，最大可能大小是\( \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \)。
组合练习题及答案
组合练习题及答案练习题一：组合的基本运算1. 给定集合A={1, 2, 3, 4}，求A的所有子集。
2. 集合B={a, b, c}，求B的所有真子集。
3. 若集合C={1, 2, 3}，求C的幂集。
4. 集合D={x | x是小于10的正整数}，求D的元素个数。
答案一：1. 集合A的子集有：∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}。
2. 集合B的真子集有：∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}。
3. 集合C的幂集为：∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}。
4. 集合D的元素个数为9，因为D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。
练习题二：组合的应用问题1. 从5个不同的球中选出3个球，有多少种不同的选法？2. 有6个人参加一个会议，需要选出3个人组成委员会，有多少种不同的组合方式？3. 一个班级有30个学生，需要选出5个学生代表，有多少种不同的组合方式？4. 一个团队有10名成员，需要选出队长和副队长各一名，有多少种不同的选择方式？答案二：1. 从5个不同的球中选出3个球的选法为C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种。
2. 从6个人中选出3个人组成委员会的组合方式为C(6, 3) = 6! / (3! * (6-3)!) = 20种。
3. 从30个学生中选出5个学生代表的组合方式为C(30, 5) = 30! / (5! * (30-5)!)。
4. 从10名成员中选出队长和副队长的组合方式为C(10, 1) * C(9, 1) = 10 * 9 = 90种。
组合数学习题答案.
第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。
大学数学组合数学试题与答案(修正版)5-(1)
一、选择题（每道3分）1、与n 元集的r -可重排列不等价的是（ C ） A. n 元集的r -可重复有序选取 B. n 元集的r -可重复序列C. 把n 个不同的球放在r 个不同盒子方式 D ． {}12,,n M a a a =∞⋅∞⋅∞的r -排列2、有170学生，其中120人学英语，80人学法语，60人学西班牙语，50人既学英语也学法语，25人既学英语也学西班牙语，30人同时学法语和西班牙语，有10人同时学以上三种语言，问有多少人这三种语言都没有学。
（ C ）A 、4B 、6C 、5D 、73、由1至1000的整数中，有多少个整数能被2整除但不能被3也不能被5整除？（ B ） A ：251 B:267 C:302 D:1874、有3只全是红色的球放到10个编号不同的盒子中去，如果每个盒子只能放一只球，有（ C ）种放法。
A 、720B 、360C 、120D 、6 5、递推关系⎩⎨⎧==≥-=--5,3)2(341021a a n a a a n n n 的解为：（ B ）n n a A 322•+= n n a B 32+= n n a C23+= n n a D233•+=6、对于实数e x=∑∞=0!1n n x n ,那么形式幂级数A （t ）=∑∞=0!1n n t n的逆元是（ B ）A 、∑∞=0!1n n B 、∑∞=0n n n!(-1)t n C 、∑∞=0n n!1t n D 、—∑∞=0n n!1t n7、()()12nn n n a=++已知，求0{}n n a ≥数列的常生成函数。
（ A ）A()461tt - B()641tt - C()61tt - D()361tt -8、当r ≥k 时差分多项式P k (r) =（ B ）A 、0B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛k rC 、r(r －1)...(r －k+1)D 、!1k9、()21,S n k +=C ，其中11n k +≥≥。
组合排列测试题及答案
组合排列测试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项不是排列？A. ABCB. ACBC. ABCDD. ACBD答案：C2. 从5个不同的元素中取出3个元素进行排列，有多少种不同的排列方式？A. 20B. 60C. 120D. 5答案：B3. 以下哪个选项是组合？A. ABCB. ACBC. ABD. A, B, C答案：D4. 从4个不同的元素中取出2个元素进行组合，有多少种不同的组合方式？A. 6B. 12C. 8D. 4答案：A二、填空题1. 有5个不同的数字，进行全排列，共有________种排列方式。
答案：1202. 从6个不同的元素中取出3个元素进行组合，共有________种组合方式。
答案：20三、解答题1. 一个班级有10个学生，要选出3个学生代表参加比赛，有多少种不同的选法？答案：从10个学生中选出3个学生代表，这是一个组合问题，可以使用组合公式 C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) 来计算，其中 n=10，k=3。
所以 C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120 种不同的选法。
2. 有8个不同的球，要求将它们排成一行，其中3个白球必须相邻，其余5个黑球可以任意排列，求有多少种不同的排列方式？答案：首先考虑3个白球作为一个整体，那么问题就转化为排列6个元素（3个白球作为一个整体，5个黑球）。
总共有6!种排列方式。
但是3个白球之间也有3!种排列方式，所以总的排列方式为 6! * 3! = 4320 种不同的排列方式。
组合数学题目及标准答案
组合数学题目及标准答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
组合数学题目及答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
数学竞赛组合试题及答案
数学竞赛组合试题及答案1. 题目：若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={2,3,5}，则A∩B的元素个数为多少？答案：集合A和集合B的交集A∩B={2,3,5}，因此A∩B的元素个数为3。
2. 题目：求证：若n∈N*，n≥2，则2^n > n^2。
答案：我们使用数学归纳法来证明这个命题。
(1) 当n=2时，2^2=4，2^2 > 2^2成立。
(2) 假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，2^k > k^2成立。
则当n=k+1时，2^(k+1) = 2 * 2^k > k * 2^k = k * (k+1) = k^2 + k > (k+1)^2。
因此，当n=k+1时，命题也成立。
由(1)和(2)可知，对于所有n≥2，n∈N*，2^n > n^2成立。
3. 题目：已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f'(x)。
答案：函数f(x) = x^3 - 3x + 1的导数为：f'(x) = 3x^2 - 3。
4. 题目：若三角形ABC的内角A、B、C满足A+B=2C，且A=60°，则求角C的度数。
答案：由三角形内角和定理知A+B+C=180°，又A+B=2C，代入A=60°得：60° + B + C = 180°，且B + C = 2C，解得C = 80°。
5. 题目：计算数列1, 2, 4, 8, 16, ...的前n项和。
答案：这是一个等比数列，首项a1=1，公比q=2，前n项和Sn的公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) = (1 - 2^n) / (1 - 2) = 2^n - 1。
6. 题目：若x, y, z为正整数，且x + y + z = 10，求x, y, z的取值范围。
答案：由于x, y, z均为正整数，所以x, y, z的最小值均为1。
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填空题1．将5封信投入3个邮筒，有_____243 _种不同的投法．2．5个男孩和4个女孩站成一排。
如果没有两个女孩相邻，有 43200 方法．3．22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______．4．6()x y +所有项的系数和是_64_ _．答案：64 5．不定方程1232++=x x x 的非负整数解的个数为_ 6 ___．6．由初始条件f f (0)1,(1)1==及递推关系)()1()2(n f n f n f ++=+确定的数列f n n {()}(0)≥叫做Fibonacci 数列7．（3x-2y ）20的展开式中x 10y 10的系数是10101020)2(3-c ． 8．求6的4拆分数P 4(6)= 2 ．9．已知在Fibonacci 数列中，已知f f f (3)3,(4)5,(5)8===，试求Fibonacci 数f (20)=1094610．计算P 4(12)=k k P P P P P P 4412341(12)(12)(8)(8)(8)(8)===+++∑k k k k P P P P 341211(8)(8)(5)(4)145515===+++=+++=∑∑11．P 4(9)=（ D ）A ．5 B. 8 C. 10 D. 6 12．选择题1．集合A a a a 1210{,,,}=L 的非空真子集的个数为（ A ） C. 1024 2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有2名男同学，5名女同学；乙组有3名男同学，6名女同学，从甲乙两组均选出3名同学来比赛，则选出的6人中恰有1名男同学的方式数是（ D ）A ．800 B. 780 C. 900 D. 8503．设x y (,)满足条件x y 10+≤，则有序正整数对x y (,)的个数为（ D ） A. 100 C. 504．求60123(32)+++x x x x 中x x x 23012项的系数是（ C ）B. 605．多项式40123(24)x x x x +++中项22012x x x ⋅⋅的系数是（ C ）A ．78 B. 104 C. 96 D. 486．有4个相同的红球，5个相同的白球，那么这9个球有（ B ）种不同的排列方式 A. 63 B. 126 C. 2527．递推关系f n f n f n ()4(1)4(2)=---的特种方程有重根2，则（B ）是它的一般解 A ．n n c c 11222-+ B. n c c n 12()2+ C. n c n (1)2+ D. n n c c 1222+8．用数字1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个2且至少含有一个3的n n (1)>位数（ ）运用指数生产定理 A.nn n43(1)4-+- B. n n 4314-+ n n4213-+. n n n 43(1)3-+-9．不定方程()12n x x x r r n +++=≥L 正整数的解的个数为多少（ A / C ）不确定A.1r r n -⎛⎫⎪-⎝⎭ B.r r n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C.1n r r +-⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.1n r r n +-⎛⎫⎪-⎝⎭10．x x x 12314++=的非负整数解个数为（ A ） D. 5011．从1至1000的整数中，有多少个整数能被5整除但不能被6整除（ A ）12．期末考试有六科要复习，若每天至少复习完一科（复习完的科目不再复习），5天里 把全部科目复习完，则有多少种不同的安排（ D ） A. 9 B. 1613．某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人；同时参加数学、语文两个小组的有7人。
这个年级参加课外学科小组人数（ C ）。
A ．50B ．57C ．43D ．1114．将11封信放入8个信箱中，则必有一个信箱中至少有（ B ）封信。
A 、1 B 、2 C 、3 D 、415．组合式⎪⎪⎭⎫⎝⎛50120与下列哪个式子相等（ B ） A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛60120 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50119+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49119 C 、512⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49120 D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49119 16．在{1，2，3，4,5,6}全排列中，使得只有偶数在原来位置的排列方式数为（ A ）。
A 、 2 B 、 4 C 、 9 D 、 24 17．若存在一递推关系01124,956(2)n n n a a a a a n --==⎧⎨=-≥⎩则=n a ( A ).A.nn323+⋅ B.nn232+⋅ C.123+⋅n D.11323+++⋅n n18．递推关系n n n n a a a n 12432(2)--=-+≥的特解形式是（ B ）（a 为待定系数） A.n an 2 B. n a 2 C. n an 32 D. nan 22 19．错位排列数n D =( C ) 答案：CA.n n nD 1(1)++-B. n n n D (1)(1)++-C. n n nD 1(1)-+-D. n n n D 1(1)(1)+++-20．有100只小鸟飞进6个笼子，则必有一个笼子至少有（ C ）只小鸟 A. 15 B. 16 C. 17 D. 1821．10个节目中有6个演唱，4个舞蹈，今编写节目单，要求任意两个舞蹈之间至少有1个演唱，问可编写出多少种不同的演出节目单)4,7()6,6(444766P P A C A •； 22．数列0{}n n ≥的生成函数是（ D ）。
A 、()()211t t +- B 、 ()211t - C 、 ()()311t t t +- D 、()21t t -23．6个男孩和4个女孩站成一圈，如果没有两个女孩相邻，有（ C ）种排法。
A 、(6,4)P B 、6!(6,4)P ⋅ C 、6!(6,4)6P ⋅ D 、6!(7,4)P ⋅ 24．排A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母，使A ，B 之间恰有2个字母的方式数（ D ）。
A 、12 B 、72 C 、36 D 、144 25．求多重集S a b c {3,2,4}=的8-排列数是（ C ） A. 700 B. 140 C. 1260 D. 120026．一糕点店生产8种糕点，如果一盒内装有12块各种糕点，并且可以认为每种糕点无限多，那么你能买到多少种不同的盒装糕点（假设装盒与顺序无关）（ B ） Ａ．50000 Ｂ．50388 Ｃ．55000 Ｄ．5278827．在一次聚会上有15位男士和20位女士，则形成15对男女一共有多少种方式数（ A ） A ．20!5! B. 20!15!C. 2015D. 152028．n a n =的生成函数是（ D ） A ．x 21(1)- B. x x 22(1)- C. x 21(1)-- D. x x 2(1)-计算题1．试确定多重集123={1,,,,}k S a a a a ⋅∞⋅∞⋅∞⋅L 的r -组合数。
解：把S 的r —组合分成两类：①包含1a 的-r 组合：这种组合数等于-⋅∞⋅⋅⋅⋅∞⋅∞）的（1-r },,,{32k a a a 即)1,3()1,1)1()1((1--+=---+-=r r k C r r k C N②不包含1a 的-r 组合：这种组合数等于-⋅∞⋅⋅⋅⋅∞⋅∞r a a a k 的},,,{32组合数 即),2(),1)1((2r r k C r r k C N -+=-++=由加法法则，所求的-r 组合数为),2()1,3(21r r k C r r k C N N N -++--+== 2．求S a b {5,3}=的6-排列数解： 根据题意有：M a b M a b M a b 123{5,},{4,2},{3,3}===N N N 1236!6!6!6,15,205!1!4!2!3!3!======则的全排列数N N N N 12341=++= 3．求x x x 236(1234)+++展开式中x 5的系数4．求nx x )21(2++的展开式中5x 的系数,其中3≥n 。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛52n （3≥n ）解：n x x )21(2++=nn x x 22)1())1((+=+。
又因为∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+nk knx k n x 2022)1( 所以5x 的系数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛52n （3≥n ）5．(1)求5n a n =+的生成成函数。
（0≥n ） 解：设0()nn n A t a t∞==∑，则0()(5)(1)4nnnn n n A t n tn t t ∞∞∞====+=++∑∑∑212144(1)4(1)(1)t t t t --+-=-+-=-254(1)tt -=- (2)解递归关系：H n H n H n ()4(1)4(2)=---， H H (0)1,(1)3==。
答案：解特征方程x 2-4x-4=0 x 1=x 2=2. 得H(n)=2n{1+n/2} 6．求重集S a b c {20,14,20}=g g g 的10-组合数。
答案：C(10+3-1 , 10) 7．a b c d 100()+++的展开式在合并同类项后一共有多少项答案：C(100+4-1 , 100).8．解递推关系.449,4272651021==++-=--a a n a a a n n n ，（2≥n ） 解：递推关系2165---=n n n a a a ()2≥n （1）的特征方程为0652=+-x x ，特征根为.3,221==x x 故其通解为.3221n n n c c a ⨯+⨯=因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系()226521≥++-=--n n a a a n n n （2）有特征根B An a n +=，其中A 和B 是待定常数，代入（2）式得2])2([6])1([5+++--+-=+n B n A B n A B An化简得,2722+=-+n A B An 所以 解之得.411,21==B A 于是,41213221++⋅+⋅=n c c a n n n 其中21,c c 是待定常数。
由初始条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++44941121324274112121c c c c 解之得.1,321==c c 所以).2(41121323≥+++⨯=n n a n n n 9.解递推关系n n n a a a n a a 120156235,10.--=-+-==，（2≥n ） 解：递推关系2165---=n n n a a a ()2≥n （1）⎩⎨⎧=-=27212A B A的特征方程为0652=+-x x ，特征根为.3,221==x x 故其通解为.3221n n n c c a ⨯+⨯=因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系()2326521≥-+-=--n n a a a n n n （2）有特征根B An a n +=，其中A 和B 是待定常数，代入（2）式得32])2([6])1([5-++--+-=+n B n A B n A B An化简得,32722-=-+n A B An 所以解之得.2,1==B A 于是,23221++⋅+⋅=n c c a nn n 其中21,c c 是待定常数。