习题讨论课1

− (Epm +
1
m l2 1 g) = −(Epm + m gl2 ) + (m + m )v2 1 1 1 22 2
m1 gl2 −
m 1 gl2 = ( m + m1 )v 2 4 2
10 gl2 −
10 gl2 = 10v 2 4
3gl2 =v2 4
v=
1 3gl2 = 1.21 m/s 2
= −2.6 × 10 J/s = -2.6 × 10 kW
即相当于摩擦消耗的功率为2.6× 即相当于摩擦消耗的功率为 ×109kW，由此可以算出，一年内潮汐消 ，由此可以算出， 耗的能量相当于我国1999年的发电量（4×1018J）的大约 倍． 年的发电量（ × 耗的能量相当于我国 年的发电量 ）的大约20倍
解：选小球和环为系统．运动过程中所受合外力矩为零，角动量 选小球和环为系统．运动过程中所受合外力矩为零， 守恒．对地球、小球和环系统机械能守恒． 守恒．对地球、小球和环系统机械能守恒．取过环心的水平面为 势能零点． 势能零点． 小球到B点时： 小球到 点时： 点时
ω0
A B R C
I0ω0＝(I0＋mR2)ω
a = 1 g (1 − x / l ) 2
0
x
x
4
3. 质量 =10 kg、长l =40 cm的链条，放在光滑的水平桌面上，其 质量m 的链条， 、 的链条 放在光滑的水平桌面上， 一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为m 的物体， 一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为 1 =10 kg的物体，如图所 的物体 系统从静止开始运动, 示．t = 0时,系统从静止开始运动 这时 1 = l2 =20 cm< l3．设绳不伸 时 系统从静止开始运动 这时l 绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计， 长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求当链条刚刚全部滑 到桌面上时，物体m 速度和加速度的大小． 到桌面上时，物体 1速度和加速度的大小． l3 l1 另解：求当链条刚刚全部滑到桌面上时， 另解：求当链条刚刚全部滑到桌面上时， 零势能点 物体m 的速度。取物体、 桌与地球为 物体 1的速度。取物体、链条、桌与地球为 m1 l2 研究对象， 机械能守恒， 研究对象，由机械能守恒，得：
a=
u dM (− )−g M0 dt
2
火箭起飞时，从尾部喷出的气体的速度为 火箭起飞时，从尾部喷出的气体的速度为3000m/s，每秒喷出的气体质量为 ， 600kg，若火箭的质量为50t，求火箭得到的加速ຫໍສະໝຸດ Baidu。 ，若火箭的质量为 ，求火箭得到的加速度。
Q
dM <0 dt
u dM (− )−g M0 dt u dM 3000 a= −g = × 600 − 9.8 = 26.2 m/s2 所以 M0 d t 50×103 a=
1 2 mv C = mg (2 R ) 2
5
4. 地球对自转轴的转动惯量是 地球对自转轴的转动惯量是0.33mR2，其中 是地球的质量 其中m是地球的质量 ），R是地球的半径 （5.98×1024kg）， 是地球的半径（6370 km）．求地球的自转动能． × ）， 是地球的半径（ ） 求地球的自转动能． 由于潮汐对海岸的摩擦作用，地球自转的速度逐渐减小， 由于潮汐对海岸的摩擦作用，地球自转的速度逐渐减小，每百万年自 转周期增加16s．这样，地球自转动能的减小相当于摩擦消耗多大的功率？ 转周期增加 ．这样，地球自转动能的减小相当于摩擦消耗多大的功率？ 潮汐对地球的平均力矩多大？ 潮汐对地球的平均力矩多大？ 解题： 解题：地球的自转动能为 Ek = Iω 2 = (0.33MR 2 )(
− Mg d t = M dv − d Mu
得火箭加速度为： 得火箭加速度为：
dv u d M a(t ) = = −g dt M dt
t = 0, M = M0，代入上式，并考虑 代入上式， dM/dt为每秒喷出的质量，用题目给 为每秒喷出的质量， 为每秒喷出的质量 定条件-dM/dt代入上式，得 代入上式， 定条件 代入上式
（1） ）
1 1 1 2 2 I 0ω0 + mgR = I 0ω 2 + m ω 2 R 2 + v B 2 2 2
0 0 0
(
)
( 2)
式中v 表示小球在B点时相对于地面的竖直分速度 也等于它相对于环的速度．由式（ ） 点时相对于地面的竖直分速度， 式中 B表示小球在 点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度．由式（1） 得： ω＝I ω / (I + mR2)
代入式（ ） 代入式（2）得
I 0ω02 R 2 v B = 2 gR + mR 2 + I 0
当小球滑到C点时， 当小球滑到 点时，由角动量 点时 守恒定律， 守恒定律，系统的角速度又回 复至ω0，又由机械能守恒定律 小球在C的动能完全由重 知，小球在 的动能完全由重 力势能转换而来． 力势能转换而来．即：
6
4. 地球对自转轴的转动惯量是 地球对自转轴的转动惯量是0.33mR2，其中 是地球的质量 其中m是地球的质量 ），R是地球的半径 （5.98×1024kg）， 是地球的半径（6370 km）．求地球的自转动能． × ）， 是地球的半径（ ） 求地球的自转动能． 由于潮汐对海岸的摩擦作用，地球自转的速度逐渐减小， 由于潮汐对海岸的摩擦作用，地球自转的速度逐渐减小，每百万年自 转周期增加16s．这样，地球自转动能的减小相当于摩擦消耗多大的功率？ 转周期增加 ．这样，地球自转动能的减小相当于摩擦消耗多大的功率？ 潮汐对地球的平均力矩多大？ 潮汐对地球的平均力矩多大？ 即相当于摩擦消耗的功率为2.6× 即相当于摩擦消耗的功率为 ×109kW，由此可以算出，一年内潮汐消 ，由此可以算出， 耗的能量相当于我国1999年的发电量（4×1018J）的大约 倍． 年的发电量（ × 耗的能量相当于我国 年的发电量 ）的大约20倍 潮汐作用对地球的平均力矩为
7
5. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴 自由转动，转动惯量为 0，环的半径为 ， 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动 转动惯量为J 环的半径为R， 自由转动， 质量为m的小球静止在环内最高处 的小球静止在环内最高处A点 初始时环的角速度为ω0．质量为 的小球静止在环内最高处 点，由于某种微小 干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O在同一高度的 在同一高度的B点和环的最低处 干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心 在同一高度的 点和环的最低处 点时， 的C点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大 设环的内壁和小球都是 点时 环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?( 光滑的，小球可视为质点，环截面半径r<<R.) 光滑的，小球可视为质点，环截面半径
M = Iβ = I
dω d 2π 2 π dT =I ( ) = −I 2 dt dt T T dt
= −[0.33 × (5.98 ×1024 ) × (6.4 ×106 ) 2 ] × = −3.5 ×1016 N⋅ m
2π 16 × 6 (8.64 ×104 ) 2 10 (3.15 ×107 )
大学物理
教师： 教师：郑采星 习题讨论课
1.力学 1.力学
变质量体系问题 刚体定轴转动， 刚体定轴转动， 相对论
2.振动与波 2.振动与波 3.热学 3.热学
1
1. 一火箭初质量为 0，每秒喷出的质量 一火箭初质量为M 每秒喷出的质量(-dM/dt)恒定，喷气相对火箭的速 恒定， 恒定 率恒定为．设火箭竖直向上发射，不计空气阻力，重力加速度恒定， 率恒定为．设火箭竖直向上发射，不计空气阻力，重力加速度恒定，求t = 0时火箭加速度在竖直方向（向上为正）的投影式。 时火箭加速度在竖直方向（向上为正）的投影式。 时火箭加速度在竖直方向 参考解答：设火箭从地面竖直向上发射，取坐标系 竖直向上 原点O在 竖直向上， 参考解答：设火箭从地面竖直向上发射，取坐标系Oy竖直向上，原点 在 地面，取研究对象为t时刻的火箭及其携带的喷射物 质量分别为M和 时刻的火箭及其携带的喷射物， 地面，取研究对象为 时刻的火箭及其携带的喷射物，质量分别为 和dM. 为物体系统在t时刻的绝对速度 为喷射物的相对速度， 设v为物体系统在 时刻的绝对速度，u为喷射物的相对速度，向上为正。 为物体系统在 时刻的绝对速度， 为喷射物的相对速度 向上为正。 t+∆t时刻，物体系统的动量为： p (t + ∆t ) = M (v + d v ) − d M [u − (v + d v )] ∆ 时刻 物体系统的动量为： 时刻， t时刻，物体系统所受合外力即重力为： − ( M + d M ) g 时刻，物体系统所受合外力即重力为： 时刻 由动量定理 F d t = d p, 得 − Mg d t − d Mg d t = M d v − d Mu + d M d v 略去高阶小量dMdt、dMdv，有 ， 略去高阶小量 t时刻，物体系统的动量为：p (t ) = ( M + d M )v 时刻，物体系统的动量为： 时刻
2. 一竖直向上发射之火箭，原来静止时的初质量为 0经时间 燃料耗尽 一竖直向上发射之火箭，原来静止时的初质量为m 经时间t 时的末质量为m，喷气相对火箭的速率恒定为u，不计空气阻力， 时的末质量为 ，喷气相对火箭的速率恒定为 ，不计空气阻力，重力加 速度g恒定 求燃料耗尽时火箭速率。 恒定． 速度 恒定．求燃料耗尽时火箭速率。 参考解答：根据上题， 参考解答：根据上题，
a (t ) = dv u dM =− −g dt M dt
得
v
dv u dm =− −g dt m dt
d v = −u
t
dm − g dt m
积分得： 积分得：
dm dv = −u ∫ − g∫ dt ∫ m 0 m0 0
m
m0 v = u ln − gt m
3
3. 质量 =10 kg、长l =40 cm的链条，放在光滑的水平桌面上，其 质量m 的链条， 、 的链条 放在光滑的水平桌面上， 一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为m 的物体， 一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为 1 =10 kg的物体，如图所 的物体 系统从静止开始运动, 示．t = 0时,系统从静止开始运动 这时 1 = l2 =20 cm< l3．设绳不伸 时 系统从静止开始运动 这时l 绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计， 长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求当链条刚刚全部滑 到桌面上时，物体m 速度和加速度的大小． 到桌面上时，物体 1速度和加速度的大小． l3 l1
为研究对象， 解：分别取m1和链条 为研究对象，坐标如图． 分别取 和链条m为研究对象 坐标如图． 设链条在桌边悬挂部分为x， 设链条在桌边悬挂部分为 ， m
m1 g − T = m1 a
T − xgm / l = ma
1
l2
解出
g 2 当链条刚刚全部滑到桌面时 ax=0 = = 4.9m/s m1 2 dv dv d x dv a= = ⋅ = −v 两边积分 dt d x dt dx v 0 x 1 g (1 − x / l ) d x v d v = −a d x = − 2v d v = − ∫ g (1 − ) d x ∫ 2 l 0 l2 2 1 v 2 = gl 2 − 1 gl 2 / l = (3 / 4) gl 2 v= 3gl2 = 1.21m/s 2 2
=
1 2
1 2
2π 2 ) T
24×60×60 = 86400
1 2π × 0.33 × (5.98 × 10 24 ) × (6.37 × 106 ) 2 × ( ) 2 = 2.14 × 10 29 J 4 2 8.64 × 10
地球自转动能的变化率为
dE k d 1 2 dω 2π d 2π (2π) 2 dT = ( Iω ) = Iω = I ( ) ( ) = −I ( ) dt dt 2 dt T dt T T3 dt 4π 2 16 24 6 2 J/S = −[0.33 × (5.98 × 10 ) × (6.4 × 10 ) ] × × 6 (8.64 × 104 )3 10 (3.15 × 107 ) 106 ×(365× 24×60×60) =106 ×(3.15×107 ) 12 9