21_第21讲_排列组合
排列组合难题21种题型及方法
高考数学排列组合难题21种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合ppt课件
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
排列组合常见21种解题方法
排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
排列组合难题21种题型及方法
高考数学排列组合难题21种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A = 443练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合常见21种解题方法
排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的木质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1•分类计数原理（加法原理）完成一件事，有”类办法，在第1类办法中有心种不同的方法，在第2类办法中有心种不同的方法，…，在第”类办法中有仏种不同的方法，那么完成这件事共有：N = + tn2+ …+ mn种不同的方法.2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成“个步骤，做第1步有竹种不同的方法，做第2步有®种不同的方法，…，做第〃步有叫种不同的方法，那么完成这件事共有：N = m}x rn2 x・•・ x 叫种不同的方法.3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有c；然后排首位共有c：宇甲最后排其它位置共有农J j J由分步计数原理得ClC'A： = 288 c] 晁C；练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合常见21种解题方法
排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第21类办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，2那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第21步有m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件2事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合21种方法
排列组合21种方法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在1第2类办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不2种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做1第2步有m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那2么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,占了这两个位置. 先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合应用问题—解题21法
排列组合应用问题—解题21法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？=144034A A54二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法。
2022-2023年小升初数学第21讲：种花问题
2022-2023年小升初数学第21讲：种花问
题
种花问题是一个经典的数学问题，主要涉及到组合数学的概念和技巧。
在这一讲中，我们将讨论如何解决种花问题，并探索不同的策略和方法。
问题描述
假设有一座花园，我们希望在这个花园里种植不同种类的花。
已知花园有n个花坛，每个花坛只能种一种花。
现在有m种不同的花种，我们需要将这些花种分别种在花园的花坛中。
解决方法
方法一：排列组合
一种解决种花问题的方法是使用排列组合的原理。
我们可以将花坛看作是有序的，然后使用排列组合的公式进行计算。
假设有n个花坛和m种花种，花园的总的种植方案数可以表示为：
总方案数 = m * (m-1) * (m-2) * ... * (m-n+1)
这是因为在第一个花坛中，我们有m种选择，第二个花坛中有m-1种选择，依此类推，直到第n个花坛中剩下m-n+1种选择。
方法二：递归思想
另一种解决种花问题的方法是使用递归思想。
我们可以从第一个花坛开始，每个花坛有m种选择，然后递归地向下选择下一个花坛的种类，直到最后一个花坛。
这种方法需要编写递归函数来生成所有可能的种植方案，并对每个方案进行计数。
总结
种花问题是一个有趣而实用的数学问题，通过掌握排列组合的
原理和递归思想，我们可以解决这类问题。
在实际应用中，我们可
以根据具体情况选择合适的方法，并灵活运用数学知识来解决问题。
希望本讲的内容能够帮助同学们更好地理解和解决种花问题，
提高数学思维能力。
谢谢大家！。
排列组合常见21种解题方法
排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略；能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有mi种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N = g + m2I i + m n种不同的方法.2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m i种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N =叶乂m2411 汉m n种不同的方法.3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这 两个位置.先排末位共有C 3然后排首位共有C 4最后排其它位置共有A 3由分步计数原理得C 4C 1A^ =288 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需 先安排特殊元素，再处理其它元素•若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求 ，再处理其它位 置。
排列组合常见21种解题方法
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教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类1办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步1有m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
高中数学排列组合二十一种方法
一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A = 二.相邻元素捆绑策例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！H FD C AAB C D E AB E GH G F练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A 种练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
排列组合常见21种解题方法
排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类1办法中有m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步1有m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)
空隙中，所有分法数为
Cm 1 n1
十一 . 正难则反总体淘汰策略 例 11. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
这十个数字中取出三个数，使其和为不小于
10 的偶数 , 不同的取法有多少种？
有些排列组合问题 ,正面直接考虑比较复杂 ,而它的反面往往比较简捷 ,可以先求出它的反面 ,再从整体中淘汰 .
复习巩固 1. 分类计数原理 ( 加法原理 )
排列组合
完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法，…，在第 n 类办法中
有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1 m2 L mn 种不同的方法．
2. 分步计数原理（乘法原理）
九. 小集团问题先整体后局部策略 例 9. 用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹
1, ５在两个奇数之间 , 这样的五位数有多少个？
十. 元素相同问题隔板策略 例 10. 有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个 , 有多少种分配方案？
将 n 个相同的元素分成 m 份（ n， m 为正整数） ,每份至少一个元素 ,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次 清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
练习题：
十四 . 构造模型策略
例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9
的九只路灯 , 现要关掉其中的 3 盏 , 但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏 , 也不能关掉两端的 2
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型如占位填空模型排队模型装盒模型等可使问题直观解决对于条件比较复杂的排列组合问题不易用公式进行运算往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决然后依据问题分解后的结构用分类计数原理和分步计数原理将问题合成从而得到问题的答案每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法从而进下一步解决原来的问题数字排序问题可用查字典法根据分类计数原理求出其总数
排列、组合的概念与计算
1.若从9名学生中任选三名值日，则不同选B
法的种数是 （ ） A.504种 B.84种 C.9种 D.3种
【提示】N
C39
987 3 2 1
84（种）.
分析 显示
考点21 排列组合的 概念与计算
目标 检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
分析 显示
考点21 排列组合的
概念与计算
典例 剖析
【例 【例 【例3】方法
1】 2】
总结
1.在有关排列数和组合数运算、化简中要 注意等价转化思想的运用.
2.在解决具体问题时，要分清所给问题是 排列问题（有序）还是组合问题（无序）， 元素总数是多少及取出多少个元素.
考点21 排列组合的 概念与计算
总结
【变式训练1】求值：13A52 A44 C37 3! ；
2
C22C32Fra bibliotekC42
C2 100
；3
C94 96
C95 97
C96 98
C97 99
.
(1)原式 60 2435 6 55. 3 原式 C926 C927 C928 C929
(2)原式
C33
C32
C24
C2 100
C3 101
4321
化简得n 3 4,n 7.
4.若从x个不同的元素中任取出三个元素的组合数是35，则x等于（ C）
A.5 B.6 C.7 D.8
【提示】由Cx3
x(
x 1)(x 321
2)
3（5 x
3）,得x
7.
考点21 排列组合的
基础
概念与计算
过关
第21讲-排列组合
1、 Amn : 从m个不同元素中取出n个(n≤m)排成一列的方法数。
Amn Байду номын сангаас (m 1) (m n 1)
2、 Cmn : 从m个不同元素中取出n个(n≤m) 的方法数。
Cnm Anm Ann [m (m 1) (m n 1)] [n (n 1) 1]
3、 Cmn
【10（】高思学校竞赛数学导引P129）
卡莉娅把10张不同的魔法卡片分给墨莫和小高，并且决定给墨莫8张， 给小高2张．一共有多少种不同的分法?
【11】（高思学校竞赛数学导引P130）
在新学期的班会上，大家要从11名候选人中选出班干部．请问： (1)选出3人组成班委会，那一共有多少种选法? (2)从剩下的候选人中，选出3人分别担任语文、数学、英语的 课代表，一共有多少种选法?
【5】（高思学校竞赛数学导引P129）
计算:（1） C93 （3）C54 , C51
（2）C130 2 C120 （4）C170 , C130
【6】（高思学校竞赛数学导引P129）
如图所示，从端点O出发的射线共有7条，图中一共有多少个锐角?
【7】（高思学校竞赛数学导引P129）
如图所示，在一个圆周上有8个点，以这些点为顶点或端点， 一共可以画出多少条线段?多少个三角形?多少个四边形?
那一共有多少种选法?
【14】（高思学校竞赛数学导引P130）
周末，老师要从第一组的10名男生和10名女生中选出5人留下打扫卫生． 请问： (21)如果老师决随定意选出择，2名一男共生有和多3少名种女选生择，方一法共有? 多少种选择方法?
下节课见！
法；再按照一定的顺序排成一个圆周，有
An1 n1
种方法。因
排列组合之21种模型(经典)
排列组合模型用于构建离散概率模型，用于描述离散随机事件
的概率分布。
在统计学中的应用
样本统计
排列组合模型用于描述样本数据 的分布和统计规律，例如样本均
值、方差、分布函数等。
贝叶斯统计
贝叶斯统计中的参数估计和假设检 验需要用到排列组合模型来计算概 率和似然函数。
多元统计分析
在多元统计分析中，排列组合模型 用于描述多个变量之间的关联和结 构，例如因子分析、聚类分析等。
插板法
总结词
插板法是一种计数方法，它通过将 n 个物体分成 m 份，使得每份至少有一个物体，从而得到一种组合方式。
详细描述
插板法是组合数学中的一种重要方法，它可以用来解决各种组合问题。插板法的应用非常广泛，例如在排列、组 合、概率论等领域都有应用。插板法的基本思想是通过将 n 个物体分成 m 份，使得每份至少有一个物体，从而 得到一种组合方式。
详细描述
组合恒等式是组合数学中的重要公式之一，它可以用来表示某些组合数之间存在一定的关系。组合恒 等式的应用非常广泛，例如在排列、组合、概率论等领域都有应用。
05
模型应用
在数学中的应用
01
02
03
组合数学
排列组合模型是组合数学 中的基础概念，用于研究 不同元素的选取、排列和 组合问题。
概率论
排列组合模型在概率论中 用于描述随机事件的组合 和排列，是概率计算的基 础。
排列的应用
体育比赛中的名次排列
在体育比赛中，参赛选手的名次是根据他们的成绩进行排列的， 排列的顺序决定了他们的名次。
密码学中的排列
在密码学中，通过排列不同的字母和数字可以生成复杂的密码，增 加了信息的安全性。
统计学中的排列
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排列组合
1.计算：(1)24A ; (2)410A ; (3)36
333A A +⨯.
2.卡莉娅、萱萱、墨莫和小高四个人站成一排照相,一共有多少种不同的排列方法?
3.体育课上,老师从10名男生中挑出4人站成一排,一共有多少种不同的排列方法?
4.卡莉娅、萱萱、墨莫、小高四个人一块乘公共汽车去公园,上车后发现有8个空座位,他们一共有多少种不同的坐法?
5.用1~7这7个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数？如果把这些三位数从小到大排起来,312是其中的第几个?
6.计算：(1)25C ； (2)47C ； (3)3
636C A ⨯．
7.图21-1中有六个点,任意三个点都不在一条直线上.请问：
(1)以这些点为端点,一共可以连出多少条线段?
(2)以这些点为顶点,一共可以连出多少个三角形?
图21-1
8.卡莉娅有6个不同的魔法宝石.请问：
(1)从中选出２个宝石,构成一个初级魔法,有多少种方法?
(2)从中选出４个宝石,构成一个高级魔法,有多少种方法?
9.小高要从５种武术中选择３种来学习,如果拳法和掌法必须都学或者都不学,那么他一共有多少种选法?
10.象棋兴趣小组一共有9名同学.请问:
(1)如果从中选3名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日,一共有多少种选法?
(2)如果从中选3名同学去参加一次全市比赛,一共有多少种选法?
拓展篇
1.计算:(1)25A ; (2) 37A ; (3) 26
46A A .
2.如图21-2所示,有5面不同颜色的小旗,任取3面排成一行表示一种信号,用这5面小旗以工行可以表示出多少种不同的信号?
图21-2
3.3名同学一块去图书馆借科幻小说,发现书架上只剩下9本,且各不相同.如果每人只借1本,那么共有多少种不同的借法?
4.用1~5这5个数字组成多少个没有重复数字的四位数?将这些四位数从小到大排列起来,4125是第几个?
5.计算:(1)39C ; (2)2103102C C ⨯-; (3) 1545,C C ; (4) 310
710,C C .
6.如图21-3所示,从端点O 出发的射线共有7条,图中一共有多少个锐角?
P 7
P 6
P 5
P 4
P 3
P 2
P 1O
图21-3 图21-4
7.如图21-4所示,在一个圆周上有8个点,以这些点为顶点或端点,一共可以画出多少条线段?多少个三角形?多少个四边形?
8.9支球队进行足球比赛,实行单循环制,即每两队之间只比赛一场,每场比赛后,胜方得3分,平局双方各得1分,负方不得分.请问:一共要举行多少场比赛?9支队伍的得分总和最多为多少？
9.学校十佳歌手大赛的10名选手中,每3人都要照一张合影.请问:需要拍多少张照片?
10.卡莉娅把10张不同的魔法卡片分给墨莫和小高,并且决定给墨莫8张,给小高2张.一共有多少种不同的分法?
11.在新学期的班会上,大家要从11名候选人中选出班干部.请问:
(1)选出3人组成班委会,那么一共有多少种选法?
(2)从剩下的候选人中,选出3人分别担任语文、数学、英语的课代表,一共有多少种选法?
12.萱萱要从8门课程中选学3门,一共有多少种选法?如果数学课与钢琴课时间冲突,不能同时选,她一共有多少种选法?
13.卡莉娅和萱萱、小高、墨莫去参加一次聚会,主持人要求每个人从12个要色不同的彩球中领取一个.请问:
(1)萱萱第一个取球,她一共选出了4个球,准备分给大家,那么一共有多少种选法?
(2)萱萱回到座位后,把这4个球分给大家,一共有多少种分法?
(3)最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能?
14.周末,老师要从第一组的10名男生和10名女生中选出5人留下打扫卫生.请问:
(1)如果老师随意选择,一共有多少种选择方法?
(2)如果老师决定选出2名男生和3名女生,一共有多少种选择方法?
超越篇
1.有一些四位数,它们由4个互不相同且不为零的数字组成,并且这4个数字的和等于11.将所
有这样的四位数从小到大依次排列,第20个是多少?
2.在身高互不相同的6个人中,选出3个人站成第一排,另外3个人站成第二排.请问:
(1)如果可以随便站,那么一共有多少种排法?
(2)如果要求第二排最矮的人也比第一排最高的人高,那么一共有多少种不同的排法?
3.小口袋中有4个球,大口袋中有6个球,这些球颜色各不相同.请问:
(1)任意取4个球出来,那么共有多少种不同的结果?
(2)取出4个球,而且恰好从每个口袋中各取2个球,共有多少种不同结果?
4.在1~30这30个自然数中任意挑选出两个不同的数,使得它们的和是偶数,一共有多少种不同的挑选方法?
5.如图21-5所示,两条直线上分别有6个点和4个点.以这些点为顶点,可以连出多少个三角形?
图21-5
6.从15名同学中选出5人,上场参加篮球比赛.请问:
(1)如果甲、乙两人必须入选,共有多少种选法?
(2)如果甲、乙两人中至少有一人入选,共有多少种选法?
(3)如果甲、乙、丙三人中恰好入选一人, 共有多少种选法?
(4)如果甲、乙、丙不能同时都入选, 共有多少种选法?
7.体育课上,老师将小高、墨莫和另7名同学分成3组做游戏,每组3人.一共有多少种分组方法?如果小高和墨莫要求分到同一组,有多少种分组方法?
8.大小两个口袋中,装有一些同样的小球,大口袋里装有9个小球,分别编号为1~9;小口袋里装有6个小球,分别编号为1~6.从这两个口袋中分别摸出3个小球,这6个小球的编号一共有多少种可能情况?。