大学物理圆周运动及其描述质点运动学的基本问题

解：设 t = 0 时质点位于 s = 0 的P点处。
①
a
dv dt
d 2s dt 2
k
an
v2 R
(v0
kt)2 R
a
aτ2 an2
(v0 kt)2 (kR)2 R
12
② 令 a = k ，即 a
解得 t v0 / k
(v0 kt)2 (kR)2 k R
③ 当a = k 时，t = v0 /k ，由此可求得质点历经的路
ar与vr方向的夹角：
arctan an
a
讨论
0 ,
2
a 0,
v
90o, a 0, v const
,
2
a 0,
v
r
a
S
r an
r
ar
r a
ar
3
例：半径为R的滑轮可绕中心轴转动。绕于滑轮上的无形
变细绳其下端挂一重物。已知重物按 h = (1/2)a1t2 的规律 下降，求轮沿上任一点 P 的加速度（设绳与轮之间无相
v | x | t
(t 0)
y
v0
l1
而 x l v v0
（三角形任意两边之差小于第三边）
h l2 v
l x
船速大于绳速
o
x2 x1
x
15
§1-5 质点运动学中的两类基本问题
第一类：
已知 rr rr (t), 求vr , ar , 用微分。
rr 微分 vr 微分 ar
第二类：
已知 ar 及初始条件 vr0、rr0, 求vr、rr，用积分。
1 2
at 2
2 02 2 ( 0 ) v2 v02 2a(s s0 )
11
例：一质点沿半径为R的圆周按规律
s v0t kt2 / 2运动，其中v0、k
为正数。求:
S
① t 时刻质点的总加速度大小；
② t 为何值时，总加速度大小为k；
r
r a
nr
r an
P
o
x
R
③ 当总加速度大小为k 时，质点运行的圈数。
对滑动） 。
解：由于绳无伸长且无相对滑动，故
P点的运动方程
ds
s
s0
1 2
a1t 2
a
R
a
an
P
速度 v dt a1t
加速度
r an
v2 R
nr
a12t 2 R
nr
r a
dv r
dt
a1r
a1
总加速度
ar
r an
ar
a12t 2 R
nr a1r
4
三、圆周运动中的角量和线量
1.角位置（角坐标）
得 0 t
d
dt
d (0 t)dt
d
0
t
0 (0 t)dt
运动方程：
0 0t
1 t2
2
两式消去t 得另一关系式：2 02 2 ( 0 )
10
匀变速圆周运动与匀变速直线运动公式对照
（为常量）
（a为常量）
0 t v v0 at
0
0t
1 t2
2
s
s0
v0t
二、切向加速度与法向加速度
nrr
: :
切线方向单位矢 法线方向单位矢（曲线凹侧）
: 该点曲率半径
Sr:运动r 轨 迹r正方|向r ||r | 1
自然坐标系
r vr
Anr r
r
B
vr
S
| r ||r | | dr | d 向量式：（dr很小d时） nr (t 0,dr r )
o
r r
r
x l2 h2
v dx l dl x2 h2 dl
dt l2 h2 dt
x dt
v0 y
l0 hl
v
ox
设 t 0, l l0，则 l l0 v0t
x
dl dt
v0
14
v
x2 h2 x
v0
v0
(h / x)2 1
负号表示沿负x 轴方向。
比较船速v与绳速v0的大小？
由图知：
| l | v0 t ,
dt
dv r
dt
v
ds nr dt
dv r
dt
1
v2nr ar
r an
r a
dv r
dt
r an
v2
nr
ar n
切向加速度 法向加速度
ar S ar
r
vr ds
r vr
nr d
S
o r dr
d d dr
2
ar
ar
ar n
dv r
dt
v2
nr
a an2 a2
dv dt
2
v2
2
线速度与角速度 v ds R d R
dt dt
线加速度与角加速度
a
dv dt
R d
dt
R
an
v2 R
2R
a a2 an2 R 2 4
arctan an

d
dt
d
dt
d 2
dt 2
7
五、角量与线量之间的向量关系
角速度与线速度
v R r sin r rr
z
vr r rr
◎通常规定逆时针转动为正角位置。
o
x
◎角位置的单位常用弧度(rad，无量纲)表示。
用角量描述的圆周运动方程： (t) 2.角位移： 2 1
2
o 1 x
3.角速度
平均角速度
r
t
大小：
d
o
x
瞬时角速度
dt
方向: 与运动方向成右手螺旋关系。
5
4.角加速度
平均角加速度 r r2 r1 r
沿法线方向
r vr arn 法向加速度
ar r rr r vr ar arn
z r ar
R
vr
an
a
m
r rr
o
y
x
9
例：一刚体以恒定的角加速度 转动，求其上某质元 A的运动方程。设 t = 0时， =0， =0。 r
解： d d dt
dt
Ao
x
t
积分： d dt
0
0
程长度为
s v0t kt2 / 2 v02 / 2k
此时它已运行的圈数：
r ar
S
nr arn P
o
x
n s v02
R
2 R 4 Rk
13
01-3
例：在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸。 若人以匀速率v0收绳，求船在离岸边 x 远处时的速率。 解：由图中几何关系得（忽略船高和滑轮高）
c R vr
角加速度与线加速度
ar dvr d (r rr )
dt dt
r
m
rr
o
y
x
dr rr r drr r rr r vr
dt
dt
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ar r rr r vr |r rr | r sin R 沿切线方向
r
rr
r a
切向加速度
| r vr | v sin 90o=v
说明：对于一般曲线运动， ，但 d d
理由：微元代表取时间极限(t0)，而此时A、B两点必在同一圆周上。
(容易证明：对于圆周运动，任意两点均有 .)
1
速度 vr vr
dr dnr ds d d
加速度 ar dvr dv r v dr dv r v d nr
dt dt
dt dt
t t
方向沿角速度增量 r 的方向。 角加速度 r lim r dr
Δt0 Δt dt
r
r r1
r 2
t t
o
x
方向：t 0时, r 的极限方向。
t
, r 与 r 同向。 , r 与 r 反向。
角加速度大小 d d 2
dt dt2 6
四、角量与线量之间的数量关系
自然坐标与角坐标 s R