理论力学期末复习重点习题答案(周衍柏第三版)

1.1 由题可知示意图如题1.1.1图:

{

{

S

S

t t 题1.1.1图

设开始计时的时刻速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a . 则有:

()()???

???

?

+-+=-=2

21210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得

1102

1

at t s v +=

再由此式得

()()

2121122t t t t t t s a +-=

证明完毕.

1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.

2.1图.

设A 船经过0t 小时向东经过灯塔,则向北行驶的B 船经过

??? ?

?

+2110t 小时经过灯塔任意时刻A 船的坐标

()t t x A 15150--=，0=A y

B 船坐标0=B x ，

??

????-???

??+-=t t y B 15211150

则AB 船间距离的平方

()()2

22B A B A y y x x d -+-=

即

()

2

021515t t d -=2

01521115??

????-???

??++t t

()2

02

02

211225225675900450??? ?

?

++++-=t t t

t t

题1.2.1图

2d 对时间t 求导

()

()67590090002

+-=t t dt

d d AB 船相距最近，即()

02=dt

d

d ，所以

h t t 4

30=

- 即午后45分钟时两船相距最近最近距离

2

2min

231543154315??? ???-?+??? ?

?

?=s km

1.3 解 ()1如题1.3.2图

y

题1.3.2图

由题分析可知，点C 的坐标为

??

?=+=ψ

ψ?sin cos cos a y a r x 又由于在

?AOB 中，有

?

ψsin 2sin a

r =

（正弦定理）所以

r

y r a 2sin 2sin ==

ψ?

联立以上各式运用

1cos sin 22=+??

由此可得

r

y

a x r a x 2

2cos cos --=

-=ψ?

得

第1.3题图

1242

2

222222=---++r y a x y a x r y 得

22222223y a x r a x y -=-++

化简整理可得

()()

2222222234r a y x y a x -++=-

此即为C 点的轨道方程. （2）要求C 点的速度，分别求导

???

???

?

=--=2cos sin cos 2cos sin ?ωψψ?ω?ωr y r r x 其中

?

ω = 又因为

ψ?sin 2sin a r =

对两边分别求导 故有

ψ

?

ωψ

cos 2cos a r =

所以

2

2y x V +=4cos sin cos 2cos sin 2222

?ωψψ?ω?ωr r r +???

? ??--= ()ψ?ψ??ψ

ω

++=sin cos sin 4cos cos 22r

1.5 解 由题可知，变加速度表示为

??

? ?

?

-=T t c a 2sin

1π 由加速度的微分形式我们可知

dt

dv a =

代入得

dt

T t c dv ??

? ??

-=2sin 1π 对等式两边同时积分

dt T t c dv t v

????

? ??-=00

2sin 1π

可得 ：

D T

t

c T

ct v ++

=2cos

2ππ

（D 为常数）

代入初始条件：0=t 时，0=v ，故

c

T D π

2-

=

即

?????

???? ??-+=12cos

2T t T t c v ππ 又因为

dt

ds v =

所以

=ds dt T t T t c ???

??

???? ??-+

12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：

???

??????

??-+=t T t T T t c s 2sin 222

12πππ

1.6 解 由题可知质点的位矢速度

r λ=//v ①

沿垂直于位矢速度

μθ=⊥v

又因为 r r λ== //v ， 即

r r

λ= μθθ

==⊥r v 即r

μθθ=

()()

j i v a θ r dt

d r dt d dt d +==

（取位矢方向i ，垂直位矢方向j ） 所以

()j i i i θ r r

dt

d r i dt r d r dt d +=+= ()

dt

d r dt d r dt dr r dt d j j j j θ

θθθ ++=i j j 2r r r θθθ -+= 故

()()

j i a θθθ

r r r r 22++-= 即 沿位矢方向加速度

()

2θ

r r a -= 垂直位矢方向加速度

()

θθ

r r a 2+=⊥ 对③求导

r r

r 2λλ== 对④求导

θμμθ

θ

r

r

r +-=2

??

?

??+=λμμθr

把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得

r

r a 222

//θμλ-

=

??? ?

?

+=⊥r a μλμθ

1.10解 由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示，

则质点切向加速度

dt

dv a t =

法向加速度ρ

2n

v a =，而且有关系式 ρ

2v 2k dt dv -= ①

又因为

题1.10.1图

()

2

32y 1y 1

'+'

'=

ρ

②

2px y 2=

所以

y

p

y =

' ③ 3

2y

p y -='' ④

联立①②③④

2

3

2232

2y p 1y p 2kv dt

dv

???

? ??+-= ⑤

又

dy

dv

y

dt dy dy dv dt dv =?= 把2px y 2=两边对时间求导得

p

y

y x

= 又因为

222y x

v += 所以

2

22

2

1p

y v y

+= ⑥ 把⑥代入⑤

2

3

223222

1

22121???

? ??+?-=?

???

? ??+y p y p kv dy

dv

p y v

既可化为

2

2

2p

y dy

kp v dv +-= 对等式两边积分

222p

y dy

kp v dv p p v

u

+-=??

- 所以

πk ue v -=

1.11解 由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示

???

???

?====ααcos sin 2

a dt dv a a r v

a t n 两式相比得

dt

dv r v ?=ααcos 1sin 2

即

2cot 1v

dv dt r =α 对等式两边分别积分

20

0cot 1v dv dt r

v v t

??

=α 即

αcot 110r

t v v -= 此即质点的速度随时间而变化的规律.

1.12证 由题1.11可知质点运动有关系式

??????

?==ααcos sin 2

a dt

dv a r v ①② 所以

ωθ

θθd dv dt d d dv dt dv =?=，联立①②，有

题1.11.1图

αα

ωθcos sin 2

r v d dv = 又因为

r v ω=

所以

θαd v

dv

cot =，对等式两边分别积分，利用初始条件0=t 时，0θθ= ()αθθcot 00-=e v v

1.19 解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题1.19.1图，

上升时 下降时 题1.19.1图

则两个过程的运动方程为： 上升

22y g mk mg y

m --= ① 下降：

22y g mk mg y

m +-=- ② 对上升阶段:

()

221v k g dt

dv

+-= ()

221v k g dy

vdv

dt dy dy dv +-== 即

gdy v

k vdv

-=+2

21 对两边积分

gdy v

k vdv h v ??

-=+0220

10

所以

()

2

022

1ln 21v k g

k h +=

③ 即质点到达的高度. 对下降阶段：

22gv k g dy

vdv

dt dy dy dv -== 即

gdy v

k vdv

h v ??

=-0220

11

()2122

1ln 21

v k g

k h --

= ④ 由③=④可得

20

2011v

k v v +=

1.21 解 阻力一直与速度方向相反，即阻力与速度方向时刻在变化，但都在轨道上没点切线所在的直线方向上，故用自然坐标比用直角坐标好.

轨道的切线方向上有：

θsin mg mkv dt

dv m --= ① 轨道的法线方向上有：

θcos 2mg r

v m = ② 由于角是在减小的，故

θ

d ds r -

= ③ 由于初末状态由速度与水平方向夹角θ来确定，故我们要想法使①②变成关于θ的等式 由①

ds

dv mv dt ds ds dv m dt dv m

== 即

题1.21.1图

θsin mg mkv ds

dv

mv

--= ④ 把代入可得

θθ

cos 2

mg ds

d mv -= ⑤ 用④÷⑤可得

θ

θ

θcos sin 1g g kv d dv v +=

θθθθθd v d g k dv v

cos sin cos 12

+=

θθ

θθθθd v g kd v dv 222cos sin cos cos +=

θ

θ

θθθ2

22cos cos sin cos g kd v d v dv =- 即

()θ

θ

θθ2

22cos cos cos g kd v v d =，两边积分得 C g

k

v +=-

θθtan cos 1 ⑥

代入初始条件0=t 时，0,v v ==αθ即可得

???

? ??+-=ααtan cos 10g k v C 代入⑥式，得

()[]

g kv gv v +-=

θαθα

tan tan cos cos cos 0 ⑦

又因为θωcos ,2mg r

v m r v == 所以

v

g dt d θθωcos --=

⑧

把⑦代入⑧

()[]

dt g d g kv gv θθθαθα

cos tan tan cos cos cos 0-=+-

积分后可得

???

? ??+=g kv k t αsin 21ln 110

1.24 解以竖直向下为正方向，建立如题1.24.2图所示坐标，

T '

m m

T

T '

T '

m T

T '()

1()2(3

题1.24.1图 题1.24.2图

以①开始所在位置为原点.设①-②-③处物体所处坐标分别为321,,y y y ，则3个物体运动微分方程为：

??

?

??=-=-+'='-32122y m T mg y m T mg T y m T mg

①-②-③ 由②于③与、之间是，即不可伸长轻绳连接，所以有32y y -=，即

y

y -= ④ 之间用倔强系数a

mg k =弹性绳联结.

故有

()()a y y a

mg

a y y k T --=

--='2121 ⑤ 由①⑤得

()g y y a

g

y

2211+--= ⑥ 由②③④得

mg y

m T +='23 ⑦ 代入①，有

213y

y -= ⑧ 代入⑥，有

g y a

g

y

=+1134 ⑨ 此即为简谐振动的运动方程. 角频率

a

g 32

=ω 所以周期

g

a 32π

ω

π

τ==

解⑨得

4

3sin cos 211a t A t A y +

+=ωω

以初始时③为原点，0=t 时，0,011==y y .所以

a t a y 4

3

cos 431+-

=ω ⑩ 代入①得

????

?

?-='t a g mg T 32cos 1 联立-③④⑧⑩得

???? ?

?-=t a g mg T 32cos 3112 1.28解 建立如题1.28.1图所示直角坐标.

椭圆方程

122

22=+b

y

a x ① 从A 滑到最低点B ，只有重力做功.机械能守恒.即

22

1mv mgb =

② 设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为N 则有：

ρ

2v m

mg N == ③

ρ为B 点的曲率半径

.

题1.28.1图

B A →的轨迹：

2

21a

x b y --=

得

2

2

2

1a

x a

bx y -=

'；

2

3

22

211???

? ??-?=

''a x a

b y 又因为

()

2

2

3211

a b y y k =

'+'

'=

=ρ

所以

???

? ??+=?+=+=2222

212a b W mgh a b mg mv mg N ρ

故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为

???

? ??+2221a b W

方向垂直轨道向下.

1.32 解：设楔子的倾角为θ，楔子向右作加

速度0a 的匀加速运动，如图1.32.1图。

我们以楔子为参考系，在非惯性系中来分析此题，则质点受到一个大小为非惯F ma =0的非惯性

力，方向与0a 相反。

质点在楔子这个非惯性系中沿斜面 下滑，沿斜面的受力分析：

a m ma mg '=+θθcos sin 0① 垂直斜面受力平衡：

N ma mg +=θθsin cos 0 ②

联立①②得

??

?

?

????? ??-=+='θθθθsin cos cos sin 00g a mg N a g a 此即楔子相对斜面的加速度a '。

对斜面的压力P 与斜面对m 的支持力N

等大反方向。同理可得当楔子向左作加速度

题1.32.1图

为0a 的匀加速运动时，质点m 的a '和楔子对斜面的压力P 为

??

?

?

????? ??+=-='θθθθsin cos cos sin 00g a mg P a g a

综上所述可得

??

?

?

????? ??=='θθθθsin cos cos sin 00g a mg P a g a

1.33

解 设钢丝圆圈以加速度a 向上作匀加速运动如题1.33.1图，

我们以钢丝圆圈作参考系，在圆圈这个非惯性系里来分析此题。

圆圈上的小环会受到一个大小为???

?

??a g ω方向与a 相反的

惯性力的作用，则圆环运动到圆圈上某点，切线方向受力分析：

dt dv g ma a g r t ω?ωω-==???

? ??+sin ①

法线方向受力分析有：

r v m R a g r

2cos -=-???

? ??+?ωω②

对①

dt dv g ma a g r t ω?ωω-==???? ??+sin

两边同乘以rg

()????d dv v d dv dt d r g a r r r

r

-=???

? ??-=+sin

即

()r r dv v d g a r -=+??sin

两边同时积分

()r v v r dv v d g a r r

r ?

?

-

=+0

sin ???

?

()()r g a v v r r 002cos cos 2??-++=③

把③代入②可解得

()??

????+-???? ??

+=g v r g a r R r 020cos 2cos 31??ω 同理可解出，当钢丝圆圈以加速度a 竖直向下运动时小环的相对速度

t

()()r a g v v r r 02

0cos cos 2??--+=

()??

????+-???? ??

-=g v r g a r R r 020cos 2cos 31??ω 综上所述，小环的相对速度r v

()()r a g v v r r 02

0cos cos 2??-+=

圈对小环的反作用力

()??

????+-???? ??

=g v r g a r R r 020cos 2cos 31??ω

1.34证：（1）当火车所受阻力f

为常数时，因为功率P 与牵引力有如下关系：v F P 牵=

所以 ()v f F k +=合 即

v f dt dv m k ??? ??+=

dt fv

k mvdv

=-

对两边积分

?

?

=-t v

v m

dt fv k vdv 00

()f v v m vf k f v k f

mk t 002ln --

--= （2） 当阻力

f 和速度v 成正比时，设f =lv ，l 为常数。同理由（1）可知

v f dt dv m k ??

? ??+=

即

2lv dt dv

mv

k += m dt

lv

k vdv =-2

对两边积分

?

?

=-t v

v m

dt fv k vdv 00

()

vf k v fv vk f mv lv k lv k l m t --=--=022

2

0ln 2ln 2

1.35 解 锤的压力是均匀增加的，设kt F =，k 为常数，由题意可知

?

?

=P

dt k

dF 0

2

π

，

得

τ2

k P =，

所以

τ

P

k 2=

，

即

t P

F τ

2=

故

t P dt dv m

τ2= tdt P mdv τ

2= 两边同时积分

??

=

t

v

tdt P

dv m 0

2τ

得

2t m P v τ=

，??? ?

?

≤≤20τt ①

又因为当F 增至极大值P 后，又均匀减小到0，故此时有()k t k F '-'=,τ为常数，

??'=τ

τ

2

0dt k dF P

τ

P

k 2-

='

所以

()ττ

--

=t P

F 2

即

()t P

dt dv m

-=

ττ2 ()dt t P dv m t v v ?

?

-=2

22

τττ

τ

()???

???????? ??----=-2

2

2221212τττττt P mv mv ②

由①得

4

2

ττP mv =

③

()2

2242t t m P

v -+-=

τττ

整个过程压力所做功W 又因为

Fv dt

dW

= 即

Fvdt dW =

对上式两边分段积分

()()

dt t m P

t P

dt t m P P

dW W

222

220

24222ττττ

τττ

τττ

τ

-+-?-+?=?

?

? 得

m

P W 822τ=

1．36

解 （a ）保守力F 满足条件0F =??对题中所给的力的表达式 ，代入上式

即

(

)(

)

()

22=+--+-+-=???? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=??????

=

??k

j i k

j i F F F k j i F z

y x y 40abx 6abz y 40bx 6abz

y 18abz y 18abz 18abxz 18abxz y F x F x F z F z F y F z y x 3333

22x y z x y z

所以此力是保守力，其势为

()()

()

()

()()

()

()()

(

)

()

3

24,,0,,20,,0

,0,43

000

002

33

z y,x,0

,0,0x

6518106d 206F abxyz y bx dz abxyz dy y bx abxz

x y bx y abz

dz F dy F dx V z y x y x y x x ,x,,,z

y

-=---

--

++-=?-=?????dr

F

(b)同（a ），

由

=???

? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=??????

=

??k j i k j i F y F x F x F z F z F y F F F F z y x x y z x y z z

y x

所以此力F 是保守力，则其势能为

dz

F dy F dx F d V B

A

B

A

B

x A

z z z y y y x x ?

?

?

?-

-

-=?-=r

F

1.40

解由题可知()r

k

r F -=（因为是引力，方向与r 径向相反所以要有负号）

由运动微分方程

dt

dv m r k =-

即

dt dr dr dv m r k ?=- mvdv dr r

k

=-① 对上式两边积分

mvdv dr r

k v

r

a

??

=-

221ln

mv a r k =- 故

r

a m k v ln 2±

= 又因为r 与v 的方向相反，故取负号。 即

dt

dr r a m k v =-

=ln 2

1.41证 画出有心力场中图示如题1.41.图，

我们采用的是极坐标。所以

?θ

θcos v r v == 又由于

==θ

2r h 常数 即

?θ

cos rv r r h =?= 由图所示关系，又有?cos r p =，故pv h =即

p

h v =

由动能定理

??

?

??=?221mv d d r F

F 沿r 方向

Fdr d =?r F

得

dr

dp mh dr mv d F 2

222121-=???

??=

1.43证 由毕耐公式

???

? ??+-=-u d u d u h m F θ2

22 质点所受有心力做双纽线θ2cos 2

2a r =运动

故

θ

2cos 11a r u ==

()2

32cos 12sin 1θθθ??=a d du ()()???

???????+=-

θθθθθθ

2sin 22cos 2sin 232cos 2cos 212523

22a d u d

题1.41.1图

()()??

????+=--252

212cos 2sin 32cos 21θθθa 故

???

?

??+-=u d u d u mh F 222

2

θ ()()?????

?++-=--θθθθθ

2cos 12cos 2sin 32cos 22cos 1

252

213

2

a mh

()()θθ2tan 12cos 32

2332+-=-a

mh ()27322cos 3--=θa mh

2

7

2232

3???

? ??-=a r a mh 7243r h ma -=

2.1 解 均匀扇形薄片，取对称轴为x 轴，由对称性可知质心一定在x 轴上。

有质心公式

??=

dm

xdm x c

设均匀扇形薄片密度为ρ，任意取一小面元dS ，

dr rd dS dm θρρ==

又因为

θcos r x =

所以

θ

θθρθρsin 32a dr rd dr rd x dm xdm x c

===?????? 对于半圆片的质心，即2

πθ=代入，有

πππ

θθa a a x c 342

2sin

32sin 32=?

==

2.2 解 建立如图2.2.1图所示的球坐标系

题2.1.1图