理论力学期末复习重点习题答案(周衍柏第三版)

1.1 由题可知示意图如题1.1.1图:

{

{

S

S

t t 题1.1.1图

设开始计时的时刻速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a . 则有:

()()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+-+=-=2

21210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得

1102

1

at t s v +=

再由此式得

()()

2121122t t t t t t s a +-=

证明完毕.

1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.

2.1图.

设A 船经过0t 小时向东经过灯塔,则向北行驶的B 船经过

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+2110t 小时经过灯塔任意时刻A 船的坐标

()t t x A 15150--=，0=A y

B 船坐标0=B x ，

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫

⎝⎛+-=t t y B 15211150

则AB 船间距离的平方

()()2

22B A B A y y x x d -+-=

即

()

2

021515t t d -=2

01521115⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫

⎝⎛++t t

()2

02

02

211225225675900450⎪⎭⎫ ⎝

⎛

++++-=t t t

t t

题1.2.1图

2d 对时间t 求导

()

()67590090002

+-=t t dt

d d AB 船相距最近，即()

02=dt

d

d ，所以

h t t 4

30=

- 即午后45分钟时两船相距最近最近距离

2

2min

231543154315⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

⨯=s km

1.3 解 ()1如题1.3.2图

y

题1.3.2图

由题分析可知，点C 的坐标为

⎩⎨

⎧=+=ψ

ψϕsin cos cos a y a r x 又由于在

∆AOB 中，有

ϕ

ψsin 2sin a

r =

（正弦定理）所以

r

y r a 2sin 2sin ==

ψϕ

联立以上各式运用

1cos sin 22=+ϕϕ

由此可得

r

y

a x r a x 2

2cos cos --=

-=ψϕ

得

第1.3题图

1242

2

222222=---++r y a x y a x r y 得

22222223y a x r a x y -=-++

化简整理可得

()()

2222222234r a y x y a x -++=-

此即为C 点的轨道方程. （2）要求C 点的速度，分别求导

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=--=2cos sin cos 2cos sin ϕωψψϕωϕωr y r r x 其中

ϕ

ω = 又因为

ψϕsin 2sin a r =

对两边分别求导 故有

ψ

ϕ

ωψ

cos 2cos a r =

所以

2

2y x V +=4cos sin cos 2cos sin 2222

ϕωψψϕωϕωr r r +⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--= ()ψϕψϕϕψ

ω

++=sin cos sin 4cos cos 22r

1.5 解 由题可知，变加速度表示为

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

-=T t c a 2sin

1π 由加速度的微分形式我们可知

dt

dv a =

代入得

dt

T t c dv ⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=2sin 1π 对等式两边同时积分

dt T t c dv t v

⎰⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=00

2sin 1π

可得 ：

D T

t

c T

ct v ++

=2cos

2ππ

（D 为常数）

代入初始条件：0=t 时，0=v ，故

c

T D π

2-

=

即

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos

2T t T t c v ππ 又因为

dt

ds v =

所以

=ds dt T t T t c ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+

12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫

⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 222

12πππ

1.6 解 由题可知质点的位矢速度

r λ=//v ①

沿垂直于位矢速度

μθ=⊥v

又因为 r r λ== //v ， 即

r r

λ= μθθ

==⊥r v 即r

μθθ=