周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第三章1-3刚体力学

刚体各质元的角量相同, 线量一般不同.
§3.3 欧拉角
z


y

y


x

N
刚体定点转动时, 选定点为坐标系原点, 用三个独 立角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕这轴所转 过的角度. 这三个能够独立变化的角度叫做欧勒角.
1 欧勒角
(1) 取两组右手正交坐标系, 它们的原点都在定点O上.
z
如果刚体先后绕过O点的轴线 作了两次微小转动n和n’, 则 P点的位矢分别为 (1) 转动前: r
n
P r
M P’ r+r
O
(2) 转动了n后: r + n×r
(3) 再转动了n’后: r + n×r + n’×(r + n×r) 略去二阶项, 则得
n r n'r r r '
——欧勒运动学方程
小结
刚体各种运动形式: 平动 定轴转动 平行平面运动 定点运动 一般运动 有限转动: 不遵守矢量加法 无限小转动: 遵守矢量加法
角速度矢量
角速度和线速度的关系
欧拉角: 描述刚体定点转动的三个独立变量
变化范围：
0 2
0 2
0

z

y y

O

x

N
O 平面和xOy 平面的交线ON 称节线. ON和O间的夹角 是一个欧勒角(进动角). ON和Ox间的夹角是另一个欧勒角(自 转角). O和Oz间的夹角是第三个欧勒角(章动角).
从图知: z轴垂直ON, 故 z轴位置与N有关, 因此 z轴位置要用
导读
• 刚体运动分类：平动、转动 • 角位移、角速度矢量 • 欧勒角和欧勒运动学方程
§3.1 刚体运动的分析
刚体： 形状和大小都不变的物体
任意两质点之间的距离保持不变的质点系
1 平动: 刚体在运动过程中, 其上任意两点的连线始 终保持平行. 可以用一个质点的运动来描述刚体的 平动.
刚体平动
质点运动
2 转动: 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动. 这 条直线称为转轴. 转动由转轴位置参量和圆周运动参数来描述。
3: 定轴转动： 转轴固定不动的转动. 转轴上的质点不动. 只需一个量描述刚体绕该 轴转动的角度, 就确定了刚体的位置(一个变量).
3 平面平行运动： 一点始终在固定平面内运动.
这时运动可分解为一平面内一点的平动及绕通过此 点且垂直于固定平面的固定轴的转动(三个变量).
(t t ) (t )
当刚体围绕固定点转动时，转动轴方向也是时间的 函数，这时角位移不是矢量。
z y x （a）原来位形 z y x （a）原来位形 x x
z y x
z
y
（b）绕z轴转/2 z y
（c）绕y轴转/2 z y x （c）绕z轴转/2
（b）绕y轴转/2
dv d a ( r ) dt dt r v
P点线加速度与角量的关系：
d dt 2 d

z
r
v
P
a r
对于定轴转动
an v
a r an r
2


z

O
y
y
z z


O
y

x N

x





xN
自转
z
y
z


y
z z



y
y
O


N x


O

xN
O


x


x N
xyz x y z x y z x y z
所以微小转动的合成可以对易. 遵守矢量合成法则.
2 描述刚体转动的物理量
角坐标 角速度：
z

角位移
d
P
角速度
d 角速度大小： dt
d k dt
x
的方向： 由右手螺旋法则确定.
z
r
v
P
P点线速度与角速度的关系：
v r
角加速度
d k 2 k (定轴) dt dt

2 欧勒运动学方程
联系动系和静系角速度的方程

在动系上的分量

x y z
cos
sin

0 0

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sin sin sin cos
0
cos
cos x sin sin sin sin cos y cos z
O

y
x
(2) 坐标系O- 固定不动, 坐标系 O-xyz 固定在刚体上 随之一起转动.
假定O- 系和 O-xyz系开始重合, 令O-xyz绕 轴逆时 针转动 , 于是x轴和 轴分开，y 轴和轴分开, 而且Ox 轴转到Ox’(即ON);
z
O
z
y
y
O N x
无限小转动时. 绕定点O的某 轴转动了, 其方向和大小用 转轴上的有方向线段n来表 示, 叫做角位移.
n
P r
M P’ r+r
O
P为转动前位置, P’绕定点O的 某轴转动了后位置.
r PM r sin r n sin 即 r n r
与 两个角来确定. 为系统绕 z轴转动的角.
欧勒角好处：
• 简明、单值地确定刚体地位置
• 三个角度变化相互独立
刚体绕着通过定点O某一轴线以角速度转动, 在 活动系Oxyz上的投影是x ,y和z, 则
xi y j z k
,绕ON轴的角速度 也可以认为是绕轴O的角速度 三者的矢量和. 及绕Oz轴的角速度

x

进动
然后令活动系绕ON 转动 ,于是 z 轴和 轴分开, 活 动系三个轴变到x’’, y’’和z’’, z’’轴和 轴夹角是 , x’’ Oy’’平面和O平面夹角也是 .
z
y
O N x
z



O

y

x N



章动
最后，令活动系绕 z轴转动, 这时Ox’’和Ox’’’夹角是, Oy’’ 和Oy’’’夹角也是 , 这时, 活动系为Ox’’’ y’’’ z’’’.
4 定点转动： 一点固定不动, 刚体围绕过这点的某一 瞬时轴转动(三个变量).
5 一般运动：刚体不受任何约束，可以在空间任意运动.
质心的平动
+
绕质心的转动
§3.2 角速度矢量
1 有限转动与无限小转动
z
角坐标
约定
(t )
P
x
>0 沿顺时针方向转动 < 0
沿逆时针方向转动 角位移
第三章
刚体力学
刚体学习方法
类比法
dp F dt F ma 1 2 Ek mv 2 dA F dr P mv dL M dt M J 1 Erk J 2 2 dA Md L J
v a m J F M p L