最新复数练习题
复数练习题及答案
复数练习题及答案复数是英语语法中一个重要的概念，掌握好复数形式对于正确表达和理解英语句子至关重要。
本文将为大家提供一些复数练习题及答案，帮助读者巩固复数的使用。
练习题一：将下列名词变为复数形式。
1. book2. child3. mouse4. tooth5. tomato6. sheep7. leaf8. man9. woman10. box答案一：1. books2. children3. mice4. teeth5. tomatoes6. sheep8. men9. women10. boxes练习题二：选择正确的复数形式填空。
1. There are three __________ in the garden. (sheep / sheeps)2. I have two __________. (child / children)3. The __________ are playing in the park. (mouse / mice)4. He has four __________. (tooth / tooths)5. We bought some __________ at the market. (tomato / tomatoes) 答案二：1. There are three sheep in the garden.2. I have two children.3. The mice are playing in the park.4. He has four teeth.5. We bought some tomatoes at the market.练习题三：将下列句子中的名词变为复数形式。
1. The cat is sleeping on the chair.2. My brother has a new car.3. The child is playing in the park.4. She bought a beautiful dress.5. I need a pen to write.1. The cats are sleeping on the chairs.2. My brothers have new cars.3. The children are playing in the park.4. She bought beautiful dresses.5. I need pens to write.练习题四：将下列句子中的动词变为复数形式。
复数练习题附答案
复数练习题附答案复数是数学中的一个基本概念，它拓展了实数的概念，允许我们处理像-1的平方根这样的数。
复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
下面是一些复数的练习题，以及它们的答案。
练习题1：计算以下复数的加法：\[ (3 + 4i) + (1 - 2i) \]答案1：首先分别将实部和虚部相加：\[ 3 + 1 = 4 \]\[ 4i - 2i = 2i \]所以，结果是 \( 4 + 2i \)。
练习题2：计算以下复数的乘法：\[ (2 + 3i) \times (1 - 4i) \]答案2：使用分配律：\[ 2 \times 1 + 2 \times (-4i) + 3i \times 1 + 3i \times (-4i) \]\[ = 2 - 8i + 3i - 12i^2 \]由于 \( i^2 = -1 \)，所以：\[ = 2 - 5i + 12 \]结果是 \( 14 - 5i \)。
练习题3：求复数 \( z = 3 - 2i \) 的共轭复数。
答案3：共轭复数是将虚部的符号改变得到的数，所以：\[ \bar{z} = 3 + 2i \]练习题4：求复数 \( z = 2 + i \) 的模（magnitude）。
答案4：复数的模定义为：\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中 \( a \) 和 \( b \) 分别是复数的实部和虚部。
所以：\[ |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 练习题5：求复数 \( z = 1 + i \) 的逆。
答案5：复数的逆通过公式 \( \frac{1}{z} =\frac{\bar{z}}{|z|^2} \) 计算。
首先求模：\[ |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]然后求共轭复数：\[ \bar{z} = 1 - i \]最后求逆：\[ \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{2} \]因为 \( |1 + i|^2 = 2 \)。
复数练习题含答案
复数练习题含答案一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 52．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆. 3．复数(2i 的虚部为（ ） A ．2 B．C．2-D ．04．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1D ．0或-15．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +6．下列命题正确的是（ ）①若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数；③若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z z ； ④若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③7．设i为虚数单位，则)10i 的展开式中含2x 的项为（ ）A ．6210C x - B ．6210C x C ．8210C x -D ．8210C x8．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-11．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π12．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2C ．D ．415．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-16．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件17．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件18．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ） A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i19．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）ABC．D．20．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2二、填空题21．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=22．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________24．已知复数2z =+i ，其中i 为虚数单位，那么复数()2z ·z 所对应的复平面内的点在第________象限25．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 26．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z为实数，则=a ________． 27．若()1i 1i z +=-，则z =_______ 28．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________．30．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.32．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 33．计算cos 40isin 40cos10isin10________．34．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．35．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.36．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 37．已知z =22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 38．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 39．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果） 40．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________. 三、解答题41．已知关于x 的方程2(4i)4(1)i 0()x x a a --+-+=∈R 有实数根. (1)求实数a 的值；(2)设2i z a =+，求223z z -+的值.42．已知复数13i z m =-，212i()z m R =+∈. (1)若12z z 是实数，求m 的值；(2)若复数12zz 在复平面内对应的点在第三象限，且15z ≥，求实数m 的取值范围.43．已知复数()()()22232i R z m m m m m =--++-∈，． (1)若0z >，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z z ⋅的值．44．在复数集C 内方程610x -=有六个根分别为123456ωωωωωω，，，，， (1)解出这六个根；(2)在复平面内，这六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ；求多边形ABCDEF 的面积 ．45．（1）设复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，求复数z ； （2）若复数z 满足(2i)(1i)1z z ⋅+=⋅-+，求复数z ；（3）已知复数()2256215i m m m m +++--z=，当实数m 为何值时，复数z 对应的点Z 在第四象限.【参考答案】一、单选题1．A 2．D 3．C 4．C 5．A 6．B 7．A 8．C 9．D 10．D 11．C 12．D 13．A 14．C 15．B 16．A 17．B 18．D 19．B 20．A 二、填空题2122．12i -##2i+1-23．12或12##12-或12 24．四 25．四 26．3- 27．i28．2930．825i 625-31．i -32．－1＋2i##2i －13312i34 35．2 36．③ 37．0 38．12-##0.5- 39．13i +##3i 1+ 40．9 三、解答题41．(1)1a = (2)2- 【解析】 【分析】（1）由已知，方程2(4i)4(1)i 0()x x a a --+-+=∈R 有实数解，可列出关于x 和a 方程组，解方程即可完成求解；（2）将第（1）问计算出的a 带入2i z a =+中，然后直接计算223z z -+即可. (1)由2(4i)4(1)i 0x x a --+-+=，整理得()244(1)i 0x x x a -++--=，则244010x x x a ⎧-+=⎨--=⎩，解得21x a =⎧⎨=⎩. 所以实数a 的值为1. (2)由（1）可得12z i =+.223z z -+2(12i)2(12i)3=+-++34i 24i 3=-+--+2=-.42．(1)32m =- (2)46m ≤< 【解析】 【分析】（1）由复数的除法法则化简后根据复数的定义计算；（2）由对应点所在象限求得参数范围，再由模求得参数范围，两者结合可得．(1)123i (3i)(12i)6(23)i 12i (12i)(12i)5z m m m m z -----+===++-，它是实数，则(23)0m -+=，32m =-； (2)由（1）12z z 对应点坐标为623(,)55m m -+-，它在第三象限， 则6052305m m -⎧<⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩，解得362m -<<，又15z =，4m ≤-或4m ≥， 综上，46m ≤<． 43．(1)2m =- (2)4或100 【解析】 【分析】（1）根据复数0z >，可知z 为实数，列出方程，解得答案；（2）根据z 是纯虚数，列出相应的方程或不等式，再结合共轭复数的概念以及复数的乘法运算，求得答案. (1)因为0z >，所以R z ∈，所以220m m +-=，所以2m =-或1m =． ①当2m =-时，50z =>，符合题意； ②当1m =时，40z =-<，舍去． 综上可知：2m =-． (2)因为z 是纯虚数，所以2223020m m m m ⎧--=⎨+-≠⎩，所以1m =-或3m =,所以2i z =-，或10i z =,所以2i 2i 4z z ⋅=-⨯=或10i (10i)100z z ⋅=⨯-=, 所以4z z ⋅=或100． 44．(1)12345611111,1,2222ωωωωωω==-=-=-=+=-【解析】 【分析】（1）原式可因式分解为22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x -+++-+=，令21=0x x ++，设i,,x a b a b R =+∈可求解出21=0x x ++的两个虚根，同理可求解21=0x x -+的两个虚根，即得解；（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可 (1)由题意，610x -=22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x ∴-+++-+=当21=0x x ++时，设i,,x a b a b R =+∈故222(i)i 1=+1(2)i=0a b a b a b a ab b ++++-+++， 所以22+1=2=0a b a ab b -++ 解得：13,22a b =-=±，即13i 22x =-± 当21=0x x -+时，设i,,x c d c d R =+∈ 故222(i)i 1=1(2)i=0c d c d c d c cd d +--+--++- 所以221=2=0c d c cd d --+- 解得：13,22c d ==±，即13i 22x =±故：123456131313131,1,i,i,i,i 22222222ωωωωωω==-=-+=--=+=- (2)六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ， 其中13131313(1,0),(1,0),(,),(,),(,),(,)22222222A B C D E F ----- 在复平面中描出这六个点如图所示：六个点构成的图形为正六边形，边长为1故261S ==45．（1）2；（2）21i 3z =-；（3）25m -<<. 【解析】 【分析】（1）根据复数的四则运算及复数的摸公式即可求解；（2）利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解；（3）复数的几何意义得出点Z 的坐标，再根据点在第四象限的特点即可求解. 【详解】（1）()()()()242i 42i 12i 4(1i)10i2i 12i 12i 12i 12i 5z +++--=====---+，∴2z =（2）设i z a b =+()R a ∈、b ，则()()()i 2i i (1i)1a b a b +⋅+=-⋅-+， 化简得(2)(2)i (1)()i a b a b a b a b -++=-+-+，根据对应相等得：212a b a b a b a b-=-+⎧⎨+=--⎩，解得1a =，23b =-，所以21i 3z =-.（3）由()2256215i m m m m +++--z=，得()2256,215m m m m ++--Z ，因为Z 对应的点在第四象限，所以225602150m m m m ⎧++>⎨--<⎩，解得：25m -<<，故而当25m -<<时，复数Z 对应的点在第四象限.。
复数练习题含答案
复数练习题含答案一、单选题1．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四4．复数(2i 的虚部为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．05．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC6．若0a <，则a 的三角形式为（ ） A ．()cos0isin0a + B ．()cos isin a ππ+ C ．()cos isin a ππ-+ D ．()cos isin a ππ-- 7．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ）A ．sin 30°＋icos 30°B ．cos 160°＋isin 160°C ．cos 30°＋isin 30°D ．sin 160°＋icos 160°8．下列命题正确的是（ ）①若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数；③若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z z ； ④若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③9．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．610．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．筹四象限11．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 12．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）AB ．5CD ．213．设z 的共轭复数是z ，若4i z z -=，8z z ⋅=，则z =（ ） A ．22i --B ．22i +C ．22i -+D ．22i +或22i -+14．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．1i 2C ．32- D ．3i 2-15．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 16．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +17．已知z1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（ ） A ．1 B ．12 C ．2 D ．18．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i19．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件20．若复数i (2i)z m m =++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(1,)-+∞二、填空题21．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.22．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i 1i ⎛⎫+⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭________.23．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 24．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 25．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.26．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 27．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．28．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.29．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.30．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.31．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________.32．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i 为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________. 33．计算cos 40isin 40cos10isin10________．34．已知4cosisin1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________． 35．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．36．已知复数21ii z +=，则z =______． 37．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.38．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________. 39．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果） 40．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 三、解答题41．设复数z ＝log 2（m 2－3m －3）＋ilog 2（m －2）（m ∈R ），对应的向量为OZ .(1)若OZ 的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ |； (2)若OZ 的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围． 42．根据要求完成下列问题：(1)已知复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，1||1z =，且111z z +=，求1z ；(2)已知复数225(15i)3(2i)12im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值. 43．在复数集C 内方程610x -=有六个根分别为123456ωωωωωω，，，，， (1)解出这六个根；(2)在复平面内，这六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ；求多边形ABCDEF 的面积 ． 44．已知z 为复数，1i z -为实数，i1z-为纯虚数，求复数z . 45．数列{}n a 满足1112,1n n n a a a a +-==+，试研究数列{}n a 的周期性.【参考答案】一、单选题1．C2．A3．B4．C5．D6．C7．B8．B9．A10．C11．B12．A13．D14．C15．D16．C17．D18．D19．B20．A二、填空题21．72223．1241##1-25．12627．43i-##3i4-+ 28．352930．131．32．2 3312i 34．2312π353637．2 3839．13i +##3i 1+ 40．三、解答题41．(1)m ＝4，|1OZ =(2)4m ⎫∈⎪⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】(1)显然是复数z 的实部为0，即可求解； (2)z 的实部为负数，虚部为正数即可. (1)因为OZ 的终点z 在虚轴上，所以复数z 的实部为0， 则有log 2（m 2－3m －3）＝0，所以m 2－3m －3＝1， 所以m ＝4或m ＝－1； 因为20m -> ，所以m ＝4， 此时z ＝i ，()0,1OZ =,1OZ = ； (2)因为OZ 的终点Z 在第二象限内，则有()()2222log 330log 2033020m m m m m m ⎧--<⎪⎪->⎨-->⎪⎪->⎩4m << ，所以4m ⎫∈⎪⎪⎝⎭42．(1)112z = (2)2m =- 【解析】 【分析】（1）设1i z a b =+，由题设可得关于,a b 的方程组，求出其解后可得1z . （2）根据复数的四则运算可求2z ，根据其为纯虚数可求实数m 的值. (1)设1i z a b =+（a b R ∈、），由题意得22121a b a ⎧+=⎨=⎩，解得12a =，b =∵复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b =112z =； (2)()()()()2222515i 32i 6253i 12im z m m m m m =-+-+=--+---，依题意得260m m --=，解得3m =或2m =-， 又∵22530m m --≠，∴3m ≠且12m ≠-， ∴2m =-.43．(1)12345611111,1,2222ωωωωωω==-=-=-=+=-【解析】 【分析】（1）原式可因式分解为22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x -+++-+=，令21=0x x ++，设i,,x a b a b R =+∈可求解出21=0x x ++的两个虚根，同理可求解21=0x x -+的两个虚根，即得解；（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可 (1)由题意，610x -=22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x ∴-+++-+=当21=0x x ++时，设i,,x a b a b R =+∈故222(i)i 1=+1(2)i=0a b a b a b a ab b ++++-+++，所以22+1=2=0a b a ab b -++ 解得：13,2a b =-=±，即13i 2x =-± 当21=0x x -+时，设i,,x c d c d R =+∈ 故222(i)i 1=1(2)i=0c d c d c d c cd d +--+--++- 所以221=2=0c d c cd d --+- 解得：13,2c d ==±，即13i 2x =±故：123456131313131,1,i,i,i,i 2222ωωωωωω==-=-+=--=+=- (2)六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ， 其中13131313(1,0),(1,0),(,),(,),(,),(,)2222A B C D E F ----- 在复平面中描出这六个点如图所示：六个点构成的图形为正六边形，边长为1 故233361S ==44．1i z =+ 【解析】 【分析】i z a b =+（,R a b ∈），代入1i z -化简由其为实数可求出a ，再代入i1z-化简由其为纯虚数可求出b ，从而可求出复数z 【详解】设i z a b =+（,R a b ∈），所以1(1)i(1)i i iz a b b a --+==--， 因为1iz -为实数，所以10a -=，得1a =， 所以()()()()i 1i i ()()i i 1i 1i 1i 1i 222a b z a b a b a b a b a b +++-++-+====+---+， 因为i1z-为纯虚数， 所以02a b -=且02a b+≠， 所以1a b ==， 所以1i z =+ 45．周期为4 【解析】 【分析】根据通项公式，写出特征方程为210x +=，由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】数列{}n a 的递归函数为()11x f x x -=+，其特征方程为210x +=. 因为Δ=01440-⨯=-<，解得：i,i m k ==-()1i 36arg arg arg i 1i 24a mc a kc ππ--⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭所以数列{}n a 是周期4T =的周期函数.。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=1+i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1-i$。
答案：C2.若复数 $z=1-i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1+i$。
答案：D3.在复平面内，复数 $z=3+4i$ 对应的点的坐标为（）解析：$z$ 对应的点的坐标为 $(3,4)$。
答案：A4.已知复数 $z=\frac{1}{1+i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$\bar{z}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$。
答案：B5.已知复数 $z=\frac{3-2i}{5}$，则 $z$ 的虚部是（）解析：$z$ 的虚部为$\operatorname{Im}(z)=\frac{-2}{5}$。
答案：C6.已知复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-i$，则复数 $z$ 对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$，对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
答案：A7.已知复数 $z$ 满足 $z^2=2i$，则 $z\cdot\bar{z}$ 的值为$4$。
解析：$z\cdot\bar{z}=|z|^2=2$，$z^2\cdot\bar{z}^2=(2i)(-2i)=-4$，因此 $z\cdot\bar{z}=\sqrt{-4}=2i$，$|z\cdot\bar{z}|=2$，所以 $z\cdot\bar{z}=4$。
答案：B8.已知复数 $z$ 满足 $z(1-i)=2i$，则在复平面内 $z$ 对应的点位于第二象限。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=-\frac{2}{2i}-i=-1-i$，对应的点在第二象限。
答案：B9.满足 $i^3\cdot z=1-3i$ 的复数 $z$ 的共轭复数是 $3+i$。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z － ＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ） ＝－12 i ，所以z － ＝12 i ，所以z －z － ＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z － ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z － ＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ） ＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z － ＝1D ．z ＋1z为实数 答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)， 复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z － ＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________． 答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________． 答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________． 答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ） ＝8－（－4） ＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z － ＝z 2|z |2C ．z －w ＝z － －w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z － ＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z － ＝z 2|z |2 ，故B 正确； 对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z － ＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z － －w － ＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z － －w － ，故C 正确； 对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z － ＝1＋2i.由z ＋a z － ＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－1解析：方法一 因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数， 所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)一、单选题1．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4BC ．2D ．10 2．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--3．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ）AB C D 4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆. 5．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC6．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 7．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-8．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．4 9．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 10．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．2B ．1C ．iD ．1-11．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -12．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A．10B ．5CD ．13．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞ D ．(),3-∞14．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件17．已知复数z 满足(2i)43i z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i18．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3C ．D ．919．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ）A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i20．集合M ={x |x =i n +1，n ∈N}（i 为虚数单位）的真子集的个数是（ ）A ．1B ．15C ．3D ．16 二、填空题21．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．22．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.23．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.24．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________． 25．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 26．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．27．已知复数2z =+i ，其中i 为虚数单位，那么复数()2z ·z 所对应的复平面内的点在第________象限28．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 29．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.30．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.31．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________.32．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.33．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．34．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 35．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．36．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．37i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．38．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________ 39．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 40．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 三、解答题41．在复平面内，复数()2(1)2i z m m m =-+--表示的点Z ，求出满足下列条件的复数z .(1)若点Z 在虚轴上，求复数z 的共轭复数z ； (2)若点Z 在直线2y x =上，求复数z 的模z .42．已知复平面内的点A ，B 对应的复数分别是21sin i z θ=+，22cos icos2z θθ=-+，其中()0,θπ∈．设AB 对应的复数是z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线12y x =，求θ的值． 43．（1）设复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，求复数z ； （2）若复数z 满足(2i)(1i)1z z ⋅+=⋅-+，求复数z ；（3）已知复数()2256215i m m m m +++--z=，当实数m 为何值时，复数z 对应的点Z 在第四象限.44．已知复数()()222343i z m m m m =--+-+（m R ∈）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z ： (1)在实轴上； (2)在虚轴上； (3)在第一象限. 45．求数列{}n a ：112n n na a a ++=-的周期.【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．A 4．D 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．B13．A 14．D 15．D 16．A 17．B 18．C 19．D 20．B 二、填空题 21．825i 625- 22．223 24．25．1 26．四 27．四 2829．()34-，30．9 31．2i -+ 32．7 33．[]4,634．－1＋2i##2i －1 35．11+ 3637．1-+1- 38．()0,3 39．140．1i -+（答案不唯一） 三、解答题41．(1)2i ；【解析】 【分析】（1）求出m 的值即得解；（2）根据点Z 在直线2y x =上，求出m 的值即得解. (1)解：因为点Z 在虚轴上，所以10,1m m -=∴=. 所以2i z =-，所以复数z 的共轭复数2i z =. (2)解：因为点Z 在直线2y x =上，所以222(1)m m m --=-， 解之得0m =或3m =. 所以12i z =--或24z i =+，所以复数z 的模z 42．(1)()2112sin i z θ=-+-(2)6πθ=或56πθ=【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可求解. (1)因为点A ，B 对应的复数分别是21sin i z θ=+，22cos icos2z θθ=-+，所以点A ，B 的坐标分别是()2sin ,1A θ，()2cos ,cos2B θθ-，所以()()()()22222cos ,cos 2sin ,1cos sin cos 211,2sin AB θθθθθ,θθ=--=---=--所以()2112sin i z θ=-+-.(2)由（1）知点P 的坐标是()21,2sin θ--，代入12y x =，得212sin 2θ-=-，即21sin 4θ=，所以1sin 2θ=±，又因为()0,θπ∈，所以1sin 2θ=， 所以6πθ=或56πθ=. 43．（1）2；（2）21i 3z =-；（3）25m -<<.【解析】 【分析】（1）根据复数的四则运算及复数的摸公式即可求解；（2）利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解；（3）复数的几何意义得出点Z 的坐标，再根据点在第四象限的特点即可求解. 【详解】（1）()()()()242i 42i 12i 4(1i)10i2i 12i 12i 12i 12i 5z +++--=====---+，∴2z =（2）设i z a b =+()R a ∈、b ，则()()()i 2i i (1i)1a b a b +⋅+=-⋅-+， 化简得(2)(2)i (1)()i a b a b a b a b -++=-+-+，根据对应相等得：212a b a b a b a b-=-+⎧⎨+=--⎩，解得1a =，23b =-，所以21i 3z =-.（3）由()2256215i m m m m +++--z=，得()2256,215m m m m ++--Z ，因为Z 对应的点在第四象限，所以225602150m m m m ⎧++>⎨--<⎩，解得：25m -<<，故而当25m -<<时，复数Z 对应的点在第四象限. 44．(1)1m =或3m = (2)1m =-或3m = (3)1m <-或3m > 【解析】 【分析】（1）由题意可得2430m m -+=，从而可求出m 的值， （2）由题意可得2230m m --=，从而可求出m 的值，（3）由题意可得22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，解不等式组可求得结果(1)点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2430m m -+=得1m =或3m =， ∴当1m =或3m =时，点Z 在实轴上； (2)点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，由2230m m --=得1m =-或3m =，∴当1m =-或3m =时，点Z 在虚轴上； (3)点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0，由22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，即1313m m m m ⎧-⎪⎨⎪⎩或或，解得1m <-或3m >，∴当1m <-或3m >时，点Z 在第一象限. 45．周期为6. 【解析】 【分析】根据通项公式，写出特征方程为210x x -+=，由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】 因为112n n na a a ++=-，所以特征方程为210x x -+=， 因为Δ14130=-⨯=-<，解得：m k == 所以2arg 36a mc a kc ππ-⎛⎫==⎪-⎝⎭， 所以函数()f x 的迭代周期为6T =. 所以数列{}n a 有周期6T =，。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=\frac{1}{1-i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）。
A。
$\frac{1+i}{2}$ B。
$\frac{1-i}{2}$ C。
$\frac{-1+i}{2}$ D。
$\frac{-1-i}{2}$2.已知复数 $z=\frac{11+22i}{1-i(m-m^2i)}$ 为纯虚数，则实数 $m=$（）。
A。
$1$ B。
$-1$ C。
$i$ D。
$-i$3.若复数 $z=(2+i)i$（其中 $i$ 为虚数单位），则复数$z$ 的模为（）。
A。
$5$4.复数 $z=\frac{3i}{5-2i}$ 的虚部是（）。
A。
$\frac{15}{29}$ B。
$\frac{3}{29}$ C。
$-\frac{3}{29}$ D。
$-\frac{15}{29}$5.已知 $2i+1=z\cdot5\left(5-\frac{1}{z}\right)$，则$z=$（）。
A。
$1$ B。
$3$ C。
$2$ D。
$-2$6.复数 $z$ 满足 $i\cdot z=1-2i$，$z$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z\cdot z=$（）。
A。
$5$ B。
$-5$ C。
$5i$ D。
$-5i$7.已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{4i}{1+i}$ 在复平面内对应的点在（）。
A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限8.已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z=5+3i$，则$\frac{z}{i}=$（）。
A。
$-3+5i$ B。
$5-3i$ C。
$-5+3i$ D。
$3+5i$9.若复数 $z=\frac{a+i}{1-i}$，$a\in R$，为纯虚数，则$z+a=$（）。
A。
$1+2i$ B。
$2i-1$ C。
$2+2i$ D。
$-2i+1$10.已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{2+i}=2-i$，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）。
复数练习题(有答案)
一、复数选择题1．复数11z i=-，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1122i + D ．1122i - 2．已知复数()2m m m iz i--=为纯虚数，则实数m =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．0或13．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．5BC ．D ．5i4．复数312iz i=-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35iC ．35D ．65-5．))5511--+＝（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 6．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A B C ．3D ．57．已知i 是虚数单位，则复数41ii+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知i 为虚数单位，若复数()12iz a R a i+=∈+为纯虚数，则z a +=（ ）A B ．3C ．5D ．9．若复数1211iz i+=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．复数12iz i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ） A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i +=13．设a +∈R ，复数()()()242121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．714．若复数()()1i 3i a +-（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a =（ ） A ．1-B ．12-C ．13D ．115．设复数满足(12)i z i +=，则||z =（ ）A ．15B C D ．5二、多选题16．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-17．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =18．（多选题）已知集合{},nM m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ） A ．()()11i i -+ B ．11ii-+ C ．11ii+- D ．()21i -19．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．z =20．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点21．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 22．下列说法正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件23．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限24．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 25．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数26．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限27．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数 D ．纯虚数z 的共轭复数是z -28．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ）A ．1B ．4-C ．0D ．529．给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为，所以其共轭复数为. 故选：D. 解析：D 【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】 因为()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以其共轭复数为1122i -. 故选：D.2．C 【分析】结合复数除法运算化简复数，再由纯虚数定义求解即可 【详解】解析：因为为纯虚数，所以，解得， 故选：C.解析：C【分析】结合复数除法运算化简复数z，再由纯虚数定义求解即可【详解】解析：因为()()22m m m iz m m mii--==--为纯虚数，所以20m mm⎧-=⎨≠⎩，解得1m=，故选：C.3．B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】，所以，故选：B解析：B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】(2)21z i i i=+=-，所以|z|=故选：B4．C【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部．【详解】因为，所以复数z的虚部是．故选：C．解析：C【分析】由复数除法法则计算出z后可得其虚部．【详解】因为33(12)366312(12)(12)555i i i iii i i+-===-+--+，所以复数z的虚部是35．故选：C．5．D 【分析】先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】 ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：D.解析：D 【分析】先求)1-和)1+的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.【详解】∵)211-=--，)2+1=-，∴)()42117-=--=-+，)()42+17=-=--，∴)()51711-=-+-=--， )()51711+=--+=-，∴))55121-+=--，故选：D.6．D 【分析】求出复数，然后由乘法法则计算． 【详解】 由题意， ． 故选：D ．解析：D 【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅． 【详解】 由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．7．A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限， 故选：A解析：A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A 8．A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得 【详解】由复数为纯虚数，则，解得 则 ，所以，所以 故选：A解析：A 【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a + 【详解】()()()()()()2221222*********i a i a a i a ii a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =-则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a += 故选：A9．B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可 【详解】 ，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限 故选：B解析：B 【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可 【详解】()()12i 1i 12i33i 33i 111i 2222z +++-+=-=-==-+-， 所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限故选：B10．C 【分析】由已知得到，然后利用复数的乘法运算法则计算，利用复数的周期性算出的值，最后利用复数的几何意义可得结果． 【详解】 由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限， 故选：C ．解析：C 【分析】由已知得到2021(2)(2)i i iz -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果． 【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i ii -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限， 故选：C ．11．A 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由，知在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A 【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-， 知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限，故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.12．B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数对应的点为，所以 ，满足则 故选：B解析：B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B13．D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得． 【详解】 解：，解得. 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数，则，模的性质：，，．解析：D 【分析】根据复数的模的性质求模，然后可解得a ． 【详解】解：()()()()24242422221212501111i i i i aai ai++++====+--，解得7a =. 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的模，掌握模的性质是解题关键．设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z =模的性质：1212z z z z =，(*)nnz z n N =∈，1122z z z z =． 14．B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解． 【详解】解：，所以复数的实部为，虚部为，因为实部和虚部互为相反数，所以，解得 故选：B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部加虚部为0求解． 【详解】解：()()()()21i 3i 33331a i ai ai a a i +-=-+-=++-，所以复数()()1i 3i a +-的实部为3a +，虚部为31a -，因为实部和虚部互为相反数，所以3310a a ++-=，解得12a =-故选：B 15．B 【分析】利用复数除法运算求得，再求得. 【详解】 依题意， 所以. 故选：B【分析】利用复数除法运算求得z ，再求得z .【详解】 依题意()()()12221121212555i i i i z i i i i -+====+++-，所以5z == 故选：B二、多选题16．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．17．CD取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 18．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 19．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.20．BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.21．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.22．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误； 当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.23．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，355z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.24．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.25．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.26．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确； 2211312442ω⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C选项错误；22111122212222ω---====-⎛⎛⎫-+⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,22⎛⎫--⎪⎪⎝⎭，在第三象限，故D选项错误.故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.27．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确；当时，复数为实数，故C正确；对于B：，则即，故B错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R=+∈当0a=且0b≠时复数为纯虚数，此时z bi z=-=-，故A错误，D正确；当0b=时，复数为实数，故C正确；对于B：32a bi i-=+，则32ab=⎧⎨-=⎩即32ab=⎧⎨=-⎩，故B错误；故错误的有AB；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．28．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.29．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 30．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。
(完整版)复数练习题含答案
(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．若复数z 满足()12i 10z -=，则（ ） A ．24i z =+ B ．2z +是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=2．复数(2i 的虚部为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．03．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．筹四象限6．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．5 C D ．2 9．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四10．下列命题正确的是（ ） ①若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数； ③若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；④若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）A B C ．D ．12．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5CD ．13．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5BC ．10D 14．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i + B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +17．若5i2iz =+，则||z =（ ）A．2 B C ．D ．318．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限19．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件20．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝（ ） A ．75B ．－115C ．－185D ．5二、填空题21．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________. 22．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________．23．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 24．设m ∈R ，复数z ＝（2＋i ）m 2－3（1＋i ）m －2（1－i ），若z 为非零实数，则m ＝________． 25．设i是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 26．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________. 27．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 28．计算：3i1i+=-___________. 29．已知i34i z =+，求|z |=___________30．设复数z 满足()1i 22i z +=-（i 为虚数单位），则z =______． 31．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________. 32．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________.33．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．34．已知23iz-＝－i ，则复数z ＝________． 35i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________． 36．已知4cosisin1212z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1z 的辐角主值为________．37．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 38．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.39．若i 是虚数单位，则复数310i3i=-________．（写成最简结果）40．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.三、解答题41．设实部为正数的复数z，满足z =(12i)z +在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数z ； (2)若i()1im z m R ⋅+∈+为纯虚数，求实数m 的值. 42．已知复数()21i z a =+，243i z =-，其中a 是实数． (1)若12i z z =，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，a 是正实数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．43．已知复数()()222343i z m m m m =--+-+（m R ∈）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z ： (1)在实轴上； (2)在虚轴上； (3)在第一象限.44．求数列{}n a ：112n n na a a ++=-的周期.45．由方程()31cos2πisin 2πz k k k ==+∈Z 得310z -=的三个根为()2π2πcosisin 02,33k k k k k ω=+≤≤∈Z ，则()()()321111z z z z ωω-=---．将上式右边的各个一次因子适当分组相乘，则可变成有理系数多项式，就得到了31z -的有理分解式．请你仿此将151z -进行有理分解．【参考答案】一、单选题 1．D 2．C 3．B 4．B 5．C 6．B8．A 9．B 10．B 11．B 12．B 13．D 14．D 15．D 16．B 17．B 18．C 19．B 20．B二、填空题21．13i+ 22．-22324．1 25．02627．2829．15##0.230．231．2i-+32．233．8334．3＋2i35．1-1-36．2312π37．239．13i +##3i 1+ 40．1 三、解答题41．(1)3i z =-； (2)6m =-. 【解析】 【分析】（1）根据复数的模公式，结合复数乘法的运算法则、第一、三象限的角平分线的性质进行求解即可；（2）根据纯虚数的定义，结合共轭复数的定义、复数除法的运算法则进行求解即可. (1)设i(0,),10,(12i)2(2)i z a b a b R z z a b b a =+>∈∴=+=-++， 由题意得，22223,101a b b a a a b b -=+=⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩， 即3i z =-； (2)i i 3i 3(1)i 1i 222m m m m mz ⋅++=++=++++为纯虚数， 30,62mm ∴+=∴=-. 42．(1)2 (2)1i -+ 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解（2）利用12z z 为纯虚数求a ，从而得12i zz =，然后通过复数的周期性进行求解即可 (1)∵()21i z a =+，243i z =-，12i z z = ∴()22i 12i 34i a a a +=-+=+从而21324a a ⎧-=⎨=⎩，解得a =2所以实数a 的值为2． (2)依题意得：()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z +++==--+ ()()()()2222222222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i a a a a a a ++++++++==---()()22464383i25a a a a --++-=因为12z z 是纯虚数，所以：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，从而a =2或12a =-；又因为a 是正实数，所以a =2．当a =2时，22124648i 3i 3i 25z a a a a z --++-=16i 12i 3ii 25+-==， 因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，……，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，（n N ∈）所以23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2342022i i i i i =++++⋅⋅⋅+()()()23456789102019202020212022i i i i i i i i i i i i i i =++++++++++⋅⋅⋅++++ 2i i 000=++++⋅⋅⋅+1i =-+所以232022111122221i z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43．(1)1m =或3m = (2)1m =-或3m = (3)1m <-或3m > 【解析】 【分析】（1）由题意可得2430m m -+=，从而可求出m 的值， （2）由题意可得2230m m --=，从而可求出m 的值，（3）由题意可得22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，解不等式组可求得结果(1)点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2430m m -+=得1m =或3m =， ∴当1m =或3m =时，点Z 在实轴上； (2)点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，由2230m m --=得1m =-或3m =， ∴当1m =-或3m =时，点Z 在虚轴上； (3)点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0，由22230430m m m m ⎧-->⎨-+>⎩，即1313m m m m ⎧-⎪⎨⎪⎩或或，解得1m <-或3m >，∴当1m <-或3m >时，点Z 在第一象限. 44．周期为6. 【解析】 【分析】根据通项公式，写出特征方程为210x x -+=，由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】 因为112n n na a a ++=-，所以特征方程为210x x -+=， 因为Δ14130=-⨯=-<，解得：m k == 所以2arg 36a mc a kc ππ-⎛⎫==⎪-⎝⎭， 所以函数()f x 的迭代周期为6T =. 所以数列{}n a 有周期6T =，45．()()()()()231411111z z z z z ωωωω----⋅⋅⋅-【解析】 【分析】根据题目所给的信息即可求解. 【详解】根据题目有理分解式原理可知151=0z -的15个根为()2π2πcosisin 0151514,k k k k k ω=+≤≤∈Z ， 则151z -()()()()()231411111z z z z z ωωωω=----⋅⋅⋅-.。
(完整版)复数基础练习题
(完整版)复数基础练习题一、单选题 1．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ） A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--3．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆. 4．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1D ．0或-15．下列命题正确的是（ ）①若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数；③若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z z ； ④若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③6．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i --7．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．2B ．1C ．iD ．1- 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2- B ．2 C ．i - D ．1- 10．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π12．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1B C ．15D ．513．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件14．若5i2iz =+，则||z =（ ）A ．2 B C ．D ．3 15．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +16．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3C ．D ．917．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（ ） A ．1 B ．12 C．2D ．18．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i 19．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ）A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i20．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2二、填空题21．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________. 22．设i 为虚数单位，若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则|1i |-+=a ________.23．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 24．复数2ii 1+-的共轭复数是_______．25．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 26．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．27．化简：i 是虚数单位，复数()2021i 34i z =+=_________.28．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.29．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）.30．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________. 31．已知i 为虚数单位，复数21iz =-的虚部为___________. 32．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．33．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=34．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.35．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R ，若z =，则t 的值为___________. 36．复数1077(cosisin )66ππ+表示成代数形式为________．37i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．38．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.39．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.40．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________. 三、解答题41．（1）在复数范围内，求方程22340x x ++=的解；（2）若复数1z ，2z 满足12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=，且212i z z =-，求出1z ，2z ． 42．定义运算ab ad bc c d=-，如果()()32i 3i 1x y x y x y++++=-，求实数x ，y 的值．43．（1）已知a 、b ∈R 且满足(a -i)2-3b i=(1+i)(2-2a i)，又z 1=3-a i ，z 2=-3b +2i ，求2212z z z +的模与共轭虚数.（2）i 的正整数指数幂满足41i n +=i ，42i n +=-143i n +，=-i 4i n ，=1（nN ∈）.如i=i ，i 2=-1，i 3=-i ，i 4=1.请分析并写出i 的正整数指数幂和、差规律，以此规律计算i+ i 2+ i 3+….+i 2022 ①或i-i 2+ i 3-i 4 +….-i 2022 ②（注：要求只计算①与②之一）44．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.45．已知复数()21i z a =+，243i z =-，其中a 是实数． (1)若12i z z =，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，a 是正实数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【参考答案】一、单选题 1．D 2．D 3．D 4．C 5．B 6．D 7．D 8．D9．D10．D11．C12．A13．A14．B15．C16．C17．D18．D19．D20．A二、填空题21．12223．四24．13i22-+2526．43i-##3i4-+ 27．－4＋3i##3i-4 28．129．13i+##3i+1 30．131．132．825i 6 25 -3334．1##1+ 35．2或2-36．－5i##－5i－37．1-+1-38．339．9π40．2. 三、解答题41．（1）34x =-；（2）13i z =，25i z =-或1i z =-，2i z =-. 【解析】 【分析】（1）利用配方法和2i 1=-进行求解；（2）先利用212i z z =-进行消元，再设出1i z a b =+，利用模长公式、复数的相等进行求解. 【详解】（1）因为22340x x ++=，所以2322x x +=-，所以23923()241616x +=-+=-，所以34x +=，即34x =-±； （2）将212i z z =-代入12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=， 得1111(2i)2i 2i(2i)10z z z z ⋅-+--+=， 即211|2i 3|0z z --=，设1i z a b =+，所以22232i=0a b b a +---，所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩，所以13i z =，25i z =-或1i z =-，2i z =-. 42．1x =-，2y = 【解析】 【分析】根据题意得到()()()3i 32i x y x x y y +++=++，列出方程组求解即可. 【详解】由定义运算ab ad bc c d=-，得32i 32i 1x y x y y y+=++-，所以()()()3i 32i x y x x y y +++=++ 因为x ，y 为实数，所以有323x y x yx y+=+⎧⎨+=⎩，解得1x =-，2y =.43．（1）当21,3a b =-=-时，2122+z z z =2122+z z z 的共轭复数为53i 2-.当23,3a b ==-时，2122+z z z 2122+z z z 的共轭复数为12i 2-. （2）①232022i+i i i +++i 1=-；②2342022i i i i i -+-+-=i 1+.【解析】 【分析】（1）化简后根据两复数相等，列出方程组，即可解出a b 、的值，即可计算出答案.（2）根据41424344i i i i 0n n n n +++++++=；41424344i i +i i 0n n n n ++++--=计算即可. 【详解】（1）∵2(i)3i (1i)(22i)a b a --=+-化简得：21(23)i 2222)i a a b a a --+=+--（ 21122223223a a a b a b a =-⎧⎧-=+⎪⇒⇒⎨⎨=-+=-⎩⎪⎩或323a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩①当21,3a b =-=-时，123i,22i,z z =+=+22122+3+i+22i 5=3+i 22i 2z z z +=+（）.2122+z z z =2122+z z z 的共轭复数为53i 2-.②当23,3a b ==-时，1233i,22i,z z =-=+22122+33i+22i 1=2+i 22i 2z z z -+=+（）.2122+z z z ==2122+z z z 的共轭复数为12i 2-.（2）由题意知41424344i i i i 0n n n n +++++++=；41424344i i +i i 0n n n n ++++--=； 所以①232022234201720182019202020212022i+i i i (i+i i i )(i +i i i )+i +i +++=++++++0505i 1i 1=⨯+-=-；②2342022234201720182019202020212022i i i i i (i i i i )(i i i i )+i i -+-+-=-+-++-+--0505i 1i 1=⨯++=+.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.44．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==. 【解析】 【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. 【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得222i 0a b ab -+，所以220,0,a b ab ⎧⎪-=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-； 当0b =时，0a =. 所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根， 所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=， 即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩解得12,26p q ==. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部. 45．(1)2 (2)1i -+ 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解（2）利用12z z 为纯虚数求a ，从而得12i z z =，然后通过复数的周期性进行求解即可 (1)∵()21i z a =+，243i z =-，12i z z =∴()22i 12i 34i a a a +=-+=+从而21324a a ⎧-=⎨=⎩，解得a =2所以实数a 的值为2． (2)依题意得：()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z +++==--+ ()()()()2222222222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i a a a a a a ++++++++==---()()22464383i25a a a a --++-=因为12z z 是纯虚数，所以：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，从而a =2或12a =-；又因为a 是正实数，所以a =2．当a =2时，22124648i 3i 3i 25z a a a a z --++-=16i 12i 3ii 25+-==， 因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，……，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，（n N ∈）所以23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2342022i i i i i =++++⋅⋅⋅+()()()23456789102019202020212022i i i i i i i i i i i i i i =++++++++++⋅⋅⋅++++ 2i i 000=++++⋅⋅⋅+1i =-+所以232022111122221i z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)一、单选题1．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ）A ．一B ．二C ．三D ．四3．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +4．已知a R ∈，“实系数一元二次方程2904x ax ++=的两根都是虚数”是“存在复数z 同时满足2z =且1z a +=”的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．既非充分又非必要 5．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．若复数i (2i)z m m =++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(1,)-+∞9．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +11．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π12．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．1i 2-C ．12-D ．1i 213．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．214．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞ D ．(),3-∞ 15．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A．5B C ．10D 16．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1B C ．15D ．517．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A ．1i -B ．1i +C ．2i +D ．2i -19．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）AB C ．D ．20．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题21．设复数z 满足()1i 22i z +=-（i 为虚数单位），则z =______．22．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.23．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________．24．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．25．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 26．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 27．设复数1z ，2z 满足11z =，22z =，121z z -=，则12z z +=________． 28．设i是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 29．已知复数i 3i z =+（i 为虚数单位），则z =__________． 30．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________. 33．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________34．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．35．已知23iz-＝－i ，则复数z ＝________． 36．设复数()21(1)i m m -++为纯虚数，则实数m 的值为________．37．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 38．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 39．计算：112i2i-=+___________. 40．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________. 三、解答题 41．定义运算ab ad bc c d=-，如果()()32i 3i 1x y x y x y++++=-，求实数x ，y 的值．42．设复数z ＝log 2（m 2－3m －3）＋ilog 2（m －2）（m ∈R ），对应的向量为OZ .(1)若OZ 的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ |； (2)若OZ 的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围． 43．根据要求完成下列问题：(1)已知复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，1||1z =，且111z z +=，求1z ；(2)已知复数225(15i)3(2i)12im z m =-+-+-为纯虚数，求实数m 的值. 44．在复数集C 内方程610x -=有六个根分别为123456ωωωωωω，，，，， (1)解出这六个根；(2)在复平面内，这六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ；求多边形ABCDEF 的面积 ．45．（1）设复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，求复数z ； （2）若复数z 满足(2i)(1i)1z z ⋅+=⋅-+，求复数z ；（3）已知复数()2256215i m m m m +++--z=，当实数m 为何值时，复数z 对应的点Z 在第四象限.【参考答案】一、单选题 1．B 2．B 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．A 13．A 14．A 15．D 16．A 17．A 18．A19．B 20．B 二、填空题 21．2 22．2- 23．24．四 25．四 262728．02930．31．1i -+ 32．1 33．i 34．8335．3＋2i 36．1 37．1 38．1239．43i -##3i 4-+ 40三、解答题41．1x =-，2y = 【解析】 【分析】根据题意得到()()()3i 32i x y x x y y +++=++，列出方程组求解即可. 【详解】 由定义运算ab ad bc c d=-，得32i 32i 1x y x y y y+=++-，所以()()()3i 32i x y x x y y +++=++因为x ，y 为实数，所以有323x y x yx y +=+⎧⎨+=⎩，解得1x =-，2y =.42．(1)m ＝4，|1OZ =(2)4m ⎫∈⎪⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】(1)显然是复数z 的实部为0，即可求解； (2)z 的实部为负数，虚部为正数即可. (1)因为OZ 的终点z 在虚轴上，所以复数z 的实部为0， 则有log 2（m 2－3m －3）＝0，所以m 2－3m －3＝1， 所以m ＝4或m ＝－1； 因为20m -> ，所以m ＝4， 此时z ＝i ，()0,1OZ =,1OZ = ； (2)因为OZ 的终点Z 在第二象限内，则有()()2222log 330log 2033020m m m m m m ⎧--<⎪⎪->⎨-->⎪⎪->⎩4m << ，所以4m ⎫∈⎪⎪⎝⎭43．(1)112z = (2)2m =- 【解析】 【分析】（1）设1i z a b =+，由题设可得关于,a b 的方程组，求出其解后可得1z . （2）根据复数的四则运算可求2z ，根据其为纯虚数可求实数m 的值. (1)设1i z a b =+（a b R ∈、），由题意得22121a b a ⎧+=⎨=⎩，解得12a =，b =∵复数1z在复平面内对应的点在第四象限，∴b =112z =；(2)()()()()2222515i 32i 6253i 12im z m m m m m =-+-+=--+---，依题意得260m m --=，解得3m =或2m =-， 又∵22530m m --≠，∴3m ≠且12m ≠-， ∴2m =-.44．(1)12345611111,1,2222ωωωωωω==-=-=-=+=-【解析】 【分析】（1）原式可因式分解为22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x -+++-+=，令21=0x x ++，设i,,x a b a b R =+∈可求解出21=0x x ++的两个虚根，同理可求解21=0x x -+的两个虚根，即得解；（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可 (1)由题意，610x -=22(1)(1)(1)(1)0x x x x x x ∴-+++-+=当21=0x x ++时，设i,,x a b a b R =+∈故222(i)i 1=+1(2)i=0a b a b a b a ab b ++++-+++， 所以22+1=2=0a b a ab b -++解得：1,2a b =-=12x =- 当21=0x x -+时，设i,,x c d c d R =+∈ 故222(i)i 1=1(2)i=0c d c d c d c cd d +--+--++- 所以221=2=0c d c cd d --+-解得：1,2c d ==，即12x =±故：12345611111,1,2222ωωωωωω==-=-+=--=+=- (2)六个根对应的点分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，其中1111(1,0),(1,0),((,((,2222A B C D E F --- 在复平面中描出这六个点如图所示：六个点构成的图形为正六边形，边长为1 故233361S ==45．（1）2；（2）21i 3z =-；（3）25m -<<. 【解析】 【分析】（1）根据复数的四则运算及复数的摸公式即可求解；（2）利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解；（3）复数的几何意义得出点Z 的坐标，再根据点在第四象限的特点即可求解. 【详解】（1）()()()()242i 42i 12i 4(1i)10i2i 12i 12i 12i 12i 5z +++--=====---+， ∴22022z =+（2）设i z a b =+()R a ∈、b ，则()()()i 2i i (1i)1a b a b +⋅+=-⋅-+， 化简得(2)(2)i (1)()i a b a b a b a b -++=-+-+， 根据对应相等得：212a b a b a b a b-=-+⎧⎨+=--⎩，解得1a =，23b =-，所以21i 3z =-.（3）由()2256215i m m m m +++--z=，得()2256,215m m m m ++--Z ，因为Z 对应的点在第四象限，所以225602150m m m m ⎧++>⎨--<⎩，解得：25m -<<，故而当25-<<时，复数Z对应的点在第四象限.m。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)一、单选题1．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．32．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.3．复数(2i 的虚部为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．04．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若复数(32)(1)i ai +-在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围为（ ）A ．32,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．23,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭6．复数z 满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．BC ．D 7．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．筹四象限8．复数1ii+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2- B ．2 C ．i - D ．1- 10．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．2B ．1C ．iD ．1-11．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -12．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+D ．11i 22-13．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1BC ．15D ．516．若复数4i1iz =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2C ．D ．4 17．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（ ）A ．3B ．4C D 18．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限19．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i20．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-二、填空题21．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________.22．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 23．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 24．已知i34i z =+，求|z |=___________ 25．计算：()()12i 34i 2i-+=+_________．26．设12z i =-，则z =___________ .27．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 28．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 29．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________．30．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________.32．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．33．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 34．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 35．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________． 36．计算cos 40isin 40cos10isin10________．37．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________.38．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________. 39．已知i 为虚数单位，复数21iz =-的虚部为___________.40．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 三、解答题41．设实部为正数的复数z ，满足z =(12i)z +在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数z ； (2)若i()1im z m R ⋅+∈+为纯虚数，求实数m 的值.42．已知复数z满足||z =z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设22,,z z z z -在复平面上的对应点分别为A ､B ､C ，求△ABC 的面积.43．实数k 为何值时，复数()()223456i z k k k k =--+--是：(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ (4)0？44．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.45．求数列{}n a ：112n n na a a ++=-的周期.【参考答案】一、单选题 1．B 2．D 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D 9．D 10．D 11．B 12．C 13．D 14．D 15．A 16．C17．C 18．C 19．D 20．C二、填空题21．1 22．1 23．四24．15##0.225．43i-##3i4-+2627．1i-+（答案不唯一）28．29．30．13132．825i 6 25 -33．134．－1＋2i##2i－1 353612i37．138．2i-+39．140．三、解答题41．(1)3iz=-；(2)6m=-.【解析】【分析】（1）根据复数的模公式，结合复数乘法的运算法则、第一、三象限的角平分线的性质进行求解即可；（2）根据纯虚数的定义，结合共轭复数的定义、复数除法的运算法则进行求解即可. (1)设i(0,),10,(12i)2(2)i z a b a b R z z a b b a =+>∈∴=+=-++，由题意得，22223,101a b b a a a b b -=+=⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩，即3i z =-； (2)i i 3i 3(1)i 1i 222m m m m m z ⋅++=++=++++为纯虚数， 30,62mm ∴+=∴=-. 42．(1)1i z =+或1i z =-- (2)1 【解析】 【分析】（1）设()i ,R z x y x y =+∈，根据已知条件列方程求得,x y ，由此求得z . （2）求得,,A B C 的坐标，从而求得三角形ABC 的面积. (1)设()i ,R z x y x y =+∈，222x y +=①，2222i z x y xy =-+的虚部为2，所以22,1xy xy ==②，由①②解得11x y =⎧⎨=⎩或11y x =-⎧⎨=-⎩. 所以1i z =+或1i z =--. (2)当1i z =+时，22i z =，21i z z -=-， 所以()()()1,1,0,2,1,1A B C -，2AC =，所以三角形ABC 的面积为11212⨯⨯=. 当1i z =--时，22i z =，213i z z -=--， 所以()()()1,1,0,2,1,3A B C ----，2AC =，所以三角形ABC 的面积为12112⨯⨯=.43．(1)6k =或1k =-； (2)6k ≠且1k ≠-； (3)4k =； (4)1k =-. 【解析】 【分析】（1）解方程2560k k --=即得解； （2）解不等式2560k k --≠即得解；（3）解不等式2560k k --≠，且2340k k --=即得解； （4）解方程2560k k --=，且2340k k --=即得解. (1)解：当2560k k --=，即6k =或1k =-时，z 是实数； (2)解：当2560k k --≠，即6k ≠且1k ≠-时，z 是虚数； (3)解：当2560k k --≠，且2340k k --=，z 是纯虚数，即4k =时为纯虚数； (4)解：当2560k k --=，且2340k k --=，即1k =-时，z 是0. 44．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==. 【解析】 【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案. 【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得222i 0a b ab -+，所以220,0,a b ab ⎧⎪-=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-； 当0b =时，0a =. 所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根， 所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=， 即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩解得12,26p q ==. 【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部. 45．周期为6. 【解析】 【分析】根据通项公式，写出特征方程为210x x -+=，由方程根的情况求出数列{}n a 的周期. 【详解】 因为112n n na a a ++=-，所以特征方程为210x x -+=， 因为Δ14130=-⨯=-<，解得：m k == 所以2arg 36a mc a kc ππ-⎛⎫==⎪-⎝⎭， 所以函数()f x 的迭代周期为6T =. 所以数列{}n a 有周期6T =，。
英语名词单数变复数练习题含答案
1、orange2、class3、monkey4、piano5、child6、shelf7、bed8、country9、family 10、toy 11、foot 12、radio 13、photo 14、tomato 15、woman 16、knife 17、sheep 18、ship 19、dish 20、mouse参考答案：1.oranges2.classes3.monkeys4.pianos5.children6. shelves7.beds8.countries9.families 10.toys 11.feet 12.radios13.photos 14.tomatoes 15.women 16.knives17.sheep 18.ships 19.dishes 20.mice1、class2、monkey3、shelf4、country5、toy6、foot7、sheep 8、leaf9、lady 10、brush11、goose 12、German13、fireman 14、story15、peach 16、mouse17、fox 18、dish19、crayon 20、library参考答案：1.classes2.monkeys3.shelves4.countries5.toys6.feet7.sheep8.leavesdies 10.brushes 11.geese 12.Germans13.firemen14.stories 15.peaches 16.mice17.foxes 18.dishes 19.crayons 20.libraries1、orange2、class3、text4、monkey5、piano6、child7、shelf8、bed9、country 10、family 11、toy 12、foot 13、Japanese 14、radio 15、photo 16、army 17、tomato 18、fox 19、woman 20、knife参考答案：1.oranges2.classes3.texts4.monkeys5.pianos6.children7.shelves8.beds9.countries 10.families 11.toys 12.feet13.Japanese 14.radios 15.photos 16.armies17.tomatoes 18.foxes 19.women 20.knives1、son2、friend3、house4、village5、map6、bag7、exercise 8、brush9、family 10、bus11、city 12、box13、baby 14、class 15、factory 16、glass 17、dictionary 18、watch 19、woman 20、match参考答案：1.sons2.friends3.houses4.villages5.maps6.bags7.exercises8.brushes9.families 10.busses 11.cities 12.boxes 13.babies 14.classes 15.factories 16.glasses 17dictionaries 18.watches 19.women 20.matches——用所给内容的正确形式填空。
(完整版)复数练习题
(完整版)复数练习题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15- B ．15 C ．1i 5- D ．1i 52．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ）A ．32- B ．32 C ．6- D ．63．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若0a <，则a 的三角形式为（ ）A ．()cos0isin0a +B ．()cos isin a ππ+C ．()cos isin a ππ-+D ．()cos isin a ππ-- 5．向量1OZ ，2OZ ，分别对应非零复数z 1，z 2，若1OZ ⊥2OZ ，则12Z Z 是（ ）A ．负实数B ．纯虚数C ．正实数D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0) 6．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知复数12i 1i z -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．筹四象限 8．已知i 是虚数单位，复数12i i z -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i + 9．已知复数2i i +=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．复数1i i+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．复数1i 1i +-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 12．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）.A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()1,+∞D ．(),3-∞13． 设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1BC ．15 D ．515．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 16．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（ ） A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0 17．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ） A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i 18．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ） A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i 19．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件20．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ）A ．12B ．1i 2- C ．12-D ．1i 2 二、填空题21．若复数2(1i)34i z +=+，则z =__________．22．已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =______ 23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________24．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i +-z 为实数，则=a ________．25．若复数z 满足i 3i=i z -+，则z =________. 26．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________．27．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______．28．设i 是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 29．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 30．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________.31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________.32．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R ，若z =，则t 的值为___________. 33．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2z z-＝________． 34．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．35．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．36．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________37．已知z =22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 38．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______． 39．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________.40．已知复数()3i R i b z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 三、解答题 41．在复平面内，复数()22234i z a a a a =--+--（其中i 为虚数单位，R a ∈）．(1)若复数z 为纯虚数，求a 的值；(2)若复数z >0，求a 的值．42．（1）设复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，求复数z ；（2）若复数z 满足(2i)(1i)1z z ⋅+=⋅-+，求复数z ；（3）已知复数()2256215i m m m m +++--z=，当实数m 为何值时，复数z 对应的点Z 在第四象限.43．如图，向量OZ 与复数1i -+对应，把OZ 按逆时针方向旋转120°，得到OZ ．求向量OZ '对应的复数（用代数形式表示）．44．已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是12i +，2i -+，12i --，求第四个顶点所对应的复数．45．根据复数的几何意义证明：121212z z z z z z -≤+≤+．【参考答案】一、单选题1．A2．A3．A4．C5．B6．B8．B9．D10．D11．B12．A13．D14．A15．A16．D17．D18．D19．B20．A二、填空题21．825i 625- 22．123．12或12##12-或12 24．3-2526．127．1i -##i+1-28．029．13i +##3i+130．53132．2或2-33．－1＋2i##2i －1343536．237．039．40．三、解答题41．(1)2a =(2)4a =【解析】【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得a 的值.（2）根据复数能比较大小列式，从而求得a 的值.(1)由于z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，可得2a =． (2)由于z 与0可以比较大小，所以z 为实数，且0z >，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--=⎩，可得4a =． 42．（1）2；（2）21i 3z =-；（3）25m -<<.【解析】【分析】（1）根据复数的四则运算及复数的摸公式即可求解；（2）利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解；（3）复数的几何意义得出点Z 的坐标，再根据点在第四象限的特点即可求解.【详解】（1）()()()()242i 42i 12i 4(1i)10i 2i 12i 12i 12i 12i 5z +++--=====---+，∴2z =（2）设i z a b =+()R a ∈、b ，则()()()i 2i i (1i)1a b a b +⋅+=-⋅-+，化简得(2)(2)i (1)()i a b a b a b a b -++=-+-+，根据对应相等得：212a b a b a b a b-=-+⎧⎨+=--⎩，解得1a =，23b =-，所以21i 3z =-.（3）由()2256215i m m m m +++--z=，得 ()2256,215m m m m ++--Z ， 因为Z 对应的点在第四象限，所以225602150m m m m ⎧++>⎨--<⎩，解得：25m -<<， 故而当25m -<<时，复数Z 对应的点在第四象限.43．1313i 22-+- 【解析】【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可.【详解】如上图，将Z 逆时针旋转到'Z ，即是向量'OZ 对应的复数：()()()1313131i cos120isin1201i 2︒︒⎛⎫-+-++=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 1313-+. 44．2i -【解析】【分析】 根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可．【详解】设复数12i +，2i -+，12i --对应的点分别为,,A B C则(1,2)A ，(2,1)B -，(1,2)C --，所以()()3,1,1,3AB BC =--=-，所以033·AB BC =-+=，所以90ABC ∠=︒ 设第四个点为(,)D x y ，则按照,,,A B C D 的顺序才能构成正方形，所以AB DC =，即(3-，1)(1x -=--，2)y --即1321x y --=-⎧⎨--=-⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩， 则(2,1)D -，对应的复数为2i -，故答案为：2i -45．证明详见解析【解析】【分析】结合三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边来证得不等式成立.【详解】当12,z z 方向相同时，121212z z z z z z -<+=+；当12,z z 方向相反时，121212z z z z z z -=+<+；当12,z z 不共线时，1212,,z z z z +满足三角形的三边，根据三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边可知： 121212z z z z z z -<+<+. 综上所述，不等式121212z z z z z z -≤+≤+成立.。
(完整版)复数基础练习题
(完整版)复数基础练习题一、单选题1．若复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1- 2．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ）A ．32- B ．32 C ．6- D ．63．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四 4．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1B ．1C ．-1D ．0或-15．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 6．已知复数z 满足()1i 1z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．1i 2- C ．12 D ．1i 27．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知复数2i i +=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3πB ．23πC ．34πD ．56π12．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）.A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()1,+∞D ．(),3-∞ 13．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5BC ．10 D14．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 15．若复数4i 1i z =-，则复数z 的模等于（ ） AB ．2C ．D ．4 16．复数5i i 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 17．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ） A ．12B ．3C ．D ．9 18．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（ ）A ．1B ．12C ．2D ．19．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ）A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i 20．已知i 是虚数单位，复数12i i z -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +二、填空题21．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________22．已知i34i z =+，求|z |=___________23．复数2i i 1+-的共轭复数是_______． 24．若复数2i iz -=-，则z =_______． 25．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 26．计算：()()12i 34i 2i -+=+_________．27．设12z i =-，则z =___________ .28．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________． 29．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i 1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.30．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 31．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.32i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．33．i 是虚数单位，则1i 1i +-的值为__________. 34．已知复数21i i z +=，则z =______． 35．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.36．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.37．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______． 38．已知复数z 满足2i z +∈R ，4z z-是纯虚数，则z 的共轭复数z =______. 39．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.40．已知复数()()211i z a a =-+-()a R ∈是纯虚数，则=a ___________.三、解答题41．在复平面内，若复数()()22232i z m m m m -+-=-+对应的点满足下列条件．分别求实数m 的取值范围．(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上．42．已知复数z 满足：i 1i z +=-．(1)求z ；(2)求1iz +的模． 43．在复平面内指出与复数z 1＝－1，z 2＝2－i ，z 3＝－i ，z 43i 对应的点Z 1，Z 2，Z 3，Z 4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．44．（1）解方程()20x x x C +=∈；（2）已知32i -+是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，求实数,p q 的值.45．已知复数()21i z a =+，243i z =-，其中a 是实数．(1)若12i z z =，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，a 是正实数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【参考答案】一、单选题1．D2．A3．B4．C5．B6．A7．D8．B9．D10．A11．C12．A 13．D 14．A 15．C 16．C 17．C 18．D 19．D 20．B二、填空题21．i22．15##0.223．13i22-+24．12i-2526．43i-##3i4-+2728．1i-+（答案不唯一）29．130．31．9π32．1-1-33．13435．236．1237．038．22i+##2i2+39．340．1-三、解答题41．(1)m ＝2或m ＝－1；(2)－1＜m ＜1；(3)m ＝2.【解析】【分析】（1）由题可得220m m --=，即求；（2）由题可知2220320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩，进而即得； （3）由题可得222=32m m m m --+-，即得.(1)∵复数()()22232i z m m m m -+-=-+对应的点为()222,32m m m m ---+，由题意得220m m --=，解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得2220320m m m m ⎧--<⎨-+>⎩∴1212m m m -<<⎧⎨⎩或， ∴－1＜m ＜1.(3)由题得222=32m m m m --+-，∴m ＝2.42．(1)12i +【解析】【分析】（1）先求出12z i =-，再求出z ；（2）先利用复数除法法则化简得1i 2i 321z --=+，从而求出模长. (1)12z i =-，12i z =+(2)()()()()2212i 1i 12i 13i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 1i 222----+--====--++--，故22119101i 223442z ⎛⎫⎛⎫=-+-=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. 43．答案见解析【解析】【分析】根据复数的几何意义即可求解.【详解】解：由题意知Z 1（－1，2 ），Z 2（2，－1），Z 3（0，－1），Z 4（3 ，3）,如下图所示，在复平面内，复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量分别为1OZ ，234,,OZ OZ OZ . 44．（1）0x =或i x =±；（2）12,26p q ==.【解析】【分析】（1）设出()i ,x a b a b =+∈R ，带入等式，再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.（2）将32i -+带入()220,x px q p q R ++=∈，化简后再利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.列出方程组即可解出答案.【详解】（1）设()i ,x a b a b =+∈R ，由20x x +=，得22222i 0a b ab a b -++，所以22220,0,a b a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩当0a =时，1,1,0b =-；当0b =时，0a =.所以0x =或i x =±.（2）因为32i -+是方程()220,x px q p q ++=∈R 的一个根，所以()22(32i)32i 0p q -++-++=，整理，得()310212i 0q p p -++-=，即()2120,3100p q p ⎧-=⎨-+=⎩ 解得12,26p q ==.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.解本类题型的关键在于利用两复数相等：实部等于实部，虚部等于虚部.45．(1)2(2)1i -+【解析】【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解（2）利用12z z 为纯虚数求a ，从而得12i zz =，然后通过复数的周期性进行求解即可(1)∵()21i z a =+，243i z =-，12i z z =∴()22i 12i 34i a a a +=-+=+从而21324a a ⎧-=⎨=⎩，解得a =2 所以实数a 的值为2．(2) 依题意得：()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z +++==--+ ()()()()2222222222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i a a a a a a ++++++++==--- ()()22464383i25a a a a --++-= 因为12z z 是纯虚数，所以：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，从而a =2或12a =-； 又因为a 是正实数，所以a =2．当a =2时，22124648i 3i 3i 25z a a a a z --++-=16i 12i 3i i 25+-==， 因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，……，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，（n N∈）所以232022 11112222z z z zz z z z⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2342022i i i i i=++++⋅⋅⋅+()()() 23456789102019202020212022 i i i i i i i i i i i i i i=++++++++++⋅⋅⋅++++ 2i i000=++++⋅⋅⋅+1i=-+所以232022111122221i z z z zz z z z⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
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复数练习题
1．已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，若z 1－z 2是纯虚数，则有( )
A ．a －c ＝0且b －d ≠0
B ．a －c ＝0且b ＋d ≠0
C ．a ＋c ＝0且b －d ≠0
D ．a ＋c ＝0且b ＋d ≠0
2．[(a －b )－(a ＋b )i]－[(a ＋b )－(a －b )i]等于( )
A ．－2b －2b i
B ．－2b ＋2b i
C ．－2a －2b i
D ．－2a －2a i
3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( )
A.115
B.3i
C.115＋3i
D.115
＋23i 4，已知z 1＝m 2－3m ＋m 2i ，z 2＝4＋(5m ＋6)i ，其中m 为实数，若z 1－z 2＝0，则m 的值为( )
A ．4
B ．－1
C ．6
D ．0
5，若x ∈C ，则方程|x |＝1＋3i －x 的解是( )
A.12＋32
i B ．x 1＝4，x 2＝－1 C ．－4＋3i D.12＋32
i 6，下列命题中：
①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；
②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i 3>b ＋i 2；
③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
7，对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，下列结论正确的是( )
A ．a ＝0⇔a ＋b i 为纯虚数
B ．b ＝0⇔a ＋b i 为实数
C ．a ＋(b －1)i ＝3＋2i ⇔a ＝3，b ＝－3
D ．－1的平方等于i
8，若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )
A ．a ＝－1
B ．a ≠－1且a ≠2
C ．a ≠－1
D ．a ≠2
9，已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝( )
A ．－3i
B ．3i
C ．±3i
D ．4i
10，若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A ．2k π－π4
B ．2k π＋π4
C ．2k π±π4 D.k π2＋π4
(以上k ∈Z ) 11，计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝______.
12，方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝________.
13，如果z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为________． 14，已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，则实数x ＝________.
15，计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)
16, 已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1
＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．实数a 取什么值时，z 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[答案]1，A 2，A 3，C 4，B 5，C 6，D 7，B 8，B 9，B 10，B
11, 16i 12，2 13，—2 14，1（复数z能与0比较大小，则复数一定是实数。
）15, －11i 16, [解析](1) 所以当a＝6时，z为实数．
(2) 所以当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3) 所以不存在实数a使得z为纯虚数．。