(完整版)复数知识点归纳
复数的知识点总结与题型归纳
复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点 1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． 说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有11.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 12．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0题型二、复数相等[典例] 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.题型三：复数与点的对应关系[典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方．[解](1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.题型四：复数的模[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[典例] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C题型六：复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2)2题型七：复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) AO ――→表示的复数； (2)对角线CA ――→表示的复数； (3)对角线OB ――→表示的复数．[解] (1)因为AO ――→＝－OA ――→，所以AO ――→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA ――→＝OA ――→－－OC ――→，所以对角线CA ――→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB ――→＝OA ――→＋OC ――→，所以对角线OB ――→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.题型八：复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3， 因为|z+i|+|z-i|=2，|Z 1Z 2|=2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A(2)解：如图所示， |OM ――→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.题型九：复数代数形式的乘法运算[典例](1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A题型十一：i 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．iB ．－iC．1 D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.[解析](1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i2 016)1－i＝i[1－(i2)1 008]1－i＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 016，＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0. [答案](1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)(2)i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)。
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
新高考复数知识点总结归纳
新高考复数知识点总结归纳一、名词的复数形式名词的复数形式通常有以下几种情况：1. 一般情况下，在名词末尾加-s：book→books, dog→dogs。
2. 以-s, -sh, -ch, -x结尾的名词，在末尾加-es：dish→dishes,box→boxes。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加-es：city→cities, baby→babies。
4. 以-f或-fe结尾的名词，将f或fe改为v，再加-es：wolf→wolves, knife→knives。
5. 一些特殊名词的复数形式需要单独记忆：child→children,man→men, woman→women。
二、不可数名词与可数名词1. 不可数名词是指不能用数目进行计数的名词，一般用单数形式。
常见的不可数名词有：water, milk, bread, information等。
2. 可数名词是指可以进行数目上的计数的名词，可以有复数形式。
常见的可数名词有：book, cat, dog, apple等。
3. 有些名词可以既作不可数名词，又作可数名词，表示不同的意思。
比如：glass可以表示"玻璃杯"，是可数名词；也可以表示"玻璃"，是不可数名词。
三、复数名词的用法1. 表示一般复数概念：They have three cats.2. 表示某些事物的一部分：I ate two slices of pizza.3. 表示一种人或一类东西：The Chinese are good at math.4. 表示许多或一定数量的人或物：Many students go to school by bus.5. 表示两种东西：I want both apples and oranges.四、不规则名词的复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，需要单独记忆。
下面列举一些常见的不规则名词的复数形式：1. child→children2. man→men3. woman→women4. tooth→teeth5. foot→feet6. goose→geese7. mouse→mice8. ox→oxen九、对不可数名词进行量化对不可数名词进行量化时，可以使用以下方法：1. 使用量词或数量短语来修饰：a bottle of water, a piece of cake。
(完整版)复数知识点归纳
(完整版)复数知识点归纳完整版：复数知识点归纳复数是英语中用来表示多个数量的形式。
在英语中，名词的复数形式并不总是简单地在单数形式后面加上“-s”。
实际上，还有很多规则和例外需要我们掌握。
在这篇文章中，我们将对复数的一些主要知识点进行归纳总结。
一、一般规则1. 大多数名词在单数形式后面加上“-s”构成复数形式。
例如：book - books, dog - dogs, cat - cats2. 以s、x、ch、sh和o结尾的名词，在单数形式后面加上“-es”构成复数形式。
例如：box - boxes, match - matches, potato - potatoes3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加上“-es”构成复数形式。
例如：baby - babies, country - countries4. 以f或fe结尾的名词，通常将f或fe改为v，再加上“-es”构成复数形式。
例如：knife - knives, leaf - leaves5. 特殊规则：5.1 不规则名词的复数形式需要特殊记忆，例如：child - children, tooth - teeth, mouse - mice5.2 以-o结尾的名词有一些是按照一般规则加“-s”的，例如：piano - pianos, photo - photos，但也有一些是按照“-es”规则变化的，例如：potato - potatoes, tomato - tomatoes二、特殊名词除了一般规则之外，还有一些名词的复数形式是非常特殊的。
下面列举几个常见的例子：1. 人称代词的复数形式：I - weyou - youhe - theyshe - theyit - they2. 不列举变化的名词：例如：sheep（羊）、fish（鱼）、deer（鹿）等，它们在复数形式和单数形式相同。
3. 以“-is”结尾的名词，复数形式将“-is”改为“-es”：例如：thesis（论文）- theses（论文）4. 以“-us”结尾的名词，复数形式将“-us”改为“-i”：例如：cactus（仙人掌）- cacti（仙人掌）5. 以“-o”结尾的名词，复数形式有时将“-o”改为“-i”，有时加“-es”：例如：photo（照片）- photos（照片），radio（无线电）- radios （无线电）6. 以“-f”结尾的名词，复数形式将“-f”改为“-ves”：例如：leaf（叶子）- leaves（叶子）三、复数形式的用法1. 表示数量：例如：There are three cats in the garden.（花园里有三只猫。
(完整版)复数知识点归纳
精心整理复数【知识梳理】一、复数的基本概念1、虚数单位的性质i叫做虚数单位，并规定：①i可与实数进行四则运算；②i2 1 ;这样方程x21就有解了，解为x i或x i2、复数的概念(1)定义：形如a bi (a, b€ R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a叫做，b叫做。
全体复数所成的集合C叫做复数集。
复数通常用字母z表示，即z a bi (a，b€ R)对于复数的定义要注意以下几点：①z a bi (a，b€ R)被称为复数的代数形式，其中bi表示b与虚数单位i相乘②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式(2)分类：例题：当实数m为何值时，复数(m 5m 6) (m2 3m)i是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小例题：已知(x y 3) (x 4)i 0求x,y的值三、共轭复数a bi 与c di 共轭a c,b d(a,b,c,d R)z a bi的共轭复数记作z a bi，且z z a2b2四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
页脚内容2、复数的几何意义复数z a bi 与复平面内的点Z(a,b)及平面向量OZ (a,b)(a,b R)是一一对应关系(复数的实质 是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量) 相等的向量表示同一个复数例题：(1)当实数m 为何值时，复平面内表示复数z (m 2 8m 15) (m 2 5m 14)i 的点①位于第三象限；②位于直线y x 上(2) 复平面内AB (2,6)，已知CD//AB ，求CD 对应的复数 3、复数的模：向量0Z 的模叫做复数z a bi 的模，记作|Z 或|a bi|，表示点(a,b)到原点的距离，即 z a bi| Va 2 b 2， z若召 a bi ， z 2c di ，则忆 z 2|表示(a,b)到(c,d)的距离，即 |z ) z 2| J(a c)2―(b —dp 例题：已知z 2 i ，求|z 1 i|的值五、复数的运算(1)运算法则：设 Z 1 = a + bi ，z 2= c + di ， a ， b ， c ，d € R ① z ,九a bi c di (a c) (b d)i ② 召 z 2(a bi) (c di) (ac bd)(bc ad)i(a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i----------------------------= (c di) (c di) c 2 d 2(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行 •如图给出的平行四边形0Z 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即=+ ,二一 六、常用结论(1) i ，i 2 1，i 3 i ，i 41求i n ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次 例题：严 (2)(1 i)2 2i ，(1 i)2 2i),1 3、341 '3 3.(3) (i )1，( i) 12 2 2 2【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X” )(1)方程X 2 + x + 1 = 0没有解.( )③互 (a bi) Z 2(c di)⑵复数z= a+ bi(a, b€ R)中，虚部为bi.( )⑶复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )(4) 原点是实轴与虚轴的交点.()(5) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )【考点自测】1. (2015安徽)设i是虚数单位，则复数(1 —i)(1 + 2i)等于()A.3 + 3iB. —1 + 3iC.3 + iD. —1 + i2. (2015课标全国I)已知复数z满足(z—1)i = 1+ i，则z等于()A. —2—iB. —2+ iC.2 —iD.2 + i3. 在复平面内，复数6+ 5i，—2+ 3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.4 + 8iB.8 + 2iC.2+ 4iD.4 + i4. 已知a，b€ R，i是虚数单位若a+ i = 2—bi，则(a+ bi)2等于()A.3 —4iB.3 + 4iC.4—3iD.4 + 3i5. ______________________________ 已知(1+ 2i) = 4+ 3i，贝U z= .【题型分析】题型一复数的概念例1 ⑴设i是虚数单位若复数z= a—(a € R)是纯虚数，则a的值为()A. —3B. —1C.1D.3⑵已知a€ R，复数z1 = 2 + ai，z2= 1 —2i，若为纯虚数，则复数的虚部为()A.1B.iC.D.0⑶若Z1= (m2+ m+ 1)+ (m2+ m—4)i(m€ R)，Z2 = 3—2i，贝U“ m= 1” 是“Z1 = z2” 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件引申探究1. 对本例(1)中的复数z,若|z|=，求a的值.2. 在本例⑵中，若为实数，则a = ________ .思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项精心整理(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可•(2) 解题时一定要先看复数是否为a+ bi(a, b€ R)的形式，以确定实部和虚部⑴若复数z= (x2—1)+ (x—1)i为纯虚数，贝U实数x的值为()A. —1B.0C.1D.—1 或1⑵(2014浙江)已知i是虚数单位，a，b€ R，贝厂'a= b= 1”是“ (a+ bi)2= 2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2 (1)(2015湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()IA.iB. —iC.1D. —1⑵(2015北京)复数i(2 —i)等于()A.1 + 2iB.1 —2iC. —1+ 2iD. —1 —2i命题点2复数的除法运算例3 (1)(2015湖南)已知二1+ i(i为虚数单位)，则复数z等于()A.1 + iB.1 —iC. —1+ iD. —1 —i(2)()6+ = _________ .命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4 (1)(2015天津)i是虚数单位，若复数(1 —2i)(a+ i)是纯虚数，则实数a的值为 ____________ .页脚内容⑵（2014江苏）已知复数z= （5 + 2i）2（i为虚数单位），则z的实部为__ .命题点4复数的综合运算例5 （1）（2014安徽）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z= 1 + i，则+ i等于（）A. —2B. —2iC.2D.2i⑵若复数z满足（3 —4i）z= |4+ 3i|,则z的虚部为（）A. —4B. —C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略（1）复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.（2）复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幕写成最简形式.⑶复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a+ bi（a，b€ R）的形式，再结合相关定义解答.⑷复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a+ bi（a，b€ R）的形式，再结合复数的几何意义解答.（5）复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.精心整理（1）（2015山东）若复数z满足二i，其中i为虚数单位,则z等于（）A.1 —iB.1 + iC. - 1 —iD. - 1+ i2016_(3) + 2016=题型三复数的几何意义例6 （1）（2014重庆）实部为一2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限⑵△ ABC的三个顶点对应的复数分别为Z1, Z2, Z3，若复数z满足|z—Z1|= |z—Z2| = |z—Z3|,贝U z对应的点ABC的（）A.内心B.垂心C.重心D.外心思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可⑴如图，在复平面内，点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D⑵已知z是复数，z+ 2i、均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例已知x, y为共轭复数，且(x+y)2—3xyi = 4-6i，求x, y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法. (2) 本题求解的关键是先把x、y用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3) 本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解【方法与技巧】1. 复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2. 复数z= a+ bi(a，b€ R)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z= a+ bi(a，b€ R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识3. 在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加页脚内容法、减法相结合精心整理【失误与防范】1. 判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2. 两个虚数不能比较大小.3. 注意复数的虚部是指在a+ bi(a, b€ R)中的实数b,即虚部是一个实数.【巩固练习】I. (2015福建)若(1 + i) + (2 —3i) = a+ bi(a, b€ R, i是虚数单位)，则a, b的值分别等于() A.3 , —2 B.3,2C.3, —3D. —1,42•设z=+ i，则|z|等于()A.B.C.D.23. (2015课标全国n)若a为实数，且(2 + ai)(a —2i) = —4i，则a等于()A. —1B.0C.1D.24. 若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5. (2014江西)是z的共轭复数，若z+ = 2, (z—)i = 2(i为虚数单位)，则z等于()A.1 + iB. —1 —iC. —1 + iD.1 —i6. (2015江苏)设复数z满足z2= 3 + 4i(i是虚数单位)，则z的模为________ .7. __________________________________________________ 若二a+ bi(a, b为实数，i为虚数单位)，则a+ b = _______________________________________ .8. 复数(3 + i)m—(2 + i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________ .9. 计算:(1); (2); (3)+; (4).10. 复数Z1 = + (10—a2)i, z2=+ (2a —5)i，若 1 + z2是实数，求实数a 的值.【能力提升】II. 复数Z1, z2满足Z1 = m+ (4 —m2)i, z2= 2cos0+ ( A+ 3sin 圳(m,入0€ R),并且Z1 = z2,贝U 入的取值范围是()A.[ —1,1]B.C.D.12. 设f(n)= n+ n(n€ N*),则集合｛f(n)｝中元素的个数为()A.1B.2C.3D.无数个13. 已知复数z= x + yi，且z—2匸，则的最大值为 ______ .14. ___________________________________________________________________________ 设a€ R,若复数z=+在复平面内对应的点在直线x+ y= 0上，则a的值为_______________________ . 15. ________________________________________________________________ 若1 + i是关于x 的实系数方程x2+ bx+ c= 0的一个复数根，则b = ____________________________ , c= _________ .页脚内容【巩固练习参考答案】1A2B.3.B.4.D.5.D.6..738.mv.9•解⑴一―1— 3i.(2) = = = = + i.(3) + = + = + = — 1.(4) = = = = --- i .10. 解 i + Z 2=+ (a 2— 10)i + + (2a — 5)i = + [(a 2 — 10)+ (2a — 5)]i =+ (a 2 + 2a — 15)i.1 + Z 2是实数，•••a2 + 2a —15= 0,解得 a = — 5或 a = 3.又(a + 5)(a — 1)工0, •a M — 5 且 a ^ 1,故 a = 3.11. 解析由复数相等的充要条件可得化简得 4— 4coV 9=入 + 3sin 9,由此可得 =—4co$ 9- 3sin 9+ 4= — 4(1 — sin 29)— 3sin 9+ 4=4sin 2 9-3sin 9= 42—,因为 sin 9€ [ — 1,1],所以 4sin 2 9-3sin 9€ .答案 C12. 解析 f(n) = n + n = i n + (-i)n ,• b = — 2, c = 3.13.解析 T l z — 2|= = , •(X — 2)2 + y 2= 3.由图可知 max ==.14.解析 T z = + = + i , •依题意得+= 0,• a = 0. 15.解析 •••实系数一元二 「次方程X 2 + bx + c =0的一个虚根为1 + i , f(1) = 0, f(2)= — 2, f(3) = 0, f(4) = 2, f(5) = 0,….••集合中共有 3 个元素.答案 C•其共轭复数1 — i 也是方程的根.由根与系数的关系知,。
复数的知识点总结与题型归纳
1/ 9复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模．的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|.(3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． 说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)， 则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3) 分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 311.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 12．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷i)÷((c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i(c ＋d i ≠0)． 说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例典例]] 实数x 分别取什么值时，复数z＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数． (2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0题型二、复数相等[典例典例] ] 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.题型三：复数与点的对应关系[典例典例]] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内．在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的x 轴上方．轴上方．[解] (1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.题型四：复数的模[典例典例]] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±1±2i 2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[典例典例]] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C题型六：复数代数形式的加、减运算[典例典例]] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2)2题型七：复数加减运算的几何意义[典例典例]] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：求：(1) AO ――→表示的复数；表示的复数； (2)对角线CA ――→表示的复数；表示的复数； (3)对角线OB ――→表示的复数．表示的复数． [解] (1)因为AO ――→＝－OA ――→，所以AO ――→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA ――→＝OA ――→－－OC ――→，所以对角线CA ――→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB ――→＝OA ――→＋OC ――→，所以对角线OB ――→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.题型八：复数模的最值问题[典例典例]] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.B.112 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．的最大值和最小值．[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3， 因为|z+i|+|z-i|=2，|Z 1Z 2|=2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A(2)解：如图所示，解：如图所示， |OM ――→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.题型九：复数代数形式的乘法运算[典例典例]](1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( )A．2 B.1 2C．－12D．－2(2)(江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．[解析](1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，所以有2－a＝0,1＋2a≠0，解得a＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i 2＝5＋5i，所以z的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[典例典例]](1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为() A．3＋5i B．3－5iC．－3＋5i D．－3－5i(2)设i是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a为()A．2 B．－2C．－12 D.12[解析](1)∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝11＋7i2－i＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a5＋1＋2a5i，由1＋a i2－i是纯虚数，则2－a5＝0，1＋2a5≠0，所以a＝2.[答案](1)A(2)A题型十一：i的乘方的周期性及应用[典例典例]](1)(湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为() A．i B．－iC．1 D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.[解析](1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i 2 016)1－i ＝i[1－(i2)1 008]1－i＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)，∴i 1＋i2＋i3＋…＋i2 016，＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0. [答案](1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)(2)i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)。
完整版)复数知识点总结
完整版)复数知识点总结复数一、复数的概念1.虚数单位i虚数单位i的平方等于1，即i²= 1.实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律。
i的乘方：i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=1，i⁴ⁿ⁺³=i，n∈N*，它们不超出bi的形式。
2.复数的定义形如a+bi（a,b∈R）的数叫做复数，a,b分别叫做复数的实部与虚部。
3.复数相等a+bi=c+di，即a=c且b=d，那么这两个复数相等。
4.共轭复数当z=a+bi时，z的共轭复数为z=a bi。
性质：z=z；z₁±z₂=z₁±z₂；z₁×z₂=z₁×z₂；(z₂≠0)二、复平面及复数的坐标表示1.复平面在直角坐标系里，点z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴。
2.复数的坐标表示点Z(a,b)表示复数z=a+bi。
3.复数的向量表示向量OZ表示复数z。
4.复数的模在复平面内，复数z=a+bi对应点Z(a,b)，点Z到原点的距离OZ叫做复数z的模，记作|z|。
由定义知，|z|=√(a²+b²)。
三、复数的运算1.加法a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
几何意义：设z₁=a+bi对应向量OZ₁=(a,b)，z₂=c+di对应向量OZ₂=(c,d)，则z₁+z₂对应的向量为OZ₁+OZ₂=(a+c,b+d)。
因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释。
2.减法a+bi)(c+di)=(a c)+(b d)i。
几何意义：设z₁=a+bi对应向量OZ₁=(a,b)，z₂=c+di对应向量OZ₂=(c,d)，则z₁z₂对应的向量为OZ₁OZ₂=Z₂Z₁=(a c,b d)。
z₁z₂=(a c)+(b d)i=(a c)²+(b d)²表示Z₁、Z₂两点之间的距离，也等于向量Z₁Z₂的模。
(完整版)复数知识点归纳
复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。
全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。
(完整版)高考复数知识点精华总结
1.复数的概念: (1 )虚数单位i ;(2) 复数的代数形式z=a+bi , (a, b € R)； (3) 复数的实部、虚部、虚数与纯虚数 2 .复数集3 .复数a+bi(a, b € R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当 b=0时，a+bi 就是实数，当b 工0时，a+bi 是虚数，其中 a=0且b 工0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若 a=b=0，则a+bi=0是实数。
4. 复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， (1) 加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；(2) 减法:z1 - z2=(a1 - a2)+(b1 - b2)i ； (3) 乘法:z1 z 2=(a1a2 - b1b2)+(a1b2+a2b1)i;z-i (a-i a 2 t 1b 2) (a 2t 1 a-|b 2)i— 2~Z~2(4)除法：z 2a 2b 2;(5) 四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况 (6) 特殊复数的运算：n2①i (n 为整数)的周期性运算； ②(1 ± i) = ±2i ;丄 3③若 3 =- 2 + 2 i ，则 3 3=1 ， 1+ 3 + 3 2=0.5. 共轭复数与复数的模实数(b 复数 a bi (a, b R) 0)无理数(无限不循环小数)虚数(b纯虚数(a 0) 非纯虚数(a 0)(1 )若z=a+bi，则z a bi，z z 为实数,(2)复数z=a+bi 的模|Z|= b ,且z zz z为纯虚数(b工0).2|z| =a2+b2.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
4 •复数a+bi 的共轭复数是a - bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称 若b=0，贝U 实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。
复数知识点归纳
复数知识点归纳复数是英语语法中的重要部分，用来表示单个事物的数量为多于一个。
学好复数形式对于正确使用和理解英语至关重要。
下面是关于复数的知识点的归纳，希望对你有所帮助。
一、复数形式的一般规则- 对于大多数名词，复数形式是在词尾加上-s。
例如，book（书）的复数形式是books（书籍）。
- 对于以s、x、z、ch或sh结尾的名词，复数形式是在词尾加上-es。
例如，box（盒子）的复数形式是boxes（盒子们）。
- 对于以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，然后加上-es。
例如，baby（婴儿）的复数形式是babies（婴儿们）。
- 对于以元音字母+y结尾的名词，只需加上-s。
例如，toy（玩具）的复数形式是toys（玩具们）。
- 以-o结尾的名词通常在词尾加上-es，但也有一些例外。
例如，photo（照片）的复数形式是photos（照片们），而piano（钢琴）的复数形式是pianos（钢琴们）。
二、无变化的复数形式- 一些名词的复数形式与单数形式完全相同。
这些名词通常是从其他语言借用的，如Latin或Greek。
例如，deer（鹿）的复数形式也是deer（鹿）。
- 一些名词在表示数量时没有复数形式。
这些名词通常用作抽象概念或集体名词。
例如，information（信息）没有复数形式。
三、特殊的复数形式- 一些名词有特殊的复数形式，需要记住它们的形式变化。
例如，child（孩子）的复数形式是children（孩子们），man（男人）的复数形式是men（男人们）。
- 一些名词在复数形式中发生不规则的变化。
例如，foot（脚）的复数形式是feet（脚），tooth（牙齿）的复数形式是teeth（牙齿）。
四、可数名词与不可数名词- 可数名词是指可以使用数字来计数的名词，如books（书籍）或dogs（狗）。
可数名词可以有单数形式和复数形式。
- 不可数名词是指不可用数字计数的名词，例如water（水）或music （音乐）。
(完整版)复数知识点总结
(完整版)复数知识点总结复数是数学中的一个基本概念，特别是在代数和几何中扮演着重要角色。
以下是复数的知识点总结：1. 定义：复数是形如 a + bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。
2. 实部与虚部：对于复数 z = a + bi，a 称为它的实部（Re(z)），b 称为它的虚部（Im(z)）。
3. 共轭复数：一个复数 z 的共轭复数表示为 z* 或者z̅，定义为a - bi。
共轭复数在复平面上关于实轴对称。
4. 模与辐角：复数 z 的模（|z|）是其实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a² + b²)。
辐角（arg(z)）是从正实轴到复数在复平面上表示的向量的角度，通常用θ 表示。
5. 复数的乘法与除法：- 乘法：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法：(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c² + d²)] + [(bc - ad) / (c² + d²)]i6. 欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中 e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。
这个公式将复指数函数与三角函数联系起来。
7. 德摩弗定理：对于任何复数 z 和非零复数 w，有 (z/w) = (z - w) / (1 - wz)，这个定理在处理复数序列和级数时非常有用。
8. 复数的极限与连续性：复数的极限定义与实数类似，但需要考虑复平面上的点。
复数函数的连续性也可以用类似实数函数的方式定义。
9. 解析函数：如果一个复数函数 f(z) 在某个区域内的每一点都可微分，则称 f(z) 在该区域内解析。
柯西-黎曼方程是判断一个复函数是否可微分的必要条件。
10. 级数展开：复数函数可以通过泰勒级数或劳朗级数在复平面上展开。
复数知识点归纳
复数【知识梳理】一、复数的基本概念1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念（1）定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。
全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：#①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式（2）分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数虚数纯虚数二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等?注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小例题：已知0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、四、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅五、复数的几何意义1、复平面的概念(建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）相等的向量表示同一个复数例题：（1）当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上（2）复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、/4、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：已知i z +=2，求i z +-1的值五、六、复数的运算（1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±}②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(d c i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= （2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.七、常用结论（1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）!（3）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=- （4）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )%(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )【考点自测】1.(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于( )＋3iB.－1＋＋iD.－1＋i2.(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( )A.－2－iB.－2＋－＋i]3.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )＋＋＋＋i4.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位.若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2等于( )－＋－＋3i5.已知(1＋2i)＝4＋3i ，则z ＝________.【题型分析】题型一 复数的概念例1 (1)设i 是虚数单位.若复数z ＝a －(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ),A.－3B.－已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若为纯虚数，则复数的虚部为( )若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件引申探究1.对本例(1)中的复数z，若|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，若为实数，则a＝________.^思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A.－或1(2)(2014·浙江)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件(C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2015·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为().－.－1(2)(2015·北京)复数i(2－i)等于()＋－2iC.－1＋2iD.－1－2i]命题点2复数的除法运算例3(1)(2015·湖南)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于()＋－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2015·天津)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.(2)(2014·江苏)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________.!命题点4复数的综合运算例5(1)(2014·安徽)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数.若z＝1＋i，则＋i·等于()A.－2B.－若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A.－4B.－思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.、(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2015·山东)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z等于()－＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2016＝________.(3)＋2016＝________.题型三复数的几何意义^例6(1)(2014·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z 对应的点为△ABC的()A.内心B.垂心C.重心D.外心思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.。
(完整版)复数知识点精心总结
复数知识点考试内容：复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）；② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ；③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则ο1若021φz z +，则21z z -φ.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] ο2若21z z π，则021πz z -.（√）②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离.由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程.②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（φφ=-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.④），（2121202z z a a z z z z ππ=---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012πλλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012φλλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012φλλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012πλλλR z z ∈=. 注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-Λ.3. 共轭复数的性质：z z = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(= 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn 43421②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有③n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2 若ω是1的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 . 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：||||z z =.6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=.辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作z arg .注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值.②辐角是多值的，都相差2π的整数倍.③设,+∈R a 则πππ23)arg(,2arg ,)arg(,0arg =-==-=ai ai a a . ⑵复数的代数形式与三角形式的互化：)sin (cos θθi r bi a +=+，22b a r +=，r b r a ==θθsin ,cos . ⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r)]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r)]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r)]2sin()2[cos()cos (sin θπθπθθ-+-=+i r i r7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根a b x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根ab x 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a i b x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）. )(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωωωωωω②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8. 复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r )]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r 棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r n n +=+。
(完整版)复数知识点总结
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复数知识点总结
形成复数的常规规则
- 大多数名词在末尾加-s来表示复数，例如：books（书）
- 以ch、s、sh、x结尾的名词，在末尾加-es，例如：batches
（批次）
- 以辅音字母+y结尾的名词，将y变为i再加-es，例如：berries（浆果）
- 以f或fe结尾的名词，将f或fe变为v再加-es，例如：lives （生活）
- 以元音字母+o结尾的名词，直接加-s，例如：radios（收音机）不规则复数形式
- 一些名词的复数形式与单数形式完全不同，例如：children （孩子们），women（妇女）
- 一些名词的复数形式与单数形式相同，例如：sheep（羊），deer（鹿）
- 一些名词有两个形式，既可以用添加-s表示复数，也可以用不同的词来表示复数，例如：child（孩子/儿童），children（孩子们）
不可数名词
- 有些名词没有复数形式，称为不可数名词，例如：water （水），furniture（家具）
- 不可数名词没有复数形式，所以在句中要用单数形式的谓语动词，例如：The water is cold.（水是冷的）
- 不可数名词用来表示一种物质、一种液体、一种灵魂等抽象概念，不可分割为单个项目
总结
复数名词的形成有一些规则，但也存在一些例外情况。
对于无法确定的名词复数形式，可以查询相关资源以确保准确性。
在使用复数名词时，要根据具体的语境和语法规则来选择正确的形式。
同时要注意不可数名词的用法和特点。
(完整版)复数基础知识点
1、复数的定义：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，形如()a bi a b R +∈、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部 2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3.复数的几何意义对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z).z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
4. 两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a b c d R ∈，，，，）特别地，00a bi a b +=⇔==.5.复数的四则运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减； （3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ， 特别22z z a b ⋅=+；（4）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
(完整版)高三复数总复习知识点、经典例题、习题
复数.基本知识【1】复数的基本概念(1) 形如a + bi 的数叫做复数(其中a ，b R )；复数的单位为i ，它的平 方等于一1，即i 21.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部纯虚数：当a = 0且b(2) 两个复数相等的定义：0时的复数a+ b i 为纯虚数a bi c di a c 且b d (其中，a ， b ，c ,d , R )特别地 a bi 0 a b 0(3) 共轭复数：z a bi 的共轭记作z a bi ; (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi ，对应点坐标为p a,b ;(象限的复习)实数：当b = 0时复数 a + bi 为实数 虚数：当b 0时的复数a + bi 为虚数;设z 1 a 1bj ，Z 2a 2b 2i(1) 加法： Z 1 Z 2 a 1 a 2 b 1b 2 i ;(2) 减法： Z 1 Z 2 a 1 a 2th b 2 i ;(3) 乘法： Z 1 : Z 2 a ia2t 1b 2a2^ a 1b 2i特别 z z a 2 b 2。
(4) 幕运算:・1i i i 231 i4i i1 i.5 6i i1【3】 复数的化简c zadi( abi ,b 是均不为 0的实数) ;的化简就是通过分母实数化的方法将分母 化为实数：zc di c di a biac bdad bc i a bi a bi a bi2 ab 2对于:c di z a bi-a b 0， 当cab 时z :为实数; 当z 为纯虚数是z 可设为复数的基本运算【2】(5)复数的模：对于复数z bi ，\ a 2 b 2 叫做复数z 的模;二. 例题分析【例11已知z a 1 b 4 i ，求(1) 当a,b 为何值时z 为实数 (2) 当a,b 为何值时z 为纯虚数 (3) 当a,b 为何值时z 为虚数(4)当a,b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限A. 1 B . 0 C 1 D2 2【变式21求实数m 的值，使复数(m 2m 3) (m 3m 4)i 分别是：(1)实数。
(完整版)高三复数总复习知识点、经典例题、习题
复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解二． 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
英语复数知识点归纳
英语复数知识点归纳复数是英语中一种表示多个个体或物品的形式。
通常情况下，英语中的复数形式通过在名词后面添加特定的词尾来构成。
然而，构成复数形式并不仅仅是简单地添加一个词尾，还涉及到一些变化规则和例外情况。
以下是英语复数知识点的详细介绍。
1. 一般情况下的复数形式：大多数英语名词的复数形式是通过在词尾加上-s来构成的。
例如：- cat（猫）- cats（猫们）- book（书）- books（书籍）- house（房子）- houses（房屋）2. 以s, x, ch, sh或o结尾的名词：对于以s, x, ch, sh或o结尾的名词，其复数形式通常是在词尾加上-es。
例如：- bus（公共汽车）- buses（公共汽车）- box（盒子）- boxes（盒子）- bench（长凳）- benches（长凳）- tomato（西红柿）- tomatoes（西红柿）3. 以辅音字母+y结尾的名词：对于以辅音字母+y结尾的名词，其复数形式通常是将y改为i，再加上-es。
例如：- city（城市）- cities（城市）- baby（婴儿）- babies（婴儿）4. 以元音字母+y结尾的名词：对于以元音字母+y结尾的名词，其复数形式通常是在词尾加上-s。
例如：- day（天）- days（天）- boy（男孩）- boys（男孩）5. 以f或fe结尾的名词：对于以f或fe结尾的名词，其复数形式通常通过将f或fe改为v，再加上-es。
例如：- leaf（叶子）- leaves（叶子）- knife（刀）- knives（刀）6. 不规则的复数形式：英语中还存在一些不规则的复数形式，需要记忆和熟悉。
例如：- man（男人）- men（男人）- woman（女人）- women（女人）- child（孩子）- children（孩子）- tooth（牙齿）- teeth（牙齿）- mouse（老鼠）- mice（老鼠）7. 复数形式不变的名词：有一些名词的复数形式与单数形式相同，没有任何变化。
复数知识点归纳[整理]
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复数知识点归纳[整理]
一、复数的构成
1. 复数的构成主要有两种形式：一种是由名词和形容词构成的复数形式，比如：doctors（医生）、papers（文件）、children（儿童）等；另一种形式是由名词和“-s”组成的复数形式，比如：books（书）、tables（桌子）、windows（窗户）等。
2. 在复数的构成方面，还有一种名词发生变化的复数形式，如：man-men（男人）、sheep-sheep（绵羊）、foot-feet（足）等。
二、复数的发音规则
1. 对于以字母s、x、z、ch、sh结尾的复数形式，都要用“/z/”发音，如：books
的发音为 /bukz/、 boxes 的发音为 /bɑksɪz/、buzzes 的发音为 /bʌzɪz/ 等。
2. 对于以辅音字母加y结尾的复数形式，要将 y 变更为 i，并加上“-es”，末尾
发音变为“/iz/”，如：family 的发音为/fǎməli/、 families 的发音为/fǎmiliz/ 等。
三、复数的拼写规则
1. 对于以辅音字母+y结尾的复数形式，要将y变更为i，并加上“-es”，如：
family-families（家庭）、fly-flies（飞行）、city-cities（城市）等。
2. 对于以重读闭音节结尾的复数形式，如果末尾有一个元音字母，则要加上“-s”，如：head-heads（头）、life-lives（生活）、tooth-teeth（牙齿）等。
3. 对于以重读开音节结尾的复数形式，要加上“-es”，如：box-boxes（盒子）、brush-brushes（画笔）、church-churches（教堂）等。
复数知识点归纳
复数知识点归纳复数形式是英语中的一种语法形式，用来表示多个或者两个以上的事物。
掌握复数形式对于拓宽词汇量和正确表达意思至关重要。
本文将对英语中的复数形式进行归纳，以帮助读者更好地理解和运用。
1. 一般规则大多数英语名词的复数形式是在词尾加上-s，例如：- Book（书）→ books（书籍）- Cat（猫）→ cats（猫咪）- Dog（狗）→ dogs（狗狗）2. 以-s, -ss, -sh, -ch, -x, -o结尾的名词当名词以-s, -ss, -sh, -ch, -x, -o等结尾时，复数形式通常在词尾加上-es，例如：- Bus（公共汽车）→ buses（公共汽车）- Class（班级）→ classes（班级）- Box（盒子）→ boxes（盒子）需要注意的是，一些以-o结尾的名词复数形式是直接加上-s，不加-es，例如：- Piano（钢琴）→ pianos（钢琴）- Photo（照片）→ photos（照片）3. 以-f或-fe结尾的名词当名词以-f或-fe结尾时，复数形式通常将-f或-fe变为-ves，例如：- Leaf（树叶）→ leaves（树叶）- Knife（刀）→ knives（刀具）但是，也有例外情况，例如：- Chief（首领）→ chiefs（首领）4. 不规则复数形式除了一般规则外，英语中还存在一些不规则的复数形式，需要独立记忆。
以下是一些常见的不规则复数形式：- Child（孩子）→ children（孩子们）- Man（男人）→ men（男人们）- Woman（女人）→ women（女人们）- Tooth（牙齿）→ teeth（牙齿）- Foot（脚）→ feet（脚）- Mouse（老鼠）→ mice（老鼠）- Fish（鱼）→ fish（鱼）（表示多条鱼时）需要注意的是，不规则的复数形式在单复数形式上可能会有意思上的变化，因此需要记忆并熟练运用。
5. 复数形式与意义变化有些名词的复数形式与单数形式在意义上会有所变化。
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精心整理页脚内容 复数【知识梳理】一、复数的基本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =2（1①a z =（2例题：注意：三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
精心整理页脚内容2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）相等的向量表示同一个复数例题：（1）当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上（2）复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：已知i z +=2，求i z +-1的值 五、复数的运算（1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= （2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论（1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )..(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)中，虚部为b i.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(4)原点是实轴与虚轴的交点.()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2015·安徽)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i4.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a＋i＝2－b i，则(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1(1)设i是虚数单位.若复数z＝a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A.－3B.－1C.1D.3(2)已知a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为()A.1B.iC.D.0(3)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件引申探究1.对本例(1)中的复数z，若|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，若为实数，则a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项..精心整理(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2014·浙江)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2015·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2015·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2015·湖南)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2015·天津)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________. (2)(2014·江苏)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2014·安徽)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数.若z＝1＋i，则＋i·等于()A.－2B.－2iC.2D.2i(2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略页脚内容..(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2015·山东)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2016＝________.(3)＋2016＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2014·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()A.内心B.垂心C.重心D.外心思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围...精心整理页脚内容【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .思维点拨 (1)x ，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)1..2.复数z3.1.2.3.1.(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,42.设z ＝＋i ，则|z |等于( )A.B.C.D.23.(2015·课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( )A.－1B.0C.1D.24.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数的点是( )..A.EB.FC.GD.H5.(2014·江西)是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2015·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________.7.若＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).10.复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】11.复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.12.设f(n)＝n＋n(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为()A.1B.2C.3D.无数个13.已知复数z＝x＋y i，且|z－2|＝，则的最大值为________.14.设a∈R，若复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，则a的值为____________.15.若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________. 【巩固练习参考答案】1A.2.B.3.B.4.D.5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3...精心整理11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.页脚内容。