高中数学复数的知识点总结

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高中数学知识点总结复数根与复数方程

高中数学知识点总结复数根与复数方程高中数学知识点总结 - 复数根与复数方程数学中，复数是由实数和虚数部分组成的数。

复数可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位。

在高中数学中，掌握复数的根和方程是非常重要的一部分。

本文将对复数根和复数方程进行详细总结和解释。

一、复数根复数根指的是复数方程的解，即使得方程等式成立的复数值。

1. 复数根的定义对于一元复数方程 a_n z^n + a_(n-1) z^(n-1) + ... + a_1 z + a_0 = 0，其中 a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0 是实数且a_n ≠ 0，它的复数根可以表示为P(x+yi)，其中 x, y 是实数，i 是虚数单位。

2. 复数根的性质- 复数根以共轭成对出现。

如果 z = x+yi 是复数方程的根，那么它的共轭复数 z* = x-yi 也是该方程的根。

- 复数根的个数等于方程的次数。

对于一个 n 次复数方程，它最多有 n 个不同的复数根。

3. Euler 公式与复数根的关系Euler 公式为 e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中 e 是自然常数，i 是虚数单位。

对于复数根 z = x+yi，根据 Euler 公式，可以将其表示为z = r e^(iθ)，其中 r = |z| 是 z 的模长，θ 是 z 的辐角。

二、复数方程复数方程是指含有未知数的复数项，并且方程的等式也是一个复数。

解复数方程的过程是找出使方程成立的复数根。

1. 一元复数方程一元复数方程指的是仅含有一个未知数的复数方程。

- 一元线性复数方程一元线性复数方程的形式为 az + b = 0，其中 a, b 是已知复数，且a ≠ 0。

它的解为 z = -b/a。

- 一元二次复数方程一元二次复数方程的标准形式为 az^2 + bz + c = 0，其中 a, b, c 是已知复数，且a ≠ 0。

高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580教学内容

高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580专题二复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解二．例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1）当,a b 为何值时z 为实数（2）当,a b 为何值时z 为纯虚数（3）当,a b 为何值时z 为虚数（4）当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。

高中数学知识点总结及公式大全复数与复平面

高中数学知识点总结及公式大全复数与复平面高中数学知识点总结及公式大全：复数与复平面一、复数的引入与基本概念在高中数学中，复数是一个重要的概念，它是由实数与虚数部分构成的数。

引入复数的概念是为了解决一元二次方程无解的问题。

1.1 复数的定义复数的一般形式为：a + bi，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位。

1.2 虚数单位虚数单位i定义为：i² = -1，其中i为根号下-1。

1.3 复数的运算复数的运算与实数类似，具体规则如下：- 加法：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- 减法：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i- 乘法：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法：(a + bi)/(c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i]/(c² + d²)1.4 共轭复数对于复数a + bi，其共轭复数为a - bi。

二、复数在复平面中的表示与应用2.1 复平面的引入复平面是用来表示复数的平面，复数a + bi可以表示为复平面上的点P(x, y)，其中x为实部a，y为虚部b。

2.2 复平面的坐标表示复平面可以使用直角坐标系和极坐标系进行表示。

- 直角坐标系复平面上的点P(x, y)可以用直角坐标系表示，其中实部a对应x轴，虚部b对应y轴。

- 极坐标系复平面上的点P(x, y)可以使用极坐标表示，其中P的模为r = √(a² +b²)，辐角为θ = arctan(b/a)。

2.3 模的性质与运算复数的模表示复数到原点的距离，记作|z|。

复数的模具有以下性质：- |a + bi| = √(a² + b²)- |z1 z2| = |z1| |z2|- |z1/z2| = |z1| / |z2|2.4 辐角与复数的乘除复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角，记作arg(z)。

高中数学复数知识点总结

高中数学复数知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i²=-1）组成的数，一般形式为a+bi，其中a和b都是实数。

实数部分a称为复数的实部，虚数部分b称为复数的虚部。

2. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，即把实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

3. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，即把实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

4. 复数的乘法复数的乘法是通过分配律展开计算的，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=ac+(ad+bc)i+bd(-1)=ac-bd+(ad+bc)i。

5. 复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即分子和分母都乘以分母的共轭形式，然后进行化简，最终得到结果。

例如，(a+bi)/(c+di)的结果为[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

6. 复数的模复数z=a+bi的模记为|z|，它表示复数到原点的距离，它的计算公式为|a+bi| = √(a²+b²)。

7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭记为z，它表示实部不变，虚部相反数的复数，即z=a-bi。

8. 复数的极坐标形式复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arctan(b/a)。

9. 复数的三角形式复数z=r(cosθ+isinθ)的三角形式表示为z=r∙e^(iθ)，其中e^(iθ)=cosθ+isinθ，称为欧拉公式。

10. 复数的指数形式复数z=r∙e^(iθ)的指数形式表示为z=r∙exp(iθ)，其中exp表示自然底数e的指数函数。

11. 复数的乘方复数的乘方可以通过三角形式或指数形式进行计算，即z^n = |z|^n∙(cos(nθ)+isin(nθ))或z^n = |z|^n∙exp(inθ)。

高中数学知识点总结复数的指数形式与三角形式

高中数学知识点总结复数的指数形式与三角形式复数是数学中的一个重要概念，在高中数学中也是一个必学的知识点。

复数的指数形式和三角形式是复数的两种表示形式。

本文将对复数的指数形式和三角形式进行详细的总结与说明。

一、复数的指数形式复数的指数形式是指将复数表示为e的幂形式，即z = a + bi可以表示为z = re^(iθ)，其中r为模长，θ为辐角。

1. 模长的计算模长r表示复数与原点的距离，即r = |z| = √(a^2 + b^2)。

2. 辐角的计算辐角θ表示复数与实轴的夹角，可以通过使用反三角函数计算得出。

具体计算方式如下：θ = atan(b/a) (a > 0)θ = atan(b/a) + π (a < 0)θ = π/2 (a = 0, b > 0)θ = -π/2 (a = 0, b < 0)其中，atan为反三角函数，表示反正切函数。

3. 复数的指数形式表示将模长和辐角代入复数的指数形式z = re^(iθ)中，即可得到复数的指数形式表示。

二、复数的三角形式复数的三角形式是指将复数表示为三角函数的形式，即z = a + bi可以表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。

1. 模长的计算与指数形式相同，模长r表示复数与原点的距离，即r = |z| = √(a^2 + b^2)。

2. 辐角的计算与指数形式相同，辐角θ表示复数与实轴的夹角，具体计算方式如上所述。

3. 复数的三角形式表示将模长和辐角代入复数的三角形式z = r(cosθ + isinθ)中，即可得到复数的三角形式表示。

三、指数形式与三角形式的相互转换复数的指数形式和三角形式可以相互转换，转换方式如下：1. 从指数形式转换为三角形式给定复数的指数形式z = re^(iθ)，可以得到其三角形式表示为z =r(cosθ + isinθ)。

2. 从三角形式转换为指数形式给定复数的三角形式z = r(cosθ + isinθ)，可以得到其指数形式表示为z = re^(iθ)。

高中数学知识点总结复数与复平面的应用

高中数学知识点总结复数与复平面的应用高中数学知识点总结：复数与复平面的应用数学中的复数是由实数和虚数构成的。

虽然在实际应用中，我们更多地使用实数进行计算和描述，但复数在数学中具有广泛的应用。

本文将详细介绍高中数学中关于复数与复平面的知识点和应用。

一、复数的定义与表示复数是由实数和虚数构成的，虚数单位i 定义为√（-1）。

通常，复数可以表示为 z = a + b i，其中 a 和 b 都是实数，a 被称为复数的实部，b 被称为复数的虚部。

特别地，当 b = 0 时，复数 z 变为实数。

二、复数的加减乘除复数的加减法可以通过实部和虚部的运算进行，即将实部和虚部分别相加或相减。

例如，两个复数 z1 = a1 + b1 i 和 z2 = a2 + b2 i 的和为 z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i。

复数相乘的法则是先根据实数的乘法规则进行计算，然后使用虚数单位 i 的平方结果规约为 -1。

例如，z1 × z2 = (a1 + b1 i) × (a2 + b2 i)= a1a2 + a1b2 i + a2b1 i + b1b2 i^2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1) i。

复数的除法可以通过乘以共轭复数的逆元来实现，即 z1 ÷ z2 = z1 × (z2 的共轭复数) ÷ (z2 的模的平方)。

共轭复数是复数 z2 的实部取相反数而虚部保持不变的结果。

三、复数的绝对值和辐角复数的绝对值表示复数到原点的距离，也称为模。

复数 z = a + b i 的模记为 |z|，计算公式为|z| = √（a^2 + b^2）。

复数的辐角表示复数与正实轴（x 轴）之间的夹角。

辐角可以用反正切函数 atan2 的结果来计算，记为 arg(z) 或θ。

通常，辐角的范围是 -π 到π。

四、复平面及其应用复平面是一个由实数轴和虚数轴组成的平面。

202X年人教版高中数学第七章复数知识点总结归纳

千里之行，始于足下。

202X年人教版高中数学第七章复数知识点总结归纳202X年人教版高中数学第七章复数知识点总结归纳本章主要介绍了复数的概念、运算及其在代数方程中的应用，下面是该章节的知识点总结归纳：1. 复数的概念：复数是由实数和虚数部分构成的数，可以写成 a+bi 的形式，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。

2. 复数的表示形式：复数可以用实部和虚部表示，也可以用模和幅角表示。

- 实部：复数 a+bi 的实部是 a。

- 虚部：复数 a+bi 的虚部是 bi。

- 模：复数 a+bi 的模是 |a+bi| = √(a^2 + b^2)。

- 幅角：复数 a+bi 的幅角是 arg(a+bi)，其中 arg(a+bi) =arctan(b/a)。

3. 复数的运算：- 加法：复数的加法满足交换律和结合律，即 (a+bi) + (c+di) =(a+c) + (b+d)i。

- 减法：复数的减法可以化简为加法，即 (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

- 乘法：复数的乘法满足交换律和结合律，即 (a+bi) * (c+di) =(ac-bd) + (ad+bc)i。

- 除法：复数的除法可以化简为乘法，即 (a+bi) / (c+di) =((ac+bd)/(c^2+d^2)) + ((bc-ad)/(c^2+d^2))i。

4. 共轭复数：复数 a+bi 的共轭复数是 a-bi，记作 com(a+bi)。

- 共轭复数有以下性质：- 共轭复数的实部相等，虚部相反。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

- 一个复数与它的共轭复数的乘积是实数，即 (a+bi) * com(a+bi) = a^2 + b^2。

5. 复数等式的解法：- 复数等式的解法可以通过根据等式构造代数方程，然后利用方程的解法求解。

- 如果一个代数方程的根是复数，则它的共轭复数也是方程的根。

高中数学复数专题知识点整理和总结人教版61397

【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 【3】复数的化简c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c da b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解【例4】若复数()312a iz a R i +=∈-（i 为虚数单位），(1)若z 为实数，求a 的值 (2)当z 为纯虚，求a 的值.【变式1】设a 是实数，且112a ii -++是实数，求a 的值.. 【变式2】若()3,1y iz x y R xi+=∈+是实数，则实数xy 的值是 .【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第象限【变式1】i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1 D ．-1【变式2】已知1iZ＋=2+i,则复数z=（）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 【变式3】i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15【例8】（2012年天津）复数73iz i-=+= （）（A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --【变式4】（2007年天津）已知i 是虚数单位，32i 1i=- （）Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i -- 【变式5】.（2011年天津）已知i 是虚数单位，复数131ii--= （） A 2i +B 2i -C 12i -+D 12i --【变式6】（2011年天津）已知i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（）(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i【变式7】.（2008年天津）已知i 是虚数单位，则()=-+113i i i （）(A)1- (B)1 (C)i - (D)i。

高中数学复数知识点归纳

高中数学复数知识点归纳
1. 复数的定义
复数是由实数和虚数单位 i 组成的数，一般表示为 a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部。

2. 复数的运算
- 加法和减法：将实部和虚部分别相加或相减即可。

- 乘法：将实部和虚部分别相乘，并注意 i 的平方为 -1。

- 除法：将被除数、除数都乘以共轭复数的倒数，然后进行乘法运算。

3. 复数的性质
- 共轭复数：如果一个复数的虚部为 b，那么它的共轭复数为 a - bi，其中 a 是实部。

- 实部和虚部：一个复数的实部和虚部分别由复数的实数部分和虚数部分确定。

- 模和幅角：一个复数的模是它到原点的距离，可以用勾股定
理求得；一个复数的幅角则是它与实轴正半轴的夹角，可以用反正
切函数求得。

4. 复数的表示形式
- 代数形式：a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部。

- 柯西-黎曼方程形式：r(cosθ + isinθ)，其中r 是模，θ 是幅角。

5. 复数的应用
- 三角函数：可以使用欧拉公式将 cos 和 sin 函数表示为复数的
形式。

- 电流和电压：在电路分析中，使用复数可以方便地描述电流
和电压的相位和幅值关系。

- 矢量运算：复数可以表示为实部和虚部分别表示矢量的横纵
坐标，进行矢量的加减乘除运算。

以上是高中数学复数的主要知识点归纳，希望能对您有所帮助。

数学总结复数知识点高中

数学总结复数知识点高中一、复数的定义1、数学中，虚数单位i定义为i²=-1。

如果一个数是实数与虚数的和，那么它就是一个复数。

2、一般的复数可以表示为a+bi，其中a和b都是实数，a被称为实部，b被称为虚部。

3、复数集合的表示法有直角坐标系表示法和极坐标系表示法。

在直角坐标系中，复数可以表示为(a, b)，其中a是实部，b是虚部，也可以表示为a+bi；在极坐标系中，复数可以表示为(r, θ)，其中r是模，θ是幅角，也可以表示为r(cosθ + isinθ)。

二、复数的运算1、复数加减法（a+bi）+(c+di) = (a+c) + (b+d)i；（a+bi）-(c+di) = (a-c) + (b-d)i。

2、复数乘法（a+bi）*(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。

3、共轭复数如果一个复数为a+bi，它的共轭复数为a-bi。

4、复数除法（a+bi）/(c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)i/(c²+d²)。

三、复数的性质1、加法和乘法满足交换律和结合律。

2、复数与共轭复数的乘积等于模的平方。

3、对于任意非零复数z=a+bi，都有z*·z=|z|²。

4、复数的除法等于乘以被除数的倒数。

四、复数的应用1、复数在几何中的应用（1）复数可以用来表示平面上的点，便于描述平面上的旋转、平移等运动。

（2）复数可以用来表示向量，便于计算向量的模、夹角等。

2、复数在代数方程中的应用（1）解一元二次方程。

对于ax²+bx+c=0，其中a≠0，如果b²-4ac<0，可以用复数来表示方程的解。

（2）解线性代数方程组。

在线性代数中，利用复数可以方便地解决线性代数方程组的问题。

3、复数在电路中的应用在电路中，复数可以用来表示电流和电压，并且可以方便地计算电路的阻抗、频率响应等参数。

高中数学知识点归纳复数的应用

高中数学知识点归纳复数的应用在高中数学中，我们经常会遇到复数的应用。

复数是由实部和虚部组成的数，可以表达实际问题中的某些特性。

接下来，我将归纳总结一些高中数学中涉及到复数的应用知识点。

一、复数与平面几何在平面几何中，复数可以与向量相互转化。

假设复数 z = a + bi，其中 a 和 b 分别代表实部和虚部，那么可以将 z 视为平面上的一个点 P(x, y)，其中x = a，y = b。

这样，复数的加减乘除运算就对应了点的平移、旋转和缩放等几何变换。

1. 复数的加法和减法设 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i 是两个复数，它们的加法和减法运算如下：- 加法：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i- 减法：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i2. 复数的乘法和除法设 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i 是两个复数，它们的乘法和除法运算如下：- 乘法：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i- 除法：z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2) /(a2^2 + b2^2)]i二、复数与方程复数的引入，使得一些原本无解的方程也可以得到解决。

在高中数学中，我们常常会遇到二次方程和高次方程的求解问题。

1. 二次方程的根对于二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 均为实数且a ≠ 0，如果其判别式Δ = b^2 - 4ac 小于 0，那么方程没有实数根，但可以用复数根来表示。

复数根的计算如下：- 当Δ < 0 时，方程的两个根为 x1 = [-b + √(-Δ)] / (2a) 和 x2 = [-b -√(-Δ)] / (2a)2. 高次方程的根在解高次方程时，复数的引入可以帮助我们找到一些特殊的根。

高中数学知识点总结复数与复数运算之复数的三角形式与指数形式

高中数学知识点总结复数与复数运算之复数的三角形式与指数形式复数是高中数学中重要的概念之一，它在解决实际问题中有很大的作用。

本文将从复数的定义开始，详细介绍复数的三角形式和指数形式以及它们的运算规则。

一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，通常用字母z表示。

复数可以表示为z = a + bi，其中a和b分别是实部和虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

实部和虚部都是实数。

二、复数的三角形式复数的三角形式（也称极坐标形式）可以将复数表示为模和幅角的形式。

设z = a + bi是一个复数，它可以用模r和幅角θ表示，即z =r(cosθ + isinθ)。

其中，r为复数的模，θ为复数的幅角。

三、复数的指数形式复数的指数形式可以将复数表示为以e为底的指数函数的形式，即z = re^(iθ)。

其中，r是复数的模，θ是复数的幅角，e是自然对数的底。

复数的指数形式与三角形式是等价的，可以相互转换。

四、复数的运算规则1. 复数的加法和减法：将实部和虚部分别相加或相减即可，得到的结果仍为复数。

2. 复数的乘法：将复数的模相乘，幅角相加。

3. 复数的除法：将复数的模相除，幅角相减。

4. 复数的乘方：将复数的模的乘方，幅角乘以指数。

五、复数的应用复数在工程学和物理学等领域有广泛的应用。

在交流电路中，复数可以描述电压和电流的相位关系；在振动学中，复数可以描述振动的频率和幅度。

六、小结通过本文的介绍，我们了解了复数的定义、三角形式和指数形式以及它们的运算规则。

复数作为高中数学的基础知识，具有重要的理论意义和实际应用价值。

掌握复数相关的知识，有助于我们更好地理解和应用数学。

ending:这篇文章详细介绍了高中数学知识点中的复数及其运算规则，包括复数的三角形式和指数形式。

通过学习和掌握复数的知识，我们能够更好地理解和应用数学。

希望本文对读者在高中数学学习中有所帮助。

高中数学2-2复数总结(概念+例题)

一知识结构图二主要知识点1、基本概念 ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.⑵复数及其相关概念：① 复数—>形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）；② 实数—>当b = 0时的复数a + b i ，即a ；③ 虚数—>当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—>当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.整数有理数实数(0)分数复数(,)无理数(无限不循环小数)纯虚数(0)虚数(0)非纯虚数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩⑶两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.*若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2、复数与坐标、方程⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离.由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）. ④），（2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则 ①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. 注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- .3. 共轭复数的性质：z z = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(= 4、复数的四则运算若两个复数z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，（1）加法：z 1+z 2=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ；（2）减法：z 1－z 2=(a 1－a 2)+(b 1－b 2)i ；)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++（3）乘法：z1·z 2=(a 1a 2－b 1b 2)+(a 1b 2+a 2b 1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

高中复数知识点

高中复数知识点数学是一门让许多高中生头疼的学科，而复数更是其中的一个难点。

复数在高中数学中扮演着重要的角色，它不仅可以用于解决实数范畴内无解的方程，还有许多实际应用，如电路分析、信号处理等。

接下来，让我们深入探讨高中复数知识点。

一、复数的定义与表示复数是由实部和虚部组成的数。

一般情况下，我们用i表示一个数学单位，它满足i^2 = -1。

这样，我们可以用a + bi（其中a和b为实数）表示一个复数，其中a为实部，bi为虚部。

二、复数的运算1. 加法和减法：复数的加法和减法都是分别对实部和虚部进行运算。

例如，(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。

同样，(a + bi) - (c + di) = (a- c) + (b - d)i。

2. 乘法：复数的乘法可以使用分配律和i^2 = -1进行运算。

例如，(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2，根据i^2 = -1化简得到(ac - bd) + (ad + bc)i。

3. 除法：复数的除法是通过乘以共轭复数来实现的。

先将分母的共轭复数乘到分子和分母上，然后进行约分。

例如，(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c - di)/(c + di)(c - di) = (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc - ad)/(c^2 + d^2)i。

三、共轭复数与模1. 共轭复数：一个复数的共轭复数是将虚部的符号取反。

例如，如果z = a + bi，则它的共轭复数为z* = a - bi。

共轭复数具有一些重要的性质，如(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2，这个性质在求模时会用到。

2. 模：一个复数的模（或绝对值）是指它与原点之间的距离，可以用勾股定理计算。

例如，模为|a + bi| = √(a^2 + b^2)。

模有许多有趣的性质，例如|zw| = |z||w|，这可以帮助我们简化乘法和除法运算。

高中数学第七章复数易错知识点总结(带答案)

高中数学第七章复数易错知识点总结单选题1、已知复数z =(1−i )−m (1+i )是纯虚数，则实数m =（） A ．-2B ．-1C ．0D ．1 答案：D解析：利用纯虚数的性质可得m 的值.z =(1−i )−m (1+i )=1−m −(m +1)i ，因为z 为纯虚数且m 为实数，故{1−m =01+m ≠0，故m =1，故选：D2、在复平面内，复数1+i 的共轭复数所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D解析：求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限. ∵复数1+i 的共轭复数为1−i ， ∴其对应的点(1,−1)位于第四象限. 故选：D.小提示：本题考查复数的几何意义，属于基础题.3、已知z =a −2+(1+2a)i 的实部与虚部相等，则实数a =（） A ．2B ．−2C ．3D ．−3 答案：D分析：由题可得a −2=1+2a ，即得. 由题可知a −2=1+2a ，解得a =−3. 故选：D ． 4、2−i1+2i =（）A．1B．−1C．iD．−i答案：D分析：根据复数除法法则进行计算.2−i 1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i故选：D小提示：本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.5、若a,b∈R，i是虚数单位，a+2021i=2−bi，则a2+bi等于（）A．2021+2i B．2021+4i C．2+2021i D．4−2021i答案：D分析：根据复数相等可得a=2，−b=2021，进而即得.因为a+2021i=2−bi，所以a=2，−b=2021，即a=2，b=−2021，所以a2+bi=4−2021i．故选：D．6、欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e为自然底数，i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e2i在复平面内对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B分析：根据欧拉公式有e2i=cos2+isin2，判断cos2,sin2即可确定e2i对应点所在象限.由题意知：e2i=cos2+isin2，而π2<2<π，∴cos2<0,sin2>0，故e2i对应点在第二象限.故选：B7、已知复数z=2−i20171+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A分析：根据复数的运算，求得复数z ，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．复数z =2−i 20171+i =2−i 1+i =(2−i )(1−i )(1−i )(1+i )=1−3i 2=12−32i ，则z =12+32i所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(12,32)，位于复平面内的第一象限.故选：A8、下列命题正确的是（）A ．复数1+i 是关于x 的方程x 2−mx +2=0的一个根，则实数m =1B ．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，若|z 1|=|z 2|，则OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 重合C ．若|z −1|=|z +1|，则复数z 对应的点Z 在复平面的虚轴上(包括原点)D ．已知复数−1+2i ，1−i ，3−2i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ （i 是虚数单位，O 为复平面坐标原点，x ，y ∈R ），则x +y =1 答案：C分析：结合一元二次方程的复数根、复数模、复数对应点、向量运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.对于A ：复数1+i 是关于x 的方程x 2−mx +2=0的一个根，所以：(1+i )2−m (1+i )+2=0， 2i −m −mi +2=2−m +(2−m )i =0,2−m =0,m =2，故A 错误；对于B ：设复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，若|z 1|=|z 2|，即这两个向量的模长相等，但是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定重合，故B 错误；对于C ：若|z −1|=|z +1|，设z =x +yi (x,y ∈R )，故：√(x −1)2+y 2=√(x +1)2+y 2，整理得：x =0，故z =yi ，故C 正确；对于D ：已知复数−1+2i ，1−i ，3−2i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(3,−2)=x (−1,2)+y (1,−1)， (3,−2)=(−x,2x )+(y,−y )=(y −x,2x −y )，{y−x=32x−y=−2，解得：x=1，y=4，故x+y=5，故D错误．故选：C．多选题9、设z为复数，则下列命题中正确的是（）A．|z|2=zzB．z2＝|z|2C．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2D．若|z﹣1|＝1，则0≤|z|≤2答案：ACD分析：根据复数的运算法则，以及其几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 设z=x+yi(x,y∈R)，则z=x−yi，对A：|z|2=x2+y2=(x+yi)(x−yi)=zz，故A正确；对B：z2=(x+yi)2=x2−y2+2xyi≠x2+y2=|z|2，故B错误；对C：若|z|=1，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，而|z+i|表示复数z对应点到(0,−1)的距离，故当且仅当z对应点为(0,1)时，取得最大值2，故C正确；对D：若|z−1|=1，其表示复数z对应的点是以(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点，又|z|表示复数z对应点到原点的距离，显然|z|∈[0,2]，故D正确.故选：ACD.10、已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A．i+i2+i3+i4=0B．复数z=3−i的虚部为−iC．若z=(1+2i)2，则复平面内z对应的点位于第二象限D．已知复数z满足|z−1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线分析：根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.A选项，i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故A选项正确.B选项，z的虚部为−1，故B选项错误.C选项，z=1+4i+4i2=−3+4i,z=−3−4i，对应坐标为(−3,−4)在第三象限，故C选项错误.D选项，|z−1|=|z+1|=|z−(−1)|表示z到A(1,0)和B(−1,0)两点的距离相等，故z的轨迹是线段AB的垂直平分线，故D选项正确.故选：AD11、已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）A．若复数z=1+i1−i，则z30=−1B．若复数z满足|z−1|=|z−i|，则复平面内z对应的点Z在一条直线上C．若(x2−1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1D．复数z=2−i的虚部为−i答案：AB分析：根据复数的运算直接计算可知A；由复数的模的公式化简可判断B；根据纯虚数的概念列方程直接求解可知C；由虚部概念可判断D.对于A：因为z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i，所以z30=i30=i4×7+2=i2=−1，故A正确；对于B：设z=x+yi(x,y∈R)，代入|z−1|=|z−i|，得√(x−1)2+y2=√x2+(y−1)2，整理得y=x，即点Z在直线y=x上，故B正确；对于C：(x2−1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则{x 2−1=0,x2+3x+2≠0，即x=1，故C错误；对于D：复数z=2−i的虚部为−1，故D错误.故选：AB.12、已知复数ω=−12+√32i（i是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（）A．ω2=ω B．ω3=−1 C．ω2+ω+1=0 D．ω>ω分析：计算ω2可判断A ；计算ω3可判断B ；计算ω2+ω+1可判断C ；根据虚数不能比较大小可判断D. ∵ω=−12−√32i ， ∴ω2=14−√32i −34=−12−√32i =ω，故A 正确，ω3＝ω2ω＝(−12−√32i)(−12+√32i)=14−(−34)＝1，故B 错误，ω2+ω+1=−12−√32i −12+√32i +1＝0，故C 正确；虚数不能比较大小，故D 错误. 故选：AC ．小提示：本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．难度中等． 13、已知a ，b ∈R ，(a −1)i −b =3−2i ，z =(1+i )a−b ，则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部是2i B ．|z |=2C ．z =−2iD ．z 对应的点在第二象限答案：BC分析：根据复数相等的定义，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征逐一判断即可.由复数相等可得{−b =3,a −1=−2,解得{a =−1,b =−3,所以z =(1+i)a−b =(1+i)2=2i ，对于A ，z 的虚部是2，故A 错误；对于B ，|z|=|2i|=2，故B 正确；对于C ，z =−2i ，故C 正确；对于D ，z 对应的点在虚轴上，故D 错误. 故选：BC 填空题14、已知复数z 1＝3－bi ，z 2＝1－2i ，若z1z 2是实数，则实数b ＝________.答案：6分析：化简z1z 2，利用虚部为零，计算出b 即可.z 1z 2＝3−bi 1−2i ＝(3−bi)(1+2i)(1−2i)(1+2i)＝3+2b+(6−b)i5，∵z 1z 2是实数，∴6－b ＝0，即b ＝6.所以答案是：615、若z ∈C ，且2z−5=i ，则Re(z)=________. 答案：5分析：推导出(z −5)i =2，从而z =2i +5=5−2i ，由此能求出Re (z ).解：∵z ∈C ，且2z−5=i ， ∴(z −5)i =2，∴z =2i +5=5+2ii 2=5−2i ， ∴Re (z )=5. 所以答案是：5.小提示：本题考查复数的实部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.关键是利用复数的运算求出z 的标准形式，并注意准确掌握实部的概念.16、已知复数z 1=1+3i ，z 2=t +i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2是实数，则实数t =___________. 答案：13分析：由共轭复数定义和复数乘法运算可求得z 1⋅z 2，利用实数定义可构造方程求得t . ∵z 1⋅z 2=(1+3i )⋅(t −i )=(t +3)+(3t −1)i 为实数，∴3t −1=0，解得：t =13. 所以答案是：13.解答题17、已知点P(√3,1),Q (cosx,sinx ),O 为坐标原点，函数f (x )=OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若A 为△ABC 的内角，f (A )=4,BC =3，求△ABC 周长的最大值. 答案：(1)2π(2)3+2√3分析：（1）先利用向量数量积和辅助角公式化简得到f (x )=4−2sin (x +π3)，进而求出最小正周期；（2）利用余弦定理求出(b +c )2−9=bc ，使用基本不等式求出b +c ≤2√3，进而得到△ABC 周长的最大值. (1)f (x )=OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1)⋅(√3−cosx,1−sinx)=3−√3cosx +1−sinx =4−2sin (x +π3)故f (x )的最小正周期T =2π， (2)f (A )=4−2sin (A +π3)=4，解得：sin (A +π3)=0，而A ∈(0,π)，故A +π3∈(π3,4π3)，故A +π3=π，所以A =2π3；又BC =3，设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,由余弦定理得：cosA =b 2+c 2−92bc=−12，所以(b +c )2−9=bc ，又bc ≤(b+c )24，故(b +c )2−9≤(b+c )24，解得：b +c ≤2√3，当且仅当b =c =√3时等号成立，故a +b +c ≤3+2√3，即△ABC 周长的最大值为3+2√3. 18、已知O 为坐标原点，向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ､OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别对应复数z 1，z 2，且z 1=3a+5+(10−a 2)i ，z 2=21−a+(2a −5)i(a ∈R)，若z 1+z 2是实数. (1)求实数a 的值；(2)求以OZ 1､OZ 2为邻边的平行四边形的面积. 答案：(1)a =3 (2)118分析：（1）由已知结合z 1+z 2为实数求得a 的值，（2）求得OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的点的坐标，再由OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值计算夹角的正余弦，则可求面积．（1）由z 1=3a+5+(10−a 2)i ，得z 1=3a+5−(10−a 2)i ，则z 1+z 2=3a+5+21−a +[(a 2−10)+(2a −5)]i 的虚部为0，∴a 2+2a −15=0．解得：a =−5或a =3．又∵a +5≠0，∴a =3．（2）由（1）可知z 1=38+i ，z 2=−1+i ．OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(38，1)，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1)．∴OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =58．所以cos 〈OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=58√64⋅√2=√146，所以sin 〈OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=√146，所以以OZ 1､OZ 2为邻边的平行四边形的面积S =|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin 〈OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=118。

根据高中数学复数定理总结

根据高中数学复数定理总结
复数定理是高中数学中的重要概念之一。

它涉及到复数的性质和运算规则。

以下是我对高中数学复数定理的总结：
1. 复数的表示：复数由实部和虚部组成，可以用 a + bi 的形式表示，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。

2. 基本运算规则：
- 复数加减法：实部和虚部分别进行相加或相减。

- 复数乘法：应用分配律，将每一项相乘后再合并。

- 复数除法：将除数与分子都乘以共轭复数，然后按照乘法的规则进行计算。

3. 模的定义与性质：
- 复数的模表示复数的绝对值，可以用 |z| 表示。

- 复数的模满足非负性、正定性和三角不等式。

4. 共轭复数：
- 复数的共轭复数表示虚部符号取反的复数，可以用 z* 表示。

- 共轭复数的性质包括实部相同、虚部相反等。

5. 复数的指数形式：
- 复数可以表示为指数形式z = R*e^(iθ)，其中 R 是模，θ 是辐角。

- 指数形式可以方便地进行复数的乘法和除法。

6. 配方公式：
- 利用复数的配方公式，可以解决关于二次方程的问题。

高中数学复数定理的掌握对于进一步研究高等数学和物理等学科有很大的帮助和意义。

通过对复数的深入理解和灵活运用，可以解决更加复杂的数学问题。

同时，复数的理论和运算也在实际生活和科学研究中有广泛应用。

以上是我对高中数学复数定理的简要总结，希望对你有帮助。

高中复数知识点高一

高中复数知识点高一复数是数学中重要的概念，我们在高中数学学习中也会接触到复数的相关知识。

本文将介绍高中一年级学生需要了解的复数知识点。

一、复数的定义与表示方法复数由实部和虚部两部分组成，用a+bi表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。

常见的复数表示方法有“标准形式”和“三角形式”。

标准形式：a+bi，其中a、b均为实数；三角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。

二、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加；2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减；3. 复数的乘法：根据分配律，将实部和虚部进行分别乘法再相加；4. 复数的除法：将除数和被除数都乘以共轭复数，再按照乘法规则进行运算。

三、复数的共轭与模1. 共轭复数：将复数中的虚部取相反数，得到的新复数称为共轭复数，用“~”表示。

例如：若z=a+bi，则共轭复数为~z=a-bi；2. 模：复数z的模表示复数z到原点的距离，用|z|表示，其计算公式为|z|=√(a²+b²)。

四、复数的指数形式与三角形式之间的转换1. 指数形式：z=r*e^(iθ)，其中r为模，θ为辐角；2. 三角形式：z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。

根据欧拉公式，e^(iθ)=cosθ+isinθ。

五、复数的乘除法的几何意义1. 复数的乘法：将复数看作平面上一个点，复数的乘法相当于将该点绕原点进行旋转和缩放；2. 复数的除法：将复数看作平面上一个点，复数的除法相当于将该点绕原点进行旋转和缩放。

六、复数在方程中的应用1. 一元二次方程的根：当二次方程无实根时，解可以是复数。

解可以为 a+bi 或者 a-bi 的形式；2. 解析几何方程：解析几何中的有些问题，不能用实数进行表示，需要用到复数进行计算。

总结：高中一年级的学生需要了解复数的定义、表示方法、四则运算规则、共轭与模、指数与三角形式的转换、乘除法的几何意义以及复数在方程中的应用。