单因素方差分析模型
单因素试验的方差分析——概率论与数理统计(李长青版)
其次, 同一品种下数据表现出来的差异称为试验(随
机)误差, 这是由客观条件的偶然干扰造成, 与因素(品种) 无直接联系.
方差分析正是分析两类误差的有效工具.
本问题只考虑品种一种因素,故是单因素试验,即只有
一个因子,记为 A, 5个不同的品种就是该因子的5个不同 的水平,分别记为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , 由于同一品种在不 同的田块上的亩产量不同,故可以认为一个品种的亩产 量 就是一个母体,在方差分析中,总是假定各母体相互独 立地服从同方差的正态分布,即第 j 个品种的亩产量是 一个随机变量,它服从正态分布:
nj
ns , 称为总平均,
它是从 s 个总体中抽得的样本的样本均值.
用样本值 xij 与总平均
x 之间的偏差平方和来反映
种子品种代 号 (水平)
重复试验序号及作物实测产量 1 128 125 148 2 126 137 132 3 139 125 139 4 130 117 125 5 142 106 151 133 122 139
A1 A2
A3
这里试验的指标是作物产量, 作物是因素, 三种种 子品种代表三个不同的水平. 首先,形成数据差异的直接原因是种子的不同品 种.因此, 每个品种下产量的均值差异检验是我们的主 要任务.这种由因素(种子品种)造成的差异称为条件(系 统)误差.
H 0 : 1 2 s 0, H1 : 1 , 2 , , s 不全为零.
(二) 离差平方和分解 引入记号
nj
1 xj nj
s
x
i 1
ij
( j 1, 2,
, s) 水平Aj下的样本均值,
称为组内平均(或列平均)
单因素方差分析
2.0
0.7
1.5
0.9
0.9
0.8
1.1
-0.3
-0.2
0.7
1.3
1.4
概率论与数理统计
3
❖ 前言 方差分析的思想
➢ 我们可以计算出各组的均值与方差,但是如何通过这些数据 结果来判断呢?这就需要进行方差分析.
➢ 在实际问题中, 影响一个数值型随机变量的因素一般会有很多, 例如影响农作物产量的因素就有种子品种,肥料、雨水等; 影 响化工产品的产出率的因素可能有原料成分、剂量、催化剂 、反应温度、机器设备和操作水平等;影响儿童识记效果的 因素有教学材料、教学方法等. 为了找出影响结果(效果)最显 著的因素, 并指出它们在什么状态下对结果最有利, 就要先做 试验, 方差分析就是对试验数据进行统计分析, 鉴别各个因素 对对我们要考察的指标(试验指标)影响程度的方法.
概率论与数理统计
7
❖ 1.单因素试验的方差 概念
➢ 推断三种治疗方案是否存在差异的问题,就是要辨别治 疗方案的差异主要是由随机误差造成的,还是由不同方 案造成的,这一问题可归结为三个总体是否有相同分布 的讨论.根据实际问题的情况,可认为血红蛋白的增加 值服从正态分布,且在安排试验时,除所关心的因素( 这里指的是这里方案)外,其它试验条件总是尽可能做 到一致,这就使我们可以近似的认为每个总体的方差相 同,即xi~N(μi,σ2) i = 1,2,3.
概率论与数理统计
❖2. 单因素方差分析的数学模型
➢ 单因素方差分析问题的一般提法为: ➢ 因素A有m个水平A1, A2, …, Am, 在Ai水平下, 总体Xi~N(μi,
σ2), i = 1, 2, …, m.其中μi和σ2均未知, 但方差相等, 希望 对不同水平下总体的均值进行比较. 设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m), 由于Xij~N(μi, σ2), i = 1, 2, …, m.单因素方差分 析模型常可表示为:
单因素试验的方差分析
其中
r n i
2r
2
S S A X iX n i ii
i 1j 1
i 1
组间平方和(系
如果H0 成立,则SSA 较小。 统离差平方和)
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。
其中
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
r ni
2 r ni
2
由P106定理5.1可推得:
S S 2 T~2 n 1 ,S S 2 A ~2 r 1 ,S S 2 E ~2 n r
将 分别SS记2T 作, SS2A
,
SSE
2
的自d由fT度,dfA,dfE
则 FSSA dfA~Fr1,nr
SSE dfE
(,称记作均S S 方A 和d f)A M S A ,S S Ed fE M S E
j1
i1
同一水平 下观测值 之和
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪,得一个月后每猪 所增体重(单位:500g)于下表,试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25
26
C
23
28
解:T1 51404348182, T2 232526 74, T3 232851
F0.012,610.92
1 5 .0 3
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
输入原始数 据列,并存 到A,B,C 列;
各水平数据放同一列
各水平数据 放在不同列
生物统计-8第八章单因素方差分析
01
确定因子和水平
确定要分析的因子(独立变量) 和因子水平(因子的不同类别或 条件)。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平,建立方差分析 模型。模型通常包括组间差异和 组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件, 包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验,以评估组间差异是否 显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析,我们可以确定分 类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变 异,如果存在多个因素引起的变异,单因 素方差分析可能无法准确反映实际情况。 此时需要考虑使用其他统计方法,如多元 方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件 实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel,输入数据。
点击“确定”,即可得到单因素方差分析 的结果。
输出结果,并进行解释和 解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域,经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如,研究不同品种 的玉米对产量的影响,或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析(ANOVA)是一种统计技术,用于比较两个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。在单因素方差分析中,我们只有一个分类变量。
单因素试验的方差分析
=
2 2
=
2 s
2
;
(3)从每个总体中抽取的样本相互独立.
那么,要从已知数据中推断 s 个总体是否具有显著 的差异,就要比较各个总体的均值是否相等.设第 j 个总
体的均值为 j ,则要检验的假设为
H0 : 1 2 s , H1 : 1, 2 , , s不全相等.
(8-1)
单 因 素 A 具 有 s 个 水 平 A1, A2 , , As , 在 每 个 水 平
推进器 B
A1
B1
58.2 52.6
B2
56.2 41.2
B3
65.3 60.8
燃料 A
49.1 54.1 51.6 A2 42.8 50.5 48.4
60.1 70.9 39.2 A3 58.3 73.2 40.7
75.8 58.2 48.7 A4 71.5 51.0 41.4
这里的试验指标是射程,推进器和燃料是因素, 它们分别有 3 个、 4 个水平.这是一个双因素试验.试 验的目的在于考察在各种因素的各个水平下射程有 无显著的差异,即考察推进器和燃料这两个因素对射 程是否有显著的影响.
H1 : 1,2 ,
,
不全为0.
s
1.3 偏差平方和及其分解
定义 8.2 方和,其中
s nj
称 ST (Xij X )2 为样本的总偏差平 j 1 i1
称为样本的总均值.
1 s nj
X n j1 i1 X ij
s nj
定义 8.3 称 SE =
( Xij X .j )2 为样本的误差平方
差. SA 体现了各水平 Aj 的样本均值 X j 与总均值 X 之间
的差异,反映了样本之间的不同,它是由因素 A 的不同水 平效应的差异以及随机误差引起的.
第9.1节 单因素试验的方差分析——概率论与数理统计(李长青版)
ES A ( s 1) 2 n j 2 j
j 1
s
由此得
Se 2 E , ns
1 s SA 2 2 E n j j s 1 s 1 j 1
在 H0 为真时, 即 1 2 s 0 时, 有
S A ( s 1) 将 从而在 H0 不真时, 比值 S ( n s ) 有偏大的趋势, 其 e
S A ( s 1) . 记为 F, 即 F Se (n s )
则 F 可以作为检验 H0 的统
计量. 将 Se 写成如下分项相加的形式
Se ( xi1 x1 ) 2 ( xi 2 x2 ) 2 ( xis xs ) 2
的 影响.
种子品种代 号 (水平) 重复试验序号及作物实测产量
1 128 125 148 2 126 137 132 3 139 125 139 4 130 117 125 5 142 106 151 133 122 139
A1 A2
A3
这里试验的指标是作物产量, 作物是因素, 三种种 子品种代表三个不同的水平. 首先,形成数据差异的直接原因是种子的不同品 种.因此, 每个品种下产量的均值差异检验是我们的主 要任务.这种由因素(种子品种)造成的差异称为条件(系
s nj
从而有
Se ( ij j ) ,
2 j 1 i 1
s
nj
S A n j ( j j ) 2
j 1
s
由此知, Se 反映了误差的波动, 称其为误差的偏差 平方和(或称为组内平方和), 它集中反映了试验中与因 素及其水平无关的全部随机误差. 在 H0 为真时, SA 反 映误差的波动, 在 H0 不真时, SA 反映因子A 的不同水
单因素方差模型
单因素方差模型单因素方差模型是统计学中常用的一种假设检验方法,用于比较不同组别之间的平均值是否存在显著差异。
该模型基于方差分析的原理,通过计算组间方差与组内方差的比值来判断组别之间是否存在显著差异。
本文将详细介绍单因素方差模型的基本原理、假设检验的步骤以及实际应用。
一、单因素方差模型的基本原理单因素方差模型是一种多组别比较的统计方法,适用于一个自变量(因素)下有两个或多个组别的情况。
该模型的基本原理是通过比较组间方差与组内方差的大小来判断组别之间的平均值是否存在显著差异。
具体而言,假设有k个组别,每个组别的样本量分别为n1、n2、…、nk,总样本量为N=n1+n2+…+nk。
设第i个组别的均值为μi,总体均值为μ。
则单因素方差模型可以表示为:Yij = μ + αi + εij其中,Yij表示第i个组别中第j个观测值,μ表示总体均值,αi表示第i个组别的效应,εij表示误差项。
二、假设检验的步骤单因素方差模型的假设检验分为以下几个步骤:1. 建立假设:- 零假设(H0):各组别的均值相等,即μ1 = μ2 = … = μk。
- 备择假设(H1):至少存在一对组别的均值不相等。
2. 计算组间平方和(SSB):组间平方和表示各组别均值与总体均值之间的差异程度,计算公式为:SSB = Σ(ni * (mean(Yi) - mean(Y))^2)3. 计算组内平方和(SSW):组内平方和表示各组别内部观测值与组别均值之间的差异程度,计算公式为:SSW = ΣΣ((Yij - mean(Yi))^2)4. 计算F统计量:F统计量是组间均方与组内均方的比值,计算公式为:F = (SSB / (k-1)) / (SSW / (N-k))5. 判断显著性:- 如果F统计量大于临界值(根据显著性水平和自由度计算),则拒绝零假设,说明各组别的均值存在显著差异。
- 如果F统计量小于等于临界值,则接受零假设,说明各组别的均值没有显著差异。
单因素试验的方差分析
单因素试验的方差分析
在方差分析中,我们将要考察的指标称为试验指标,影响 试验指标的条件称为因素(或因子),常用A、B、C, …来表示. 因 素可分为两类,一类是人们可以控制的;一类是人们不能控 制的。 例如,原料成分、反应温度、溶液浓度等是可以控制 的,而测量误差、气象条件等一般难以控制。 以下我们所说 的因素都是可控因素,因素所处的状态称为该因素的水平。 如果在一项试验中只有一个因素在改变,这样的试验称为单 因素试验,如果多于一个因素在改变,就称为多因素试验.
一、单因素试验方差分析的统计模型
例9.1 为求适应某地区的高产水稻的品种( 因素或因子) , 现选了 五个不同品种( 水平)的种子进行试验, 每一品种在四块试验田上进 行试种。假设这 20块土地的面积与其他条件基本相同, 观测到各块 土地上的产量( 单位: 千克) 见表9–1。
在这个问题目中, 要考察的指标是水稻的产量, 影响产量的因
分析的统计模型 .
方差分析的任务是对于模型(9. 1 ) , 检验 s 个总体 N ( 1 , 2) , …, N
( s , 2)的均值是否相等, 即检验假设
H0 : 1 2 s H1 : 1 , 2 , s , 不全相等。
(9.2)
为将问题( 9. 2 ) 写成便于讨论的形式, 采用记号
s nj
ST
(xij x)2
j1 i1
(9.3)
这里
x
1 n
s j 1
nj i1
xij ,
ST能反应全部试验数据之间的差异,又称
为总变差 Aj下的样本均值
x
j
1 n
nj i1
xij
(9.4)
注意到
(xij x )2 (xij x j x j x )2 =(xij x j )2 (x j x )2 2(xij x j )(x j x )
31单因素方差分析-文档资料
② 从 Yi 中抽取的样本 yi1, yi2 ,, yini 相互独立.
则 yij ~ N(i , 2 ) 且相互独立, j 1, 2,, ni 令 ij yij i ~N(0,2)
则 yij i ij ---均值 i 与随机误差 ij 迭加
ST SSA SSE S
总离差 回归平 平方和 方和
残差平 方和
总平方 因素平 偏差平
和
方和
方和
变量•• 自回(变归定定计量分性量量:析变非量不随取)机可值量可化量(化因计 计回素数 量归)用给变 变分语变量 量析言量 或赋不连代值••连续自方号(续变取赋差标量取值分予明((析因值(代定属 身素(码性,次性 高)标(:变性温数,量明 非人别度),随一数,机)品,二)种等))
11 , 12 ,, 1n1
ni
1 1 j / n1 j 1
Ai N (i , 2 )
……
yi1, yi2 ,, yin1i
ni
yi yij / ni j 1
i1, i2 ,, ini
ni
i ij / ni j 1
Aa N (a , 2 )
则 i i
表明第 i 个总体均值是一般平均
与效应的迭加,总效应为 0.
5
因素 A 各水平下 的水平 总体
因变量 Y 各水平下样本
表 3.1
因变量 Y 各水平下均值
各水平下 随机误差
各水平下 随机误差均值
A1 N (1, 2 )
……
y11, y12 ,, y1n1
n1
y1 y1 j / n1 j 1
Y的 总变化
One-Way_ANOVA单因素方差分析
i1 ,2 ,,a j1 ,2 ,,n
模型中的xij是在第i次处理下的第j次观测值。μ是总
平均数。αi是对应于第i次处理的一个参数,称为 第i次处理效应(treatment effect)。εij是随机误差, 是服从N(0,σ2)的独立随机变量。
方差分析原理
固定因素:
①因素的a个水平是人为特意选择的。 ②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。
固定效应模型其中是处理平均数与总平均数的离差因这些离差的正负值相抵因此如果不存在处理效应各ijij平方和的分割总平方和处理平方和误差平方和自由度的分割总自由度处理自由度误差自由度msssdfmsssdf处理均方误差均方固定效应模型单因素固定效应模型的方差分析表处理效应对均方的贡献固定效应模型dfdf若零假设成立不存在处理效应则组内变异和组间变异都只反映随机误差的大小此时处理均方和误差大小相当f值则接近1各组均数间的差异没有统计学意义
Within 1G5r.o5u8p0s
20
.779
Total 147.320
24
Between Groups: 处理间 Within Groups: 处理内
Sig. .000
F4,20=42.279,P≈0.000<0.01。因此,上述 5个小麦品系的株高差异极显著。
多重比较
当 对方 之差 间分 存析 在拒显绝著差H0异,,为须探对究各具处体理是平在均哪数些之组 间进行逐对比较,即多重比较(multiple comparison)— post-ANOVA analysis (Post Hoc test)。
2
an
an
2
xij xi 2
xij xi xix
xi x
i1 j1
第13讲-方差分析-单因素模板资料讲解
不多的土地分成16块,肥料品种A1、A2、 A3 、A4,每种肥料施在四块土地上,得亩产:
因素:肥料
指标:亩产
肥料品种
水平:
A1 A2
品种
A3
A4
四种肥料的亩产量
亩产量(观察值) 981 964 917 669 607 693 506 358 791 642 810 705 901 703 792 883
实例1. 对某种型号的电池进行抽查,随机抽取了来自
A,B,C三个工厂的产品,测得其寿命(h )见下表,设各
工厂所生产的电池的寿命服从有相同方差的正态分布,
问这三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著差异?
电池的寿命(h)
A1
A2
A3
37 60 95
69
47 86 98
100
40 67
98
60 92
在此实例中, 指标:电池的寿命; 因素: 生产电池的工厂; 水平: 工厂A1、A2、A3
2)、什么是方差分析 检验多个母体平均数是否相等
*手段:分析数据的误差判断各母体均值是否相等
3.方差分析的基本原理
【例】为了对几个行业的服务质量进行评价 ,消费者协会在四个行业分别抽取了不同的 企业作为样本。最近一年中消费者对总共23 家企业投诉的次数如下表
观测值
1 2 3 4 5 6 7
消费者对四个行业的投诉次数
第13讲-方差分析-单因素模板
1.起源
ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创,为纪念Fisher,
以F命名,故方差分析 又称 F 检验 (F
test)。
2.什么是方差分析(ANOVA)
单因素方差分析的数学模型及其应用
n*:ri|
sE,sE即为组内平方或者误差平方。 At水平下的样本平均值与总平均值之间的差异和则表示为 S一,其是r个总体平均值的差异,由于i是第i个总体的样本平 均值,可见r个总体平均值的差异越大,其对应的样本均值差异 也就越大。这些差异的大小度量则表示为∑qfi.一0 2,其中弛
表示第i个总体样本大小在平方和s^中的作用,S.表示为因素A 的组间平方和或者效应平方和。
^3弼19.2 12t珩.4 lb.27了1.I拍c—06南古奔 R-,++h+al-竭2445
tro【a}36 titl65 0
S
74.1
Sll,aiJL{t,,k-:0‘舟女冀’n.tillI
‘士冉’O.Ill‘4’0
05,.1 0.1
’。I
由上述程序可以看出,aov()函数对方差分析表进行了计 算,运行结果所得数据与方差分析表2中的内容相符合,其中 Df表示自由度,SumSq表示平方和,MeanSq表示为均方,Fvalue 3实例分析 假设有三个工厂生产一种零部件,对各个厂的4件产品进行 检测,强度如下表所示: 表3产品强度检测结果
2方差分析 设(2)的对等公式为:
ttb:技£。鹱2§…。珥。0
其中域:a;。a:,…,a,不全都是0。 H。被拒绝时,则表示因素A的水平效应之间存在显著差异 性;如果没被拒绝,则表示不存在显著差异。
为因素效应;因偶然性因素或者误差导致的观测值变化,则称为
试验误差。
为了将地的检验统计量进行导出,需要在平方和分解以及 自由度分解的基础上,对统计量进行分析:
鲰住
{.^ i2% ~:p。、H‘7
(4)
其中,
si。∑王t妒≯,;:=}∑。s;。∑∑ti..,o?:∑一E,一品3
关于单因素的方差分析
鸡重(g) 1001 1002 1109 1090 1021 1022
1012 1074
1032
1009 1122
1029
1028 1001
1048
二、单因素方差分析的统计模型
考虑的因素记为 A,假定它有 r 个水平,记为 A1, A2, …, Ar . 在每一水平下考察的指标可看成一个总体,共 有 r 个总体. 作如下假定:
H 0:12 )
单因子方差分析的统计模型可改写为:
yij i ij ,i 1,2,...,r ; j 1,2,...,m
r
i
0
i1
各ij相互独立且服从N(0,2)
H 0:12r可改写为
H 0:12r0
方差分析是通过对误差的分析研究来检验具有相同 方差的多个正态总体均值是否相等的一种统计方法.
(1)每一总体服从正态分布 N(i , i2), i=1, 2,…, r ;
(2)各总体同方差, 即 12 =22=……=r2= 2;
(3)从每个总体中抽取的样本是相互独立的, 即所有试验 结果 yij 都独立.
因为各总体方差相同,所以要判断因素对指标是否 有显著影响,就化为比较各水平下的均值是否相同.即 检验
方差来源 平方和 自由度 均方和
因素 误差 总和
SA f A = r - 1 MSA=SA / fA Se f e= n - r MSe=Se / fe ST f T= n - 1
F比
F=MSA / MSe
判断:
若 F F 1 ( r 1 , n r ) , 则 认 为 因 子 A 显 著 , 各 正 态 均 值 间 有 显 著 差 异
偏差平方和:
i1
r
《单因素方差分析》课件
五、应用实例
样本数据
提供一个实际应用方差分析的样本数据。
方差分析的数据处理过程
步骤展示方差分析的数据处理过程和计算方法。
F检验统计量的计算和解释
具体计算方差分析中的F检验统计量,并解释结果。
六、注意事项与实用工具
实验设计的要求
列举方差分析实验设计的要 求和注意事项。
方差分析的局限性
讨论方差分析的局限性和需 要注意的问题。
讲解方差分析中的假设检验过程和步骤。
二、数据处理
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数据准备
解释如何准备数据以进行方差分析。
统计量计算
2
介绍用于方差分析的统计量的计算方
法。
3
差异性分析
讨论如何分析和解释不同组别之间的 差异性。
三、方差分析的基本模型
模型的形式和基本假设
描述方差分析的基本模型形式 和基本假设。
算法原理
解释方差分析的算法原理和计 算方法。
SS的计算方法
讨论如何计算方差分析中的 Sum of Squares(平方和)。
四、方差分析的假设检验和效应量测度
1
F检验统计量的计算
详细介绍如何计算方差分析中的F检验
水平间差异可视化呈现
2
统计量。
展示如何使用可视化工具将方差分析
中的水平间差异呈现出来。
3
效应量ETA的计算和解释
讨论如何计算和解释方差分析中的效 应量ETA。
《单因素方差分析》PPT 课件
欢迎来到《单因素方差分析》PPT课件!在本课程中,您将了解单因素方差分 析的概念、数据处理、基本模型、假设检验和效应量测度等关键内容。
一、概念
单因素分析的定义
介绍单因素分析的基本概念和用途。
Minitab单因素方差分析
又选定四个产地旳绿茶,记为A1, A2, A3, A4, 它是因子A旳四个水平。
为测定试验误差,需要反复。
我们选用水平反复数不等旳不平衡设计, 即共有A12, 4A个2, 样A3品, A等4分待别测制试作。了7,5,6,6个样品,
单原因方差分析
Minitab
•采用随机化试验措施,填写试验成果.
•判断诸水平均值 1, 2 ,, r 间有无显著差异; •给出诸水平均值 i 的无偏估计和1 置信区间; •给出方差 2 的无偏估计.
多重比较
多重比较
Minitab
• r个水平均值 1,是2否,彼,此相r 等?
用方差分析措施.
• 假如r个均值不全相等,哪些均值间旳 差别是主要旳? 用多重比较.
2
.
A3.随机性。全部数据yij都相互独立.
单因子试验所涉及旳多种正态总体
单原因方差分析 单因子试验旳统计模型
Minitab
单因子试验旳三项基本假定用到试验数据yij上去, 可得到如下统计模型:
yij
i
,
ij
i 1,2,, r,j 1,2,, mi
其中
yij 是因子A旳第i个水平下第j次试验成果;
• 从 方 差 分 析 表 上 还 可 以 获 得 2 的 无 偏 估 计 ˆ 2 =2.09 , ˆ 2.09 =1.45.
单原因方差分析 诸均值旳参数估计
•诸 i 的点估计: ˆ i yi , i 1,2,, r .
Minitab
•诸 i 的1 区间,可利用 t 分布获得,具体如下:
y 1 r n i1
mi
yij
j 1
1 n
r
单因素试验的方差分析
j
μ 各个随机误差 ε ij 相互独立, 1 , μ 2 , , μ s 和 σ
未知.
单因素试验表 部分总体 样 本 A1 A2 … As
X11
X21
· · ·
X12 …
X22 … Xn22 … T.2 …
X 2
· · ·
X1s
X2s
· · ·
…
Xn11 样本和T.j 样本均值 X j T.1
是 σ 的无偏估计
.
结合定理(1)(2)(3),有
F S A /( s 1 ) S E /( n s ) ~ F ( s 1, n s )
ST ,SA ,SE 的计算方法
n
j
记 T j 化简得
i1
X
ij
, T
j1 i1
s
2
s
n
j
X
ij
T
j1
s
j
j1 i1
s
n
j
(X
ij
X
j )
2
说明:
SE 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本 均值的差异,它是由随机误差引起的,所以,称SE是 误差(组内)平方和.
平方和分解公式:
ST S A S E
证明:S
i1
s
n
j
(X
ij
X)
2
( X
j1 i1
2
都是未知参数。
在水平Aj下进行nj次独立试验,得样本
X 1 j, X
2 j
, ,X
nj j
,
则
记
X
ij
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单因素方差分析模型
对应于Tamhane和Dunlop所著讲义的第12章
幻灯片主要由Elizabeth Newton(美国麻省理工学院)制作,其中一部分由Jacqueline (约翰霍普金斯大学)制作。
1
第8章:如何比较两种处理?
第12章:如何比较多于两种的处理(或仅有两种)。
实例:大麦的几个品种的产量。
品种是处理因子(预测因子)
产量是响应
2
S-Plus 大麦数据文件(观测13:30)
4
S-Plus 大麦数据文件
(观测13:30
)
6
S-Plus 大麦数据文件品种vs.产量图图中横坐标为:品种(barley.small);纵坐标为:产量(barley.small)
7
S-Plus 设计函数的图
图中横坐标为:因子(品种);纵坐标为:产量的平均值
8
电容-电阻二极管网:模型和估计(组平均值模型)见课本第460页的12.1.1部分和图表12.2
9
10电容-电阻二极管网:因素效应模型模型的可供选择的公式表达:
此公式来自于课本第460页,
12.1.1
电容-电阻二极管网的参数估计
总平均,由来估计
第i个处理的平均值,由
来估计
拟合值向量=处理平均值
误差
由
来估计
11
大麦实例中的拟合值和残差
12
X
矩阵?
13
S-Plus
中的模型矩阵
14
模型系数
15
S-Plus 中的模型表格命令给出处理的平均值或效应
16
S-Plus 中的模型表格命令给出处理的平均值或效应
17
方差分析(ANOVA)同质假设:
vs. 不是所有的都相等
vs. 至少有些
注意SSR=SSA=处理的平方和
18
1年,带有3
个大麦品种的模型方差分析表
1年,带有所有10
19
单因素方差分析的F统计量
20
带有连续型的vs.字符型的预测因
子的拟合模型
21
单因素2水平模型的T检验和方
差分析的等价性
22
模型诊断,残差vs.拟合值
(1年,所有10个品种)
图中横坐标为:拟合值(barley1.aov);纵坐标为:残差(barley1.aov)
23
模型诊断,残差vs.观测编号
(1年,所有10个品种)
图中横坐标为:观测编号(barley1.aov);纵坐标为:残差(barley1.aov)
24
模型诊断,残差的正态图
(1年,所有10个品种)
图中横坐标为:标准正态化的分位数;纵坐标为:残差(barley1.aov)
25
模型诊断,残差的直方图(1年,所有10个品种)
26
当处理的水平由实验者决定(或者仅仅是那些所关注的水平),该设计是一个固定效应的模型。
•目标是度量处理的效应或平均值(“挑选出胜者”)
当从可能的处理水平的总体中随机抽样出的处理水平是一个随机的样本(例如:一个工厂里的工人),并且不再关注在实验中使用的特定的水平,该设计是一个随机效应模型。
•目标是度量处理的变化(估计工人之间的
期望变化)
27
模型:(看起来类似于固定效应模型),其中:
(在固定效应模型中
为常数)
之间的方差,内部的方差
关于均衡的单因素设计,每个处理有n
个观测值:
能否用来估计?(如果你很幸运)
28
随机化的数据块设计
见该课本第99页上的图表3.2
29
大麦实例
10个品种,6个站点
30
31
随机化的数据块设计(RBD)方法a-1独立处理效应
b-1独立数据块效应要得到更多的信息,见课本第
482页12.4
32
在处理和数据块之间无交互作用
公式来自课本的第
483页
随机化的数据块设计:平方和公式见课本的第484-5页上的12.17,12.18和12.19
33
大麦数据文件的模型方差分析表
34
大麦实例(均衡设计)中类型1和类型3的平方和
35
36
自由度计算总的平均,共有个未知参数。
(这许多的自由度是用来估计
这些参数。
)有个观测值(总的自由度)。
因此有个自由度来估计误差的变动。
(误差的自由度)
大麦模型中的效应
37。