(3)5.3异方差的检验

4.对于（5.3.13）构造统计量
2 RSS / k Ru / k ˆ F= = 2 ESS /( n − k − 1) (1 − Ruˆ ) /( n − k − 1)
2 （RSS，ESS， u 均为模型（5.3.13）的回归平方 Rˆ
,k 和，残差平方和与拟合优度, k自变量的个数） 5.当H0成立时， ~ F (k , n − k − 1) F 6.若 F > F α (k , n − k − 1) ，则否定H0即存在异方差。
设原模型为： y i = β 0 + β 1 x1i + β 2 x 2i + u i 设检验回归模型为：
（5.3.15）
2 2 σ u = α 0 + α 1 x1i + α 2 x 2i + α 3 x1i + α 4 x 2i + α 5 x1i x 2i + u i （5.3.16） 2
i
( 2.257683) ( 0.792239)
由上式看出，在0.05显著水平下，α和β都显著， 即α和β皆显著异于零，所以，原始数据中存在 异方差性。 由于ln σ = -9.157326 ，所以 ˆ
2
ˆ σ =0.000105444即
2
异方差结构为：
ˆ2 σ u i = 0.000105444 xi3.056229
LM 检验 1.假设 H 0 : δ 1 = δ 2 = L = δ k = 0 备择假设H1：H0不成立 2.构造统计量 LM =
2 n ⋅ Ruˆ
3.H0 成立时， LM ~ χ 2 或写成 LM ~ χ 2 (k ) k 4.若 LM > χ 2 (k ) ，则否定H0即存在异方差。 注：拉格朗日乘数统计量 [Lagrange multiplier (LM) statistic]
2 2
i
β vi
(5.3.8)
其中 σ 2 ，β是两个未知参数， vi是随机变量。 (5.3.8)可以改写成对数形式
ln σ ui 2 = ln σ 2 + β ln xi + vi
第三步，建立方差结构回归模型：
(5.3.9)
2 2 由于σ u 未知，帕克建议用残差平方ε i 来代替σ ui 。 i 于是(5.3.9)写成形式：
2 5.对给定的显著水平α，查 χ 分布表，得临界值
2 2 χ α (5) ，若 n R 2 > χ α (5) ，则否定 H 0 ，表明原模型
的随机项中存在异方差。 例5.3.5我们以例5.3.1中给出的数据表5.3.1为例， 例 检验随机项的异方差性。 首先建立方程LS y c x ，在此方程的窗口点击 View \ Residual Test \ White Heteroskedasticity , 便可直接给出结果如图5.3.7所示。
例5.3.4用BP检验法，检验例5.3.1中的数据（课本113页） 例 有无异方差性? F检验在EViews 中，很方便可以完成： 第一步：建立回归方程Ls y c x，得到残差。 第二步：命令 e = genr resid^2 即 (e = u i2) ˆ 第三步：建立回归方程Ls e c x，可直接得到F值， 如图(5.3.6)
以上计算可利用EViews软件计算
ˆ ˆ ˆ 1.建立回归方程: y = β 0 + β 1 xi
2.定义变量: ln ε
2 i
定义变量:lnx
ln ε i2 = −9.157326 + 3.056229 ln xi 3.建立回归方程， 两个参数都显著，异方差明显存在
ln σ 2 = −9.157326, ⇒ σ 2 = 0.000105444 ˆ ˆ
解：利用表5.3.1的数据(课本113页），用OLS法 作y对x的回归，
ˆ y i = − 1.7350+ 0.9368 x i
(0.8944) (0.0433)
R 2 = 0.9730
计算残差
2 εi
对(5.3.10)进行估计得： (5.3.10)
ln ε i2 = −9.157326+ 3.056229 ln xi R2 = 0.533748
Obs*R-squared 统计量是White检验的检验统计 量nR2，通过相伴概率可以判别是否拒绝无异方 差的零假设。这里Obs*R-squared = 6.600050，
2 对于0.05的显著水平 χ 0.05 (2) = 5.99应该否定零
假设，随机项中存在异方差。
第四步，对β进行t检验。如果β不显著，则表明
2 β的真值为0，此时 σ u实际上与xi无关，即没有异 i
方差性。否则，表明有异方差性存在。
帕克检验法的优点是不但能确定有无异方差性，而且 一旦确定有异方差性时，还能给出异方差性的具体函 数结构。它的缺点是(5.3.9)中的随机项vi仍可能有异方 差性，因而使帕克方法的使用效果受到影响。 例5.3.3 用帕克(Park) 检验法，检验例5.3.1中的数据有 例 无异方差性?如果有异方差性，请进一步确定异方差 的结构。
异方差显著。
六、White检验法 检验法 White检验法不需要关于随机项的任何先验知识， 但要求在大样本的情况下进行。White检验法把随 机项的方差作为因变量，原先的自变量和自变量 的平方作为新自变量建立回归模型（也可以加上 任意两个自变量的交叉项xi ,xj），通过这个模型 的拟合情况来检验是否存在异方差性。检验的零 假设是残差不存在异方差性。例如：
2
ln ε i = ln σ + β ln xi + vi
2 2
(5.3.10)
z 记 wi = ln ε i2 , α = ln σ 2， i = ln x i，则(5.3.10)改写成
wi = α + β zi + vi
OLS法，得出α和β的估计值。
(5.3.11)
(5.3.11)构成一个回归模型，对模型(5.3.11)应用
பைடு நூலகம்
（5.3.13）
式中 v应满足基本假定。显然，在同方差的假设下应有
H 0 : δ1 = δ 2 = L = δ k = 0
我们就可利用F或LM检验，来检验 H 0 是否成立。 BP检验的步骤： 1.对（5.3.12）应用OLS法，得到u的估 u i 值。 ˆ 2.对（5.3.13）应用OLS法。 3.假设 H 0 : δ 1 = δ 2 = L = δ k = 0 ，备择假设H1 :H0不成立。
即异方差结构为：
2 ˆ σ ui
=
3.056229 0.000105444 xi
小结： 小结： SMPL 1 15 LS y c x GENR LNE=LOG(RESID^2) GENR LNX=LOG(X) LS LNE C LNX
帕甘检验(Breusch-Pagan test for 五、布罗特-帕甘检验 布罗特 帕甘检验 heteroskeda-sticity, BP test ) 基本思想：模型
y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x2 + L + β k xk + u
（5.3.12）
如果随机项u没有异方差，表明u与 x1 , x 2 ,L, x k 无关， 如果随机项u存在有异方差，表明u与 x1 , x 2 ,L, x k 相 关，一个简单的表示方法，假定是一个线性函数
ˆ u 2 = δ 0 + δ 1 x1 + δ 2 x2 + L + δ k xk + v
White检验的检验统计量是 w = n× 2
R
(5.3.17)
其中n是样本容量，R2是检验回归式（5.3.16）的拟合 优度，White证明了零假设（不存在异方差，即H0: α1=α2=α3=α4=α5=0)成立的条件下，w近似服从 自由度为k（模型5.3.16中除常数项以外的回归参数的
χ 个数） 2 (k ) 的分布。
2 化，给出 σ ui 关于xi 的具体函数结构形式，然后检验这种
结构是否显著。从而判定是否具有异方差性及其异方差 的函数结构。具体做法如下： 第一步，建立被解释变量y对所有解释变量x的回归方程，
ε i2 (i =1,2,…，n)。 然后计算残差
第二步，取异方差结构的函数形式为
σ u = σ xi e
§5.3 异方差性的检验方法 一、残差图法 残差图法 二、斯皮尔曼(Spearman)等级相关检验法 斯皮尔曼 等级相关检验法 戈特菲尔德—奎恩特 奎恩特(Goldfeld-Quandt)检验法 三 、戈特菲尔德 奎恩特 检验法 以上内容自学 以上内容自学 四、帕克检验法 帕克(R.E.Park)检验法的基本想法是把残差图法加以形式
图(5.3.6)
计算结果可直接看出：F=10.20867> F 0.01 (1,13) = 9.07 ， 异方差显著。 也可以计算
2 LM = n ⋅ Ruˆ =15*0.439846=6.59796
2 2 查表 χ 0.05 (1) = 3.84 ，LM=6.59796> 3.48 = χ 0.05 (1)
White检验的具体步骤为（以模型5.3.15为例）：
ˆ ˆ ˆ 1.用OLS估计模型（5.3.15)的参数 β 0 , β 1 , β 2 ；
2.计算模型（5.3.15)的残差序列 3. 用 ε
2 i 代替模型（5.3.16）中的
，并计算 ε i2 ； εi
σ u ，再用OLS估计
2
i
模型（5.3.16），计算R2； 5.3.16 R 4.计算统计量nR2。在假设 H0 :不存在异方差（也就 是模型5.3.16中的所有斜率都为零）条件下，nR2服 从自由度为k = 5 的分布；