《空间中直线和平面的位置关系》习题

《空间中直线和平面的位置关系》习题

一、选择题：

1．已知直线的位置关系是与则若与平面a l a l l l ,,//,//,,=?βαβαβα( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定

2．过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面( ) A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有 D ．有无数个 3．如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为21θθ和，则( )

A ．1sin sin 2212≥+θθ

B ．1sin sin 2212≤+θθ

C ．1sin sin 2212>+θθ

D ．1sin sin 2212<+θθ 4．设

E 、

F 、

G 分别是四面体的棱BC 、CD 、DA 的中点，则此四面体中与过E 、F 、G 的截面平行的棱有( )

A ．0条

B ．1条

C ．2条

D ．3条 5．用α表示一个平面，l 表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l ( ) A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直 6．如图Rt △ABC 中，∠ACB =90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离点A 时，∠P CB 的大小( )

A ．变大

B ．变小

C ．不变

D ．有时变大有时变小

7．设a ，b 是平面α外的任意两条线段，则“a ，b 的长相等”是a ，b 在平面α内的射影长相等的( )

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充要条件

D ．既非充分也非必要条件 8．设P A ，P B ，P C 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线P C 与平面A P B 所成角的余弦值是( )

A ．21

B ．23

C ．33

D ．36 9．已知△ABC 中，AB =9，AC =15，∠BAC =120°，△ABC 所在平面外一点P 到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P 到平面ABC 的距离是( )

A ．7

B ．9

C ．11

D ．13 10．已知a ，b ，c ，d 是四条不重合的直线，其中c 为a 在平面α上的射影，d 为b 在平面α上

的射影，则( )

A ．a ∥d ?a ∥b

B ．a ⊥b ?c ⊥d

C ．a ∥b ?c ∥d

D ．c ⊥d ?a ⊥b

二、填空题

11．平面α外的一侧有一个三角形，三个顶点到α的距离分别是7，9，13.则这个三角形的重心到α的距离为________________________.

12．已知矩形ABCD 中，AB =1，BC =a ，P A ⊥平面ABCD .若在BC 上有且仅有一个点Q ，满足PQ ⊥Q D ，则a 的值为________________________.

13．空间一个角的两边分别垂直于另一角的两边是这两个角相等或互补的___________条件. 14．在正方体AC 1中，过顶点A 及另两个顶点且与该正方体的12条棱所在直线成相等的角的平面是_____________________(将所有可能结果都填上).

三、解答题

15．已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、P C 的中点.

(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠P DA =45°，求证MN ⊥面P CD .(12分)

16．设P 、Q 是单位正方体AC 1的面AA 1D 1D 、面A 1B 1C 1D 1的中心.

如图：(1)证明：PQ ∥平面AA 1B 1B ；

(2)求线段PQ 的长.

17．如图，已知.,,,,AB a a B EB A EA l ⊥?⊥⊥=?αβαβα于于

求证a ∥l

18．如图，ABCD 为正方形，过A 作线段S A ⊥面ABCD ，又过A 作与S C 垂直的平面交S B 、S C 、S D 于E 、K 、H ，求证：E 、H 分别是点A 在直线S B 和S D 上的射影.

19．在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.

求证：A1O⊥平面G BD

20．如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段AB

的长为定值m，定长为n(n>m)的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、P Q的中点.

(1)求证：AB⊥MN；

(2)求证：MN的长是定值

参考答案

一、选择题1．C 2．C 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．C 9．A 10．C

二、填空题11．3

29 12．2 13．既非充分又非必要 14．平面AD 1B 1或平面ACD 1. 三、解答题(本题考查证明线线垂直、线面垂直的基本方法)

15．证明：

,:.(//,//,21,//.21,//,,,)1(或直接用三垂线定理注平面平面面平面为平行四边形四边形又则连中点为又中点取AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA AE

MN AMNE NE AM CD AM CD AM CD NE CD NE NE PC N E PD ⊥?????⊥????⊥⊥?????⊥∴∴∴=

=

=ΘΘ

.

,,//,,45)2(PCD MN D CD PD PD MN AE MN PD AE PAD Rt PDA 平面又则为等腰直角三角形

时当⊥∴=?⊥∴⊥?=∠ο

16．(本题考查证明线面平行的方法)

.2

221:22:)2(//,2

1,//,,,,,://,////2

1,//,21,//,,,,,:)1(12121111111111111111111111111111a AB PQ a N A M A MN PQ B

B AA PQ B

B AA AB B B AA PQ AB PQ AB PQ B D AD Q P D AB AB AD B

B AA PQ B

B AA PQ B B AA MN MN

PQ PQNM ND MP ND MP D A NQ D A NQ AD MP AD MP MP

NQ MN N M B A AA ===+=

=∴??∴?∴??∴∴=∴==

方法二方法一面面面且的中点分别是显然中在连结证法二面面面为平行四边形

四边形且连结的中点取证法一ΘΘΘ

评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”.本题证法较多.

17．证明：

.

//,,,l a EAB

a AB

a EA a EA a EAB l EB l EA l l EB EA ∴⊥∴⊥⊥∴⊥?⊥??

??⊥⊥????=?⊥⊥平面又又平面ΘΘααβαβα 18．证明：.,.

,,,上的射影在是点用理可证上的射影在为即平面又平面平面又平面平面SD A H SB A E SB AE SBC

AE C

SC BC AE

SC AHKE

SC AE

BC SAB

BC A AB SA BC AB BC SA ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊥∴=?⊥∴⊥⊥∴⊥∴=?⊥⊥??

???⊥ΘΘΘ

19．证明：GBD O A OG BD OG O A G A OG O A a a a G C C A G A a a a CG OC OG a a a AO A A O A O A BD AO A O A AD A BD BD AC BD A A 平面又又面平面⊥=?⊥∴=+∴=+=+==+=+==+=+=⊥??

???⊥????⊥⊥11212212

2221211212

22222222221211111104

9)2()2(4

3)2()22(2

3)22(

ΘΘ

20．证明：

)(21)2()2(90,)2(),1()

2(,)1(,.)2(//,,)1(2222222

2222222222222定值两式相加中在中在平面平面平面同理又则连结中点取m n BQ PA NH MH MN MHN b a m n BQ PA m PB AB PB PA PBA Rt PB n PB PQ BQ PBQ Rt PB b PAB b a b AB b MN

AB MNH

AB MNH

AB MH

AB HN

AB b

AB b

HN HN H PB -=+=+=∴=∠∴⊥-=+-=-=?-=-=?⊥∴⊥??

??⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥ο

ΘΛΛΘ

Θ