物体的动态平衡问题解题技巧

计摩擦，在此过程中
A．FN1 始终减小，FN2 始终增大 B．FN1 始终减小，FN2 始终减小 C．FN1 先增大后减小，FN2 始终减小 D．FN1 先增大后减小，FN2 先减小后增大
解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出 FN1、FN2 随夹角变化的函数，然后由函数
讨论； 【解析】小球受力如图，由平衡条件，有
其中，G、AC、AB 均不变，BC 逐渐减小，则由上式可知， FN 不变， FT 变小。B 正确
3、质量为 M、倾角为θ的斜面体在水平地面上，质量为 m 的小木块（可视为质点）放在斜面上，
现用一平行于斜面的、大小恒定的拉力 F 作用于小木块，拉力在斜面所在的平面内绕小木块旋转一周
的过程中，斜面体和木块始终保持静止状态，下列说法中正确的是（ ）
【例 5】如图所示．用钢筋弯成的支架，水平虚线 MN 的上端是半圆形，MN
B
的下端笔直竖立．一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物 G．现将轻绳的一端
固定于支架上的 A 点，另一端从 C 点处沿支架缓慢地向最高点 B 靠近（C 点与 A
点等高），则绳中拉力
M
N
A．先变大后不变 C．先不变后变小
B．先不变后变大 D．保持不变
【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)。现对木箱施加一拉力 F，
使木箱做匀速直线运动。设 F 的方向与水平地面的夹角为θ，如图所示，在θ从 0 逐渐增大到 90°的过程中，
木箱的速度保持不变，则
A．F 先减小后增大
B．F 一直增大
C．F 一直减小
D．F 先增大后减小
解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出 F 随夹角θ变化的函数，然后由函数讨论；
二、例析
1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定—— 动态三角形
【例 1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为 FN1，球对木板的压力
大小为 FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不
A．BC 绳中的拉力 FT 越来越大
B．BC 绳中的拉力 FT 越来越小
C．AC 杆中的支撑力 FN 越来越大
D．AC 杆中的支撑力 FN 越来越小
FT
FN
FT1=G
FT1=G
【解析】C 点受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很
容易发现，这三个力与 ABC 的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形 ABC 相似。则有。 G FN FT AB AC BC
α
FT2
mg
FT1
FT2
θ
β
整个装置顺时针缓慢转动 90°过程的中θ角和 mg 保持不
FT1
mg
变，α角从 30°增大，β角从 90°减小，易知 FT1 先变大后变小，FT2 一直变小。
解法三：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，由于这个三角形中重力不变，另两个力的
夹角(180°－θ)保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，因此，作初始三角形的
移动挡板，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面且球面始终静止)，挡板对小球的推力 F、半球
面对小球的支持力 FN 的变化情况是（ ）
A．F 增大，FN 减小
B．F 增大，FN 增大
C．F 减小，FN 减小
D．F 减小，FN 增大
FN
F mg
FN mg
F
【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如上图所示闭合三角形，
A来自百度文库
C
解法一：解析法——分两个阶段画受力分析图，绳端在 CN 段、NB 段，在
CN 段，正交分解列方程易算得左右两侧绳与水平方向夹角相同，再由几何关系易 G
知这个夹角保持不变，则易看出结果；在 NB 段，左右两侧绳与水平方向夹角也
相同，但这个夹角逐渐增大，由方程易看出结果。
（解析略）
解法二：图解法——画滑轮受力分析图，构建力的三角形，如前所述分析夹角变化规律，可知这是一
A．小木块受到斜面的最大摩擦力为 F 2 (mg sin )2
B．小木块受到斜面的最大摩擦力为 F-mgsinθ
C、 FN 变小， FT 先变小后变大
解法一：解析法（略）
D、 FN 不变， FT 变小
解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观察这个力的三角形，发现这个力的
三角形与某个几何三角形相似，可知两个三角形对应边长比边长，三边比值相
等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律。
FN2 sin mg 0
FN2 cos FN1 0
联立，解得： FN2

mg sin
， FN1

mg tan
FN2 FN1
mg θ
木板在顺时针放平过程中，θ角一直在增大，可知 FN1、FN2 都一直在减
小。选 B。
解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小
个等腰三角形，其中竖直向下的拉力大小恒定，则易由图看出力的 F1 变化规律。
【解析】如右图，滑轮受力如图所示，将三个力按顺序首尾相
接，形成一个等腰三角形。
由实际过程可知，这个力的三角形的顶角先保持不变，然后增 大，则绳中张力先保持不变，后逐渐减小。选 C。
FT=G
F2 F2
F1
FT=G
三、练习
1、如图 1 所示，一光滑水球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地
球重力和 FN1 的方向，然后按 FN2 方向变化规律转动 FN2，即可看出结果。
【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形 FN2
成如右图所示闭合三角形，其中重力 mg 保持不变，FN1 的方向始终水平向右， mg
而 FN2 的方向逐渐变得竖直。
FN1
则由右图可知 FN1、FN2 都一直在减小。
由图可知，这个过程中 FB 一直增大，
α
F
FA
但β角先减小，再增大。故选 ABC。
FA
B O
A β
FB
4、第四类型：一个力大小方向均确定，另两个力大小方向均不确定，但是另两个力的方向夹角保持
不变——圆与三角形（正弦定理）
【例 4】如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角θ=120°不变，
若把整个装置顺时针缓慢转过 90°，则在转动过程中，CA 绳的拉力 FT1，CB 绳的拉
α FT2
FT1
mg
解法二：解析法 2——画受力分析图，构建初始力的三角形，在这个三角形中，小球重力不变，FT1、
FT2 的夹角(180°－θ)保持不变，设另外两个夹角分别为α、β，写出这个三角形的正弦定理方程，即可根据α、
β的变化规律得到 FT1、FT2 的变化规律。
【解析】如图，由正弦定理有
mg FT1 FT2 sin(π ) sin sin
【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有
FN F sin mg 0
F cos Ff 0
其中 Ff FN
联立，解得：
F

mg cos sin
由数学知识可知 F
1
mg 2 cos(
)
，其中 tan

1
当


arctan
1
时，F
最小，则θ从
则由右图可知，当θ从 0 逐渐增大到 90°的过程中，F 先减小后增大。
FN
F
Ff
θ
mg
F合
FN
β
F
Ff
θ
mg F合 mg β
F
2、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三 角形的三边平行——相似三角形
【例 2】半径为 R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小
α
论变化”——保持长度不变 FA 将 FA 绕橡皮条拉力 F 端点转动形成一个圆弧，FB 的一
个端点不动，另一个端点在圆弧上滑动，即可看出结果。
【解析】如右图，由于两绳套 AO、
BO 的夹角小于 90°，在力的三角形中，FA、
FB
FB 的顶角为钝角，当顺时针转动时，FA、 F FB 的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。
0
逐渐增大到
90°的过程中，F
先减小后增大。选 A。 解法二：图解法——可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方
向是确定的，然后按“动态三角形法”的思路分析。
【解析】小球受力如图，将支持力 FN 和滑动摩擦力 Ff 合成为一个力 F 合，
由 Ff FN 可知， tan 。
由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三 角形，其中重力 mg 保持不变，F 合的方向始终与竖直方向成β角。
与竖直方向夹角为α，则由平衡条件，有
FT1 cos FT2 cos( ) mg 0
FT1 sin FT2 sin( ) 0
联立，解得
FT1

mg
sin( ) sin
，
FT 2

mg sin sin
α从 90°逐渐减小为 0°，则由上式可知：FT1 先变大后变小，FT2 一直变小。
O
【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可
形成如右图所示闭合三角形。很容易发现，这三个力与 AOO 的三边始终平
行，即力的三角形与几何三角形 AOO 相似。则有。 mg FN FT Rh R L
FN
Ff
FN mg
其中，mg、R、h 均不变，L 逐渐减小，则由上式可知，FN 不变， FT 变小。
力 FT2 的大小变化情况是
A、FT1 先变小后变大 C、FT2 一直变小
B、FT1 先变大后变小 D、FT2 最终变为零
解法一：解析法 1——让整个装置顺时针转过一个角度α，画受力分析图，水平竖直分解，由平衡条件
列方程，解出 FT1、FT2 随α变化的关系式，然后根据的变化求解。
【解析】整个装置顺时针转过一个角度后，小球受力如图所示，设 AC 绳
其中重力 mg 保持不变，F 的方向始终水平向左，而 FN 的方向逐渐变得水平。
则由上图可知 F、FN 都一直在增大。 故 B 正确
2、如图 2 所示是一个简易起吊设施的示意图，AC 是质量不计的撑杆，A 端与竖直墙用铰链连接，一
滑轮固定在 A 点正上方，C 端吊一重物。现施加一拉力 F 缓慢将重物 P 向上拉，在 AC 杆达到竖直前（ ）
使结点仍在位置 O，就应该调整弹簧秤 B 的拉力的大小及β角，则下列调整方法中可行的是
A、增大 B 的拉力，增大β角 B、增大 B 的拉力，β角不变
C、增大 B 的拉力，减小β角 D、B 的拉力大小不变，增大β角
解法一：解析法（略）
β
解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨
滑轮，滑轮到球面 B 的距离为 h ，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的 A 点，
另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小
球由 A 到 B 的过程中，半球对小球的支持力 FN 和绳对小球的拉力 FT 的大小变化
的情况是
A、 FN 变大， FT 变小
B、 FN 变小， FT 变大
物体的动态平衡问题解题技巧
一、总论
1、动态平衡问题的产生——三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化， 但物体仍然平衡，典型关键词——缓慢转动、缓慢移动……
2、动态平衡问题的解法——解析法、图解法 解析法——画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然 后由角度变化分析判断力的变化规律； 图解法——画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的 不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。 3、动态平衡问题的分类——动态三角形、相似三角形、圆与三角形（2 类）、等腰三角形等
外接圆（任意两边的中垂线交点即外接圆圆心），然后让另两个力的交点在圆周上按
FT1、FT2 的方向变化规律滑动，即可看出结果。 【解析】如右图，力的三角形的外接圆正好是以初态时的 FT2 为直径的圆周，易
知 FT1 先变大到最大为圆周直径，然后变小，FT2 一直变小。答案为：BCD
FT2
mg
FT1
5、等腰三角形：一个力大小、方向均确定，另两个力大小相等、但大小和方向均不确定
Ff
mg O’
3、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定
——圆与三角形
【例 3】在共点力的合成实验中，如图，用 A，B 两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置 O，这
时两绳套 AO，BO 的夹角小于 90°，现在保持弹簧秤 A 的示数不变而改变其拉力方向使α角变小，那么要