2015届高考数学总复习第二章函数与导数第6课时二次函数教学案(含最新模拟、试题改编)

第二章 函数与导数第6课时 二 次 函 数

第三章 (对应学生用书(文)、(理)18～19页

)

,

1. (必修1P 54测试7)函数f(x)＝x 2＋2x －3，x ∈[0，2]的值域为________． 答案：[－3，5]

解析：由f(x)＝(x ＋1)2－4，知f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)的值域是[－3，5]． 2. 二次函数y ＝－x 2＋2mx －m 2＋3的图象的对称轴为x ＋2＝0，则m ＝________，顶点坐标为________，递增区间为________，递减区间为________．

答案：－2 (－2，3) (－∞，－2] [－2，＋∞)

3. (必修1P 45习题8改编)函数f(x)＝(x ＋1)(x －a)是偶函数，则f(2)＝________． 答案：3

解析：由f(－x)＝f(x)，得a ＝1，∴ f(2)＝3.

4. (必修1P

44

习题3)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪

⎧x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞），－x 2＋2x －1，x ∈（－∞，0）

的单调增区间是

________．

答案：R

解析：画出函数f(x)的图象可知．

5. 设abc>0，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)

答案：④

解析：若a>0，则b 、c 同号，③④两图中c<0，则b<0，所以－b

2a >0，④正确；若a<0，

则b 、c 异号，①中c<0，则b>0，－b 2a >0，不符合，②中c>0，则b<0，－b

2a

<0，不符合．

1. 二次函数的解析式的三种形式

(1) 一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．

(2) 顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k)，则其解析式f(x)＝a(x －h)2＋k(a ≠0)． (3) 零点式(两根式)：若二次函数的图象与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，则其解析式f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．

2. 二次函数的图象及性质

二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－b

2a ，顶点坐

标是⎝⎛⎫

－b 2a

，4ac －b 2

4a ．

(1) 当a>0，函数图象开口向上，函数在区间(－∞，－b 2a ]上是单调减函数，在[－b

2a ，

＋∞)上是单调增函数，当x ＝－b

2a 时，y 有最小值，y min ＝4ac －b 2

4a

．

(2) 当a<0，函数图象开口向下，函数在区间[－b

2a ，＋∞)上是单调减函数，在(－∞，

－b 2a ]上是单调增函数，当x ＝－b

2a 时，y 有最大值，y max ＝4ac －b 24a

． 3. 二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac>0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1，

0)，M 2(x 2，0)，则M 1M 2|a|

题型1 求二次函数解析式

例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．

解：(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，⎩

⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，

a －

b ＋

c ＝－1，

4ac －b 2

4a

＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7， ∴ 所求二次函数为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.

(解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x －m)2＋n ，∵ f(2)＝f(－1)，∴ 抛物线对称轴为x ＝

2＋（－1）2＝12，即m ＝1

2

；又根据题意，函数最大值y max ＝8，

∴ n ＝8，∴ f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8.∵ f(2)＝－1，∴ a ⎝⎛⎭⎫2－1

22

＋8＝－1，解得a ＝－4. ∴ f(x)＝－4⎝⎛⎭

⎫x －1

22＋8＝－4x 2＋4x ＋7. (解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)，即f(x)＝ax 2

－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即 4a （－2a －1）－a 2

4a

＝8，

解得a ＝－4或a ＝0(舍)，∴ 所求函数的解析式为f(x)＝－4x 2－(－4)x －2×(－4)－1＝－4x 2＋4x ＋7.

备选变式（教师专享） 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点为(－1，10)，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根的平方和为12，求二次函数f(x)的表达式．

解：由题意可设f(x)＝a(x ＋1)2＋10，即f(x)＝ax 2＋2ax ＋a ＋10；∴ b ＝2a ，c ＝a ＋10，

设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2，则x 2

1 ＋x 2

2 ＝12， 即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，

∴⎝⎛⎭⎫－b a 2－2×c a

＝12.

又b ＝2a ，c ＝a ＋10，

∴⎝⎛⎭⎫－2a a 2－2×a ＋10a

＝12，解得a ＝－2，

∴f(x)＝－2x 2－4x ＋8.

题型2 含参变量二次函数的最值

例2 函数f(x)＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上最小值记为g(a)． (1) 求g(a)的函数表达式； (2) 求g(a)的最大值．

解：(1) ①当a<－2时，函数f(x)的对称轴x ＝a

2<－1，则g(a)＝f(－1)＝2a ＋5；②当－

2≤a ≤2时，函数f(x)的对称轴x ＝a 2∈[－1，1]，则g(a)＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝3－a 22；③当a>2时，函数

f(x)的对称轴x ＝a

2

>1，则g(a)＝f(1) ＝5－2a.

综上所述，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋5（a<－2），3－a

2

2（－2≤a ≤2），5－2a （a>2）.

(2) ①当a<－2时，g(a)<1；②当－2≤a ≤2时，g(a)∈[1，3]；③当a>2时，g(a)<1.

由①②③可得g(a)max ＝3. 备选变式（教师专享）

求二次函数f(x) ＝ x 2－4x － 1在区间[t ，t ＋2]上的最小值g(t)，其中t ∈R . 解：函数f(x) ＝ (x －2)2－5的图象的对称轴方程为x ＝2，开口向上． 当2∈[t ，t ＋2]，即t ≤2≤t ＋2，也就是0≤t ≤2时，g(t)＝f(2)＝－5；

当2[t ，t ＋2]时，①当t ＞2时，f(x)在[t ，t ＋2]上为增函数，故g(t)＝f(t)＝t 2－4t －1.②当t ＋2＜2，即t ＜0时，f(x)在[t ，t ＋2]上为减函数，故g(t)＝f(t ＋2)＝(t ＋2)2－4(t ＋2)－1＝t 2－5.