全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：诱导公式一
5.3 诱导公式(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
5.3诱导公式（精讲）诱导公式公式终边关系图示公式公式二角π＋α与角α的终边关于原点对称sin (π＋α)＝－sin αcos (π＋α)＝－cos αtan (π＋α)＝tan α公式三角－α与角α的终边关于x 轴对称sin (－α)＝－sin αcos (－α)＝cos αtan (－α)＝－tan α公式四角π－α与角α的终边关于y 轴对称sin (π－α)＝sin αcos (π－α)＝－cos αtan (π－α)＝－tan α公式五sin()cos 2cos()sin 2π-α=απ-α=α公式六sin()cos 2cos()sin 2π+α=απ+α=-α记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦．②“奇”“偶”是对k·π2±α(k∈Z)中的整数k来讲的．③“象限”指k·π2±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·π2±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四一．利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.二．三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.三．诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．考点一给角求值问题【例1】（2023·广东肇庆）求下列各式的值．(1)sin1470︒；(2)9πcos4；(3)11πtan6⎛⎫- ⎪⎝⎭．（4）43sin6π⎛⎫-⎪⎝⎭；（5）()()cos120sin150tan855︒︒︒--+.【答案】(1)12(2)24）12；（5）34-【解析】（1）()1sin1470sin 436030sin302︒=⨯︒+︒=︒=．（2）9πππcos cos 2πcos 444⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（3）11πππtan tan 2πtan 666⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）43sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭7sin 66ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7sin sin sin 666ππππ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭1=2.（5）原式()()()cos 18060sin 18030tan 1352360︒︒︒︒︒︒=--⋅-++⨯()cos60sin 30tan135︒︒︒=--+()cos60sin30tan 18045︒︒︒︒=+-cos60sin 30tan 45︒︒︒=-1131224=⨯-=-.【一隅三反】1．（2023秋·新疆塔城）sin 240︒的值是（）A．BC ．12-D ．12【答案】A【解析】()sin 240sin 18060sin 602︒=︒+︒=-︒=-.故选：A.2．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知角θ的终边经过点(1,2)P ，则()sin ππcos cos 2θθθ-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．23-D ．23【答案】D【解析】由三角函数的定义可得tan 2θ=，则()sin πsin tan 2πsin cos tan 13cos cos 2θθθθθθθθ-===++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.故选：D3．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）.求下列各值.(1)πsin 6⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)7πtan 6⎛⎫- ⎪⎝⎭；(4)7πsin 4⎛⎫- ⎪⎝⎭(5)47cos π6；(6)7πsin 3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(7)()tan 855-︒．【答案】(1)12-；(2)2；(3)(4)2【解析】（1）ππ1sin sin 662⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭；（2）ππcos cos 442⎛⎫-== ⎪⎝⎭；（3）7πππtan tan πtan 666⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）7πππsin sin 2πsin 4442⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（5）47ππcos πcos 8πcos 6662⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．（6）7π7πππsin sin sin 2πsin 3333⎛⎫⎛⎫-=-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（7）())tan 855tan855tan(2360135tan135-︒=-︒=-⨯︒+︒=-︒()tan 18045tan451=-︒-︒=︒=．考点二化简求值问题【例2】（2023秋·高一课时练习）已知α的终边与单位圆交于点P m ⎛ ⎝⎭，且α为第二象限角，试求()πsin 23πsin πsin 12ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值．【答案】36-【解析】由题意得22(14m +=，解得2116m =，因为α为第二象限角，可得0m <，所以14m =-，所以1sin ,cos 4αα=-，所以()π1sin cos 243πsin cos 1sin πsin 12αααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--++⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）已知4cos 5α=-，且α为第三象限角．求()()()()()7πsin 5πcos tan π2tan 19πsin f αααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----的值．【答案】35-【解析】()()()sin sin tan 3sin tan sin 5f ααααααα-===--.2．（2023秋·高一课时练习）已知1cos 3α=-，且α为第二象限角,tan β=()()πsin cos 3sin sin 2cos πcos 3sin sin αβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值为（）A．－411B．－11C．11D【答案】C 【解析】因为1cos 3α=-，且α为第二象限角，所以sin 3α=，则()()πsin cos 3sin sin 2cos πcos 3sin sin αβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--sin cos 3cos sin =cos cos 3sin sin αβαβαβαβ+--sin 3cos tan =cos 3sin tan ααβααβ+--13311⎛⎫-⨯ ⎪=故选:C.3．（2023春·陕西西安）已知函数()22x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则()211π9πcos sin 22sin πααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--等于（）A ．23-B ．23C ．32D ．32-【答案】A 【解析】()()()222ππππ11π9πcos 6πsin 4πcos sin cos sin 222222sin πsin π+sin πααααααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦==--⎡⎤-+⎣⎦又因为ππcos cos sin 22ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin os π2c αα⎛⎫= ⎪+⎝⎭，()22sin πsin αα+=，故原式=2sin cos 1sin tan αααα-⋅=-;又()22x f x a -=+过定点()2,3P ,所以3tan 2α=，代入原式得原式=12tan 3α-=-.故选：A考点三给值(或式)求值问题【例3-1】（2023秋·高一课时练习）已知1sin(π)3α-=，则sin(2021π)α-的值为（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【答案】D【解析】由sin()sin παα-=，可得1sin 3α=，则1sin(2021π)sin[(π)2020π]sin(π)sin 3αααα-=--=-=-=-.故选：D.【例3-2】（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）若πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=13，则πsin 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A ．79-B ．3C ．79D ．13【答案】D 【解析】ππππ1sin sin cos 32663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D.【例3-3】（2023秋·浙江嘉兴）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．BCD 【答案】D【解析】因为ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ5π,61212α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又πsin 063α⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知π2cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（）A ．23B ．23-C D ．【答案】B【解析】因为2πππ2cos()cos π()cos()3333ααα⎡⎤-=-+=-+=-⎢⎥⎣⎦.故选：B.2．（2023秋·山东德州）已知2π3sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πcos 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于．【答案】35-/0.6-【解析】7πππππ2π3cos cos(π)cos()sin()sin()6662635x x x x x ⎛⎫+=++=-+=-++=-+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-3．（2023春·上海嘉定·高一校考期中）已知π1cos 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25ππcos cos 63x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为；【答案】1116【解析】π1cos 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，5πππ1cos cos cos 6664x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππcos cos sin 3266x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，222πππ115cos sin 1cos 13661616x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，25ππ11511cos cos 6341616x x ⎛⎫⎛⎫∴-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1116.考点四利用诱导公式证明恒等式【例4】（2022·高一课时练习）求证：()()()3tan 2cos cos 62133tan sin cos 22ααααααπ⎛⎫π--π- ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫π-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】证明见解析【解析】证明：左边()()()tan cos cos 2tan sin cos 22αααααα⎡π⎤⎛⎫---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡π⎤⎡π⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()()tan sin cos tan cos sin αααααα--=--1==右边，所以原式成立．【一隅三反】1．（2023云南）求证：()()()cos 6sin 2tan 2tan 33cos sin 22πθπθπθθππθθ+---=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】证明见解析【解析】证明：左边=()()cos sin tan cos sin tan tan sin (cos )sin cos θθθθθθθθθθθ--==---=右边所以原等式成立2．（2023·高一课时练习）求证：()()()()()11sin 2cos cos cos 22tan 9cos sin 3sin sin 2πππαπααααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫----+ ⎪⎝⎭．【答案】证明见解析.【解析】左边=()()()()sin cos sin sin cos sin sin cos αααααααα-⋅----⋅⋅⋅=–tan α=右边，∴等式成立．3．（2023·全国·高一假期作业）求证：232sin()cos()12212sin ()ππθθπθ-+--+＝tan(9)1tan()1πθπθ+++-．【答案】证明见解析【解析】左边()()22222222sin()sin 12sin cos sin cos 2sin cos 1212sin 12sin sin cos 2sin πθθθθθθθθθθθθθ+----+--===--+-()()()2sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos θθθθθθθθθθ-++==+--.右边sin 1tan()1tan 1sin cos cos sin tan()1tan 1sin cos 1cos θπθθθθθθπθθθθθ+++++====+----.∴左边＝右边，故原等式成立．4．（2023北京）（1）求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin(22παπαπααππαα----=-++；（2）设8tan()7m πα+=，求证1513sin()3cos()37720221sin()cos()77m m ππααππαα++-+=+--+.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）左边=tan()sin()cos()sin[2()]cos[2()]22αααπππαπα-------22(tan)(sin)cos sin sincos sinsin[()]cos[()]sin()cos()2222αααααππππαααααα--===--------sin tancosααα=-=-=右边，所以原等式成立.（2）方法1：左边=88sin[()]3cos[()3]7788sin[4()]cos[2(77πππααππππαπα++++--+-++=888sin()3cos()tan()3777888sin()cos()tan()1777πππαααπππααα-+-+++=-+-+++=31mm++=右边，所以原等式成立.方法2：由8tan()7mπα+=，得tan()7mπα+=，所以，等式左边=sin[2()]3cos[()2]77sin[2()]cos[2()]77πππααπππππαππα++++-+-+-+++=sin()3cos()77sin()cos()77ππααππαα++++++=tan()3371tan()17mmπαπα+++=+++=右边，等式成立.。
高一数学 知识点 三角函数 诱导公式 常考题 经典题 50道 含答案和解析
高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题一、单选题1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一【解析】【解答】由三角函数的定义知：，所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。
【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。
属于基础题型。
================================================================================2.若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。
【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。
================================================================================3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，故选C.================================================================================4.函数图像的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A.================================================================================5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化【解析】【解答】因为，所以，可得，故C符合题意.故答案为：C .【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos.================================================================================6.函数（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】A【考点】奇函数，诱导公式一【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
高一数学诱导公式试题答案及解析
高一数学诱导公式试题答案及解析1.若，则=______.【答案】【解析】,.【考点】1.诱导公式；2.倍角公式.2.（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】诱导公式、两角和的余弦公式.3.等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】诱导公式.4.下列各式中正确的是( )A．tan＞tan B．tan(－)＜tan(－)C．tan 4＞tan 3D．tan 281°＞tan 665°【答案】C【解析】,故A错, ,,故B错.,,故D错，故选C.【考点】1.诱导公式；2.三角函数值比较大小.5.的值为 .【答案】【解析】诱导公式得.【考点】诱导公式.6.已知则的值为 .【答案】【解析】因为，所以.【考点】凑角及诱导公式.7.已知，则 .【答案】【解析】由诱导公式得.【考点】三角函数的诱导公式8.如果，那么等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】利用诱导公式，，.【考点】诱导公式.9.已知，计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】已知条件可化简为，即或．（1）式可看作是关于和的一次奇次分式，求值方法是分子分母同时除以，转化为的式子，同样（2）式也可看作关于和的二次奇次分式，，这时只要分子分母同时除以就可以把它化为只含有的式子，从而可快速求出值．．试题解析：由可得，2分∴．1分（1）原式＝3分．1分（2）原式3分．4分另解：原式＝3分＝3分＝1分【考点】诱导公式，求三角函数值．10.的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】三角函数的诱导公式.11.＝( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】三角函数诱导公式点评：本题主要考查了三角函数诱导公式：，12.已知为第三象限角，.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】(1)-cos(2)【解析】解：（1） 4分（2）由，得。
6分又已知为第三象限角，所以，所以， 10分所以= 12分【考点】诱导公式，同角关系点评：主要是考查了三角函数的化简和求值的运用，属于基础题。
高一数学诱导公式1-4练习含答案
高一数学诱导公式1-4学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．sin 120°cos 210°的值为( )A ．－34B.34 C ．－32 D.14解析：由诱导公式可得，sin 120°cos 210°＝sin 60°×(－cos 30°)＝－32×32＝－34，故选A.答案：A2．若α＋β＝π，则下列各等式不成立的是( )A ．sin α＝sin βB ．cos α＋cos β＝0C ．tan α＋tan β＝0D ．sin α＝cos β 解析：sin α＝sin(π－β)＝sin β，A 成立；cos α＝cos(π－β)＝－cos β，∴cos α＋cos β＝0，B 成立；tan α＝tan(π－β)＝－tan β，∴tan α＋tan β＝0，C 成立；sin α＝sin β≠cos β，∴D 不成立．答案：D3．已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan(π＋α)的值是( ) A.43B.34 C ．－43D ．－34 解析：因为α为第二象限角，所以cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－34. 答案：D4．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ是第________象限角( )A ．一B ．二C ．三D ．四解析：由sin(θ＋π)＝－sin θ<0⇒sin θ>0，cos(θ－π)＝－cos θ>0⇒cos θ<0，由⎩⎨⎧sin θ>0cos θ<0，可知θ是第二象限角，故选B.答案：B5．若角α和β的终边关于y 轴对称，则下列各式中正确的是( )A ．sin α＝sin βB ．cos α＝cos βC ．tan α＝tan βD ．cos (2π－α)＝cos β 解析：∵α和β的终边关于y 轴对称，∴不妨取α＝π－β，∴sin α＝sin (π－β)＝sin β.答案：A6．计算sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)· sin 1 410°等于________．解析：sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)·sin 1 410 °＝sin(－4×360°－120°)cos(－3×360°＋150°)－cos(－4×360°＋60°)sin(4×360 °－30°)＝sin(－120°)cos 150°－cos 60°sin (－30°) ＝－32×(－32)＋12×12＝34＋14＝1. 答案：17．若tan(5π＋α)＝m ，则sin α－3π ＋cos π－αsin －α－cos π＋α的值为________． 解析：由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m .于是原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：m ＋1m －18．已知sin(125°－α)＝13，则sin(55°＋α)的值为________． 解析：因为(125°－α)＋(55°＋α)＝180°，所以sin(55°＋α)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝13. 答案：139．已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值． 解析：∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角，∴sin(α－75°)＝－1－cos 2α－75°＝－1－－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223. 10．设f (θ)＝cos 4π＋θ·cos 2π＋θ·sin 23π＋θsin θ－4π·sin 5π＋θ·cos 2－π＋θ. (1)化简f (θ)；(2)若θ＝660°，求f (θ)的值．解析：(1)原式＝cos θ·cos 2θ·sin 2θsin θ·sin π＋θ·cos 2θ＝cos 3θ·sin 2θsin θ－sin θ·cos 2θ＝－cos θ. (2)因为θ＝660°，所以f (θ)＝f (660°)＝－cos 660°＝－cos(720°－60°)＝－cos(－60°)＝－cos 60°＝－12.。
高中必考难点题型(带答案)--诱导公式(解析版)
简单已测：2388次正确率：95.4 %1.的值为（ ）A.B.C.D.考点：利⽤诱导公式求三⻆函数的值知识点：诱导公式⼀：终边相同的⻆，同名三⻆函数值相等、诱导公式的应⽤答案：A解析：,故选：A.⼀般已测：4680次正确率：80.0 %2.化简（ ）A.B.C.D.考点：同⻆三⻆函数基本关系的运⽤、利⽤诱导公式化简三⻆函数式知识点：同⻆三⻆函数的基本关系的应⽤、诱导公式的应⽤答案：B 解析：,故选：B.简单已测：3090次正确率：81.2 %3.的值等于（ ）A.B.C.D.考点：利⽤诱导公式求三⻆函数的值知识点：诱导公式⼀：终边相同的⻆，同名三⻆函数值相等答案：C解析：.故选：.简单已测：1684次正确率：90.5 %4.对于，下列等式中恒成⽴的是（ ）A.tan (−330)∘ 3 3− 3−333tan −330=tan 30= (∘)∘33 =cos (π−α)tan (3π−α)sin (2π−α)tan (π+α)sin ( +α)2πcos α−sin α−cos αsin α= =−sin αcos (π−α)tan (3π−α)sin (2π−α)tan (π+α)sin ( +α)2πcos αtan α−sin αtan αcos αsin 32017π 21−21 2 3−23sin =sin = 32017π3π23C α∈R cos(−α)=−cos αB.C.D.考点：利⽤诱导公式化简三⻆函数式知识点：诱导公式⼆：终边关于原点对称、诱导公式三：终边关于x 轴对称答案：B解析：对于,对于,对于⼀般已测：3662次正确率：74.6 %5.已知，则（ ）．A.B.C.D.考点：利⽤诱导公式根据条件求值知识点：诱导公式三：终边关于x 轴对称、诱导公式五：⻆度互余答案：D解析：，，则.故答案为：．中等已测：4495次正确率：75.4 %6.下列关系中正确的是( )A.B.C.D.考点：利⽤诱导公式化简三⻆函数式、正弦函数的单调性问题知识点：诱导公式四：⻆度互补、诱导公式五：⻆度互余答案：B解析：,,由三⻆函数线可知.即，故选.⼀般已测：685次正确率：84.8 %sin(−α)=−sin αsin(π+α)=sin αcos(π+α)=cos αA:cos(−α)=cos αC:sin(π+α)=−sin αD :cos(π+α)=−cos αsin(α+75)= ∘21cos(α−15)=∘2 3−23−21 21∵sin(α+75)= ∘21∴cos[90−(α+75)]=cos (15−α)=∘∘∘21cos(α−15)=cos(15−α)= ∘∘21 21sin 15<sin 163<cos 74∘∘∘sin 15<cos 74<sin 163∘∘∘sin 163<sin 15<cos 74∘∘∘cos 74<sin 163<sin 15∘∘∘∵sin 163=sin 17∘∘cos 74=sin 16∘∘sin 15<sin 16<sin 17∘∘∘sin 15<cos 74<sin 163∘∘∘B7.设，，且，则（ ）A.B.C.D.考点：同⻆三⻆函数基本关系的运⽤、两⻆和与差的灵活应⽤知识点：同⻆三⻆函数的商数关系、诱导公式六：异名函数变换，⻆度相差90度答案：C解析：由，得：，即，，，，∴当时，成⽴． 故选：C ．中等已测：1359次正确率：73.5 %8.已知则．考点：同⻆三⻆函数基本关系的运⽤、利⽤诱导公式化简求值知识点：同⻆三⻆函数的平⽅关系、同⻆三⻆函数的商数关系答案：解析：解：⼜故答案为：⼀般已测：113次正确率：91.8 %9.已知⻆的终边过点，则，．考点：任意⻆的三⻆函数的定义理解及应⽤、同⻆三⻆函数基本关系的运⽤知识点：任意⻆的三⻆函数定义、同⻆三⻆函数的商数关系答案：解析：⻆终边上⼀点，由三⻆函数的定义可得，，故答案为：，．⼀般已测：1931次正确率：65.1 %a∈0, (2π)β∈0, (2π)tan α= cos β1+sin β3α−β= 2π3α+β= 2π2α−β= 2π2α+β=2πtan α= cos β1+sin β = cos αsin αcos β1+sin βsin αcos β=cos α+cos αsin βsin α−β=cos α=sin −α()(2π)∵α∈0, (2π)β∈0, (2π)2α−β= 2πsin α−β=sin −α=cos α()(2π)sin (α+ )= ,2π31α∈(− ,0),2πtan α=−22∵sin (α+ )=cos α,sin (α+ )= ,2π2π31∴cos α= 31α∈(− ,0),2π∴sin α=− ,32 2∴tan α= =−2 ,cos αsin α2−2 .2θ(4,−3)tan θ= =sin θ−cos(θ−180)∘sin(θ+90)+cos θ∘− 438∵θP (4,−3)∴tan θ=− 43∴ = = =8sin θ−cos(θ−180)∘sin(θ+90)+cos θ∘sin θ−(−cos θ)cos θ+cos θtan θ+12− 438(1)(2)10.设(其中为⾮零实数),若,则．考点：利⽤诱导公式根据条件求值、利⽤诱导公式化简三⻆函数式知识点：诱导公式⼀：终边相同的⻆，同名三⻆函数值相等、诱导公式⼆：终边关于原点对称答案：解析：由题意：(其中为⾮零实数),,可得,得,那么．故答案为．⼀般已测：4980次正确率：66.9 %11.已知的终边经过点，求的值．考点：利⽤诱导公式根据条件求值、利⽤诱导公式化简三⻆函数式知识点：利⽤⻆a 终边上任意⼀点的坐标定义三⻆函数、诱导公式三：终边关于x 轴对称答案：解析：的终边经过点，，．简单已测：3829次正确率：81.5 %12.已知,其中为第三象限⻆,求的值．考点：同⻆三⻆函数基本关系的运⽤、利⽤诱导公式求三⻆函数的值知识点：同⻆三⻆函数的基本关系的应⽤、诱导公式的应⽤答案：解析：,且为第三象限⻆,,则原式．⼀般已测：2666次正确率：94.7 %13.已知．求的值．当为第三象限⻆时，求的值．考点：三⻆函数在各象限的符号、根据同⻆三⻆函数关系求值知识点：同⻆三⻆函数的基本关系的应⽤、诱导公式的应⽤(1)答案：f (x )=asin (πx +θ)+bcos (πx +θ)+3a ,b ,θf (2016)=−1f (2017)=7f (x )=asin (πx +θ)+bcos (πx +θ)+3a ,b ,θf (2016)=−1−1=asin (2016π+θ)+bcos (2016π+θ)+3asin θ+bcos θ=−4f (2017)=asin (2017π+θ)+bcos (2017π+θ)+3=asin (2016π+π+θ)+bcos (2016π+π+θ)=asin (π+θ)+bcos (π+θ)+3=−asin θ−bcos θ+3=−(asin θ+bcos θ)+3=77αP (m ,3m )(m <0) 4cos (−α)+sin (2π−α)2cos (π−α)−3sin (π+α)7∵αP (m ,3m )(m <0)∴tan α=3∴ = = =74cos (−α)+sin (2π−α)2cos (π−α)−3sin (π+α)4cos α−sin α−2cos α+3sin α4−tan α−2+3tan αcos (75+α)= ∘31αcos (105−α)+sin (α−105)∘∘ 3−1+2 2∵cos (75+α)= ∘31α∴sin (75+α)=− =− ∘1−( )31232 2=cos [180−(75+α)]+sin [(75+α)−180]=−cos (75+α)−sin (75+α)= ∘∘∘∘∘∘3−1+2 2 =3cos(π−a )sin(3π−a )sin(−π−a )sin −a cos +a (23π)(2π)sin a a cos a ,tan a −313ππ(1)(2)(1)(2)解析：，，．(2)答案： 解析：为第三象限⻆，，．⼀般已测：4393次正确率：86.8 %14.已知,计算下列各式的值．;考点：同⻆三⻆函数基本关系的运⽤、利⽤诱导公式化简求值知识点：同⻆三⻆函数的基本关系的应⽤、诱导公式的应⽤(1)答案：解析：由题易得:原式;(2)答案：解析：原式.⼀般已测：3653次正确率：87.7 %15.已知⽅程，求的值．考点：利⽤诱导公式化简三⻆函数式、三⻆函数的化简求值知识点：诱导公式的应⽤答案：解析：,且原式⼀般已测：1494次正确率：72.7 %16.已知,其中．求的值；求的值．考点：同⻆三⻆函数基本关系的运⽤、根据同⻆三⻆函数关系求值知识点：同⻆三⻆函数的平⽅关系、同⻆三⻆函数的商数关系(1)答案：解析：,；=3cos π−a sin 3π−a sin −π−a ()()()sin −a cos +a (23π)(2π)∴ =3−cos a ⋅sin a ⋅sin a −cos a ⋅−sin a ()∴− =3,sin a =− sin a 131 4 2∵a ∴cos a =− =− 1−sin a 2322∴tan a = = cos a sin a 4 2 =2sin α−cos αsin α+cos αcos α−2sin αcos α−12 cos (π−α)sin (α−3π)sin (π−α)sin ( +α)25πsin (2π−α)cos (π+α)cos (α− )cos ( −α)2π211π− 23tan α=3= = = =−sin α+cos α22cos α−2sin αcos α−12sin α+cos α22−2sin αcos α−sin α2tan α+12−2tan α−tan α223−3= =−tan α=−3−cos α(−sin α)sin αcos α−sin α(−cos α)sin α(−sin α)sin (α−3π)=2cos (α−4π) 2sin ( −α)−sin (−α)23πsin (π−α)+5cos (2π−α)− 43∵sin (α−3π)=2cos (α−4π)∴−sin (3π−α)=2cos (4π−α).∴−sin (π−α)=2cos (−α),∴sin α=−2cos αcos α≠0,∴= = = =− .−2cos α+sin αsin α+5cos α−2cos α−2cos α−2cos α+5cos α−4cos α3cos α43sinx = 540≤x ≤ 2πcosx sin −x −sin 2π−x (2π)()cos −x () 53∵sinx = ,0≤x ≤ 542π∴cosx = = 1−sin x 253(2)答案：解析：,,原式． 73∵sinx =54cosx = 53∴= = = cosx +sinx cosx + 5354 5373。
高一数学复习考点知识与题型专题讲解22---诱导公式
高一数学复习考点知识与题型专题讲解5.3诱导公式【考点梳理】考点一：公式二1．角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．2．公式：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.考点二：公式三1．角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．2．公式：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.考点三：公式四1．角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．2．公式：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.考点四：公式五1．角π2－α与角α的终边关于直线y ＝x 对称，如图所示． 2．公式：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 考点五：公式六1．公式：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α.2．公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.大重点：诱导公式规律总结1.明确各诱导公式的作用诱导公式 作用公式一将角转化为0～2π之间的角求值 公式二将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值公式三 将负角转化为正角求值 公式四将角转化为0～π2之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．【题型归纳】题型一：诱导公式一的应用1．（2021·江苏·高一课时练习）求值： （1）7πsin6； （2）11πcos 4； （3）()tan 1560-︒. 2．（2020·新疆·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）计算 （1）142053sin cos tan 336πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()tan675sin 330cos960︒--︒-︒．题型二：诱导公式二、三、四应用 3．（2021·江苏·高一课时练习）化简：（1）cos(π)ππsin cos sin(π)22αααα-⎛⎫⎛⎫⋅-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（2）cos(2π)sin(π)πsin tan(3π)2αααα-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭.4．（2021·全国·高一课时练习）已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f αππααπαπαπα⎛⎫-⋅-⋅-+ ⎪⎝⎭=--⋅--． （1）化简()f α；（2）若α为第四象限角且31sin 25απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值；（3）若313απ=-，求()f α．题型三：：诱导公式五、六应用5．（2021·全国·高一课时练习）已知3tan 4θ=-．求下列各式的值：（1）3sin cos 222sin()cos()ππθθπθθπ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--；（2）222sin cos cos 2sin cos θθθθθ-++． 6．（2021·陕西·杨陵区高级中学高一月考）已知角θ的顶点是平面直角坐标系的原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，角θ的终边过点()1,2P ．（1）求sin θ，cos θ的值；（2）求()()sin π4cos ππ7πcos sin 22θθθθ++--⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．题型四：诱导公式的化简求值7．（2021·海南·儋州二中高一月考）已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+. （1）化简()f α； （2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值8．（2020·四川·威远中学校高一月考）化简:（1）设tan 3α=，求sin()cos()sin cos 22αππαππαα-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-，求2sin sin cos ααα-.题型五：利用诱导公式证明恒等式 9．（2019·全国·高一课时练习）求证：()()()2cos cos 223sin 3cos sin sin cos sin 1222θθθθθθθθπ-π-+=ππ⎡π⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫π++-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 10．（2021·全国·高一课时练习）求证：()()()3tan 2cos cos 62133tan sin cos 22ααααααπ⎛⎫π--π- ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫π-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题型六：正切函数的诱导公式的应用 11．（2021·陕西富平·高一期末）化简求值：（1）3πsin(2π)cos(3π)cos 2sin(π)sin(3π)cos(π)αααααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-+---；（2）()tan 315tan 570tan 60tan 675︒+︒-︒-︒．12．（2021·上海师范大学第二附属中学高一月考）化简下列各式：（1）()()()()()sin 180cot 90cos 360tan 180tan 90sin()αααααα︒-︒-︒-⋅⋅︒+︒+-（2）()22221sin cot cot cos αααα+--【双基达标】一、单选题13．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一月考（文））若3tan 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2t a n 5πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14B ．14-C ．4D ．4-14．（2021·浙江省桐庐中学高一月考）已知200︒的终边上有一点(1,)a -，则si n 160︒=（ ）A ．a -B ．21a a +C ．21a a -+D ．211a +15．（2021·江西·九江一中高一期中）已知65s n 3i πα⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+，则3cos 10πα⎛⎫⎝-⎪⎭=( )A ．33-B ．63-C ．33D ．6316．（2020·湖北荆门外语学校高一月考）若()tan 20192πα-+=，则22sin cos sin cos αααα+⋅-=（ ） A ．35-B ．45C ．25D ．117．（2021·全国·高一课时练习）已知3312,,tan(),sin cos 22425ππααπαα⎛⎫∈-=-=- ⎪⎝⎭，则sin cos αα+等于（ ）A ．15±B ．15-C ．15D ．75-18．（2021·全国·高一课时练习）已知31,2,sin 223ππαπα⎛⎫⎛⎫∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan()πα+=（ ） A ．22B ．22-C ．2D ．2-19．（2021·北京市第四十三中学高一月考）已知tan 2θ=，则s i n c o s ()2c o s s i n ()πθπθθπθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=--（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．2320．（2020·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知cos 29m =，则sin 241tan151的值是（ ）A ．21m m -B ．21m -C ．21m m-D ．21m --21．（2021·安徽·淮北市树人高级中学高一期中）若3sin(π)5α+=，且α是第三象限角，则ππsin cos 22ππsin cos 22αααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1B ．7C ．-7D ．-122．（2021·辽宁·大连市一0三中学高一月考）已知点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 在第二象限.记AOB θ∠=且3sin 5θ=，则sin()2sin 22tan()ππθθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=-（ ）A ．2215B ．23C ．2215-D ．23-【高分突破】一：单选题23．（2021·全国·高一课时练习）设()tan 5m πα+=（4k παπ≠+，且2k παπ≠+，k ∈Z ），则()()()()sin 3cos sin cos a αππαπα-+---+的值为（ ）A ．11m m +-B ．11m m -+C ．－1D ．1 24．（2021·广西·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若51cos 62πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12B ．32C ．32±D ．12-25．（2021·全国·高一课时练习）化简：sin(5)cos()cos(8)23sin()sin(4)2πθπθπθπθθπ-------=（ ）A ．-sin θB ．sin θC ．cos θD ．-cos θ26．（2021·陕西渭滨·高一期末）sin(600)tan300-+︒︒的值是（ ） A ．32-B ．32C ．132-+D ．132+27．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高一期中）已知()sin 0πα+<，且s i n 02πα⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 28．（2021·全国·高一单元测试）“sin cos αβ=”是“()22k k Z παβπ+=+∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件29．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一月考）化简tan1tan 2tan3tan89︒︒︒︒（ ） A ．442B ．1C ．1442D ．145230．（2021·广西·防城港市防城中学高一月考）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ+φ=90° ，则称θ与q “广义互余”已知1sin()4πα+=-，下列角β中：①15sin 4β=；②1cos()4πβ-=；③tan 15β=；④tan 152πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.可能与角a “广义互余”的有（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④31．（2021·广西·全州县第二中学高一期中）化简221cos 102sin 201cos 160-+--的结果为（ ）A ．sin10B ．sin102C ．12D ．1 32．（2021·全国·高一课时练习）已知3cos cos()2,2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（ ） A ．2B ．-2C ．13D ．3二、多选题33．（2021·河北·曲周县第一中学高一月考）下列化简正确的是 A ．()tan π1tan1+=B ．()()sin cos tan 360ααα-=-C ．()()sin πtan cos πααα-=+D ．()()()cos πtan π1sin 2πααα---=-34．（2020·全国·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+ 35．（2021·全国·高一课时练习）下列化简正确的是（ ） A ．tan(1)tan1π+=B ．()sin()cos tan 360ααα︒-=-C ．cos()tan()1sin(2)παπαπα---=-D ．若,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则312sin()sin sin cos 2ππθθθθ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭36．（2020·江苏省苏州第十中学校高一月考）已知()()()()()sin 540cos 3601sin()tan 900tan 450tan 810xx x x x x--⋅⋅----，则（ ） A ．当120x =时，上式的值为32B ．当150x =时，上式的值为12C ．当240x =时，上式的值为32D ．当60x =-时，上式的值为32-三、填空题37．（2021·全国·高一课时练习）若角α的终边落在直线y x =上，则co 3si 22n s παπα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-_____． 38．（2021·全国·高一课时练习）求值()()sin 420cos750sin 690cos 660︒︒+-︒⋅-︒=_________．39．（2021·河南·新乡县高中高一月考）已知α为第二象限角，且115tan tan 4αα-=则πsin sin(π)2πsin sin(π)2αααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值为______.40．（2021·全国·高一课时练习）已知角2()5k k Z παπ=-∈，若角θ与角α的终边相同，则sin cos tan |sin ||cos ||tan |y θθθθθθ=++的值为______. 41．（2021·浙江临海·高一期中）已知点(1,2)P 是角θ终边上的一点，则5sin cos(3)2sin sin()2πθπθπθπθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭_________． 42．（2021·上海·高一课时练习）已知sin(π)α-是方程61x x =-的根，求cos(5π)tan(2π)sin(3π)cot(π)αααα-⋅-+⋅-的值.四、解答题43．（2021·陕西·绥德中学高一月考）(1)计算：3sin(90)5tan1805cos0sin540-+︒+︒+︒；(2)化简：()3sin 2cos()cos(2)sin()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαααπαππαπααπα-+------+. 44．（2021·全国·高一课时练习）已知sin α是方程25760x x --=的根．求233sin sin tan (2)tan()22cos cos 22αππαπαπαππαα⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．45．（2021·江西省靖安中学高一月考）已知3sin(3)cos(2)sin()2()cos()sin()f παππαααπαπα---+=----.（1）化简()f α； （2）若313πα=-，求()f α的值；（3）若13cos(),,252ππααπ⎡⎤--=∈⎢⎥⎣⎦，求()f α的值. 46．（2021·陕西省洛南中学高一月考）（1）化简：3sin(3)cos(2)sin 2cos()sin()παπαπαπαπα⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭-⋅--（2）求值：()()sin 150cos 210cos 420tan 60-︒⋅︒⋅-︒⋅︒47．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知角α的终边经过点(),2P x -，（0x ≠），且3cos 6x α=，求cos sin sin ααα+的值； （2）求值：()()sin 420cos750sin 690cos 660tan(1380)+--+-o o o o o.48．（2021·上海·上外浦东附中高一期中）（1）求函数|sin |2cos |tan |2cot sin |cos |tan |cot |y αααααααα=+++的值域；（2）化简：sin()cos(6)7sin cot 22θπθπππθθ--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．49．（2021·陕西韩城·高一期末）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2tan tan 20αα--=.（Ⅰ）求()tan πα-的值；（Ⅱ）求2021sin sin(2021)2cos()2sin()παπααπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭-++的值. 50．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一月考）化简： （1）212sin100cos 280cos3701cos 170-︒︒︒--︒；（2）()()()()sin tan 5tan 2cos 2αππαπαπα-----. 51．（2021·湖北武汉·高一期中）已知角α的终边经过点(),22P m ，22sin 3α=且α为第二象限角.（1）求实数m 和tan α的值；（2）若tan 2β=，求()()sin cos 3sin sin 2cos cos 3sin cos παβαβπαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值.【答案详解】1．（1）7π1sin62=-；（2）22-；（3）3. 解 （1）7πππ1sin sin πsin 6662⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭.（2）11π3π3ππcoscos 2πcos cos π4444⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ π2cos42=-=-. （3）()()tan 1560tan1560tan 4360120-︒=-︒=-⨯︒+︒()tan120tan 18060tan 603=-︒=-︒-︒=︒=.2．（1）336--；（2）-1. 【详解】 （1）142053sin cos tan 336πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2=sin 4cos 6tan 933621ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，=sin cos 11tan 3361πππππ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=sin cos tan 3361πππ--+，313=223--+， 336--=. （2）()tan675sin 330cos960︒--︒-︒，()()()tan 72045sin 36030cos 3360120=︒---︒+-⨯︒-， tan45sin30cos60=--+，11122=--+，1=-．3．（1）2cos α-；（2）cos α【详解】 （1）()()2cos(π)ππcos sin cos cos sin cos sin(π)22sin ααααααααα--⎛⎫⎛⎫⋅-+=⋅--=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（2）()()cos sin sin cos sin cos tan cos αααααααα⋅-==-. 4．（1）()cos f αα=-；（2）15-；（3）12-． 【详解】（1）[]3sin()cos()sin (sin )cos (cos )2()cos cos()sin()(cos )sin f απααπαααααπαπααα⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪-⋅⋅-⎝⎭===-+⋅-+-⋅．（2）因为31sin sin cos 225παπαα⎛⎫⎛⎫-=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1()cos 5f αα=-=-．（3）因为313απ=-，()cos f αα=-， 所以3131cos 33f ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 52cos cos 331132ππππ⎛⎫⎪⎝⎛⎫=--⨯-=--=-=- ⎪⎭⎭⎝．5．（1）710- ；（2） 2225．【详解】（1）原式31cos sin 1tan 7462sin cos 2tan 11014θθθθθθ---+-+====--+-++． （2）原式2tan 12tan 1θθ-=++312242925116--=+=+． 6．（1）25sin 5θ=，5cos 5θ=；（2）2-. 【详解】因为角θ的终边过点()1,2P ，所以1x =，2y =，22125r OP ==+=， 所以225sin 55y r θ=== ，15cos 55x r θ===， （2）()()sin π4cos ππ7πcos sin 22θθθθ++--⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()sin 4cos sin 4cos sin cos sin cos θθθθθθθθ-+---==--+，由（1）知：tan 2yxθ==， 所以sin 4cos tan 4242sin cos tan 121θθθθθθ------===-+++所以()()sin π4cos ππ7πcos sin 22θθθθ++--⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为2-.7．（1）sin cos αα⋅；（2）32-.【详解】（1）由诱导公式()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-；（2）由()1sin cos 8f ααα==可知()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=，又∵42ππα<<，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴3cos sin 2αα-=-. 8．（1）2；（2）25.【详解】 ∵tan 3α=，则sin()cos()sin cos 22a a a a ππππ-+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin (cos )sin cos cos (sin )sin cos a a a aa a a a-+-+==+--tan 1312tan 131a a ++===--.（2）依题意得：tan 353tan a a+=-，∴tan 2a =，∴2222sin sin cos sin sin cos sin cos a a a a a a aα--=+22tan tan tan 1a aa -=+ 222221-=+25=. 9． 证明：左边()cos cos cos cos 1cos cos cos θθθθθθθ-=+---+ 111cos 1cos θθ=++-221cos θ=-=22sin θ=右边，所以原式或立． 10． 【详解】证明：左边()()()tan cos cos 2tan sin cos 22αααααα⎡π⎤⎛⎫---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡π⎤⎡π⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ()()()()tan sin cos tan cos sin αααααα--=--1==右边，所以原式成立．11．（1）1；（2）33． 【详解】（1）3πsin(2π)cos(3π)cos sin (cos )sin 21sin(π)sin(3π)cos(π)sin sin (cos )αααααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭==-+-----；（2）()31tan 315tan 570tan(36045)tan(54030)tan 45tan 3033tan 60tan 675tan 60tan(72045)tan 60tan 45331-+︒+︒︒-︒+︒+︒-︒+︒====-︒-︒-︒-︒-︒-︒+︒-+．12．（1）sin α；（2）0. 解：（1）()()()()()()()sin 180cot 90cos 360sin tan cos sin tan 180tan 90sin()tan cot sin ααααααααααααα︒-︒-︒-⋅⋅⋅⋅==︒+︒+-⋅-⋅- （2）()222222221sin cot cot cos cot cos cot cos 0αααααααα+--=+--=13．D 解：因为2π2π2πtan tan tan π555ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3πtan 45α⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.所以2tan 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 故选：D. 14．C 【详解】 由题意2sin 2001a a ︒=+，所以2sin160sin(360200)sin 2001a a ︒=︒-︒=-︒=-+．故选：C ． 15．B 【详解】 ∵3=()5102πππαα+-+，65s n 3i πα⎛⎫ ⎪⎝=-⎭+， ∴由诱导公式可得，336sin[()]cos()102103sin()5ππππααα=-+=-=-+， 故选：B. 16．D 【详解】由()tan 20192tan 2παα-+=⇒=，则22sin cos sin cos αααα+⋅-222222sin cos sin cos tan tan 14211sin cos tan 141ααααααααα+⋅-+-+-====+++. 故选：D. 17．B 【详解】由题意得3tan()tan 4απα-==-，又3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos 0,sin 0αα<>，结合22sin cos 1αα+=解得34sin ,cos 55αα==-， 所以sin cos αα+341555=-=-， 故选：B. 18．B 【详解】 因为31,2,sin cos 223ππαπαα⎛⎫⎛⎫∈+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 3α=-，tan 22α=-， 所以()tan tan 22παα+==-， 故选：B 19．B 【详解】 因为tan 2θ=，所以sin cos()2cos sin()πθπθθπθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--，2cos cos sin θθθ=-，221tan θ==--，故选：B 20．B 【详解】sin 241tan151sin 61tan 29cos29tan 29== 22sin 291cos 291m ==-=-，故选：B. 21．B 【详解】由()3sin πsin 5αα+=-=，则3sin 5α=-.又α是第三象限角，所以24cos 1sin 5αα=--=-，所以ππ43sin cos cos sin 22557ππ43cos sin sin cos 2255αααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 22．C 【详解】依题意，θ是第二象限角，而3sin 5θ=，则24sin 3cos 1sin ,tan 5cos 4θθθθθ=--=-==-， 所以342()sin()2sin()sin 2cos 2255232tan()2tan 152()4ππθθθθπθθ-+⋅-++--+===----⋅-. 故选：C 23．A 【详解】∵()tan 5m πα+=，4k παπ≠+，且2k παπ≠+，k ∈Z ，∴tan m α=，1m ≠， ∴()()()()sin cos tan 111sin cos tan sin 3cos 11n 1si cos a m m m m ααααααππαπαα------+====-+--+-+-+-+--．故选：A. 24．B 【详解】∵0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴55,636πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， ∴2553sin 1cos 662ππθθ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴553sin sin sin 6662πππθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：B 25．A 【详解】原式=sin()cos()cos 2cos sin()πθπθθθθ-+-， =2(sin )cos cos (sin )θθθθ--， =-sin θ. 故选：A 26．A 【详解】()33sin(600)tan 300sin120tan 60sin 60tan 60322-+︒=+-︒=︒︒-︒=-=-︒.故选：A. 27．B 【详解】由诱导公式可得：()sin sin 0παα+=-<，sin cos 02παα⎛⎫-=< ⎪⎝⎭所以sin 0α>，cos 0α<，所以α是第二象限角 故选：B 28．B 【详解】sin cos sin()2παββ==-，所以22k παβπ=-+或22k παππβ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，k Z ∈，即2()2k k Z παβπ+=+∈或2()2k k Z παπβ=++∈，因此题中应是必要不充分条件． 故选：B ． 29．B 【详解】因为sin sin(90)sin cos tan tan(90)1cos cos(90)cos sin αααααααααα︒-︒-=⋅=⋅=︒-， 所以tan1tan 2tan3tan89(tan1tan89)(tan 2tan88)(tan 44tan 46)tan 451︒︒︒︒=︒︒⋅︒︒︒︒︒=． 故选：B ． 30．A 【详解】由1sin()4πα+=-，得1sin 4α-=-，所以1sin 4α=，故15cos 4α=±. 由题意，a +β= 90°，所以sin β15cos ,4α==±，1cos sin 4βα==，tan 15β=±.故①③满足；对于②，由1cos()4πβ-=，得cos β= 14-，不满足；对于④，由tan()152πβ+=，可得115tan β-=.则15tan 15β=-，不满足.故可能与角a “广义互余”的有①③. 故选：A. 31．B 【详解】222221cos 10sin 10sin102sin 20sin 202sin 201cos 1602sin 2s 0s 6in in 110-===+-+--+-，故选：B. 32． A 【详解】3cos cos()2,sin cos 22παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos 2,(sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=-∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==， 故选：A ． 33．AB利用诱导公式，及sin tan cos ααα=A 选项：tan(1)tan1π+=，故A 正确；B 选项：sin()sin sin cos sin tan(360)tan cos o αααααααα--===--，故B 正确；C 选项：sin()sin tan cos()cos παααπαα-==-+-，故C 不正确；D 选项：sin cos cos()tan()cos (tan )cos 1sin(2)sin sin ααπαπααααπααα⋅----⋅-==-=---，故D 不正确故选：AB 34．AB 【详解】由题意知sin 0α<，cos 0α>，tan 0α<. 选项Asin 0tan αα>； 选项B ，cos sin 0αα->； 选项C ，sin cos 0αα<； 选项D ，sin cos αα+符号不确定. 故选：AB. 35．ABD 【详解】由诱导公式易知A 正确；B 正确，()sin()sin cos tan tan 360ααααα︒--==--；C 错误，cos()tan()sin(2)παπαπα----(cos )(tan )1sin ααα--==--；D 正确，312sin()sin 12sin cos 2ππθθθθ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，原式2(sin cos )|sin cos |θθθθ=-=-∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0,cos 0θθ><，∴sin θcos θ0->，∴312sin()sin sin cos 2ππθθθθ⎛⎫-+-=-⎪⎝⎭. 故选：ABD. 36．ABD 【详解】()()()()()sin 540cos 3601sin()tan 900tan 450tan 810xx x x x x--⋅⋅---- ()()()()()sin 180cos 1sin()tan 180tan 90tan 90xx x x x x --=⋅⋅----2sin 1cos cos sin cos sin 11tan sin cos tan tan xx x xx x xx x x x=⋅⋅==⨯=--， 当120x =时，原式3sin1202==，故选项A 正确； 当150x =时，原式1sin1502==，，故选项B 正确；当240x =时，原式()3sin 240sin 18060sin 602==+=-=-，故选项C 不正确； 当60x =-时，原式()3sin 60sin 602=-=-=-，故选项D 正确， 故选：ABD 37．2或2- 【详解】因为角α的终边落在直线y x =上，所以角α为第一或第三象限角，3sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-++=--⎝⎭⎝⎭， 当角α为第一象限角时，2cos sin 2αα==，22cos sin 222αα--=--=-； 当角α为第三象限角时，2cos sin 2αα==-，22cos sin 222αα--=+=． 故答案为：2或2-. 38．1 【详解】()()sin 420cos750sin 690cos 660sin 60cos30sin 30cos60331112222︒︒+-︒⋅-︒=︒+︒⋅︒=⋅+⋅=故答案为：139．35【详解】 由115tan tan 4αα-=，得24tan 15tan 40αα--=，得1tan 4α=-或tan 4α=. α为第二象限角，∴1tan 4α=-，π1sin sin(π)1cos sin 1tan 3241πcos sin 1tan 51sin sin(π)42αααααααααα⎛⎫+-+-⎪++⎝⎭∴====--⎛⎫+--- ⎪⎝⎭. 故答案为：35. 40．1- 【详解】sin cos tan |sin ||cos ||tan |y θθθθθθ=++sin cos tan |sin ||cos ||tan |αααααα=++ sin 2cos 2tan 2555|sin 2||cos 2||tan 2|555k k k k k k ππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin cos tan 555sin costan555ππππππ--=++--sin cos tan 5551111sincostan555ππππππ--=++=-+-=-.故答案为：1- 41．2- 【详解】点(1,2)P 是角θ终边上的一点，则2tan 21θ==5sin cos(3)cos cos 2cos 222cos sin cos sin 1tan sin sin()2πθπθθθθπθθθθθθπθ⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭====----⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故答案为：2- 42．520±【详解】61x x =-即26()10x x +-= ，解得13x = ，19x = ，1sin(π)sin 9αα-=-=，1sin 9α=- ， cos(5π)tan(2π)cos(π)tan()cos (tan )sin(3π)cot(π)sin(π)cot()sin (cot )αααααααααααα-⋅--⋅--⋅-==+⋅-+⋅--⋅-sin cos sin cos cos cos sin sin αααααααα⋅==⋅， 因为1sin 9α=-，所以45cos 9α=± ，那么原式值为520±. 故答案为：520±43．(1)2；(2)1. 【详解】(1)由诱导公式以及特殊角的三角函数值可得，3sin(90)5tan1805cos 0sin 5403sin 905tan 05cos 0sin 03505102-+︒+︒+︒=-++-=-+⨯+⨯-=(2) 由诱导公式可得，()3sin 2cos()cos(2)sin()229cos()sin(3)sin()sin()2sin (sin )cos (cos )cos sin sin cos 1.πππαααπαππαπααπααααααααα-+------+---=-=44．34±． 【详解】由sin α是方程25760x x --=的根，可得3sin 5α=-或sin 2α=（舍），原式233sin sin (tan )(tan )22sin (sin )ππαααααα⎛⎫⎛⎫-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯- 2cos (cos )tan (tan )sin (sin )αααααα⨯-⨯⨯-=⨯-tan α=-．由3sin 5α=-，可知α是第三象限或者第四象限角， 当α是第三象限时，4cos 5α=-，3tan 4α=； 当α是第四象限时，4cos 5α=，3tan 4α=-； 所以3tan 4α=或34-， 即所求式子的值为34±． 45．（1）cos α-；（2）12-；（3）265. 【详解】 解：（1）3sin(3)cos(2)sin()2()cos()sin()f παππαααπαπα---+=----sin cos (cos )cos cos sin αααααα-⨯⨯-==--⨯； （2）若313πα=-，则3111()cos()cos 332f παπ=--=-=-； （3）由1cos()25πα--=，可得1sin 5α=-， 因为[απ∈，3]2π，所以26cos 5α=-，所以26()cos 5f αα=-=. 46．（1）cos α；（2）38 【详解】 （1）原式()sin cos cos cos cos sin αααααα⋅⋅-==-⋅；（2）原式()()()sin 18030cos 18030cos 36060tan 60=-︒+︒⋅︒+︒⋅-︒-︒⋅︒()sin30cos30cos60tan 60=-︒⋅-︒⋅︒⋅︒131332228⎛⎫=-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 47．（1）6566+-或6566-；（2）13+. 【详解】（1） 角α的终边经过点(),2P x -，由三角函数的定义，23cos 62x x x α==+，解得10=±x . 当10x =时，30cos 6α=，6sin 6α=-，cos 656sin sin 6ααα-+=；当10x =-时，30cos 6α-=，6sin 6α=-，cos 656sin sin 6ααα++=-. （2）由诱导公式可得：()()sin 420cos 750sin 690cos 660tan(1380)sin 60cos30sin 30cos 60tan 6033113132222+--+-=++=⋅+⋅+=+o o o o o o o o o o48．（1）{4,2,0,6}--；（2）cos θ． 【详解】 解：（1）因为|sin |2cos |tan |2cot sin |cos |tan |cot |y αααααααα=+++，显然|,2k k Z παα⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭； 当α在第一象限时，sin 0α>、cos 0α>、tan 0α>，cot 0α>，所以sin 2cos tan 2cot 6sin cos tan cot y αααααααα=+++=； 当α在第二象限时，sin 0α>、cos 0α<、tan 0α<，cot 0α<，所以sin 2cos tan 2cot 4sin cos tan cot y αααααααα-=+++=---； 当α在第三象限时，sin 0α<、cos 0α<、tan 0α>，cot 0α>，所以sin 2cos tan 2cot 0sin cos tan cot y αααααααα-=+++=-； 当α在第四象限时，sin 0α<、cos 0α>、tan 0α<，cot 0α<，所以sin 2cos tan 2cot 2sin cos tan cot y αααααααα--=+++=--； 综上可得{}4,2,0,6y ∈--；（2）sin()cos(6)7sin cot 22θπθπππθθ--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin cos cos tan θθθθ-=- sin cos cos sin cos cos θθθθθθ==⋅49．（Ⅰ）2-；（Ⅱ）13. 【详解】（Ⅰ）∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan 0α>.由2tan tan 20αα--=，解得tan 2α=，或tan 1α=-（舍去）. ∴tan()tan 2παα-=-=-.（Ⅱ）2021sin sin(2021)cos sin 2cos()2sin()cos 2sin παπααααπααα⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭=-++- 1tan 112tan 3αα-==-.50．（1）1；（2）tan α． 【详解】（1）22(cos10sin10)12sin100cos 28012cos10sin10cos10sin101cos10sin170cos10sin10cos10sin10cos3701cos 170︒-︒-︒︒-︒︒︒-︒====︒-︒︒-︒︒-︒︒--︒； （2）()()()()sin tan 5sin()(tan )sin tan tan 2cos 2(tan )cos cos αππαπααααπαπαααα--+--===-----．51．（1）1m =-，tan 22α=-；（2）211. 【详解】（1）由三角函数定义可知22222sin 38m α==+，解得1m =±，∵α为第二象限角，∴1m =-，所以tan 22α=-． （2）由（1）知tan 22α=-，()()sin cos 3sin sin sin cos 3cos sin 2cos cos 3sin cos cos cos 3sin cos παβαβαβαβπαβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=-+--+ ()tan 3tan 223213tan tan 12232αβαβ+-+=-=-++-⨯211=。
全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：诱导公式
全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：诱导公式1．(全国名校·山东师大附中模拟)(tan10°－3)sin40°的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 (tan10°－3)·sin40°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·sin40°＝－sin50°cos10°·cos60°·sin40°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.2．(全国名校·广东珠海期末)已知tan (α＋π5)＝2，tan (β－4π5)＝－3，则tan(α－β)＝( )A ．1B ．－57C.57 D ．－1答案 D解析 ∵t an(β－4π5)＝－3，∴tan (β＋π5)＝－3.∵tan (α＋π5)＝2，∴tan (α－β)＝tan [(α＋π5)－(β＋π5)]＝tan （α＋π5）－tan （β＋π5）1＋tan （α＋π5）tan （β＋π5）＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.故选D.3．(全国名校·湖南永州一模)已知sin (α＋π6)＋cos α＝－33，则cos(π6－α)＝( )A ．－223B.223 C ．－13D.13 答案 C解析 由sin (α＋π6)＋cos α＝－33，得sin (α＋π3)＝－13，所以cos(π6－α)＝cos[π2－(α＋π3)]＝sin (α＋π3)＝－13.4．(全国名校·山东，文)函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．π D ．2π答案 C解析 ∵y ＝3sin2x ＋cos2x ＝2(32sin2x ＋12cos2x)＝2sin(2x ＋π6)，∴T ＝2π2＝π.故选C. 5．在△ABC 中，tanA ＋tanB ＋3＝3tanAtanB ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4答案 A解析 由已知得tanA ＋tanB ＝－3(1－tanAtanB)， ∴tanA ＋tanB1－tanAtanB＝－3，即tan(A ＋B)＝－ 3.又tanC ＝tan[π－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝3，0<C<π，∴C ＝π3.6.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 C解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.7．(全国名校·河北冀州考试)(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°·(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.8．(全国名校·课标全国Ⅰ，理)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 C解析 ∵α，β∈(0，π2)，∴－β∈(－π2，0)，∴α－β∈(－π2，π2)．∵tan α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos α＝1＋sin βcos β. 即sin αcos β－cos αsin β＝cos α. 化简得sin (α－β)＝cos α.∵α∈(0，π2)，∴cos α>0，sin (α－β)>0.∴α－β∈(0，π2)，得α－β＋α＝π2，即2α－β＝π2，故选C.9．(全国名校·湖北中学联考)4sin80°－cos10°sin10°＝( )A. 3 B ．－ 3 C. 2 D ．22－3答案 B 解析4sin80°－cos10°sin10°＝4sin80°sin10°－cos10°sin10°＝2sin20°－cos10°sin10°＝2sin （30°－10°）－cos10°sin10°＝－ 3.故选B.10．(全国名校·四川自贡一诊)已知cos (α＋2π3)＝45，－π2<α<0，则sin (α＋π3)＋sin α＝( )A ．－435B ．－335C.335D.435答案 A 解析 ∵cos (α＋2π3)＝45，－π2<α<0，∴cos (α＋23π)＝cos αcos 23π－sin αsin 23π＝－12cos α－32sin α＝45，∴32sin α＋12cos α＝－45.∴sin (α＋π3)＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3(32sin α＋12cos α)＝－435.故选A.11．(全国名校·湖南邵阳二联)若tan π12cos 5π12＝sin 5π12－msin π12，则实数m 的值为( )A ．2 3B. 3C ．2D ．3答案 A解析 由tan π12cos 5π12＝sin 5π12－msin π12，得sin π12cos 5π12＝sin 5π12cos π12－msin π12cos π12，∴12msinπ6＝sin(5π12－π12)＝sin π3，解得m ＝2 3. 12．(2013·课标全国Ⅱ，理)设θ为第二象限角，若tan (θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ＝________．答案 －105解析 由tan (θ＋π4)＝1＋tan θ1－tan θ＝12，得tan θ＝－13，即sin θ＝－13cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得109cos 2θ＝1.因为θ为第二象限角，所以cos θ＝－31010，sin θ＝1010.所以sin θ＋cos θ＝－105.13．化简：sin （3α－π）sin α＋cos （3α－π）cos α＝________.答案 －4cos2α解析 原式＝－sin3αsin α＋－cos3αcos α＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4αsin αcos α＝－4sin αcos α·cos2αsin αcos α＝－4cos2α.14．求值：1sin10°－3sin80°＝________．答案 4解析 原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2（12cos10°－32sin10°）sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin （30°－10°）sin20°＝4.15．已知cos (α＋β)cos (α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________．答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.16．(全国名校·北京，理)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos (α－β)＝________．答案 －79解析 方法一：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos (α－β)＝cos(2k π＋π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝－[1－2×(13)2]＝－79.方法二：因为sin α＝13>0，所以角α为第一象限角或第二象限角，当角α为第一象限角时，可取其终边上一点(22，1)，则cos α＝223，又(22，1)关于y 轴对称的点(－22，1)在角β的终边上，所以sin β＝13，cos β＝－223，此时cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×(－223)＋13×13＝－79.当角α为第二象限角时，可取其终边上一点(－22，1)，则cos α＝－223，因为(－22，1)关于y 轴对称的点(22，1)在角β的终边上，所以sin β＝13，cosβ＝223，此时cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－223)×223＋13×13＝－79.综上可得，cos (α－β)＝－79.17．(全国名校·广东深圳测试)2sin46°－3cos74°cos16°＝________．答案 1 解析2sin46°－3cos74°cos16°＝2sin （30°＋16°）－3sin16°cos16°＝cos16°cos16°＝1.18．(全国名校·江苏泰州中学摸底)已知0<α<π2<β<π，且sin (α＋β)＝513，tan α2＝12.(1)求cos α的值；(2)证明：sin β>513.答案 (1)35(2)略解析 (1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－（12）2＝43.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1.又α∈(0，π2)，解得cos α＝35.(2)证明：由已知得π2<α＋β<3π2.∵sin (α＋β)＝513，∴cos (α＋β)＝－1213.由(1)可得sin α＝45，∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝513×35－(－1213)×45＝6365>513.19.(全国名校·江苏南京调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B.若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.(1)求cos (α－β)的值； (2)求α＋β的值． 答案 (1)－55 (2)3π4解析 因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是31010，所以由任意角的三角函数的定义可知cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010.因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55.(1)cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×(－55)＋1010×255＝－210.(2)sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αcos β＝1010×(－55)＋31010×255＝22. 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(π2，3π2)，所以α＋β＝3π4.。
高中数学诱导公式全集高三英语作文套题万能公式高考语文现代文规范答题模式
高中数学诱导公式全集+高三英语作文套题万能公式+高考语文现代文规范答题模式一、高中数学诱导公式全集:常用旳诱导公式有如下几组:公式一:设α为任意角, 终边相似旳角旳同一三角函数旳值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二:设α为任意角, π+α旳三角函数值与α旳三角函数值之间旳关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三:任意角α与 -α旳三角函数值之间旳关系:sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四:运用公式二和公式三可以得到π-α与α旳三角函数值之间旳关系: sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五:运用公式一和公式三可以得到2π-α与α旳三角函数值之间旳关系: sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α旳三角函数值之间旳关系:sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意: 在做题时, 将a当作锐角来做会比很好做。
高中数学专题6.5三角函数的诱导公式(2个考点六大题型) 试卷及答案
专题6.5三角函数的诱导公式（2个考点六大题型）【题型1 诱导公式一】【题型2 诱导公式二、三、四】【题型3 诱导公式五、六】【题型4 诱导公式-恒等式的证明】【题型5 诱导公式-化简、求值】【题型6 正切函数的诱导公式】【题型1 诱导公式一】cos390=（D．-sin1080=)2820 1．（2023春·北京东城·高一北京市第一六六中学校考阶段练习）sin210=（ ）1210cos120tan 45+= 根据诱导公式，填适当的式子，使为第二象限角，且sin θcos165=（-24sin(α-是ABC的高一校考开学考试）已知ABC为锐角三角形，则下列不等关系中cos cosA>sin cosA>高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）（多选）已知cos2cos882sin47sin133+=；（cos5cos852sin50sin130+=． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 秋·高一课时练习）求证：当2=或3时，tan(cos(2k 2π1203=πsin(2α-秋·高一课时练习）)tan2022,sin2022位于(2)若()0,πθ∈,且()25fθ=-,求cos sinθθ-的值．专题6.5三角函数的诱导公式（2个考点六大题型）【题型1 诱导公式一】【题型2 诱导公式二、三、四】【题型3 诱导公式五、六】【题型4 诱导公式-恒等式的证明】【题型5 诱导公式-化简、求值】【题型6 正切函数的诱导公式】【题型1 诱导公式一】cos390=（D．-()3cos390cos36030cos302=+==.辽宁葫芦岛·高一统考期末）17sin4π的值为（sin1080=.()sin1080sin33600sin00=⨯+==；cos高一课时练习）已知12cot5θ=-，且θ为第二象限角，．)2820)()32820sin 836060sin 602=-⨯+==.ππtan 144⎫==⎪⎭. ππ2⎫()1sin210sin 18030sin 302=+=-=-.高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，若角【详解】(sin πθ+的终边可能在第三或第四象限CD.2023春·吉林长春列结论正确的是（210cos120tan 45+= 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值. ()()11sin 18030cos 18060210cos120sin 30cos 60221tan 45tan 45tan 451--++-+--====-. 故答案为：-12023春·福建福州·高二校考期末）根据诱导公式，填适当的式子，使 cosα=-cos165=（ 24- ()cos165cos 9075sin 75=+=-，则()75sin 3045sin30cos 45cos30sin 45=+=+1222=⨯+26cos165sin 754+︒=-︒=-． 故选：A ．是ABC的高一校考开学考试）已知ABC 为锐角三角形，则下列不等关系中cos cos A >sin cos A >【分析】因为ABC 为锐角三角形，所以π【详解】因为ABC 为锐角三角形，,,3πcos A >,4πcos A <π因为ABC 为锐角三角形，,2B π+>∴,02A π<<sin(2A π>cos2cos882sin47sin133+=；（cos5cos852sin50sin130+=． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． ()()()cos 90cos 2sin 45sin 135αααα-+=+-，证明见详解.【分析】观察结构猜想等式，利用三角恒等变换证明即可)()()cos 90cos 245sin 135αααα-+=+- 证明：由诱导公式可得()()()cos 90sin ,sin 135sin 45αααα-=-=+，)()()()90cos sin cos cos 2sin cos 45cos sin 4545sin 135sin 45ααααααααααα-+++===++-+ 秋·高一课时练习）求证：当2k =或3时，tan(π)tan(π)cos(2π)sin[(21)π]k k k k αααα-+=-++【答案】证明见解析【详解】(tan 3π+C.2023·全国·高三专题练习）已知 【答案】B2π1203=πsin(2α-ABD2π1203=πtan 4=cos α，所以【详解】(cos πα-)πsin α-=-AB.2023秋·广东河源3π⎫⎛）π6θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以，5π6fθ⎛+⎝故答案为：（1）1．（2022秋·甘肃兰州·高一校考期末）在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P 位于第（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】运用诱导公式计算出P 点坐标的符号就可判断出P 点所在的象限.【详解】()tan 2022tan 5360222tan 2220︒︒︒︒=⨯+=> ，()sin 2022sin 5360222sin 2220︒︒︒︒=⨯+=< ， ()tan 2022,sin 2022P ︒︒∴ 在第四象限；故选：D.2．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）已知偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，若tan114a =︒，tan172b =︒，tan 287c =︒，则下列不等关系中正确的是（ ） A ．()()()f c f b f a >> B ．()()()f c f a f b >> C ．()()()f b f c f a >> D ．()()()f b f a f c >>【答案】D【分析】根据题意，由三角函数的诱导公式可得tan114tan 66a =︒=-︒，tan172tan8b =︒=-︒，tan 287tan107tan 73c =︒=︒=-︒，由正切函数的性质结合函数的奇偶性和单调性分析可得答案．，04π<-，而060<正确；23,cos π⎛⎫= ⎪3013π<<故选：ACD.4．（2023【答案】－【分析】利用诱导公式化简计算即可π25π5ππππcos tan sin πcos 32πtan π346346⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ πππ3232cos tan 3462234⎛⎫⎛⎫-=-⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故答案为：24. 2021秋·北京通州·高一校考阶段练习）已知cos α是方程2320x x --=三象限角，求3sin α⎛-+ ⎝，2sin cos α+3cos 2sin 2ππα⎫⎛+⎪ ⎭⎝⎫⎛+⎪ ⎭⎝全国·高一专题练习）已知）()f θ=-cos θθ=-sin 0θθ-<sin θθ-=。
三角函数的诱导公式习题及答案解析
三角函数的诱导公式1. 任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？2. 2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数之间的关系是什么？3.你能求750°和930°的值吗？4.利用公式一，可将任意角的三角函数值，转化为00～3600范围内的三角函数值.其中锐角的三角函数是我们熟悉的，而对于900～3600范围内的三角函数值，能否转化为锐角的三角函数值，这就是我们需要研究和解决的问题.同名三角函数的诱导公式思考：对于任意给定的一个角α，角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？根据三角函数定义：对比α，α，α的值，π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？思考：对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终边有什么关系？设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y），则－α的终边与单位圆的交点坐标如何？利用π－α＝π＋(－α)，结合公式二、三，你能得到什么结论？公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，再放上将α当作锐角时原函数值的符号.即函数同名，象限定号.利用诱导公式一～四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是：例3 求下列各三角函数的值：1，求下列各式的值：例4 已知(π＋x)＝3（1）(2π－x)；（2）(π－x). 例5 化简：异名三角函数的诱导公式思考：若α为一个任意给定的角，那么απ-2的终边与角α的终边有什么对称关系？点P1（x ，y ）关于直线对称的点P2的坐标如何？ 设角α的终边与单位圆的交点为P 1（x ，y ），则απ-2的终边与单位圆的交点为P 2（y ，x ），根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？ 公式五思考2：απ+2与απ-2有什么内在联系？公式六证明下列等式三角形中的三角函数问题三角函数的化简求值.(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限（A）f(1)<f(2)<f(3) （B）f(2)<f(1)<f(3) （C）f(2)<f(3)<f(1) （D）f(3)<f(2)<f(1)三角函数的诱导公式练习一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的.） 1、与－463°终边相同的角可表示为（ ） A ．k·360°＋436°（k ∈Z ） B ．k·360°＋103°（k ∈Z ）C ．k·360°＋257°（k ∈Z ）D ．k·360°－257°（k ∈Z ） 2、下列四个命题中可能成立的一个是（ ） A 、21cos 21sin ==αα且 B 、1cos 0sin -==αα且C 、1cos 1tan -==αα且D 、α是第二象限时，αααcos tan sia -=3、若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（ ） A 、34- B 、43 C 、43± D 、34± 4、若2cos sin =+αα，则ααcot tan +等于（ ）A 、1B 、2C 、-1D 、-2 1、 ︒︒+450sin 300tan 的值为（ ）A 、31+B 、31-C 、31--D 、31+-5、若A 、B 、C 为△的三个内角，则下列等式成立的是（ ）A 、A CB sin )sin(=+ B 、AC B cos )cos(=+ C 、A C B tan )tan(=+D 、A C B cot )cot(=+ 6、)2cos()2sin(21++-ππ等于 （ ）A ．2－2B ．2－2C ．±（2－2）D ．227、αα＝81，且4π＜α＜2π，则α－α的值为（ ）A ．23 B ．23-C ．43D ．43-8、在△中，若最大角的正弦值是22，则△必是（ ）A 、等边三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形9、下列不等式中，不成立的是（ ） A 、︒︒>140sin 130sin B 、︒︒>140cos 130cos C 、︒︒>140tan 130tan D 、︒︒>140cot 130cot10、已知函数2cos )(x x f =，则下列等式成立的是（ ） A 、)()2(x f x f =-π B 、)()2(x f x f =+πC 、)()(x f x f -=-D 、)()(x f x f =-11、若θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=++m mx x 的两个实根，则m 值为（ ）A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,34m B 、51-=m C 、51±=m D 、51+=m12、已知()sin()cos()4f x a x b x παπβ=++++（,,,a b αβ为非零实数）， (2011)5f = 则(2012)f =（ ）A ．1B ．3C ．5D ．不能确定 二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13、化简=+-+βαβαβα222222cos cos sin sin sin sin . 14、若0cos 3sin =+αα，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .15、=-︒)945cos( . 16、=⋅⋅⋅⋅⋅⋅︒︒︒︒89tan 3tan 2tan 1tan .三、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17、求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒18、 化简：)(cos )tan()2tan()cos()(sin 32πααππααππα--⋅+--+⋅+.19、已知21)sin(=+απ，求απααπcos )tan()2sin(⋅-+-的值.20、已知54sin -=α. 求ααtan cos 和的值 .21、（10分）已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+22、已知1)sin(=+βα，求证 0tan )2tan(=++ββα参考答案一、选择题（每小题4分，共48分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 总分答案B AC B B A C B CD B B二、填空题（每小题4分，共16分） 13、1. 14、115-15、22- 16、1三、解答题（本大题共5道小题，共36分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17、提示：[]1cos tan cot cos sin )cos (tan cot )cos (sin )(cos tan )2cot()cos ()sin (323232-=⋅-⋅⋅=-⋅⋅-⋅=+⋅+-⋅-⋅-=αααααααααααπααπαα原式18、提示：利用诱导公式，原式=219、提示：54sin -=α ，∴角α在第三、四象限，（1） 当α在第三象限，则34tan ,53cos =-=αα（2） 当α在第四象限，则34tan ,53cos -==αα20、提示：右边左边=-=+-=--=ααααααααααααcos sin cos sin cos sin sin 1cos 1sin cos cos sin 22故等式成立 21、提示：)(22,1)sin(Z k k ∈+=+∴=+ππβαβα)(22Z k k ∈-+=∴βππα,0tan tan tan )tan(tan )4tan(tan )24tan(tan )22(2tan tan )2tan(=+-=+-=+-+=++-+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=++ββββπββππβββππβββππββαk k k0tan )2tan(=++∴ββα。
高考数学专题： 三角函数的诱导公式
第四章
三角函数
三角函数的诱导公式
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－ 3－1 ． 1. (必修4P19例1改编)计算：tan300° ＋2sin450° · cos(－120° ) 的值为__________
cos
2
π π π 2 x＋ ＋1＝sinx＋ ＋sin x＋ ＝a＋a2. 6 6 6
知识梳理 1. 诱导公式 －α sin( ) cos( ) tan( ) －sin α cos α －tan α π－α sin α π＋α 2π－α π 2－α cos α sin α / π 2＋α cos α 3π 2 －α 3π 2 ＋α
【解析】tan300° ＋2sin450° cos(－120° )＝tan(360° －60° )＋2sin(360° ＋90° ) cos120° ＝tan(－60° )＋2sin90° cos(180° －60° )＝－tan60° －2cos60° ＝－ 3－1.
2.
2 π 5 (必修4P23习题11改编)已知tan(π＋θ)＝2，那么sinθ· sin2－θ＝________.
π 以sinθsin tanθ 2 2 ＝ ＝ . tan2θ＋1 22＋1 5
sinθ· cosθ ＝sinθcosθ＝ ＝ 2 2 sin θ＋cos θ
2 3. (必修4P20练习3改编)化简：sin2(π＋α)－cos(π＋α)· cos(－α)＋1＝________.
cos180° ＋10° [－sin180° ＋30° ] (2) 原式＝ cos360° －10° [－tan360° ＋225° ]
高中数学 三角函数诱导公式(带答案)
习题精炼一、选择题1、下列各式不正确的是 （ ）A ． sin （α＋180°）=－sin αB ．cos （－α＋β）=－cos （α－β）C ． sin （－α－360°）=－sin αD ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 2、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于（ ） A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．32 m3、⎪⎭⎫⎝⎛-π619sin 的值等于（ ） A ．21B ． 21-C ．23 D ． 23-4、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ C ）A ．)(]22,22[Z k k k ∈++-ππππB ．)()223,22(Z k k k ∈++ππππC ．)(]223,22[Z k k k ∈++ππππD ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ5．已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为 （ ）A ．5B ．－5C ．6D ．－66、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是A ．－43B ．43C ．－43D ．437．设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为 （ ）A ．211aa ++ B ．－211aa ++ C ．211aa +-D ．211aa +-8．若)cos()2sin(απαπ-=+，则α的取值集合为（ ）A ．}42|{Z k k ∈+=ππαα B ．}42|{Z k k ∈-=ππααC ．}|{Z k k ∈=πααD ．}2|{Z k k ∈+=ππαα二、填空题1、求值：sin160°cos160°（tan340°＋cot340°）= ．2、若sin （125°－α）=1213,则sin （α＋55°）=．3、cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7 = ．4、已知,1)sin(=+βα则=+++)32sin()2sin(βαβα .三、解答题1、已知 3)tan(=+απ, 求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．2、若cos α＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．3、设sin ,(0)()(1)1,(0)x x f x f x x π<⎧=⎨-+≥⎩和1cos ,()2()1(1)1,()2x x g x g x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩求)43()65()31()41(f g f g +++的值.4．设)(x f 满足)2|(|cos sin 4)(sin 3)sin (π≤⋅=+-x xx x f x f ,（１） 求)(x f 的表达式；（2）求)(x f 的最大值．《诱导公式》参考答案一、选择题ABAC BABC二、填空题1、1．2、1312．3、0．4、0三、解答题1、7．2、25．3、22)41(=g ， 5312()1,()s i n ()1,6233g f π=+=-+ 1)4sin()43(+-=πf ， 故原式=3．4、解析：（１）由已知等式(sin )3(sin )4sin cos f x f x x x -+=⋅ ①得x x x f x f cos sin 4)sin (3)(sin -=-+ ② 由３⨯①－②，得8x x x f cos sin 16)(sin ⋅=，故212)(x x x f -=．（２）对01x ≤≤，将函数212)(x x x f -=的解析式变形，得2242()2(1)2f x x x x x =-=-+＝22112()24x --+，当22x =时，max 1.f =。
专题4.1 三角函数---诱导公式(有详细答案)
专题4.1 三角函数---诱导公式【考点定位】2020考纲解读和近几年考点分布 一、任意角的概念、弧度制① 了解任意角的概念. ② 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化. 二、三角函数① 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. ② 能灵活运用诱导公式，③ 理解同角三角函数的基本关系式： 22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x= 三、三角恒等变换：两角和与差的三角函数公式 【考点pk 】【考点一 有关三角函数的概念和公式的简单应用】 例1：若)2sin()tan()2cos()sin(απαπαπαπ+---=33-，且()πα,0∈. 求：（1）ααααsin cos sin cos +-；（2）ααα2cos cos sin 1+-的值．历年高考试题之一1、（山东文、理3）若点（a , 9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为 （A ）0(B)(C) 1(D)2、（全国文14 ）已知3(),tan 22παπα∈=，，则cos α= 3、（全国理14）若3cos 5a =-,且3(,)2a ππ∈，则tan a = 4．（高考全国卷I 理科2）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=C.5． “()24x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的 （ ）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件.6．（高考全国Ⅰ卷文科1） cos300︒=(A)2-(B)-12 (C)12(D) 2 7．已知α是第二象限的角, tan α=1/2，则cos α=__________ 8． “6πα=”是“1cos 22α=”的 A ． 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（A ）43-（B ）54（C ）34-（D ）4510． o585sin 的值为(A) 2-(B)2(C)2- (D) 2 11．下列关系式中正确的是（ ）A ．0sin11cos10sin168<< B ．0sin168sin11cos10<< C ．0sin11sin168cos10<< D ．0sin168cos10sin11<< 12．若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= . 13、已知α∈R ，则cos()2π+α=（ ）A ．sin αB ．cos αC ．sin -αD ．cos -α14、已知3cos()5x π+=，(, 2)x ππ∈，则tan x = . 15、设α是第三象限角，5tan 12α=，则=αcos ；16、已知54cos -=α且π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于( )(A)71-(B)7- (C)71(D)717．在平面直角系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α、β的终边分别与单位圆交于点125(,)1313和34(,)55-，那么sin cos αβ等于 ( )A ．3665- B. 313- C ．413 D. 486518．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且sin 5θ=-，则y= . 【考点二 三角恒等变换】例1：cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B ．3C ．2D ．2历年高考试题之二 1、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________2、已知α∈(2π，π)，sin α=5，则tan 2α=3、已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （ ）A 54-B 53-C 32D 434、已知函数()12sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈．（1）求()0f 的值； （2）设10,0,,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()632,5f βπ+=求()sin αβ+的值． 5．若sin a = -45，a 是第一象限的角，则sin()4a π+=（A ）-10 （B ）10 （C ） -10 （D ）106．已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . 7．已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值作业： 一、选择题1．已知0cos sin >αα，则角α的终边所在的象限是（ ）A ．第一、二象限B ．第二、四象限C ．第一、三象限D ．第三、四象限 2．如果角θ的终边过点P （a ,3a ）(a ≠0),则sin θ的值为（ ）A 、10103 B 、1010 C 、10103± D 、1010± 3．已知α是三角形的一个内角,且32cos sin =+αα,则这个三角形是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．不等腰的直角三角形 D ．等腰直角三角形 4．若sin 0α<且tan 0α>，则α的终边在( )A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 5．若0cos sin <αα，则角α的终边在 （ ）A.第二象限B.第四象限C.第二、四象限 D .第三、四象限6．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ） A.43-B.34- C.43 D.347．下列命题中的真命题是( )A.三角形的内角必是第一象限或第二象限的角B.角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点 C ．终边相同的角必相等 D. 终边在第二象限的角是钝角 8．函数,cos 2sin x x =则x x cos sin ∙的值是（ ）A.41 B. 21 C. 52D. 329．已知3sin 5α=- ，4cos 5α=，则tan α ( ) A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 10．已知αααααtan ,5cos 5sin 3cos 2sin 那么-=+-的值为 （ ）A ．－2B ．2C ．1623D ．－162311．已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．若是α第二象限角，则1sin 1tan 2-αα化简的结果是 （ ） A ．1 B ．－1 C ．tan 2α D ．－tan 2α13．425sin2)311tan()415(cos 42πππ+--的值为（ ）A ．1B ．13-C ．12-D ．()122-14）A ．cos160︒ B. cos160-︒ C ．cos160±︒ D.cos160±︒ 15．0sin 390=( )A ．21 B ．21- C ．23D ．23-16．式子sin2 cos3 tan4的值 （ ）A 小于0B 大于0C 等于0D 不存在二、填空题 1．函数tan()4y x π=+的定义域为 . 2．已知sin cos θθ-=44sin cos θθ+= 3．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___ 、___ 、___ 象限． 4．已知2tan -=α.则ααα2cos cos sin 2+的值为 .. 5．已知角α的终边过点P(–5, 12)，则cos α=_____________． 6．若3sin 5θ=-，tan 0θ>，则cos θ=_____________． 7．已知tan1a =，tan 2b =，tan3c =，则a ，b ，c 的大小关系是_____________．三、解答题1．(1)计算：23tan()6π-；(2)已知4cos5x=-，且(,),2xππ∈--求tan x得值.2、已知函数1()2sin(),36f x x x Rπ=-∈（1）求5()4fπ的值；（2）设106,0,,(3),(32),22135f fππαβαβπ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦求cos()αβ+的值.专题4.1 三角函数---诱导公式 答案【考点一 有关三角函数的概念和公式的简单应用】 例1、解：【名师点睛】①给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值；②对于给值求值的问题的结构特点是“齐次式”，求值时通常利用同角三角函数关系式，常数化为正弦和余弦的性质，再把正弦化为正切函数的形式. 历年高考试题之一1、D 【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===2、【解析】由22222cos 11cos ,sin cos tan 15ααααα===++又3(),cos 02παπα∈<，所以cos 5α=- 3、【解析】∵cos α=35-，且3(,)2παπ∈，∴4sin 5α=-，∴tan α=sin cos αα=34. 4、B 【解析】222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,所以tan100tan80︒=-sin 80cos80=-=-5、A 解析：14tan)42tan(==+πππk ，所以充分；但反之不成立，如145tan=π 6、C 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒=7、【解析】5-∵1tan 2α=-，∴cos 5α=-8、【答案】A查.当2()6k k Z παπ=+∈时，1cos 2cos 4cos 332k ππαπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，反之，当1cos 22α=时，有()2236k k k Z ππαπαπ=+⇒=+∈，或()2236k k k Z ππαπαπ=-⇒=-∈，故应选A.9、D 【解析】222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos θθθθθθθθθθ+-+-=+ ＝22tan tan 2tan 1θθθ+-+＝4224415+-=+10、A 解：2245sin )45180sin()225360sin(585sin -=-=+=+=oo o o o o 11、C 解析：因为sin160sin(18012)sin12,cos10cos(9080)sin80︒︒︒︒︒︒︒︒=-==-=，由于正弦函数sin y x =在区间[0,90]︒︒上为递增函数，因此sin11sin12sin80︒︒︒<<，即sin11sin160cos10︒︒︒<<。
高一三角函数公式及诱导公式习题(附答案)
三角函数公式1． 同角三角函数根本关系式 sin 2α＋cos 2α=1 sin αcos α=tan α tan αcot α=12． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin αcos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α 〔二〕 sin(π2 －α)＝cos α sin(π2+α)＝cos αcos(π2 －α)＝sin α cos(π2 +α)＝- sin αtan(π2 －α)＝cot α tan(π2 +α)＝-cot αsin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π2 +α)＝-cos αcos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π2 +α)＝sin αtan(3π2 －α)＝cot α tan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α3． 两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)=tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β4． 二倍角公式 sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α1－tan 2α5．公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2sin2α＝1－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)〔1－tanαtanβ〕tanα－tanβ＝tan(α－β)〔1＋tanαtanβ) （4）万能公式〔用tanα表示其他三角函数值〕sin2α＝2tanα1+tan2αcos2α＝1－tan2α1+tan2αtan2α＝2tanα1－tan2α6．插入辅助角公式asinx＋bcosx=a2+b2sin(x+φ) (tanφ= b a)特殊地：sinx±cosx＝ 2 sin(x±π4)7．熟悉形式的变形〔如何变形〕1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα假设A、B是锐角，A+B＝π4，那么〔1＋tanA〕(1+tanB)=28．在三角形中的结论假设：A＋B＋C=π, A+B+C2=π2那么有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtan A2tanB2＋tanB2tanC2＋tanC2tanA2＝1三角函数的诱导公式1一、选择题1．如果|cos x |=cos 〔x +π〕，那么x 的取值集合是〔 〕 A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ．2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．〔2k +1〕π≤x ≤2〔k +1〕π〔以上k ∈Z 〕2．sin 〔－6π19〕的值是〔 〕 A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－23 3．以下三角函数：①sin 〔n π+3π4〕；②cos 〔2n π+6π〕；③sin 〔2n π+3π〕；④cos ［〔2n +1〕π－6π］；⑤sin ［〔2n +1〕π－3π］〔n ∈Z 〕．其中函数值与sin 3π的值相同的是〔 〕 A ．①② B ．①③④ C ．②③⑤ D ．①③⑤4．假设cos 〔π+α〕=－510，且α∈〔－2π，0〕，那么tan 〔2π3+α〕的值为〔 〕 A ．－36B ．36C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，以下关系恒成立的是〔 〕 A ．cos 〔A +B 〕=cos C B ．sin 〔A +B 〕=sin C C ．tan 〔A +B 〕=tan CD ．sin2B A +=sin 2C6．函数f 〔x 〕=cos 3πx〔x ∈Z 〕的值域为〔 〕 A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1}D ．{－1，－23，23，1} 二、填空题7．假设α是第三象限角，那么)πcos()πsin(21αα---=_________． 8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________． 三、解答题9．求值：sin 〔－660°〕cos420°－tan330°cot 〔－690°〕．10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ．11．cos α=31，cos 〔α+β〕=1，求证：cos 〔2α+β〕=31．12． 化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14． 求证：〔1〕sin 〔2π3－α〕=－cos α； 〔2〕cos 〔2π3+α〕=sin α．参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二、填空题7．－sin α－cos α 8．289 三、解答题 9．43+1． 10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++，右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--， 左边=右边，∴原等式成立．11．证明：∵cos 〔α+β〕=1，∴α+β=2k π．∴cos 〔2α+β〕=cos 〔α+α+β〕=cos 〔α+2k π〕=cos α=31．12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边，∴原等式成立．14证明：〔1〕sin 〔2π3－α〕=sin ［π+〔2π－α〕］=－sin 〔2π－α〕=－cos α． 〔2〕cos 〔2π3+α〕=cos ［π+〔2π+α〕］=－cos 〔2π+α〕=sin α．三角函数的诱导公式2一、选择题： 1．sin(4π+α)=23，那么sin(43π-α)值为〔 〕 A.21 B. —21 C. 23 D. —23 2．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为〔 〕 A.23 B. 21 C. 23± D. —233．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得〔 〕A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2) 4．α和β的终边关于x 轴对称，那么以下各式中正确的选项是〔 〕 A.sinα=sinβ B. sin(α-π2) =sinβ C.cosα=cosβ D. cos(π2-α) =-cosβ 5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于〔 〕， A. 51〔4+5〕 B. 51〔4-5〕 C. 51〔4±5〕 D. 51〔5-4〕二、填空题： 6．cos(π-x)=23，x ∈〔-π，π〕，那么x 的值为 ． 7．tanα=m ，那么=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ．8．|sinα|=sin 〔-π+α〕，那么α的取值范围是 ． 三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．：sin 〔x+6π〕=41，求sin 〔)67x +π+cos 2〔65π-x 〕的值．11． 求以下三角函数值： 〔1〕sin 3π7；〔2〕cos 4π17；〔3〕tan 〔－6π23〕；12． 求以下三角函数值：〔1〕sin3π4·cos 6π25·tan 4π5； 〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］.13．设f 〔θ〕=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f 〔3π〕的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A 6．±65π7．11-+m m 8．[(2k-1) π,2k π]9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．161111．解：〔1〕sin 3π7=sin 〔2π+3π〕=sin 3π=23.〔2〕cos4π17=cos 〔4π+4π〕=cos 4π=22.〔3〕tan 〔－6π23〕=cos 〔－4π+6π〕=cos 6π=23.〔4〕sin 〔－765°〕=sin ［360°×〔－2〕－45°］=sin 〔－45°〕=－sin45°=－22. 注：利用公式〔1〕、公式〔2〕可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：〔1〕sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin 〔π+3π〕·cos 〔4π+6π〕·tan 〔π+4π〕 =〔－sin3π〕·cos 6π·tan 4π=〔－23〕·23·1=－43.〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］=sin 〔π－3π2〕=sin 3π=23.13．解：f 〔θ〕=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+=θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++---=θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-=θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-＝cos θ－1， ∴f 〔3π〕=cos 3π－1=21－1=－21.。
高考数学复习典型题型专题讲解与练习23 诱导公式
高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题23 诱导公式题型一 三角函数的化简、求值——诱导公式1．已知sin(π)α-是方程61x =cos(5π)tan(2π)sin(3π)cot(π)αααα-⋅-+⋅-的值.【答案】【解析】61x =210=13= ，19x = ，1sin(π)sin 9αα-=-=，1sin 9α=- ， cos(5π)tan(2π)cos(π)tan()cos (tan )sin(3π)cot(π)sin(π)cot()sin (cot )αααααααααααα-⋅--⋅--⋅-==+⋅-+⋅--⋅- sin cos sin cos cos cos sin sin αααααααα⋅==⋅ ， 因为1sin 9α=-，所以cos α=，那么原式值为故答案为：2．已知sin(7π)3cos(2π)αα-=-，则tan(3π)α+=__________.【答案】3-【解析】由sin(7π)3cos(2π)αα-=-，得()sin 3cos απα-=，即sin 3cos αα-=， 因此sin tan(3π)tan 3cos αααα+===-.故答案为：3-.3．若角α终边上一点()2,3P -，则cos sin()2cos()sin(3)παπαπαπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭--的值为___________. 【答案】32【解析】由诱导公式知，()cos sin()sin sin 2tan cos()sin(3)cos sin παπααααπαπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭==----，因为角α终边上一点()2,3P -， 所以33tan 22α==--， 所以原式3tan 2α=-= 故答案为：324．若tan 2α=，则sin()sin 23cos cos()2ππααπαπα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭⎛⎫++- ⎪⎝⎭的值为___________. 【答案】-3 【解析】sin()sin sin cos tan 13233sin cos tan 11cos cos()2ππαααααπααααπα⎛⎫+-+ ⎪-----⎝⎭====---⎛⎫++- ⎪⎝⎭故答案为：-35．对k ∈Z ，设sin(2π)k θ--与cos(2π)k θ-是方程221)50x x m ++=的两根.求；（1）m 的值；（2）sin cos()1cot()1tan()θθθθ-++-+-的值.【答案】（1）m =；（2）【解析】（1）由诱导公式可得，sin(2)sin k πθθ--=，cos(2)cos k πθθ-=，∴由题意，sin cos θθ+=5sin cos 2m θθ=②， ∴①平方可得：12sin cos θθ+，代入②可解得：m = （2）22sin cos()sin cos sin cos cos sin 1cot()1tan()sin cos 11sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ--+=+==+=+-+----题型二 三角函数恒等式的证明——诱导公式6．求证：sin()11sec()tan()cos()11csc()ααααα--+-⋅=--+--. 【答案】证明见解析 【解析】左式11sin 1sin sin 11cos cos 1cos 1cos cos 11+sin 1+sin αααααααααα+----+=⋅=⋅⋅++ ()tan tan αα=-=-，故左式与右式相等，即原等式成立.7．已知A 、B 、C 是ABC 的三个内角，求证；（1）cos(2)cos 0A B C A +++=；（2）3πtan tan 044A B C +++=. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】(1)cos(2)cos A B C A +++cos[()]cos cos(π)cos A B C A A A A =++++=++ cos cos A A =-+0=. (2)3πtan tan 44A B C +++π3π3π+tan tan tan π444C C C -+⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭3πtan 4C +3π3πtan tan 044C C ++=-+=. 8．求证：()()()cos 6sin 2tan 2tan 33cos sin 22πθπθπθθππθθ+---=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】证明见解析【解析】证明：左边=()()cos sin tan cos sin tan tan sin (cos )sin cos θθθθθθθθθθθ--==---=右边 所以原等式成立9．若k ∈Z ，求证：sin(π)cos(π)1sin[(1)π]cos[(1)π]k k k k αααα-+=-+++-. 【答案】证明见解析【解析】证明：若k 为偶数，则 左边sin()cos sin(π)cos(π)αααα-=+- sin cos (sin )(cos )αααα-=-- 1=-；若k 为奇数，则 左边sin(π)cos(π)sin cos()αααα-+=- sin (cos )sin cos αααα-= 1=-；左边=右边，所以原式成立.题型三 诱导公式的综合应用10．已知tan(5π＋α)＝m ，则sin(3)cos()sin()cos()αππααπα-+---+的值为（ ）A ．11m m +-B ．11m m -+ C ．－1D ．1【答案】A【解析】因为tan(5π＋α)＝tan(π＋α)＝tan α＝m ，所以原式sin cos tan 11sin cos tan 11m m αααααα+++==---. 故选：A11．已知37π6α=-，则222sin(π)cos(π)cos(2π)1sin (π)sin(π)cos (2π)αααααα+⋅---+-++-+的值为（ ）A ．．．12 【答案】A 【解析】原式()2222sin cos cos 2sin cos cos cos 11sin sin cos 2sin sin sin tan αααααααααααααα-⋅---====+---，当37π6α=-时，37tan tan tan 66ππα⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故1tan α= 故选：A.12．如果()1sin 2A π+=-，那么cos 2A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】12-【解析】由()11sin sin ,sin 22π+=-=-∴=A A A ， 而1cos sin 22A A π⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：12-.13．证明：cos()sin(5)cos(8)21cos(3)sin(3)sin(4)πθθππθπθθπθπ---⋅⋅=----【答案】证明见解析 【解析】证明：原式sin(5)sin cos sin sin cos 1cos()sin(3)sin(4)cos sin sin πθθθθθθπθπθθπθθθ---⋅⋅=⋅⋅=----+---. 14．是否存在角()022ππαβαβπ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭，，，，，，使等式()sin 32ππαβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()()απβ-=+同时成立？若存在，求出αβ，的值；若不存在，试说明理由. 【答案】存在，,46ππαβ==【解析】()sin 3sin (1)2ππαβαβ⎛⎫-=-⇒= ⎪⎝⎭，()()(2)απβαβ-=+， 因为22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以cos 0α>，因此02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 22(2)(1)+得，2221sin 3cos 2cos 2ααα+=⇒=，因为22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以4πα=±， 当4πα=时，1sin sin 42πββ=⇒=，因为02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以6πβ=； 当4πα=-时，1sin sin 42πββ⎛⎫-=⇒=- ⎪⎝⎭，因为02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以1sin 2β=-不成立， 因此存在角()022ππαβαβπ⎛⎫∈-∈ ⎪⎝⎭，，，，，，使等式()sin 32ππαβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()()απβ-=+同时成立，此时,46ππαβ==.。
2020年高考数学一轮复习专题3.3诱导公式练习(含解析)
第三讲 诱导公式三角函数的诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”考向一 诱导公式化简【例1-1】求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6； (3)tan (－945°)．【答案】（1） （2） （3）【解析】(1)法一 sin 1 320°＝sin (3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin (180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin (180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos (π＋π6)＝－cos π6＝－32.法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan (－945°)＝－tan 945°＝－tan (225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.【例1-2】化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．【答案】 －sin 2α【解析】原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.1．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝.【答案】 －35【解析】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝sin α＝45，且α为锐角，∴cos α＝35，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－35.2.化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝.【答案】 －1【解析】 原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.3.计算：(1)sin(－31π6)－cos(－10π3)；(2)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (3)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°.【答案】（1）1 （2）-2 （3）－34【解析】 (1)原式＝－sin(4π＋7π6)－cos(2π＋4π3)＝－sin(π＋π6)－cos(π＋π3)＝sin π6＋cos π3＝12＋12＝1.(2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3＋1＝－2.(3)原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)＝－(－cos 60°)sin 30°＋tan 135°＝－(－cos 60°)sin 30°＋tan(180°－45°)＝－(－cos 60°)sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.考向二 诱导公式与定义同角综合【例2】（1）已知cos α＝15，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α的值为．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝.(3)已知f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(sin α≠0,1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝.【答案】（1）612 （2）32（3） 3 【解析】（1）∵－π2<α<0，∴sin α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－256，∴tan α＝－2 6.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α＝－sin αtan α·cos α·tan α＝－1tan α＝126＝612.（2） 由已知得tan θ＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.（3）∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 考向三 凑角【例3】（1）已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋712π的值为( )A.13 B ．－13 C ．－23 2 D.23 2（2）已知π1sin 32α⎛⎫-=⎪⎝⎭，求πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． （3）已知cos(α－75°)＝13-，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．【答案】（1）B （2） 12 （3）223【解析】（1）因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋712π＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝－13。
高三数学诱导公式试题答案及解析
高三数学诱导公式试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用降幂公式及诱导公式得【考点】1、降幂公式；2、诱导公式.2. tan300º=_______．【答案】【解析】.【考点】三角函数及其诱导公式.3.已知,,则 .【答案】【解析】，又，则【考点】三角函数运算.4.的值为A．B．C．D．．【答案】C【解析】.【考点】1、三角恒等变换；2、诱导公式及三角函数值.5.若,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴.【考点】1.诱导公式；2.倍角公式.6.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A、B、C成等差教列．(I)若，求边c的值；(II)设，求的最大值．【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由角成等差数列，及，首先得到.进一步应用余弦定理即得所求.（Ⅱ）根据，可化简得到根据,即可得到时，有最大值.试题解析：（Ⅰ）因为角成等差数列，所以，因为，所以. 2分因为，，,所以.所以或(舍去)． 6分（Ⅱ）因为，所以9分因为，所以,所以当，即时，有最大值. 12分【考点】等差数列，和差倍半的三角函数，，三角函数的性质，余弦定理的应用.7.已知向量，，函数.将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移个单位，得到函数的图象.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值.【答案】（1）函数的单调递增区间为；（2）.【解析】（1）先利用平面向量数量积的运算求出函数的解析式，结合辅助角公式将函数的解析式化简为，在，的前提下，解不等式得到函数的单调递增区间；（2）先利用得到的值，然后利用函数图象变换求出函数的解析式，并利用二倍角公式求出的值.试题解析：（1），，解得：，所以的单调递增区间为；（2），由（1）得，，，将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，得：，再向左平移个单位，，得.【考点】1.平面向量的数量积；2.三角函数的单调区间；3.三角函数图象变换；4.二倍角公式8.已知，，则的值是( )A．B．C．D．1【答案】C【解析】∵,∴，又∵，∴，∴.【考点】1.诱导公式；2.平方关系；3.两角和与差的正弦公式.9.已知则．【答案】．【解析】因，得，所以.【考点】三角函数的两角和差化积公式.10.在中，,，则面积为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】在中，，又有，，则，即，，所以.【考点】向量的运算及三角函数公式.11.已知直线的倾斜角为，则= （）A．B．C．D．【答案】B【解析】由.【考点】二倍角正切公式.12.在中，角、、的对边分别为、、，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】1.二倍角公式；2.内角和定理；3.诱导公式；4.两角和的余弦公式13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）2.【解析】本题考查两角和与差的正弦公式和三角函数最值以及解三角形中正弦定理的应用，考查运用三角公式进行三角变换的能力，考查运算能力.第一问，先利用两角和的正弦公式将等式的左边变形，再利用2个正弦值相等分析出2个角的关系，进行求角；第二问，先利用正弦定理，将边换成角，将第一问的结果代入，利用两角和的正弦公式化简表达式，最后利用三角函数值求最值.试题解析：（1），即，则． 3分因为，又进而，所以，故，． 6分（2）由正弦定理及（1）得． 9分当时，取最大值2． 10分【考点】1.两角和的正弦公式；2.正弦定理；3.三角函数最值.14.已知，，则= （）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，．【考点】三角函数求值，三角恒等变化．15.若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，选B.【考点】三角函数诱导公式.16.=________.【答案】【解析】.【考点】三角求值.17.已知，，则= ．【答案】【解析】，又是第四象限的角，所以，即.【考点】诱导公式.18.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用诱导公式、二倍角公式计算..【考点】诱导公式、二倍角公式19.已知，则=________．【答案】【解析】所以，=.【考点】1.诱导公式；2.三角函数值.20.已知∈(，0)，，则=A．B．C．D．【解析】于是。
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全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：诱导公式1．已知cos78°约等于0.20，那么sin66°约等于( ) A ．0.92 B ．0.85 C ．0.88 D ．0.95答案 A 2.sin20°cos20°cos50°＝( )A ．2 B.22 C. 2 D.12答案 D 3．计算tan15°＋1tan15°的值为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案 C解析 tan15°＋1tan15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin 215°＋cos 215°sin15°cos15°＝2sin30°＝4.故选C.4．若sin α2＝33，则cos α的值为( )A ．－23B ．－13C.13D.23答案 C解析 cos α＝1－2sin 2α2＝1－23＝13.故选C.5．已知cos(π4－x)＝35，则sin2x 的值为( )A.1825 B.725 C ．－725D ．－1625答案 C解析 因为sin2x ＝cos(π2－2x)＝cos2(π4－x)＝2cos 2(π4－x)－1，所以sin2x ＝2×(35)2－1＝1825－1＝－725.6．(全国名校·遵义第一次联考)2002年在北京召开国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为( ) A.13 B.32C.2324D.2425答案 D解析 设锐角θ所对的直角边长为x ，由题意得x 2＋(x ＋1)2＝25，解得x ＝3，所以sin θ＝35，cos θ＝45，sin2θ＝2425.故选D.7．(全国名校·河北保定中学期末)已知sin2α＝2425，0<α<π2，则2cos(π4－α)的值为( )A ．－15B.15 C ．－75D.75 答案 D解析 ∵sin2α＝2425，0<α<π2，∴sin αcos α＝1225，sin α>0，cos α>0.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝4925，∴sin α＋cos α＝75.∴2cos(π4－α)＝2(22cos α＋22sin α)＝cos α＋sin α＝75.8．化简2＋2cos8＋21－sin8的结果是( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4 答案 D解析 原式＝4cos 24＋2（sin4－cos4）2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.故选D. 9．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值为( )A.22B.33C. 2D. 3答案 D解析 因为cos2α＝cos 2α－sin 2α，所以sin 2α＋cos2α＝cos 2α，所以cos 2α＝14.又α∈(0，π2)，所以cos α＝12，所以α＝π3，故tan α＝ 3.故选D. 10．(全国名校·长沙雅礼中学模拟)已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A.16 B.13 C.12 D.23答案 A解析 方法一：cos 2(α＋π4)＝12[1＋cos (2α＋π2)]＝12(1－sin2α)＝16.方法二：cos (α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin2α)＝16.11．已知tan (α＋π4)＝－12，且π2<α<π，则sin2α－2cos 2αsin （α－π4）的值等于( )A.255B ．－3510C ．－255D ．－31010答案 C解析 sin2α－2cos 2αsin （α－π4）＝2sin αcos α－2cos 2α22（sin α－cos α）＝22cos α，由tan (α＋π4)＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3.因为π2<α<π，所以cos α＝－1tan 2α＋1＝－1010.所以原式＝22cos α＝22×(－1010)＝－255.故选C. 12．(全国名校·江西抚州七校联考)若sin(x ＋π6)＝13，则tan(2x ＋π3)＝( )A.79 B ．±79C.427 D ．±427答案 D解析 由sin(x ＋π6)＝13，得cos(x ＋π6)＝±1－sin 2（x ＋π6）＝±223，tan(x ＋π6)＝±24，tan(2x ＋π3)＝tan2(x ＋π6)＝2tan （x ＋π6）1－tan 2（x ＋π6）＝±427.13．(全国名校·山西临汾五校联考)若tan α－1tan α＝32，α∈(π4，π2)，则sin (2α＋π4)的值为( ) A ．－25 B.25 C ．－210D.210答案 D解析 ∵tan α－1tan α＝32，α∈(π4，π2)，∴sin αcos α－cos αsin α＝32，∴cos2αsin2α＝－34.∵π4<α<π2，∴π2<2α<π，∴cos2α＝－35，sin2α＝45，∴sin (2α＋π4)＝sin2α×22＋cos2α×22＝210. 14．(全国名校·广西百色一模)已知x ∈(0，π)，且cos(2x －π2)＝sin 2x ，则tan(x －π4)＝( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3答案 A解析 ∵cos(2x －π2)＝sin 2x ，∴sin2x ＝sin 2x ，∴2sinxcosx ＝sin 2x.∵x ∈(0，π)，∴sinx>0，∴2cosx ＝sinx ，∴tanx ＝2.∴tan(x －π4)＝tanx －tanπ41＋tanxtanπ4＝2－11＋2×1＝13.故选A.15．(1)(全国名校·山东烟台期中)若cos(75°－α)＝13，则cos(30°＋2α)＝________．答案 79解析 ∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝13，∴cos(30°＋2α)＝1－2sin 2(15°＋α)＝1－2×19＝79.(2)(全国名校·保定模拟)计算：3－sin70°2－cos 210°＝________．答案 2解析 3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos 210°＝3－（2cos 210°－1）2－cos 210°＝2.16．若sin(x －34π)cos(x －π4)＝－14，则cos4x ＝________．答案 12解析 ∵sin(x －34π)＝－cos(π2＋x －34π)＝－cos(x －π4)，∴cos 2(x －π4)＝14，∴1＋cos （2x －π2）2＝14.∴cos(2x －π2)＝－12，即sin2x ＝－12.∴cos4x ＝1－2sin 22x ＝12.17．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________．答案 －34解析sin3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135.∴2cos 2α＋cos2α＝135，cos2α＋1＋cos2α＝135.∴cos2α＝45.∵2k π－π2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π(k ∈Z )．又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角．sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34.18．(全国名校·湖北百校联考)设α∈(0，π3)，满足6sin α＋2cos α＝ 3.(1)求cos (α＋π6)的值；(2)求cos (2α＋π12)的值．答案 (1)104 (2)30＋28解析 (1)∵6sin α＋2cos α＝3，∴sin (α＋π6)＝64.∵α∈(0，π3)，∴α＋π6∈(π6，π2)，∴cos (α＋π6)＝104.(2)由(1)可得cos (2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝2×(104)2－1＝14.∵α∈(0，π3)，∴2α＋π3∈(π3，π)，∴sin (2α＋π3)＝154.∴cos (2α＋π12)＝cos [(2α＋π3)－π4]＝cos (2α＋π3)cos π4＋sin (2α＋π3)sin π4＝30＋28.若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( ) A.1＋m 2B.1－m 2C ．± 1＋m2D.1＋m2答案 D解析 ∵sin76°＝cos14°＝2cos 27°－1＝m ， ∴cos 27°＝1＋m2，∴cos7°＝1＋m2.。