弹性力学-边界条件

y
yx

x
P y
fx
n
l cosn, x cos m cosn, y sin
xy

由 x s m xy s f x xy s m y s f y
fy
x s cos yx s sin 0

h 2 h 2
h 2 h 2
f x ydy M
则边界条件可以写成(P.23 (b))：

x x l
dy Fx ,

xy x l
dy Fy ,

x x l
ydy M
悬臂梁的例子：
y
h 2 h 2
y y x
h 2 h 2
x
P
L
L
对边界条件的积分为： (P.23 (b))：
x yx
xy l fx y s m fy
x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 y
(2).上下两面 ( ) f l 0 m 1 ( ) f
二、应力边界条件 在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： 弹性体内单元体斜面上的 y 应力分量与坐标面应力的 yx 关系有(静力平衡) f xn X x p x x xy l p y m y yx
• 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。 • 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可 以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分 意义上的)边界条件。 • 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但 如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此 时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大 的差异，远离这个局部，结果基本相同。
二. 圣维南原理的应用条件
1、必须用等效力系代替。 2、载荷区域必须比物体的最小尺寸为小（小边界上) P P 图( a ) 举例
P q A
q
图(b)
P
图(c )
（1）以(b)代(a)应力边界条件可以近似满足。 （2）以(b)代(c)应力边界条件可以近似满足,但 位移边界条件不能完全满足。
圣维南原理的应用
x l
ydy
h 2 h 2
f x ydy
平面问题小结
一. 平面问题基本未知量
平面应力问题 平面应变问题
1、应力分量
x, y ,
x
y
( x, y ), xy x, y
x, y , x, y , x, y ,
x y xy
z
（3个） 2、应变分量
x s y tg 2
cos sin 0
xy s y s

p tg 2 A y
xy s
y tg
p tg A y
[例] 写出应力边界条件。设液体比重为
解：1）右边界（x=0）
x n y O y
x x, y ,

x, y , x, y ,
y xy

独立的（3个）
x x, y ,
z

x, y , x, y
y xy
独立的（3个） 3、位移分量
ux, y , vx, y , w 独立的（2个） ux, y , vx, y （2个）
f
（3个）
二. 平面问题基本方程
平面应力问题 1、平衡微分方程 （2个） 平面应变问题


x
x


y y
yx
f x 0 fy 0
xy
x


（2-2）
同左
y
2、几何方程（3个）

u x x v y y v u xy x y
xy
单元体斜面恰为边界面则 面力分量与坐标面应力的 关系有应力边界条件
x yx
f Y yn
xy l fx y f s m y
注意：以上在推导时，斜 面上的应力px,py采用矢量 符号规定－与面力相同。
悬臂梁的例子：

边界的积分式
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
设中性轴为z
x x l
dy 0 ydy M dy 0

y x dA z 1
x x l

自由端边界条件：
y
h 2 h 2
xy x l

x
h 2 h 2 h 2 h 2 h 2 h 2
举例：
X q Y 0
X 0, Y q
l 0; m 1
x
X q Y 0
(2).上下
( y ) s Y l 0 ( yx) s X m 1
y
X 0, Y q
左 : ( 上 : ( 下 : (

xy s
y
唯一性定理
• 表述－1：在没有初始应力的情况下，如果边界 条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问 题的解答是唯一的。 • 表述－2：在没有初始应力的情况下，弹性力学 边值问题的解在相差一组刚体位移的意义下是唯 一的。 • 证明概要：只要证明在体力和面力都为零的情况 下，边值问题只可能有零解(应力、应变和位移 全为零)。后者则需要用到应变能的概念。 • 据此，任何一组应力应变和位移，如果它们确能 满满足方程和边界条件，就肯定是该问题的解。
右:(
x s x s
) q, ( )
y s y s
)
)
q, ( q, ( q, (
xy s xy s
) 0 ) 0 ) 0 ) 0
yx s yx s
三、混合边界条件 1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一 部分边界上应力分量已知。 2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个 应力分量。 图(b)
x n
O y y
l cos
x yx
m sin
xy l fx y s m fy
cos y s sin 0 0
x s cos xy s sin
( 2 8)
同左
3、物理方程（3个）
1 x E ( x y) 1 (2～12） y ( y x) E 1 xy xy G

2 1 ( ) x x y E 1 2 1 ( ) ( ２ 13) y y x E 1 2(1 d y 0 dy P
x P

x xy
x l
L

x l
y
用积分表达的边界条件
h 2 h 2
x P
L
根据圣维南原理，把给出的面力化成合力和合力矩

h 2 h 2
h 2 h 2
f x dy Fx ,

h 2 h 2
h 2 h 2
f y dy Fy ,
x x l f x


h 2 h 2
h 2 h 2
x x l
dy dy
h 2 h 2
f x dy f y dy

y x l
fy

y x l
h 2 h 2
根据圣维南原理，同时还要考虑等效力矩：

x
h 2 h 2
一.圣维南原理的叙述
描述－1、如果把物体的一小部分边界上 的面力以等效力系（主矢及主矩均为相同） 代换，则在加载附近的的应力发生显著变 化，而在稍远处的影响可忽略不计，亦即 与载荷在边界上的作用形式无关。 描述－2、如果物体在一小部分边界上的 面力是一个平衡力系（主矢及主矩均为 零），则面力就只会使近处产生显著的应 力，远处的应力可忽略不计。
x xy
x 0 x 0
y 0
2）左边界（x=y×tg）
cosn, x cos m cosn, y cos( ) 2 sin

y
f x 0, f y 0
由：
x s m xy s f x xy s m y s f y
图(a)
o x
x
y

u
s
u 0
fy 0 xy
y
( x ) s f x 0 vs v 0

例1：小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上， 除正应力 y 外，还有剪应力 xy 。并确定边界上 x 、 xy 与 y 的关系。(假设任何界面上y方向的正应力均匀分布) 解： P y o A( y ) y
叠加原理
• 叠加原理：两组外力同时作用在物体上 所产生的结果等于他们分别作用产生的 结果之和。 • 证明概要：只需注意方程都是线性的， 同时边界条件也是线性的即可。 • 推广：以上两组外力可以推广到n组外力。 • 分解原理：根据叠加原理，可以把原问 题分解成几个简单的问题单独求解。
§2-7.圣维南原理(局部性原理)
§2－6.边界条件
对于上述所谈及的两种平面问题： 平衡方程（2~2） ——2个 八个方程 几何方程（2~8） ——3个 物理方程（2~12）——3个
含 、 、
x y
xy
、 x、 y、

xy
、u、v
共计八个未知函数
注:虽然八个方程可解八个未知函数,但由于求解时会 产生待定函数(常数);所以要想得出具体的解答还 必需利用边界条件来确定待定函数。 边界条件有三类：位移、应力、混合边界条件
y s y yx s x
边界面于坐标轴平行时的简单写法: 每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m
图中的面力采用矢量 符号规则
(1).左右
( x) s f x l 1 m 0 ( xy) s f y
静力等效边界条件： 对于严格要求的条件在局部放松
y
h 2 h 2
线性分布的边界力所形 M 成的力偶等于M x 由材力弯曲公式：

严格面力
Myy Iz
fx
L
y
h 2 h 2
Myy Iz
f y 0
y
x 严格边界条件
L
x x L

Myy Iz
xy x L 0 只有在右端弯矩是由线性分布的外力引起时， 材料力学的公式才在右端附近严格成立。
应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的 应力分量；右端为面力分量。可以各自采用各 自的符号规定。但需要用边界的方向余弦 特例--边界面与坐标轴平行时 (1).左右两面
( x) s f x l 1 m 0 ( xy) s f y
o

x
E 1 1

2
(

x


y
)
用下式代换：
E
y
( 2
y
) （2 ~ 12a） x
E
E , 2 1 1

xy
E 2(1 )
xy
１、在边界上取楔形研究（单位厚度） 如图所示：
由 Fx 0 : X 1 ds x 1 l ds yx 1 m ds 1 X l ds m ds＝０ 2 化简得 : l m x l yx m f x f x ds 2
一.位移边界条件
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移 分量是已知的，即： u u , v v （２～１４） s s 式中： us 、 vs —是位移的边界值； u 、v — 边界上坐标的已知函数或边界上 已知的位移分量。
二、应力边界条件
边界上面力分量为已知。建立边界上微元体的应 力分量与面力分量的关系