弹性力学-边界条件共24页文档
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弹性力学圣维南边界条件
➢它要求在边界上不同点（所有y值处），应力分量必须处
处与面力分量对等。这种严格的边界条件是较难满足的。
➢但是当l≥h时，左右两端边界是小边界，这时可应用圣维
南原理，用如下静力等效条件来代替上述条件：在这一局 部边界上，使应力的主失量和主矩分别等于对应的面力的 主失量和主矩。（绝对值相等，方向相同）
圣维南原理及应用
➢应用圣维南原理后的积分边界条件具体表达式为：
ห้องสมุดไป่ตู้
h/2
h/2
h / 2 ( x ) xl dy 1 h / 2 f x ( y)dy 1
h/2
h/2
( ) h / 2
x xl
ydy 1
h/ 2
f x ( y) ydy 1
h/2
h/2
h / 2 ( xy ) xl dy 1 h / 2 f y ( y)dy 1
平面问题的应力边界条件
➢具体解题时，建立次要边界上的积分边界条件
的方法有三种：
方法一：
1、在次要边界上应力的主失量和主矩的数值应当等 于相应面力的主失量和主矩的数值（绝对值） 。
2、面力的主失量和主矩的方向就是应力的主失量和 主矩的方向。
例题
习题2－8第二部分：列出图2-14所示问题的边界条件（
上式表明：
（1）等式左右两边的数值是相等的、方向是一致的。
（2）等式左边的符号可以按照应力的符号规定来确定： 应力的正方向就是应力失量的正方向；正的应力乘以正的 矩臂就是应力主矩的正方向。
圣维南原理及应用
➢如果给出的不是面力的分布，而是单位宽度上面力的
主失量和主矩，则具体表达式为：
h/2
h / 2 ( x ) xl dy 1 FN
处与面力分量对等。这种严格的边界条件是较难满足的。
➢但是当l≥h时，左右两端边界是小边界，这时可应用圣维
南原理，用如下静力等效条件来代替上述条件：在这一局 部边界上，使应力的主失量和主矩分别等于对应的面力的 主失量和主矩。（绝对值相等，方向相同）
圣维南原理及应用
➢应用圣维南原理后的积分边界条件具体表达式为：
ห้องสมุดไป่ตู้
h/2
h/2
h / 2 ( x ) xl dy 1 h / 2 f x ( y)dy 1
h/2
h/2
( ) h / 2
x xl
ydy 1
h/ 2
f x ( y) ydy 1
h/2
h/2
h / 2 ( xy ) xl dy 1 h / 2 f y ( y)dy 1
平面问题的应力边界条件
➢具体解题时，建立次要边界上的积分边界条件
的方法有三种：
方法一：
1、在次要边界上应力的主失量和主矩的数值应当等 于相应面力的主失量和主矩的数值（绝对值） 。
2、面力的主失量和主矩的方向就是应力的主失量和 主矩的方向。
例题
习题2－8第二部分：列出图2-14所示问题的边界条件（
上式表明：
（1）等式左右两边的数值是相等的、方向是一致的。
（2）等式左边的符号可以按照应力的符号规定来确定： 应力的正方向就是应力失量的正方向；正的应力乘以正的 矩臂就是应力主矩的正方向。
圣维南原理及应用
➢如果给出的不是面力的分布，而是单位宽度上面力的
主失量和主矩，则具体表达式为：
h/2
h / 2 ( x ) xl dy 1 FN
第二章 弹性力学的基本理论
2
0 0 0
0 0 0
0
0
0
x （2－18）
y
0 0 0
0
0
z
yz
0 0
0
0
66
zx xy
61
弹性力学简明教程
二、平面问题
平面问题｛ 平面应力问题 平面应变问题 1、平面应力问题:
z zx zy 0
xz yz 0
由（2－15）式知：
z
fy
0
(2-4)
xz
x
yz
y
z
z
fz
0
x
0
0
0
y 0
0
0 z
0
z y
z
0
x
x
y x
0
36
y
z yz
zx xy
61
fx fy fz
31
0 31
H P 0
36
61
31
31
(2-6)
弹性力学简明教程
二、空间问题的平衡微分方程
弹性力学简明教程
§2 平衡微分方程
一、平面问题的平衡微分方程
y
y
y
dy
x
fy
yx
yx
y
dy
xy
xy
x
dx
y
xy
dy c dx
fx
yx
x
x
x
dx
o(z)
x y
平衡微分方程：
Fx 0 Fy 0
微元体：厚度为1
平面问题的特点：
一切现象都看作是在一个平面内发生的
Fx 0 Fy 0
Mc 0
有限元分析第3章弹性力学基础知识2
应变能密度的性质
U0 1 x x y y z z xy xy yz yz zx zx 2 1 1 2 2 2 2 2 2 U 0 ij x y z x y y z z x xy yz zx 2E E 2G 1 2 2 2 2 2 2 2 U 0 ij e 2 G G x y z xy yz zx 2
1
1
1 1
1 0 0 0
0 0 0 1 2 2 1 0 0
0 0 0 0 1 2 2 1 0
1
0 0 0
xy yz zx
xy
G
yz
G
0 x 0 y z 0 xy yz 0 zx 1 2 2 1 0
2、力的边界条件
边界上给定面力时，则物体边界上的应 力应满足与面力相平衡的力的平衡条件
X 0
以二维问题为例
注意ds为边界斜边的长度，边界外法 线n的方向余弦l＝dy/ds，m=dx/ds
有：
一、弹性力学的边界条件
以二维问题为例
同理：
Y 0
M 0
一、弹性力学的边界条件
以二维问题为例
x z y
T
w (x,y,z) dz v dx u
Sp
dy
Ω
Su
一、弹性力学的边界条件
1、位移边界条件
T 边界上已知位移时，应建 立物体边界上点的位移与 给定位移相等的条件
w (x,y,z) dz v dx u dy
弹性力学 第二章_3
理
第二章 平面问题的基本理论
2. 主矢量和主矩的正方向
h/2
h/2
h/ 2 (σ x )xl d y h/ 2 fx ( y) d y FN ,
h/2
h/2
h/2 (σx )xl y d y
h / 2
fx
(
y)
y
d
y
M
,
h/2
h/2
h/ 2 ( xy )xl d y h/ 2 f y ( y) d y FS .
可以取单位宽度的梁研
x
究，任意截面的弯矩为：
1x 1
qx3
M qx x
2l 3
6l
则：
x
My Iz
qx3 6l
y
/
1 h3 12
2qx3 y lh3
（1）
第二章 平面问题的基本理论
x
2qx3 y lh3
代入平衡微分方程：
x xy 0
x y
得：
xy
y h
2
x
x
dy
f x
应力
代入平衡微分方程
含u，v的两个微分方程
第二章 平面问题的基本理论
以平面应力问题为例：
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
代入
x
1
E
2
x y
,
x
E
1 2
u x
v y
,
y
E
1 2
y x
,
xy
E
21
xy
得：
y
E
1 2
v y
u x
,
弹性力学基础(二)
边值问题的提法：
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、外力等)， 求解物体内由此产生的应力场和位移场。
对物体内任意一点，当它处在弹性阶段时，其应力分量、应变分量、 位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几何方程、本构方程，这15个 泛定方程，同时在边界上要满足给定的全部边界条件。
定解条件：
满足基本方程和边界条件的解是存在的，而且在小变形条件下，对于受 一组平衡力系作用的物体，应力和应变的解是唯一的。
7.6 弹性力学问题的基本解法
7.6.1 位移法 以位移作为基本未知量，将泛定方程用位移u,v,w来表示。
sx
2G
x
u 1 2u
sy
2G
y
u 1 2u
sz
2G
z
u 1 2u
t xy 2G xy t yz 2G yz t zx 2G zx
t zx z
Fbx
0
t xy x
s y y
t zy z
Fby
0
t xz x
t yz y
s z z
Fbz
0
将本构关系代入到平衡方程中
x
2u
Fbx
0
y
2v Fby
0
z
2w
Fbz
0
u j, ji ui, jj 0
式中▽2为拉普拉斯(Laplace)算子
2u 2u 2v 2w x2 y 2 z 2
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u
z
将几何关系代入到本构关系中
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、外力等)， 求解物体内由此产生的应力场和位移场。
对物体内任意一点，当它处在弹性阶段时，其应力分量、应变分量、 位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几何方程、本构方程，这15个 泛定方程，同时在边界上要满足给定的全部边界条件。
定解条件：
满足基本方程和边界条件的解是存在的，而且在小变形条件下，对于受 一组平衡力系作用的物体，应力和应变的解是唯一的。
7.6 弹性力学问题的基本解法
7.6.1 位移法 以位移作为基本未知量，将泛定方程用位移u,v,w来表示。
sx
2G
x
u 1 2u
sy
2G
y
u 1 2u
sz
2G
z
u 1 2u
t xy 2G xy t yz 2G yz t zx 2G zx
t zx z
Fbx
0
t xy x
s y y
t zy z
Fby
0
t xz x
t yz y
s z z
Fbz
0
将本构关系代入到平衡方程中
x
2u
Fbx
0
y
2v Fby
0
z
2w
Fbz
0
u j, ji ui, jj 0
式中▽2为拉普拉斯(Laplace)算子
2u 2u 2v 2w x2 y 2 z 2
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u
z
将几何关系代入到本构关系中
弹性力学-边界条件
y
yx
x
P y
fx
n
l cosn, x cos m cosn, y sin
xy
由 x s m xy s f x xy s m y s f y
fy
x s cos yx s sin 0
h 2 h 2
h 2 h 2
f x ydy M
则边界条件可以写成(P.23 (b))：
x x l
dy Fx ,
xy x l
dy Fy ,
x x l
ydy M
悬臂梁的例子：
y
h 2 h 2
y y x
h 2 h 2
x
P
L
L
对边界条件的积分为： (P.23 (b))：
x yx
xy l fx y s m fy
x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 y
(2).上下两面 ( ) f l 0 m 1 ( ) f
二、应力边界条件 在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： 弹性体内单元体斜面上的 y 应力分量与坐标面应力的 yx 关系有(静力平衡) f xn X x p x x xy l p y m y yx
• 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。 • 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可 以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分 意义上的)边界条件。 • 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但 如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此 时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大 的差异，远离这个局部，结果基本相同。
yx
x
P y
fx
n
l cosn, x cos m cosn, y sin
xy
由 x s m xy s f x xy s m y s f y
fy
x s cos yx s sin 0
h 2 h 2
h 2 h 2
f x ydy M
则边界条件可以写成(P.23 (b))：
x x l
dy Fx ,
xy x l
dy Fy ,
x x l
ydy M
悬臂梁的例子：
y
h 2 h 2
y y x
h 2 h 2
x
P
L
L
对边界条件的积分为： (P.23 (b))：
x yx
xy l fx y s m fy
x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 y
(2).上下两面 ( ) f l 0 m 1 ( ) f
二、应力边界条件 在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： 弹性体内单元体斜面上的 y 应力分量与坐标面应力的 yx 关系有(静力平衡) f xn X x p x x xy l p y m y yx
• 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。 • 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可 以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分 意义上的)边界条件。 • 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但 如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此 时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大 的差异，远离这个局部，结果基本相同。
弹性力学4-物理方程、边界条件
其中等式左边是应力分量的边界值，而等式右边则是边 界上的面力分量，是边界上坐标的已知函数。 l 和 m 为 该点处边界面外法线的方向余弦。
第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
应力边条件较为复杂，比较常用，需要说明的几点： 1.应力边界条件中的面力和应力具有不同的正负号规 定，且分别作用于通过边界点的不同面上。
这两种方法应用见后面的例子。
第二章 平面问题的基本理论
2.6 边界条件
例2.1：悬臂梁受力如图，试写出其上、下两边应
力边界条件。
p
上表面：y h l 0 , m 1
x
2
q y
xy yh 2 0
y yh 2 p
下表面：y h
(l x m xy )s fx (s)
2
l 0 , m 1
应力边界条件：若给定了部分边界上面力分量，则由 边界上任意点的静力平衡条件，导出边界上每一点的应 力与面力的关系式。可将[P13式(2-3）]应力分量px和py
分别用面力分量 fx (s), fy (s) 代替可得：
(l x m xy )s fx (s)
(l xy m y )s f y (s)
(l xy m y )s f y (s) xy yh 2 q
y yh 2 0
第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
例2.2：如图，为左侧受静水压力、下边固定的水 坝，试写出其应力边界条件（固定边不写）。
右侧面： x cos xy sin 0 xy cos y sin 0
混合边界条件：
一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，如 式（2-14）；另一部分边界具有已知面力，因而具有应力 边界条件，如式（2-15）； 另外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件，即 两个边界条件中，一个是位移边界条件，而另一个是应力 边界条件，课本图2-7。
第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
应力边条件较为复杂，比较常用，需要说明的几点： 1.应力边界条件中的面力和应力具有不同的正负号规 定，且分别作用于通过边界点的不同面上。
这两种方法应用见后面的例子。
第二章 平面问题的基本理论
2.6 边界条件
例2.1：悬臂梁受力如图，试写出其上、下两边应
力边界条件。
p
上表面：y h l 0 , m 1
x
2
q y
xy yh 2 0
y yh 2 p
下表面：y h
(l x m xy )s fx (s)
2
l 0 , m 1
应力边界条件：若给定了部分边界上面力分量，则由 边界上任意点的静力平衡条件，导出边界上每一点的应 力与面力的关系式。可将[P13式(2-3）]应力分量px和py
分别用面力分量 fx (s), fy (s) 代替可得：
(l x m xy )s fx (s)
(l xy m y )s f y (s)
(l xy m y )s f y (s) xy yh 2 q
y yh 2 0
第二章 平面问题的基本理论 2.6 边界条件
例2.2：如图，为左侧受静水压力、下边固定的水 坝，试写出其应力边界条件（固定边不写）。
右侧面： x cos xy sin 0 xy cos y sin 0
混合边界条件：
一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件，如 式（2-14）；另一部分边界具有已知面力，因而具有应力 边界条件，如式（2-15）； 另外，在同一部分边界上还可能出现混合边界条件，即 两个边界条件中，一个是位移边界条件，而另一个是应力 边界条件，课本图2-7。
弹性力学-边界条件
1 (
y x) s
f
x
o
x
上面：l=0，m=-1
左面：
右面：
l=-1
l=1
m=0
m=0
下面：l=0，m=1 y
边界面于坐标轴平行时的简单写法: 每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m
图中的面力采用矢量 符号规则
举例：
yxx
xy y
s
l m
f f
x y
fYyn
注意：以上在推导时，斜 面上的应力px,py采用矢量 符号规定－与面力相同。
应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的 应力分量；右端为面力分量。可以各自采用各 自的符号规定。但需要用边界的方向余弦
O yyຫໍສະໝຸດ l cos m sin
x yx
xy y
s
l m
f f
x y
x s cos
xy
sin
s
0
xy
cos
s
y
sin
s
0
y
唯一性定理
• 表述－1：在没有初始应力的情况下，如果边界 条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问 题的解答是唯一的。
cos
yx
s in
s
0
xy
cos
s
y
s in
s
0
x
s
ytg 2
p
弹性力学
弹性力学网络课程第一章绪论内容介绍知识点弹性力学的特点弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务弹性力学的研究方法内容介绍：一. 内容介绍本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。
偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
本章介绍弹性力学分析的基本假设。
弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。
课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。
目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。
如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。
二. 重点1.课程的研究对象；2.基本分析方法和特点；3.弹性力学的基本假设；4.课程的学习意义；5.弹性力学的发展。
特点：弹性力学，又称弹性理论。
作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。
弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
弹性力学中小边界的应力边界条件
血
直
／
户
／ 尸
的为 矩 零ｆ ２ ｈ
— —
＝ （ ｏｙ ０ ｌ ） ＝ ２ ：ｄ ＾
— —２
２
Ｊ
ｆ
》 ．
０（ ） 沿 Ｙ轴 方 向 面力 的合 力 为 一Ｐ， ４， 因为
在弹性力学 中， 面力 的方 向与坐标轴正 向一
ｈ
致 正 反 ，负 ｝ 为 ，之 为 ．
４ 结 论
件 为Ｉ ２ ： （ ｄ＝ （ ， ｈ ０ Ｉ ） ０ ） ２ ：ｙ ７ ｈ
‘２ ２
Ｉ ｄ ＝ ｌ（ ｙ ＝ ｌ ） ｙ ｊ ） ｄ Ｐ（ ， ＾ ＾ ｙ ８
。 。２ 。２
ｌＺｙ Ｐ＞ ｆ） ＝ （ ， ｄ＝ ＝ （ ２ 五 直 ＝ ＾ ： Ｐ９在 Ｉ ）
直
方向面力的合力为零 ｌ ｄ 。 ｙ＝ ｒ
２
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设有 单位 宽 度矩 形 截 面 的悬 臂 梁 ， 自 在
鱼
由端 受有 荷载 尸， 荷载 及尺 寸如 图 １ ， 力 示 体
） －
０ （ 。ｙ＝０３，力 面形心 Ｉ ） ｄ ２ ： ｈ （） 对截 面
— —
２
。 ｈ
’ ——
２
＝Ｐ 一
ｆ Ｔｙ ： ｄ ｒ （ ｘ） ｏ ｙ ＝ Ｐ（ ） 皇 ５．
图 ｌ
２
・
１ ・ ７
２１ ０ ０年 第 ３期
２ ２ 右 边界 的应 力边界 条件 ．
河北理科教 学研 究
问题 讨论
在右边 界 ， ＝１ ｍ ＝０ 式 （ ） 为 （ ） ｚ ， ， １变
关．
式 （ ） ， Ｙ轴 的正半 轴 ， ８中 在 面力 是正 的 ， Ｙ值 也是 正的 ， 而在 Ｙ轴 的负半 轴 ， 面力 是 负 的 ，
弹性力学
弹性力学网络课程第一章绪论内容介绍知识点弹性力学的特点弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务弹性力学的研究方法内容介绍：一. 内容介绍本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。
偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
本章介绍弹性力学分析的基本假设。
弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。
课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。
目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。
如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。
二. 重点1.课程的研究对象；2.基本分析方法和特点；3.弹性力学的基本假设；4.课程的学习意义；5.弹性力学的发展。
特点：弹性力学，又称弹性理论。
作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。
构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。
弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。
弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。
弹性力学-02
由应力边界条件公式，有
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y cos 1 x sin 1 xy 0
cos 1 x sin 1 xy 0
sin 1 边界条件及其分类
边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。 是力学计算模型建立的重要环节。 O （1）位移边界 S u 边界分类 （2）应力边界 S （3）混合边界 —— 三类边界 x q
S
P
（1）位移边界条件
位移分量已知的边界 —— 位移边界 用 us 、 vs表示边界上的位移分量，u , v 表 示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件 可表达为： 说明：
y
Su
S S Su
u s u vs v
（2-17）
当u v 0时,
称为固定位移边界。
—— 平面问题的位移边界条件
（2）应力边界条件
给定面力分量 X , Y 边界 —— 应力边界 由前面斜面的应力分析，得
O
x q
X N l x m yx YN m y l xy
例5 图示楔形体，试写出其边界条件。
例6 图示构件，试写出其边界条件。
例5 图示楔形体，试写出其边界条件。
l cos(90 ) sin 上侧： m cos(180 ) cos
X Y 0 l ( x ) s m( xy ) s X
注意事项：
(1) 必须满足静力等效条件；
(2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。
如： A 主要边界 B
P
P A
次要边界
例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出 水坝的应力边界条件。
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y cos 1 x sin 1 xy 0
cos 1 x sin 1 xy 0
sin 1 边界条件及其分类
边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。 是力学计算模型建立的重要环节。 O （1）位移边界 S u 边界分类 （2）应力边界 S （3）混合边界 —— 三类边界 x q
S
P
（1）位移边界条件
位移分量已知的边界 —— 位移边界 用 us 、 vs表示边界上的位移分量，u , v 表 示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件 可表达为： 说明：
y
Su
S S Su
u s u vs v
（2-17）
当u v 0时,
称为固定位移边界。
—— 平面问题的位移边界条件
（2）应力边界条件
给定面力分量 X , Y 边界 —— 应力边界 由前面斜面的应力分析，得
O
x q
X N l x m yx YN m y l xy
例5 图示楔形体，试写出其边界条件。
例6 图示构件，试写出其边界条件。
例5 图示楔形体，试写出其边界条件。
l cos(90 ) sin 上侧： m cos(180 ) cos
X Y 0 l ( x ) s m( xy ) s X
注意事项：
(1) 必须满足静力等效条件；
(2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。
如： A 主要边界 B
P
P A
次要边界
例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出 水坝的应力边界条件。
第3章 弹性力学基础知识
二维问题平衡条件：
平衡方程：
3.3 弹性力学的基本方程之平衡方程
三维问题微元体的平衡： 平衡方程：
xy yx , xz zx , zy yz
弹性力学基本方程
平 衡 方 程
yx s x zx fx 0 x y z xy s y zy fy 0 x y z yz xz s z fz 0 x y z
工程材料的特点
• 金属材料——晶体材料，是由许多原子，离子 按一定规则排列起来的空间格子构成，其中间 经常会有缺陷存在。 • 高分子材料——非晶体材料，由许多分子的集 合组成的分子化合物。 • 工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固 体材料微观结构的复杂性。
弹性力学的基本假定
五个基本假定： 1、连续性(Continuity) 2、线弹性(Linear elastic) 3、均匀性(Homogeneity) 4、各向同性(Isotropy) 5、小变形假定(Small deformation)
x 0 x y 0 z xy y yz zx 0 z 0 y 0 x z 0 0 0 u z v 0 w y x
弹性力学的基本假定
1、连续性(Continuity)
整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填 满, 不留任何空隙.即，各个质点之间不存在任何 空隙 好处：物体内的物理量,例如应力形变和应变, 才可能是连续的, 才可以用连续函数来表示;
——宏观假设
弹性力学的基本假定
2、线弹性(Linear elastic)
L：微分算子
Lu
平衡方程：
3.3 弹性力学的基本方程之平衡方程
三维问题微元体的平衡： 平衡方程：
xy yx , xz zx , zy yz
弹性力学基本方程
平 衡 方 程
yx s x zx fx 0 x y z xy s y zy fy 0 x y z yz xz s z fz 0 x y z
工程材料的特点
• 金属材料——晶体材料，是由许多原子，离子 按一定规则排列起来的空间格子构成，其中间 经常会有缺陷存在。 • 高分子材料——非晶体材料，由许多分子的集 合组成的分子化合物。 • 工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固 体材料微观结构的复杂性。
弹性力学的基本假定
五个基本假定： 1、连续性(Continuity) 2、线弹性(Linear elastic) 3、均匀性(Homogeneity) 4、各向同性(Isotropy) 5、小变形假定(Small deformation)
x 0 x y 0 z xy y yz zx 0 z 0 y 0 x z 0 0 0 u z v 0 w y x
弹性力学的基本假定
1、连续性(Continuity)
整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填 满, 不留任何空隙.即，各个质点之间不存在任何 空隙 好处：物体内的物理量,例如应力形变和应变, 才可能是连续的, 才可以用连续函数来表示;
——宏观假设
弹性力学的基本假定
2、线弹性(Linear elastic)
L：微分算子
Lu
弹性力学课件完整版
材料拉伸或压缩时力学性能指标
弹性模量
弹性模量是描述材料抵抗弹性变形能力的指标，它等于应 力与应变的比值。
泊松比
泊松比是描述材料在拉伸或压缩时横向变形与纵向变形之 间关系的指标。
屈服极限和强度极限
屈服极限是指材料开始产生塑性变形的应力值，强度极限 是指材料在拉伸或压缩时所能承受的最大应力值。这些指 标对于评价材料的力学性能具有重要意义。
生物医学领域人体骨骼、肌肉等软组织力学性能研究
骨骼力学性能研究
运用弹性力学理论对人体骨骼进行受力分析 和模拟，研究骨骼在不同载荷下的应力分布 和变形情况，为骨折治疗和骨骼生物力学研 究提供理论支持。
肌肉软组织力学性能研究
通过弹性力学方法建立肌肉软组织的力学模 型，研究肌肉在收缩和舒张过程中的应力应 变关系以及能量转换机制，为运动生物力学
通过弹性力学中的运动方程可以建立位移梯度与应变之间的联系。
03
位移边界条件与约束
在实际问题中，空间各点的位移会受到边界条件和约束的影响。因此，
在分析空间各点位移变化规律时，需要考虑这些因素的影响。
06
弹性力学在工程中应用 举例
建筑结构中梁、板、柱设计原理
梁的设计原理 根据梁的受力特点和支承条件，运用弹性力学理论进行内 力、应力和变形的分析，从而确定梁的截面尺寸和配筋。
实验法在弹性力学研究中作用
验证理论模型
通过实验手段，可以验证弹性力学理论模型 的正确性和有效性。
研究材料性能
通过实验可以研究不同材料的力学性能，为 弹性力学的研究提供基础数据。
获取实验数据
通过实验可以获取大量的实验数据，为弹性 力学的研究提供有力的支持。
探索新现象和新规律
通过实验可以发现新的力学现象和规律，推 动弹性力学的发展。
弹性力学-边界条件汇总-知识归纳整理
千里之行，始于足下。 第 15 页/共 23 页
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知识归纳整理 第 1 页/共 23 页
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解：1）右边界（x=0） x x 0 y
x
O
xy x 0 0
n
y
2）左边界（x=y×tg）
cosn, x cos
y
m cosn, y cos( )
2
sin
y
fx 0, fy 0
由：
x n
xs mxy s fx xy s my s fy
O
y
l co sm sin
一.位移边界条件
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移
分量是已知的，即： 式中：
us u, vs v （２～１４
us、 vs —是位移的边界值；
u、v — 边界上坐标的已知函数或边界上
已知的位移分量。
二、应力边界条件
边界上面力分量为已知。建立边界上微元体的应 力分量与面力分量的关系
二、应力边界条件
位 移 边 界 条 件 不 能 完 全 满 足 。
圣维南原理的应用
• 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。
• 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可 以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分 意义上的)边界条件。
• 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但 如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此 时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大 的差异，远离这个局部，结果基本相同。
• 证明概要：只需注意方程都是线性的， 同时边界条件也是线性的即可。
• 推广：以上两组外力可以推广到n组外力。 • 分解原理：根据叠加原理，可以把原问
题分解成几个简单的问题单独求解。
§2-7.圣维南原理(局部性原理)
一.圣维南原理的叙述
描述－1、如果把物体的一小部分边界上 的面力以等效力系（主矢及主矩均为相同） 代换，则在加载附近的的应力发生显著变 化，而在稍远处的影响可忽略不计，亦即 与载荷在边界上的作用形式无关。 描述－2、如果物体在一小部分边界上的 面力是一个平衡力系（主矢及主矩均为 零），则面力就只会使近处产生显著的应 力，远处的应力可忽略不计。
二. 圣维南原理的应用条件
1、必须用等效力系代替。
2、载荷区域必须比物体的最小尺寸为小（小边界上)
举例 P
P 图(a)
q P A
q
图(b)
P 图(c)
（ 1 ） 以 (b )代 (a)应 力 边 界 条 件 可 以 近 似 满 足 。 （ 2 ） 以 (b )代 (c)应 力 边 界 条 件 可 以 近 似 满 足 ,但
x yx
xyysm l ffxy
y
xscosxyssi n0
xyscosyssi n0
y
唯一性定理
• 表述－1：在没有初始应力的情况下，如果边界 条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问 题的解答是唯一的。
• 表述－2：在没有初始应力的情况下，弹性力学 边值问题的解在相差一组刚体位移的意义下是唯 一的。
o
x
上 面 ： l=0， m=-1
左面：
右面：
l=-1
l=1
m=0
m=0
下 面 ： l=0， m=1 y
边界面于坐标轴平行时的简单写法: 每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m
图中的面力采用矢量 符号规则
举例：
X 0,Y q
l0;m1
X q Y 0
y
X 0,Y q
x
X q Y 0
(1).左右 (2).上下
l 1 ( x)s fx
m
0 ( Y m1 ( yx)s X
右 : ( x) s q , ( xy ) s 0 左 : ( x) s q , ( xy ) s 0 上 : ( y) s q , ( yx ) s 0 下 : ( y ) s q , ( yx ) s 0
静力等效边界条件：对于严格要求的条件在局部放松
y
线性分布的边界力所形
h 2 h 2
L
y
M 成的力偶等于M x 由材力弯曲公式： M yy
Iz
严格面力
fx
M yy Iz
h
f y 0
2
y
h 2
x 严格边界条件
L
x
xL
M yy Iz
只有在右端弯矩是由线性分布的外力引起时， xy
应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的 应力分量；右端为面力分量。可以各自采用各 自的符号规定。但需要用边界的方向余弦
特例--边界面与坐标轴平行时 (1).左右两面
x yx
xyysm l ffxy
l 1 ( x)s fx m0 ( xy)s fy (2).上下两面 l 0 ( y)s fy m1 ( yx)s fx
三、混合边界条件 1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一
部分边界上应力分量已知。 2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个
应力分量。 图(b)
图(a)
o
x
x
y
us u 0
xy
fy
0
y
(
x)s fx 0
vs v 0
例1：小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上，
除与正应y力的 关y 系外。，(还假有设剪任应何力界面 x上y 。y方并向确的定正边应界力上均匀 分x 、布) xy
在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示：
弹性体内单元体斜面上的 应力分量与坐标面应力的
y
关系有(静力平衡)
yx
ppxyyxx
xyl ym
x
xy
Xf xn
单元体斜面恰为边界面则 面力分量与坐标面应力的 关系有应力边界条件
yxx xyysm l ffxy
fYy n
注意：以上在推导时，斜 面上的应力px,py采用矢量 符号规定－与面力相同。
• 证明概要：只要证明在体力和面力都为零的情况 下，边值问题只可能有零解(应力、应变和位移 全为零)。后者则需要用到应变能的概念。
• 据此，任何一组应力应变和位移，如果它们确能 满满足方程和边界条件，就肯定是该问题的解。
叠加原理
• 叠加原理：两组外力同时作用在物体上 所产生的结果等于他们分别作用产生的 结果之和。
o
y
解：
y
P A( y)
y
yx
lcons,xcos
mcons,ysin
x
xy
fx
由 xs mxy s fx
P
n
xy s my s fy
y
fy
xscosyxssin0 xyscosyssin0
xs ytg2Apytg2
xysytgApytg
[例] 写出应力边界条件。设液体比重为