关系与映射学习指导

关系与映射学习指导
学习目标
理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，理解有关定理，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。
内容提要
(一)二元关系
笛卡尔积：A×B={(a,b)｜a∈A,b∈B}，注意(a,b)为有次序的元素偶.
从集合A到B中的关系：A×B中的每一子集R称为从A到B中的关系.若(a,b)∈R，则称a与b是R-相关的，记作aRb.
={(2, 2), (2,3), (3,1), (4, 4)}
={(1, 1), (1,3), (2,1), (3,3), (4,2)} {(2, 2), (2,3), (3,1), (4, 4)}
={(1, 1), (3,1), (4,2), (4,3)}
注：由例1可知，关系的复合运算不满足交换率，即 .
f的左零元e： a∈A,使f(e,a)=a；
f的零元e：既是f的左零元，又是f的右零元.
a的右逆元 ： 对于a∈A，若 ∈A，使f(a, )=e；
a的左逆元 ： 对于a∈A，若 ∈A，使f( ，a)=e；
a的逆元 ： 既是a的左逆元，又是a的右逆元.
重难点解析
(二)关于关系与映射
世界上存在各种各样的事物，这些事物之间的相互联系，我们称之为“关系”. 本节用统一的数学语言来描述这些表面看起来似乎无关的，但本质上却有其共性的“关系”.本节介绍的二元关系、运算和映射等概念也是本课程的基础，它们在后续各章节中都有应用. 因此，我们在学习本节内容时应该理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。
={(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)} {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)}
={(1, 1), (1, 3), (2,4), (3,4)}
= ={(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)}
（3）A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8,9,10}，f={(1,8),(3,10),(2,6),(4,9)}
（4）A=B=R，f(x)=x3，（ R）；
（5）A=B=R， ，（ R）；
[思路]首先按照1.2节的定义2.5，判断A、B和f是否构成映射，即判断f是否具有单值性以及Dom(f)是否等于A.然后再按照定义2.6，说明f： 具有的性质.
关系R的定义域：Dom(R)={a｜存在b∈B，使aRb}( A).
关系R的值域：Ran(R)={b｜存在a∈A，使aRb}( B).
关系R的象集：R( )={b｜存在a∈ ，使得aRb}( B).其中集合 A.
关系R的逆： 设R A×B，则B×A的子集 ={(b,a)｜aRb}称为R的逆.
关系的复合:S R={(a,c)｜存在b∈B，使得aRb，bSc}，其中R A×B，S B×C.
f(R) R，所以映射f： 不是单射的，也不是满射的.
例3证明：若f：X Y，A，B Y，则 (A-B) = (A)- (B)
证明 x (A-B)， y (A-B)，即y A但y B，使得y=f(x)，
从而有x (A)但x (B)，故x ( (A)- (B))．
(A-B) (A)- (B)．
又 x ( (A)- (B))，由于x (A)但x (B)，从而f(x) A但f(x) B，即f(x) (A-B)，故x (A-B)．
4．在映射的定义(定义2.5)中，条件“如果 x∈X，有唯一y∈Y，使得xFy，”表示映射是单值的，也就是说，定义域中的任意一个x与值域中唯一的y有关系，所以用y=F(x)表示.另外，该条件还指出，集合X就是映射F的定义域，即Dom(F) =X.
因此，从集合X到Y的映射F是一个二元关系，但是从X到Y的二元关系R不一定是一个映射.例如，实数集R上的二元关系f={(a,b)a= }不是映射，因为(4,-2) f，(4,2) f，不满足映射的单值性.
例2对于以下给定的集合A、B和关系f，判断是否构成映射f： .如果是，试说明f： 是否为单射、满射或双射的.
（1）A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8,9,10}，f={(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9)}；
（2）A={1,2,3,4,5}，B={6,7,8,9,10}，f={(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10)}；
结论1： 设f∶X→Y，A，B Y，则逆映射 满足
(1) (A∪B)= (A)∪ (B)；
(2) (A∩B)= (A)∩ (B)；
(3) (A-B)= (A)- (B).
结论2：设f∶X→Y，
(1)若f是单射，则对于X的任意子集A，有 (f(A))=A.
(2)若f是满射，则对于Y的任意子集B，有f( (B))=B.
因为a1= (a1)=(g f)(a1)=g(f(a1))=g(f(a2)) =(g f)(a2)= (a2)=a2.
所以f是单射的.
(2)证明映射g是满射.
因为(g f)(A)= (A)=A，所以g f是满射的.
又对任意的c A，由g f是满射的可知，存在a A，使(g f)(a)=c.
那么存在b B，使f(a) =b，g(b) =c.
求关系R的逆关系，只要把R中的每个有序对的两个元素交换位置，就能得到 中的所有有序对.
解 ={(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} {(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)}
={(1,3), (1, 2), (2, 4), (3,3), (3,2)}
例1设集合A={1, 2, 3, 4}上的二元关系R= {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)}，S= {(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)}，用定义求 .
[思路]求复合关系 ，就是要分别将R中有序对(a,b)的第2个元素b与S中的每个有序对(c,d)的第1个元素进行比较，若它们相同（即b=c），则可组成 中的1个元素(a,d)，否则不能.幂关系的求法与复合关系类似.
(三)运算
运算： 映射f:A×B→C是一个从A×B到C中的运算.特别的，映射f:A×A→A是A上的一个运算，并且称运算f在A上封闭.
若f(a,b)=f(b,a),则称运算f满足交换律；若f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)),则称运算f满足结合律.
f的右零元e： a∈A,使f(a,e)=a；
={(1, 1), (1, 2), (1, 4), (3, 1), (3,2), (3, 3)}
={(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)}
={(1, 1), (1,3), (2,1), (3,3), (4,2)}
={(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)}
2.二元关系R是一个有序对组成的集合.因此，一个二元关系是一个集合，可以用集合形式表示.但是任意一个集合就不一定是一个二元关系了，只有当这个集合是由有序对组成的，才能称为二元关系.
例如， ={(a,1)，(b, 2)}， ={a，(b, 2)}，那么 是二元关系，而 不是二元关系，仅仅是一个集合
二元关系R也可以用关系图表示.设集合A={a1,a2,…,am}，B={b1,b2,…,bn}，若R是从A到B的一个关系，则用m空心点表示a1,a2,…,am，用n空心点表示b1,b2,…,bn，这些空心点统称为结点.如果aiRbj，那么由结点ai到结点bj作一条有向弧，箭头指向bj；如果(ai,bj) R，那么结点ai与bj之间没有
所以存在b B，使g(b) =c，即g是满射的.
例5设函数f：A B，g：B C，且g f：A C，证明：若f和g都是单射的，则g f也是单射的.
证明因为对任意的a1，a2 A，如果a1 a2，那么由f是单射的可知，f(a1) f(a2).而由g是单射的可知，g(f(a1)) g(f(a2)).
例如，集合A={a,b,c}，B={1, 2}，则
A B={a,b,c} {1, 2}={(a,1)，(a,2)，(b, 1)，(b, 2)，(c, 1)，(c, 2)}
A B={1, 2} {a,b,c}= {(1,a)，(1,b)，(1,c)，(2,a)，(2,b)，(2,c)}
所以A×B≠B×A.
（3）因为Domf={1,2,3,4} A，所以A、B
和f不能构成映射f： .
（4）因为对 R，都有唯一的 R，使
(x, ) .所以A、B和f能构成映射f： .
由图1-12可知，f： ，f(x)=x3是双射的.
（5）因为对 R，都有唯一的 R，
使 .所以A、B和f能构成映射
f： .
因为该映射在x 0处，f(-x)=f(x)，且
设A，B，C，D为集合；R A×B，S B×C，T C×D，则有关系的逆与复合运算满足：
(1) =R；
(2) = ；
(3)T (S R)=(T S) R.
(二)映射
映射：F∶X→Y，即 x∈X，有唯一y∈Y，使得xFy.
映射F的象：y=F(x)，即对于每一x∈X，使得xFy成立的y.
映射F的原象： ，即对于y∈Y，使得xFy成立的x(x∈X).
映射的复合：(G F)(x)=G(F(x))，其中F∶X→Y，G∶Y→Z.
满射： 若f(X)=Y，则称f为从X到Y上的满射.
单射： 若 , ∈X, ≠ ，有f( )≠f( )，则称f为从X到Y上的单射.
双射： 若f即是单射又是满射的.
逆映射： 由y=f(x)确定的从Y到X的映射 ：Y→X，其中f∶X→Y是双射.
所示.
3．关系R的定义域是指R中有序对的第一元素所允许选取对象的集合，关系R的值域是指R中有序对的第二元素所允许选取对象的集合.
例如，集合A={a,b,c}，B={1, 2, 3}，从A到B的关系
R={ (a,2)，(b, 1)，(b,3)}
那么，Dom(R) ={a,b}，Ran(R) ={1, 2, 3}.
(A)- (B) (A-B)．
因此， (A-B) = (A)- (B)．
例4设有映射f:A→A.若 a∈A,f(a)=a,则称映射f是恒等映射，表示为 .设有两个映射f:A→B,g:B→A.若g f= ,则f是单射，g是满射.
证明(1)证明映射f是单射.
对任意的b B，如果存在a1，a2 A，使f(a1) =b，f(a2) =b，即f(a1) =b=f(a2).
解（1）因为Dom(f) =A，且对任意 （i=1, 2, 3, 4, 5），都有唯一的 ，使(i,j) .所以A、B和f能构成函数f： .
因为存在3,5 A，且3 5，但映射f(3)=f(5)=9，所以f： 不是单射的；
又因为集合B中的元素7不属于f的值域，即f(A) B，所以f： 不是满射的.
（2）因为对1 A，存在7, 9 B，有f(1)= 7，f(1)= 9，即f不满足映射定义的单值性条件.所以A、B和f不能构成映射f： .
1．笛卡尔积是一种集合的二元运算，是本节最基本的概念之一.集合A与B的笛卡尔积A B= {(a,b)│a A,b B}是一个集合，这个集合的元素都是一些有序对，这些有序对中的第一个成员都是取自集合A，第二个成员都是取自集合B，不能随意取出写之.
集合A，B的笛卡尔积与这两个集合的次序有关.一般地，若A与B非空，只要A≠B，则有A×B≠B×A.也就是说交换律不成立.
弧连结，这样的图形称为R的关系图.
若R是A上一个关系，如果aiRaj(i j)，有向弧的画
法与上面相同；如果aiRai，则画一条从结点ai到结点ai
的带箭头的封闭弧，称为自回路
例如，集Байду номын сангаасA={1，2，3，4}上的关系R={(1,1)，(1,
2)，(2,3)，(2,4)，(3,3)，(4,2)}，则R的关系图如图1-6
由此可知，若映射F是双射，则存在逆映射 ；若映射F不是双射，则不存在逆映射 ，或者说 不是映射.
对于从集合X到Z中复合关系G F，因为F是从X到Y的映射，G是从Y到Z的映射，由映射的定义可知，映射F的值域是映射G的定义域的子集，即Ran(F) Dom(G)，它保证了复合映射G F是非空的.
典型例题解析