关系与映射学习指导

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关系与映射学习指导
学习目标
理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念,理解映射、满射、单射、双射等概念,理解有关定理,掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。
内容提要
(一)二元关系
笛卡尔积:A×B={(a,b)|a∈A,b∈B},注意(a,b)为有次序的元素偶.
从集合A到B中的关系:A×B中的每一子集R称为从A到B中的关系.若(a,b)∈R,则称a与b是R-相关的,记作aRb.
={(2, 2), (2,3), (3,1), (4, 4)}
={(1, 1), (1,3), (2,1), (3,3), (4,2)} {(2, 2), (2,3), (3,1), (4, 4)}
={(1, 1), (3,1), (4,2), (4,3)}
注:由例1可知,关系的复合运算不满足交换率,即 .
f的左零元e: a∈A,使f(e,a)=a;
f的零元e:既是f的左零元,又是f的右零元.
a的右逆元 : 对于a∈A,若 ∈A,使f(a, )=e;
a的左逆元 : 对于a∈A,若 ∈A,使f( ,a)=e;
a的逆元 : 既是a的左逆元,又是a的右逆元.
重难点解析
(二)关于关系与映射
世界上存在各种各样的事物,这些事物之间的相互联系,我们称之为“关系”. 本节用统一的数学语言来描述这些表面看起来似乎无关的,但本质上却有其共性的“关系”.本节介绍的二元关系、运算和映射等概念也是本课程的基础,它们在后续各章节中都有应用. 因此,我们在学习本节内容时应该理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念,理解映射、满射、单射、双射等概念,掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。
={(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)} {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)}
={(1, 1), (1, 3), (2,4), (3,4)}
= ={(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)}
(3)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10},f={(1,8),(3,10),(2,6),(4,9)}
(4)A=B=R,f(x)=x3,( R);
(5)A=B=R, ,( R);
[思路]首先按照1.2节的定义2.5,判断A、B和f是否构成映射,即判断f是否具有单值性以及Dom(f)是否等于A.然后再按照定义2.6,说明f: 具有的性质.
关系R的定义域:Dom(R)={a|存在b∈B,使aRb}( A).
关系R的值域:Ran(R)={b|存在a∈A,使aRb}( B).
关系R的象集:R( )={b|存在a∈ ,使得aRb}( B).其中集合 A.
关系R的逆: 设R A×B,则B×A的子集 ={(b,a)|aRb}称为R的逆.
关系的复合:S R={(a,c)|存在b∈B,使得aRb,bSc},其中R A×B,S B×C.
f(R) R,所以映射f: 不是单射的,也不是满射的.
例3证明:若f:X Y,A,B Y,则 (A-B) = (A)- (B)
证明 x (A-B), y (A-B),即y A但y B,使得y=f(x),
从而有x (A)但x (B),故x ( (A)- (B)).
(A-B) (A)- (B).
又 x ( (A)- (B)),由于x (A)但x (B),从而f(x) A但f(x) B,即f(x) (A-B),故x (A-B).
4.在映射的定义(定义2.5)中,条件“如果 x∈X,有唯一y∈Y,使得xFy,”表示映射是单值的,也就是说,定义域中的任意一个x与值域中唯一的y有关系,所以用y=F(x)表示.另外,该条件还指出,集合X就是映射F的定义域,即Dom(F) =X.
因此,从集合X到Y的映射F是一个二元关系,但是从X到Y的二元关系R不一定是一个映射.例如,实数集R上的二元关系f={(a,b)a= }不是映射,因为(4,-2) f,(4,2) f,不满足映射的单值性.
例2对于以下给定的集合A、B和关系f,判断是否构成映射f: .如果是,试说明f: 是否为单射、满射或双射的.
(1)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10},f={(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9)};
(2)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10},f={(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10)};
结论1: 设f∶X→Y,A,B Y,则逆映射 满足
(1) (A∪B)= (A)∪ (B);
(2) (A∩B)= (A)∩ (B);
(3) (A-B)= (A)- (B).
结论2:设f∶X→Y,
(1)若f是单射,则对于X的任意子集A,有 (f(A))=A.
(2)若f是满射,则对于Y的任意子集B,有f( (B))=B.
因为a1= (a1)=(g f)(a1)=g(f(a1))=g(f(a2)) =(g f)(a2)= (a2)=a2.
所以f是单射的.
(2)证明映射g是满射.
因为(g f)(A)= (A)=A,所以g f是满射的.
又对任意的c A,由g f是满射的可知,存在a A,使(g f)(a)=c.
那么存在b B,使f(a) =b,g(b) =c.
求关系R的逆关系,只要把R中的每个有序对的两个元素交换位置,就能得到 中的所有有序对.
解 ={(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} {(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)}
={(1,3), (1, 2), (2, 4), (3,3), (3,2)}
例1设集合A={1, 2, 3, 4}上的二元关系R= {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)},S= {(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)},用定义求 .
[思路]求复合关系 ,就是要分别将R中有序对(a,b)的第2个元素b与S中的每个有序对(c,d)的第1个元素进行比较,若它们相同(即b=c),则可组成 中的1个元素(a,d),否则不能.幂关系的求法与复合关系类似.
(三)运算
运算: 映射f:A×B→C是一个从A×B到C中的运算.特别的,映射f:A×A→A是A上的一个运算,并且称运算f在A上封闭.
若f(a,b)=f(b,a),则称运算f满足交换律;若f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)),则称运算f满足结合律.
f的右零元e: a∈A,使f(a,e)=a;
={(1, 1), (1, 2), (1, 4), (3, 1), (3,2), (3, 3)}
={(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)}
={(1, 1), (1,3), (2,1), (3,3), (4,2)}
={(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)}
2.二元关系R是一个有序对组成的集合.因此,一个二元关系是一个集合,可以用集合形式表示.但是任意一个集合就不一定是一个二元关系了,只有当这个集合是由有序对组成的,才能称为二元关系.
例如, ={(a,1),(b, 2)}, ={a,(b, 2)},那么 是二元关系,而 不是二元关系,仅仅是一个集合
二元关系R也可以用关系图表示.设集合A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,…,bn},若R是从A到B的一个关系,则用m空心点表示a1,a2,…,am,用n空心点表示b1,b2,…,bn,这些空心点统称为结点.如果aiRbj,那么由结点ai到结点bj作一条有向弧,箭头指向bj;如果(ai,bj) R,那么结点ai与bj之间没有
所以存在b B,使g(b) =c,即g是满射的.
例5设函数f:A B,g:B C,且g f:A C,证明:若f和g都是单射的,则g f也是单射的.
证明因为对任意的a1,a2 A,如果a1 a2,那么由f是单射的可知,f(a1) f(a2).而由g是单射的可知,g(f(a1)) g(f(a2)).
例如,集合A={a,b,c},B={1, 2},则
A B={a,b,c} {1, 2}={(a,1),(a,2),(b, 1),(b, 2),(c, 1),(c, 2)}
A B={1, 2} {a,b,c}= {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}
所以A×B≠B×A.
(3)因为Domf={1,2,3,4} A,所以A、B
和f不能构成映射f: .
(4)因为对 R,都有唯一的 R,使
(x, ) .所以A、B和f能构成映射f: .
由图1-12可知,f: ,f(x)=x3是双射的.
(5)因为对 R,都有唯一的 R,
使 .所以A、B和f能构成映射
f: .
因为该映射在x 0处,f(-x)=f(x),且
设A,B,C,D为集合;R A×B,S B×C,T C×D,则有关系的逆与复合运算满足:
(1) =R;
(2) = ;
(3)T (S R)=(T S) R.
(二)映射
映射:F∶X→Y,即 x∈X,有唯一y∈Y,使得xFy.
映射F的象:y=F(x),即对于每一x∈X,使得xFy成立的y.
映射F的原象: ,即对于y∈Y,使得xFy成立的x(x∈X).
映射的复合:(G F)(x)=G(F(x)),其中F∶X→Y,G∶Y→Z.
满射: 若f(X)=Y,则称f为从X到Y上的满射.
单射: 若 , ∈X, ≠ ,有f( )≠f( ),则称f为从X到Y上的单射.
双射: 若f即是单射又是满射的.
逆映射: 由y=f(x)确定的从Y到X的映射 :Y→X,其中f∶X→Y是双射.
所示.
3.关系R的定义域是指R中有序对的第一元素所允许选取对象的集合,关系R的值域是指R中有序对的第二元素所允许选取对象的集合.
例如,集合A={a,b,c},B={1, 2, 3},从A到B的关系
R={ (a,2),(b, 1),(b,3)}
那么,Dom(R) ={a,b},Ran(R) ={1, 2, 3}.
(A)- (B) (A-B).
因此, (A-B) = (A)- (B).
例4设有映射f:A→A.若 a∈A,f(a)=a,则称映射f是恒等映射,表示为 .设有两个映射f:A→B,g:B→A.若g f= ,则f是单射,g是满射.
证明(1)证明映射f是单射.
对任意的b B,如果存在a1,a2 A,使f(a1) =b,f(a2) =b,即f(a1) =b=f(a2).
解(1)因为Dom(f) =A,且对任意 (i=1, 2, 3, 4, 5),都有唯一的 ,使(i,j) .所以A、B和f能构成函数f: .
因为存在3,5 A,且3 5,但映射f(3)=f(5)=9,所以f: 不是单射的;
又因为集合B中的元素7不属于f的值域,即f(A) B,所以f: 不是满射的.
(2)因为对1 A,存在7, 9 B,有f(1)= 7,f(1)= 9,即f不满足映射定义的单值性条件.所以A、B和f不能构成映射f: .
1.笛卡尔积是一种集合的二元运算,是本节最基本的概念之一.集合A与B的笛卡尔积A B= {(a,b)│a A,b B}是一个集合,这个集合的元素都是一些有序对,这些有序对中的第一个成员都是取自集合A,第二个成员都是取自集合B,不能随意取出写之.
集合A,B的笛卡尔积与这两个集合的次序有关.一般地,若A与B非空,只要A≠B,则有A×B≠B×A.也就是说交换律不成立.
弧连结,这样的图形称为R的关系图.
若R是A上一个关系,如果aiRaj(i j),有向弧的画
法与上面相同;如果aiRai,则画一条从结点ai到结点ai
的带箭头的封闭弧,称为自回路
例如,集Байду номын сангаасA={1,2,3,4}上的关系R={(1,1),(1,
2),(2,3),(2,4),(3,3),(4,2)},则R的关系图如图1-6
由此可知,若映射F是双射,则存在逆映射 ;若映射F不是双射,则不存在逆映射 ,或者说 不是映射.
对于从集合X到Z中复合关系G F,因为F是从X到Y的映射,G是从Y到Z的映射,由映射的定义可知,映射F的值域是映射G的定义域的子集,即Ran(F) Dom(G),它保证了复合映射G F是非空的.
典型例题解析
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