关系与映射典型例题解析

关系与映射典型例题解析

例1 设集合A = {1, 2, 3, 4}上的二元关系R = {(1, 1), (1, 2), (2,

4), (3, 1), (3, 3)}，S = {(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)}，用定义求11112,,,,,----R S S R R S R R S .

[思路] 求复合关系R S ，就是要分别将R 中有序对(a , b )的第2个元素b 与S 中的每个有序对(c , d )的第1个元素进行比较，若它们相同（即b =c ），则可组成R S 中的1个元素(a , d )，否则不能. 幂关系的求法与复合关系类似.

求关系R 的逆关系，只要把R 中的每个有序对的两个元素交换位置，就能得到1-R 中的所有有序对.

解 R S = {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} {(1, 3), (2, 2), (3,

2), (4, 4)}

= {(1, 3), (1, 2), (2, 4), (3, 3), (3, 2)}

S R ={(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)} {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)}

={(1, 1), (1, 3), (2, 4), (3, 4)}

2R =R R = {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)}

={(1, 1), (1, 2), (1, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

1-R ={(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)}1-

={(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2)}

1-S ={(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)}1-

= {(2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 4)}

1-S 1-R ={(1, 1), (1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 2)} {(2, 2), (2, 3), (3,

1), (4, 4)}

={(1, 1), (3, 1), (4, 2), (4, 3)}

注：由例1可知，关系的复合运算不满足交换率，即R S ≠S R .

例2 对于以下给定的集合A 、B 和关系f ，判断是否构成映射f ：B A →. 如果是，试说明f ：B A →是否为单射、满射或双射的.

（1）A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={6, 7, 8, 9, 10}，f ={(1, 8), (3, 9), (4, 10), (2, 6), (5, 9)}；

（2）A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={6, 7, 8, 9, 10}，f ={(1, 7), (2, 6), (4, 5), (1, 9), (5, 10)}；

（3）A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={6, 7, 8, 9, 10}，f ={(1, 8), (3, 10), (2, 6), (4, 9)}

（4）A =B =R ，f (x ) = x 3，（∈∀x R ）；

（5）A =B =R ，1

1)(2+=x x f ，（∈∀x R ）； [思路] 首先按照1.2节的定义2.5，判断A 、B 和f 是否构成映射，即判断f 是否具有单值性以及Dom(f )是否等于A . 然后再按照定义2.6，说明f ：B A →具有的性质.

解 （1）因为Dom(f ) = A ，且对任意A i ∈（i =1, 2, 3, 4, 5），都有唯一的B j ∈，使(i , j )f ∈. 所以A 、B 和f 能构成函数f ：B A →. 因为存在3, 5∈A ，且3≠5，但映射f (3)= f (5) = 9，所以f ：B A →不是单射的；

又因为集合B 中的元素7不属于f 的值域，即f (A )≠B ，所以f ：B A →不是满射的.

（2）因为对1∈A ，存在7, 9∈B ，有f (1)= 7，f (1)= 9，即f 不满足映射定义的单值性条件. 所以A 、B 和f 不能构成映射f ：B A →.

（3）因为Dom f ={1, 2, 3, 4}≠A ，所以A 、B

和f 不能构成映射f ：B A →.

（4）因为对∈∀x R ，都有唯一的∈3x R ，使

(x , 3x )f ∈. 所以A 、B 和f 能构成映射f ：B A →.

由图1-12可知，f ：B A →，f (x )= x 3是双射的.

（5）因为对∈∀x R ，都有唯一的∈+1

12x R ， 使f x x ∈+)11,(2. 所以A 、B 和f 能构成映射

f ：B A →.

图1-12

因为该映射在x≠0处，f (-x)= f (x)，且

f (R) ≠R，所以映射f：B

A→不是单射的，也不是满射的.

例3证明：若f：X→Y，A，B⊂Y，则1-f(A- B) =1-f(A)-1-f(B) 证明 ∀x∈1-f(A- B)，∃y∈(A- B)，即y∈A但y∈B，使得y = f (x)，

从而有x∈1-f(A)但x∈1-f(B)，故x∈(1-f(A)-1-f(B))．

∴1-f(A-B)⊂1-f(A) -1-f(B)．

又 ∀x∈(1-f(A)-1-f(B))，由于x∈1-f(A)但x∈1-f(B)，从而f (x)∈A 但f (x)∈B，即f (x)∈(A-B)，故x∈1-f(A- B)．

∴1-f(A) -1-f(B)⊂1-f(A-B)．

因此，1-f(A- B) =1-f(A)-1-f(B)．

例4 设有映射f:A→A. 若∈a∈A, f(a)=a, 则称映射f是恒等映射，表示为

I. 设有两个映射f:A→B, g:B→A. 若g f =A I, 则f

A

是单射，g是满射.

证明(1) 证明映射f是单射.

对任意的b∈B，如果存在a1，a2∈A，使f (a1) = b，f (a2) = b，即f (a1) = b = f (a2).

因为a1=

I(a1)=(g f )(a1)= g(f (a1)) = g(f (a2)) =(g f )(a2) =A I(a2)=

A

a2 .

所以f是单射的.

(2) 证明映射g是满射.

因为(g f )(A)=

I(A)= A，所以g f是满射的.

A

又对任意的c∈A，由g f是满射的可知，存在a∈A，使(g f )(a) = c.

那么存在b∈B，使f (a) = b，g(b) = c.

所以存在b∈B，使g(b) = c，即g是满射的.

例5 设函数f：A→B，g：B→C，且g f：A→C，证明：若f和g都是单射的，则g f 也是单射的.

证明因为对任意的a1，a2∈A，如果a1≠a2，那么由f是单射