关系与映射典型例题解析

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北师大版高中数学必修一学第二章映射讲解与例题

2.3 映射两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.谈重点映射定义的理解(1)映射中的集合A和B是非空集合，它们可以是数集、点集或由图形组成的集合以及其他元素的集合．(2)映射是一种特殊的对应，其特殊性在于：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这种集合A中元素的任意性和集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心．对应关系常用图示或文字描述的方式来表达．(3)对应有“方向性”，即“从A到B的对应”与“从B到A的对应”一般是不同的，因此，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(4)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的像，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”．(5)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，也就是由像组成的集合C⊆B.【例1－1】给出下列四个对应，其中构成映射的是( )．A．(1)(2) BC．(1)(3)(4) D．(3)(4)解析：判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应，因此(2)和(3)不是映射，故选B.答案：B解技巧判断映射的技巧映射应满足存在性(即A中每一个元素在B中都有像)和唯一性(即像唯一)．所以，判断一个对应是否为映射，关键是看是否具备：①“一对一”或“多对一”；②A中元素都有像．【例1－2】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N＋，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥1，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；(3)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝10 00xx≥⎧⎨<⎩，，，；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝(5)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f为矩形到它的面积的对应；(6)设A＝{实数}，B＝{正实数}，对应关系f为x→1||x.解：(1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3按对应关系f，在B中没有元素和它对应，故(1)不是映射．(2)∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对任意的x，总有y≥1.又当x∈N时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.∴当x ∈A 时，x 2－2x ＋2∈B .∴对A 中每一个元素x ，在B 中都有唯一的y 与之对应，故(2)是映射．(3)按照对应关系f ，在A 中任意一个非负数，在B 中都有唯一的数1与之对应；在A 中任意一个负数，在B 中都有唯一的数0与之对应，故(3)是映射．(4)对任意的x ∈A ＝{x |x ＞0}，按对应法则f ：x →y＝，存在两个y ∈B ＝{y |y ∈R }，即y =y =与之对应，故(4)不是映射．(5)∵对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，∴对于集合A 中的每一个矩形，B 中都有唯一的实数与之对应，故(5)是映射．(6)∵实数0的绝对值还是0，其没有倒数，∴对于A 中的实数0，B 中没有元素与之对应，故(6)不是映射．2．一一映射的概念若从A 到B 的映射满足下列条件：①A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应；②A 中的不同元素的像也不同；③B 中的每一个元素都有原像．就称此映射为一一映射．有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作一一对应．映射造出多少个映射？其中有多少个一一映射？分析：可根据映射的定义，构造从集合A 到集合B 的映射，即让A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应．从集合A 到集合B 的映射，若对应关系不同，则所得到的映射不同．最后依据一一映射的概念从中数出一一映射的个数．解：从集合A 到集合B 可构造如下映射(其中的对应关系用箭头表示)：(3)，A 到集合B 能构造出4个映射，其中有2个一一映射．【例2－2】若M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤1}，下列对应关系f ：x →y 是从M 到N 的一一映射的是( )．A ．12y x =B ．13y x = C ．212y x = D ．y ＝(x －1)2 解析：一一映射首先是映射，其次是A 中的不同元素在B 中的像不同，且B 中的每一个元素在A 中都有原像，只有满足这三个条件的对应关系，才是从A 到B 的一一映射．在选项A 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤1，对于集合M 中的每一个元素在N 中都有唯一的像与之对应，且M 中的不同元素的像也不同，N 中的每个元素都有原像，符合一一映射的三个条件；在选项B 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤23，所以集合N 中的元素y ∈213y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭在M 中没有原像；在选项C 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤2，所以集合M 中的元素x ∈{x x ≤2}在N 中没有像；在选项D 中，当x ＝0和2时，都有y ＝1，所以集合M 中的不同元素的像可能相同，故选A.(1)函数包括三要素：定义域、值域、两者之间的对应关系；映射包括三要素：非空集合A 、非空集合B 以及A ，B 之间的对应关系．(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个非空集合中的元素为任意元素，如人、物、命题等都可以．(3)在函数中，对定义域中的每一个数x ，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应，在映射中，对集合A 中的任意元素a 在集合B 中都有唯一确定的像b 和它对应．(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；在映射中，对于集合B 中的任一元素b ，在集合A 中不一定有原像．(5)函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．函数概念可以叙述为：设A ，B 是两个非空数集，f 是A 到B 的一个映射，那么映射f ：A →B 就叫作A 到B 的函数．在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域．(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝11x +；(2)A ＝{三角形}，B ＝{圆}，f ：三角形的内切圆； (3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →x 2＋y 2＝1.分析：映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：一、两个集合是否都是非空数集；二、对应关系是否为映射．解：(1)当x ＝－1时，y 的值不存在，所以不是映射，更不是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，也是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，则由x 2＋y 2＝1，得y ＝±1，即A 中的一个元素0与B 中的两个元素±1对应，因此(4)不是A 到B 的映射，也不是从A 到B 的函数．警误区关系式x ＝1是函数吗？有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．4．像与原像的求解问题(1)对于一个从集合A到集合B的映射f而言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B 中都对应着唯一的元素y，则y称为像，而x叫原像．(2)对于给出原像求像的问题，只需将原像代入对应关系式中，即可求出像．对于给出像求原像的问题，可先设出原像，再代入对应关系式中得到像，而它与已知的像是同一个元素，从而求出原像；也可根据对应关系式，由像逆推出原像．解答此类问题，关键是：①分清原像和像；②搞清楚由原像到像的对应关系．例如：已知M＝{自然数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1(b∈P)．则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________；P中的元素11对应着M中的元素________．∵2×11－1＝21，∴M中的元素11对应着P中的元素21.由2a－1＝11，得a＝6，∴P中的元素11对应着M中的元素6.【例4－1】已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )．A．18 B．30 C．272D．28解析：由题意，可知64,910,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得a＝2，b＝－8，∴对应关系为y＝2x－8.故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.答案：B【例4－2】已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y ＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的像；(2)求B中元素(1,2)的原像．分析：解答(1)可利用x＝1，y＝2代入对应关系求出3x－2y＋1与4x＋3y－1的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程组321=1431=2x yx y-+⎧⎨+-⎩，，求出x，y的值便可．解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9，故A中元素(1,2)的像为(0,9)．(2)令32114312x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，，得6,179.17xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故B中元素(1,2)的原像是69, 1717⎛⎫ ⎪.(1)一般地，若集合A中含有m个元素，集合B中含有n个元素，则从A到B的映射有n m 个，从B到A的映射有m n个．例如：求集合A＝{a，b，c}到集合B＝{－1,1}的映射的个数．按照映射的定义，A中元素可都对应B中同一个元素，即a→－1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→1，共有2个不同的映射；A中元素也可对应B中两个元素，即a→－1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→1，共有6个不同的映射，综上可知，从A到B的映射共有2＋6＝8＝23个．以后可以根据两个集合中元素的个数直接计算映射的个数．(2)计算满足某些特定要求的映射的个数时，关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图像法、数形结合等)．例如，设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若从M到N的映射f满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．要确定映射f，则只需要确定M中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值．而f(a)，f(b)，f(c)∈{－1,0,1}，还满足f(a)＋f(b)＝f(c)，因此要确定这样的映射f的个数，则只需要确定由－1,0,1能组成多少个等式( )＋( )＝( )．注意到映射不要求N f(c)的取值情况表示出来．【例5－1】集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．解析：由于f(3)＝3，因此只需考虑剩下的两个元素1和2的像的问题，总共有如图所示的4种可能(也可直接利用公式得到这样的映射共有22＝4个)．答案：4【例5－2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．解析：要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)， f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是2，另两个是3个．答案：3【例5－3】设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．解析：因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．答案：27 6。

高一数学映射试题

高一数学映射试题1.下列对应关系f中，不是从集合A到集合B的映射的是（）A．A=，B=（0，1），f：求正弦；B．A=R，B=R，f：取绝对值C．A=，B=R，f：求平方；D．A=R，B=R，f：取倒数【答案】D【解析】映射要求对于集合A中的任意一个元素，按照对应法则，在到集合B中，都能找到唯一一个元素与之对应。

对于A，因为，锐角的正弦属于区间（0，1），集合A中任意一个元素，在B中都有唯一一个元素与之对应，是映射；对于B，任意实数的绝对值，都有唯一一个非负实数与之对应，是映射；对于C，任意正实数的平方，都有唯一一个正实数与之对应，是映射；对于D，实数0没有倒数，表示映射。

故选D。

【考点】映射点评：简单题，利用映射的定义，结合简单运算加以判断。

2.（x，y）在映射f作用下的象是（x+y，x-y），则象（2，-3）的原象是___________。

【答案】【解析】由（x+y，x-y）＝（2，-3）得：，则象（2，-3）的原象是。

【考点】映射点评：在映射中，集合A中的元素是原象，集合B中的元素是象。

3.设A={}, B="{y" | 0y 3 }, 下列各图中不能表示从集合A到B的映射是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据映射的定义，集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与其对应，显然C 不符合映射的定义.因此C不是映射.4.已知集合,建立集合A到集合B的映射,,.则下列函数关系与映射表达的意义一致的为 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为集合,建立集合A到集合B的映射,,.则下列函数关系与映射表达的意义一致，定义域不同排除A,B，C，故选D.5.下列对应法则中，构成从集合到集合的映射是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】解：根据映射的概念，在集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，观察所给的四个选项，对于A选项，在B中有2个元素与它对应，不是映射，对于B选项，在B中没有和A的元素0对应的象，对于C选项，在B中没有与A的元素0对应的象，对于D选项，符合映射的意义，故选D．6.下列对应关系：（）①：的平方根。

高一数学映射试题答案及解析

高一数学映射试题答案及解析1.（x，y）在映射f下的象是（xy，x＋y），则点（2，3）在f下的象是．【答案】（6，5）【解析】设点（2，3）在f下的象是（m,n），由题意，∴点（2，3）在f下的象是（6，5）【考点】本题考查了映射的概念点评：掌握映射的概念是解决此类问题的关键，属基础题2.已知是从到的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在下的象是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】由题意可知，解得所以5在下的象是【考点】本小题主要考查映射，象与原象.点评：准确理解映射的概念以及象与原象的概念是解决本小题的关键.3.对于映射,其中,已知中0的原象是1，则1的原象是A．B．C．或中的一个D．不确定【答案】A【解析】根据映射的定义可知，因为中0的原象是1，所以1的原象是2和3.【考点】本小题主要考查映射的定义.点评：映射要求集合A中的任一元素在集合B中有唯一的元素和它对应，所以1的原象必须是2和3.4.设为的映射，若对，在A中无原像，则m取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，对，在A中无原像，即方程在时，无实数解，所以，故选A。

【考点】本题主要考查映射的概念。

点评：简单题，在映射中，集合A中任意元素，在B中都有唯一元素与之对应。

5.已知在映射，，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由知：故选A。

【考点】本题考查映射的概念。

6.设是从到的映射，下列判断正确的有 .①集合中不同的元素在中的像可以相同；②集合中的一个元素在中可以有不同的像；③集合中可以有元素没有原像.【答案】①③.【解析】根据从Ａ到Ｂ的映射的定义可知对于集合Ａ中的元素，应满足每个元素在集合Ｂ中都有唯一的与之对应．所以集合中不同的元素在中的像可以相同；集合中可以有元素没有原像;但集合中的一个元素在中不能有不同的像；因而正确的有①③.【考点】映射的定义.点评：映射的定义对集合Ａ中的每个元素必须有唯一的象，对于集合Ｂ中的元素可以有元素没有原象．7.已知P={0,1}，Q={-1,0,1}，f是从P到Q的映射，则满足f(0)>f(1)的映射有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】从P到Q的映射的映射共有9个，其中当f(0)=1，f(1)=0、f(0)=1，f(1)=-1和 f(0)=0，f(1)=-1时的映射满足条件，故答案为B。

必修1映射典型习题(含答案)

映射例题例1、在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？1、设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，对应关系是f(x)=2x+1,x 属于A2、设A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A 中的元素开平方’3、设A=R ，B=R,对应关系是f(x)=x 的3次方，x 属于A4、设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x 的2次方+1，x 属于A 解析：1、是一一映射，且是函数；2、不是映射（象是有且唯一）3、是一一映射，且是函数；4、是映射，但不是函数，因为B 中不是所有值在A 中都有对应。

例2、设A={a,b,c},B={0,1},请写出两个从A 到B 的映射从A 到B 的映射共有2^3=8个：（a ，b ，c ）→（0，0，0）；（a ，b ，c ）→（0，0，1）；（a ，b ，c ）→（0，1，0）；（a ，b ，c ）→（1，0，0）；（a ，b ，c ）→（0，1，1）；（a ，b ，c ）→（1，0，1）；（a ，b ，c ）→（1，1，0）；（a ，b ，c ）→（1，1，1）。

例3：已知：集合{,,}M a b c =，{1,0,1}N =-，映射:f M N →满足()()()0f a f b f c ++=，那么映射:f M N →的个数是多少？解：∵(),(),()f a N f b N f c N ∈ ∈ ∈，且()()()0f a f b f c ++=∴有00001(1)0++=++-=．当()()()0f a f b f c ===时，只有一个映射；当()()()f a f b f c 、、中恰有一个为0，而另两个分别为1，1－时，有326⨯＝个映射．所以所求的映射的个数为167＋＝．例4．给出下列四个对应：① ② ③ ④其构成映射的是（）A 只有①②B 只有①④C 只有①③④D 只有③④提示：根据映射的概念，集合A 到集合B 的映射是指对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有唯一确定的值与之相对应，故选择B ．例5．若函数()f x 满足()()(),f x y f x f y x y R +=+ (∈)，则下列各式不恒成立的（）(0)0A f = (3)3(1)B f f = 11()(1)22C f f = ()()0D f x f x -⋅< 提示：令0y =有()()(0)f x f x f =+，(0)0f ∴=，A 准确．令1x y ==，有(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)f f f f f f f =+=++=，B 准确．令12x y ==，有111(1)()()2()222f f f f =+=，11()(1)22f f ∴=，C 准确．令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-．因为(0)0f =，()()f x f x ∴-=-，于是当0x y ==时，()()0f x f x -⋅=，故()()0f x f x -⋅<不恒成立，故选D ．例6．已知集合{04}P x x =≤≤，{02}Q y y =≤≤，下列不表示从P 到Q 的映射是（）1:2A f x y x →= 1:3B f x y x →= 2:3C f x y x →= :D f x y x →= 提示：C 选项中2:3f x y x →=，则对于P 集合中的元素4，对应的元素83，不在集合Q 中，不符合映射的概念．例7．集合{3,4}A = ，{5,6,7}B = ，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________．答案：9,8提示：从A 到B 可分两步实行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A 中的元素4也有这3种对应方法．则不同的映射种数1339N =⨯=．反之从B 到A ，道理相同，有22228N =⨯⨯=种不同映射．例8．如果函数3()()f x x a =+对任意x R ∈都有(1)(1)f x f x +=--，试求(2)(2)f f +-的值．解：∵对任意x R ∈，总有(1)(1)f x f x +=--，∴当0x =时应有(10)(10)f f +=--，即(1)(1)f f =-．∴(1)0f =．又∵3()()f x x a =+，∴3(1)(1)f a =+．故有3(1)0a +=（，则1a =-．∴3()(1)f x x =-．∴33(2)(2)(21)(21)26f f +-=-+--=-．。

离散数学第三章关系与映射课件

则有
c) ( R 2 R3 ) R 4 R 2 R 4 R3 R4 d ) ( R 2 R3 ) R 4 R 2 R 4 R3 R4
定理2 已知集合 X , Y , Z , W ,
X Y Z W
R1 R2 R3
则有
(R 1 R 2 ) R 3 R 1 (R 2 R 3 )
MR 3
MR 4
2.关系的运算
1）关系的交、并、补、差
前已述及，关系是序偶(有序对)的集合，
因此可以对关系进行运算。若R, SAB，则 R∪S，R∩S，~R，R-SAB.
2）复合关系设 R 是从集合 X 到 Y 的关系 , S 是从 Y 到 Z 的关系,把 X 到 Z 的关系定义为 R S
R 6 { a, a , a, b , b, b , c, c }
R 7 { a, b , b, c , a, c } R 8 { a, b , b, c , c, a } R 9 { a, b , a, c } R 10 { a, b }
A上关系R是反自反的 x (xAxRx)
该定义表明了，一个反自反的关系R中，不应包括有任何相同元素的有序对。
由定义说明中，可知真包含关系是反自
反的，但包含关系不是反自反的；小于关系<
是反自反的，而≤不是反自反的。
应该指出，任何一个不是自反的关系，未
必是反自反的；反之，任何一个不是反自反的
(3,1),(3,2),(2,1)}
0 1 MR 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
优点便于在计算机上表达, 自动判定R的性质. 缺点 X中元素个数较大时不方便,不便于判定传递关系.

映射及映射法及例题

映射及映射法及例题知识、方法、技能1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f →（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可.（4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2．一一映射一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.3．逆映射如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.显然有（f —1）—1= f ，即如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f .事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —1是1－1的.任给b a f A a =∈)(,设，则a b f=-)(1.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f —1是映射上的.这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f —1有逆映射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f—1下的原象，即f —1(b)=a ，所以， f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1的逆映射是f .赛题精讲Ⅰ映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a ff f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之.【略解】由f 的定义和已知数据，得⎩⎨⎧∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u ,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11105[21=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u同理，由.9)(,3)(223,221]1127[,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能：（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y 由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解.【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要.例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=xy y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.集合A 为直线x y x y 333==和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ：},36,,0|)sin ,cos {(πθπρρθρθρ<<∈≠=R A 图Ⅰ－1－2－1}.20,,0|)sin ,cos {(πϕρρϕρϕρ<<∈≠=R B令).6(3),sin ,cos ()sin ,cos (πθϕϕρϕρθρθρ-=→f 在这个映射下，极径ρ没有改变，辐角之间是一次函数23πθϕ-=，因而ϕθ和之间是一一对应，其中),3,6(ππθ∈ ).2,0(πϕ∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应. 逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.Ⅱ映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠≠⊂∈-=''→⊂令于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为.))()((21)(111∑∑=='+=ni i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为 .10120221=⋅⋅n n如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边形的个数.【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接 B ′C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，}.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：B A f →:. 下面我们证明f 是A 与B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同.所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组21),,,,(+≤<<<≤n l k j i l k j i ，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有.)()(42+==n C B card A card加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C 例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314)(=-≥X card ，另一方面全部的骨牌数为11，即.11)(=Y card 所以必有),()(Y card X card =事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数N N f →:使得2)1(=f ，n n f n f f +=)())((对一切N ∈n 成立，)1()(+<n f n f 格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i ）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；（ii ）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖；（iii ）骨牌是竖放的.现在假设仅发生（2）中的（ii ）和（iii ）时，我们记X 为下面5×6个方格中的空格集合，Y 为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射Y X →:ϕ，由于每个空格（X 中的）上方都有骨牌（Y 中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有 )()(Y card X card ≤，对一切N ∈n 成立.【解法1】存在，首先有一条链.1→2→3→5→8→13→21→… ①链上每一个数n 的后继是)(n f ，f 满足n n f n f f +=)())(( ②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f 链.对于①中的数m>n ，由①递增易知有n m n f m f -≥-)()( ③我们证明自然数集N 可以分析为若干条f 链，并且对任意自然数m>n ，③成立（从而)()1(n f n f >+），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）设已有若干条f 链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义1)()1(+=+k f k f ④这链中其余的数由②逐一确定.对于m>n ，如果m 、n 同属于新链，③显然成立，设m 、n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1时，,1)(1)()()(n m n k n f k f n f m f -=+-≥-+=-设对于m ，③成立，则n m f m n m n f m m f n f m f f -≥+-≥-+=-)()()()())(([由②易知)(2m f m ≥]. 即对新链上一切m ，③成立.若n 属于新链，在n=k+1时，.11)()()()(n m k m k f m f n f m f -=--≥--=-设对于n ，③成立，在m>n 时，m 不为原有链的链首。

高中数学映射的概念练习题(有答案)

高中数学映射的概念练习题（有答案）数学必修1(苏教版)2．1 函数的概念和图象2.1.4 映射的概念函数实质上是定义域A(非空数集)到其值域B(非空数集)，按照某个对应法则f的一个对应，能否将函数的概念拓展为不是数集的对应？基础巩固1．设A＝{x|02}，B＝{y|12}，如图，能表示集合A到集合B的映射的是()解析：因为象集为{y|12}，故A，B错，又根据映射的定义知C错．答案：D2．已知f：AB是集合A到B的映射，又A＝B＝R，对应法则f：xy＝x2＋2x－3，kB且k在A中没有原象，则k的取值范围是()A．(－，－4) B．(－1,3)C．[－4，＋) D．(－，－1)(3，＋)解析：∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4－4，即象集为[－4，＋)当k－4时，k就没有原象．答案：A3．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝1}，映射f：MN，在f作用下(x，y)的象是(2x,2y)，则集合N为()A．{(x，y)|x＋y＝2，x0，y0}B．{(x，y)|xy＝1，x0，y0}C．{(x，y)|xy＝2，x0，y0}D．{(x，y)|xy＝2，x0，y0}解析：2x2y＝2x＋y＝21＝2.答案：D4．给出以下对应：(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|xR，yR}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．其中是从集合A到B的映射的是________(填序号)．答案：(1)(2)(3)5．已知A＝B＝R，xA，yB，f：xy＝ax＋b，若55，且711，则当x20时，x＝________.解析：由5a＋b＝5，7a＋b＝11a＝3，b＝－10，即y＝3x－10.当y＝20时，易得x＝10.答案：106．从集合A＝{1,2,3,4}到B＝{5,6,7}可建立________个不同的映射．解析：1选象有3种选法，同样的，2,3,4都有3种选象的方法且互不影响．共有3333＝81个不同映射．答案：817．已知M＝{正整数}，P＝{正奇数}，映射f：a(aM)b＝2a －1，则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________，P中的元素11对应着M中的元素________．解析：由题知a＝11，b＝21，即M中的元素11对应着P中的元素21；又b＝11，代入b＝2a－1，a＝6，即P中的元素11对应着M中的元素6.答案：21 68．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c，2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．解析：由题目的条件可以得到a＋2b＝14,2b＋c＝9，2c＋3d ＝23,4d＝28，a＝6，b＝4，c＝1，d＝7.答案：6,4,1,79．某次数学考试中，学号为i(14，且iN)的四位同学的考试成绩f(i){91,93,95,97,99}，且满足f(1)f(3)f(4)，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有________种．解析：若f(1)f(3)f(4)，则有5种可能，若f(1)f(2)＝f(3)f(4)，则有10种可能，故成绩可能状况为5＋10＝15种．答案：1510．设A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，f：xy＝px ＋q是从集合A到集合B的一个映射，已知m，nN*,1的象是4,7的原象是2，试求p，m，q，n的值．解析：由题知p＋q＝4，2p＋q＝7，p＝3，q＝1，y＝3x＋1，33＋1＝n4，3m＋1＝n2＋3n或33＋1＝n2＋3n，3m＋1＝n4，∵m，nN*，n4＝10，3m＋1＝n2＋3n(舍去)或10＝n2＋3n，3m＋1＝n4. m＝5，n＝2.p＝3，q＝1，n＝2，m＝5.能力提升11．函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A，且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数，例如函数f(x)＝2x＋1(xR)就是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(xR)就是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)；③若f：AB为单函数，则对任意bB，它至多有一个原象．其中正确命题是__________(写出所有正确命题序号)．答案：②③12．已知集合A为实数集R，集合B＝{y|y2}，xA，yB，对应法则f：xy＝x2－2x＋2，那么f：AB是A到B的映射吗？如果不是，可以如何变换集合A或B(f不变)使之成为映射．解析：由于x2－2x＋2＝(x－1)2＋11，即在f下，A中的元素变换成集合{y|y1}中的元素，现在已知的集合B＝{y|y2}，所以A中的部分元素x(0,2)在B中无对应元素．所以f：AB不是A到B的映射．xKb 1. Com将B改为{y|y1}，A与f不变，则f：AB成为A到B的一个映射．13．由等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，定义映射f：(a1，a2，a3，a4)(b1，b2，b3，b4)，求f(4,3,2,1)．解析：为计算方便，在等式x4＋4x3＋3x2＋2x＋1＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4中，分别令x＝0，－1，－2,1得1＝1＋b1＋b2＋b3＋b4，－1＝b4，－7＝1－b1＋b2－b3＋b4，11＝16＋8b1＋4b2＋2b3＋b4b1＝0，b2＝－3，b3＝4，b4＝－1.f(4,3,2,1)＝(0，－3,4，－1)．。

高一数学苏教版必修1同步练习：214映射的概念+含解析.doc

2.1.4映射的概念1.已知f： A-B是从集合A到B的映射，下列说法正确的序号是 ________ .O合A中的每一个元素在B小必有唯一元素与之对应◎中可能有元素在A中没有对应元素③中两个不同的元素在B中的对应元素一定不相同④中的某个元素在A中与之对应的元素可能不止一个2.下列从A到B的对应能构成映射的序号是_________ .® = R, B = R+, f： x-|x|.②l = R+, B = R, f：X T对x开平方(或x的平方根).(^L= R+,B= R+, f： Xf@L=Q, 8={偶数}, f：X T2X(注：R十表示正实数).3.若B = {—3,1,7}，试找出一个集合A,使得f： x-2x+l是A到B的映射.4.已知A = R, B = R, A到B的映射f： x->3x-5.(1)求与x=2,5,8相对应的B中元素；课堂巩⑵求与B中的元素35,47相对应的A中元素x.1.下列各组中，集合P与M不能建立P到M映射的序号是_______ •®={0}, M = 0 @={1,2,3,4,5}, M= {2,4,6,8,10} ®=Q, M={数轴上的点} @={平面上的点}, M={有序实数对}2.给出下列四个对应，其中能构成映射的个数是___________ .3.已知集合A = N", B = {奇数},映射f： A »B使A中任一元素a与B中元素2a—1相对应,则与B中元素17对应的A中的元素是 ________ .4.已知集合A={a, b}, B = {c, d},则能建立A到B的不同映射个数是______________ .5.在下列对应关系中，是A到B的映射的有_________ 个.(B = N, B=N*, f：X T|X—3|；(gl=N, B = Q, f： x->5x + 2 009；(B={ 1,2,3,4,5,6}, B={-4, —3,0,5,12}, f： x->x(x-4)；@L = N, B={ — 1,1}, f： x-(—l)x；⑤L={平面内的圆}, B={平面内的三角形}, f：圆-圆的内接三角形.6.已知集合A={(x, y)||x|<2, x + y<3, x临，y^"}, B={0,l,2}, A到B的对应关系f :(x, y)-x + y,试作出对应图，并判断f是否为从A到B的映射.00&27.已知集合A={,,…，，，1,2, 3,…，2009},在映射f：的作用下得到集合B,求集合B中所有元素之和.1.已知映射f： A-B,其中，集合A={—3, -2, 一1, 1,2,3,4},集合B中的元素都是在f作用下与A屮元素相对应的元素，且对任意的a环，在B中与它对应的元索是同，则集合B 中元素的个数是___________ •2.设集合A={x|0<x<2}, B={y|l<y<2),在下图所示的图形中，能表示集合A到集合B的映射的序号是_________ .3.设集合A与B都是坐标平血上的点集：{(x, y)|xW, yW},映射f： A-B使集合A中的元素(x, y)映射成集合B中的元素(x+y, x_y),则在映射f下，与B中的元素(2,1)相对应的A中的元素是_______________ •4.已知集合A={1,2,3,…，10}, B={1,,，…，}.设x至，y印，试给出一个对应法则f使f： A-B是集合A到集合B的映射f： x-y= _______ .5.已^A={x|0<x<4}, B={y|0<y<2},按下列对应法则f,不能成为集合A到B的映射的序号是__________ .® x-y=x @ x-y = x —2 ③ x-y= ④ x-y = |x —2|6.已知A = R, B={正实数},映射f：X T|X|+1,则A中的元素一2在B屮的对应元素是_________ ，B中的元素8在A中的对应元素是_________ •7.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文-密文(加密)，接收方由密文-明文(解密).已知加密规则为：明文a, b, c, d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如,明文1, 2,3,4对应密文5,7,1&16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为__________________ ・8.设集合A到B的映射为f】：x-2x+l,集合B到C的映射毎y-y'-l,则集合A到C的映射f的对应法则是什么？集合A中的元素1与C中的什么元素对应？集合C中的元素0与集合A 中的什么元素对应？9.( 易错题)己知集合A={1,2,3,4}, B={5,6,7},在下列A到B的四种对应关系中，是否构成A到B的映射？10.若f： x-3x+l是集合A={1,2,3, k}到集合B={4,7, a4, a2+3a}的一个映射.求自然数a, k 及集合A, B.答案2. 1.4映射的概念课前预习2•③① x->|x|, x用，当x=0时，y=(MB, ••不能构成映射；x= 4时，y = ±= ±2, —对多，不满足唯j性，不能构成映射；® x—・2x,当x=0、1引时，y=0、2年B不能构成映射.酚合映射概念.3.解：由题意，得2x+l = —3,则x=—2；由2x+l = l,得x=0；由2x+l=7, 得x = 3, ••集合A={-2,0,3}.4.解：(1)*.T：x->3x—5, ••当x=2 时，3x—5=1；当x=5 时，3x—5=10；当x = 8 时,3x—5=3x8—5 = 19.・•与2,5,8相对应的元素分别是1,10,19.(2)由3x—5 = 35,得x =：由3x—5=47,得x =.••与B中元素35,47相对应的A中元素分别为，.课堂巩固1. ① 由映射概念，f ： A T B 中集合A 、B 必须是非空集合，••①5能建立P 到M 的映射.2. 2由映射概念(1)(4)可构成映射.3. 9由题意知，f ： a->2a- 1, ••曲2&—1 = 17,得a=9..^ B 中元素17相对应的A 中元素是9.4. 4 A 到B 的不同映射共有4个.它们分别是••当x=3(x 创)时,|x —3|=|3—3|=0$N*,・°A 中的元素3在B 中没有对应元素，能构成A 到B 的映射；・・」个圆有无数个内接三角形相对应，・•⑤E 构成A 到B 的映射.6. 解:由题意，得 A={(—1,1), (-1,2), (-1,3), (0,1), (0,2), (1,1)}, B = {0,1,2}.对应图如下：A 屮每一个元素在集合B 中都有唯一的元素与它对应，所以F 是集合A 到集合B 的映射. 7. 解：由f ： X T 可知，对应法则实质是f(x)=.集合 B = {f(), f(),…，f(), f(), f(l), f(2), f(3), f(2 008), f(2 009)}.•・T(x)+f()= + = + = l, /f() + f() +... + f() + f() + f( 1) + f(2) + f(3) +... + f(2 008) + f(2 009) = (f(2 009) + f()) + (f(2 008)+f()) +...+(f() + f(3))+(f(2)+f()) + f(l) = l + l+...+ +f(l) = 2 008+=2 00& 课后检测 1. 4由题意知对应法则为f ：「A 中的一3和3对应B 中的3, —2和2对应B 中的2, —1和1对应B 中的1, A 中的4对应B 中的4,即B = {1,2,3,4},中元素有4 个.2. ⑷⑸ 由题设，将集合A 、B 与图(1)(2)对照知，集合A 中的有些元素在B 中没有元素与之对应，故不构成映対；图(3),当0<x<2吋，集合A 中的元素与集合B 中的两个元素相对应，故不构成映射；图(4)、(5)能构成映射.3. (,)依题意，令解得故与B 中元素(2,1)对应的A 中元素为(，).4. 由条件可知，B 中的元索分别是A 中元素平方的倒数，「A 到B 的映射是f ： x-y5. 3 由映射的概念，弦(I) (2):A 到B 的映射.■5.②••当x耳0,2)时,例如x=0,l,则y=—2, —1年B,・£ x-・y=x—2不能成为A 到B的映射.6. 3 ±7 ••乂=一2时，|x|+l=|—2|+l=3,「A中元素一2与B中的对应元素为3. 由|x|+l =8,得x = ±7.・°B中的元素8在A中的对应元素为±7.7.6,4,1,7由题意可知解得8.解：由y = (2x+l)2—l=4x2+4x,得集合A到C的映射f的对应法则是f：x->4x2 +4x=4x(x+l)； x=l至，在f作用下，有4xlx(i + l)= 8g：,・•集合A中的元素1与C 屮的元素8对应；022,即4x(x+l)=0,解得x=()或x= — l,••集合C中的元素0在集合A中有两个元素0或一1与之对应.9.解：(1)是数集A到数集B的映射.(2)因为A中的元素4在B中无对应元素，故该对应不是A到B的映射.(3)该对应是A到B的一个映射.(4)A中的元素3在B中有两个元素与之对应，故不是A到B的映射.点评：判断一个对应是否是A到B的映射，应考虑两个方面：(1)集合A中的每一个元素是否在集合B中都有对应元素；(2)集合A中的元素在集合B中是否只有一个对应元素.它们成立与否是判断映射的标准与依据.10.解：由题意，A中的1与B中的元素4对应，A中2与B中7对应，••可判断A 屮的元素3要与B屮的『或a2+3a相对应.若与J对应，则a4=3x3+l = 10,且・9不存在;若与a2+3a相对应，则a2+3a=10,解得a=—5年N舍去，a=2.此时集合B = {4,7,16,10},又集合A中的元素k只能与B中的a4=16相对应，・・3k+l = 16, k=5.・°A= {1,2,3,5}, B={4,7,10,16}.。

高一数学必修1优化训练：2-3映射的概念含解析精品

2.1.4 映射的概念5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下图中，图（1）、图（2）、图（3）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则是不是映射？是不是函数关系？解:图（1）中，集合A 中任一个数，通过“开平方”运算，在B 中有两个数与之对应，这种对应法则不符合上述的映射定义，所以这种对应关系不是映射，当然也不是函数关系；图（2）中，元素6在B 中没有象，所以这种对应关系不是映射，当然也不是函数关系；图（3）中，对A 中任一个数，通过“2倍”的运算，在B 中有且只有一个数与之对应，所以这种对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系.图（4）中的平方运算法则，同样是映射，因为对A 中每一个数，通过平方运算，在B 中都有唯一的一个数与之对应，但不是一一映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系.2.下面说法正确的是( )A.对于任意两个集合A 与B ，都可以建立一个从集合A 到集合B 的映射B.对于两个无限集合A 与B ，一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射C.如果集合A 中只有一个元素，B 为任一非空集合，那么从集合A 到集合B 只能建立一个映射D.如果集合B 中只有一个元素，A 为任一非空集合，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射思路解析:理解映射的定义可选出正确答案.答案:D3.设A={x|x 是锐角},B=(0,1),从A 到B 的映射是“求正弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是_____________,与B 中元素22相对应的A 中的元素是____________. 思路解析:sin60°=23,22=sin45°. 答案: 23 45° 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.在下列5个对应中：①f ：N→N *，x→|x -3|；②f ：N→Q ，x→2x ；③f ：{1，2，3，4，5，6}→{-4，-3，0，5，12}，x→x （x-4）；④f ：N→{-1，1}，x→（-1）x ；⑤f ：{平面M 内的圆}→{平面M 内的三角形}，圆→圆内接三角形.其中是映射的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个思路解析:根据映射的定义易知:①不是映射（因为3在N *中无象）,⑤也不是映射（因为圆内接三角形不唯一），其余均是映射.答案:B2.确定函数y=x2+1的映射是( )A.R到R的映射B.{x|x>0}到{x|x>0}的映射C. R到{x|x>0}的映射D. R到［1,+∞］的映射思路解析:自变量x是任意实数，而y≥1，故函数是R到［1,+∞］上的一个映射.答案:D3.设集合A和B都是自然数集合N，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，集合A中的元素20对应集合B中的元素是( )A.2B.3C.4D.5思路解析:本题主要考查映射的概念，同时考查了运算能力.因为2n+n=20，用n=2，3或4,5逐个代入，排除A、B、D，∴选C.答案:C4.集合M={a，b，c}，N={-1，0，1}，映射f：M→N满足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f：M→N的个数是( )A.3B.4C.5D.7思路解析:∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N且f（a）+f（b）+f（c）=0，∴有0+0+0=0+1+（-1）=0.当f（a）=f（b）=f（c）=0时，只有一个映射；当f（a）、f（b）、f（c）中恰有一个为0，而另两个分别为1，-1时，有C13·A22=6个映射.因此所求映射的个数为1+6=7.答案:D5.设集合A={a1，a2，a3}，B={b1，b2}.（1）从A到B的映射有多少个？（2）从B到A的映射有多少个？思路解析:根据“什么叫映射”来做一个映射:先算每一元素的象有几种可能，然后就能算出共能做出多少个不同的映射.解:（1）作a1的象有b1或b22种方法，同样作a2、a3的象也各有2种方法，所以从A到B 的映射，共有2×2×2=8个.（2）从B到A的映射共有3×3=9个.快乐时光偶像与起床小明总是睡懒觉，有一天，小明妈妈批评他说：“你看隔壁小华每天天还没亮就起床了，你就不能早起一点？”小明理直气壮地回答：“妈妈！我跟他不一样，人家小华崇拜的偶像是黎明！我的偶像是作家卧龙生”.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知四个从集合A到集合B的对应(如下图)，那么集合A到集合B的映射是( )A.④B.①④C.②④D.③④思路解析:映射是一种特殊的对应，特殊性表现在哪里?在②中，A 中的元素a 2与B 中的两个元素b 2、b 3对应(“象不唯一”)；在③中，A 中的元素a 2在B 中没有元素与它对应(“没有象”)，故②和③都不是集合A 到集合B 的映射.根据映射的定义，①和④是集合A 到集合B 的映射.选B.答案:B2.设集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，在下图所示的图形中，能表示从集合A 到集合B 的映射的是()思路解析:依照映射强调的两个方面来判断.由题设给定集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，对照选择图A 、B ，集合A 到集合B 不一定都有象，故否定A 、B ；图C 中，当0≤x≤2时，集合A 到集合B 的象不唯一，故否定C.答案:D3.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{(x,y)|x ∈R ,y ∈R }，映射f:A→B 使集合A 中的元素(x,y)映射成集合B 中的元素(x+y,x-y)，则在映射f 下，A 中元素（2,1）对应的B 中元素是( )A.(3,1)B.(23, 21)C.( 23,- 21) D.(1,3) 思路解析:依题意，令⎩⎨⎧=-=+,1,2y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,23y x 答案:B4.下面三个对应（Z 为整数集）：①Z 中的元素x 与2x 对应；②Z 中的元素x 与x 对应；③Z 中的元素x 与x 2-1对应.其中Z 到Z 的映射有( )A.0个B.1个C.2个D.3个思路解析:①③是Z 到Z 的映射.答案:C5.下列哪一个对应是一个集合P 到集合S 的映射( )A.P={有理数},S={数轴上的点},对应法则f:有理数→数轴上的点B.P={数轴上的点},S={有理数},对应法则f:数轴上的点→有理数C.x ∈P=R ,y ∈S={x|x>0}，对应法则f:x→y=|x|D.x ∈P={x|x≤0},y ∈S={x|x>0}，对应法则f:x→y=x 2思路解析:B 中集合P 中的元素有的没有原象，如2没有象与之对应；C 、D 中集合P 的元素0在集合S 中没有原象与之对应.故选A.答案:A6.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明方密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16，当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（）A.4，6，1，7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1，6，4，7思路解析:由题意,可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=+,284,2332,92,142d d c c b b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.7,1,4,6d c b a 答案:C7.设A 到B 的映射f 1:x→2x+1，B 到C 的映射f 2:y→y 2-1，则A 到C 的映射f 3是__________. 思路解析:依题意可知y=2x+1，∴y 2-1=(2x+1)2-1=4x 2+4x.∴A 到C 的映射是f 3:x→4x 2+4x.答案:f 3:x→4x 2+4x8.已知集合A={1,2,3,…,10},B={1,41,91,…,1001}，设x ∈A,y ∈B ，试给出一个对应法则f 使f:A→B 是从集合A 到集合B 的映射f:x→y=_______________.思路解析:由条件可知B 中的元素分别是A 中元素平方的倒数，所以从A 到B 的映射是f:x→y=21x. 答案: 21x 9.设集合A={a,b,c},B={0,1},试问：从集合A 到集合B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来.解:设f 为集合A 到集合B 的映射，则从A 到B 的映射共有8种，分别为:（1）⎪⎩⎪⎨⎧===.0)(,0)(,0)(c f b f a f （2）⎪⎩⎪⎨⎧===.1)(,0)(,0)(c f b f a f（3）⎪⎩⎪⎨⎧===.0)(,1)(,0)(c f b f a f （4）⎪⎩⎪⎨⎧===.0)(,0)(,1)(c f b f a f（5）⎪⎩⎪⎨⎧===.0)(,1)(,1)(c f b f a f （6）⎪⎩⎪⎨⎧===.1)(,0)(,1)(c f b f a f（7）⎪⎩⎪⎨⎧===.1)(,1)(,0)(c f b f a f （8）⎪⎩⎪⎨⎧===.1)(,1)(,1)(c f b f a f。

关系与映射学习指导

关系与映射学习指导
学习目标
理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，理解有关定理，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。
内容提要
(一)二元关系
笛卡尔积：A×B={(a,b)｜a∈A,b∈B}，注意(a,b)为有次序的元素偶.
从集合A到B中的关系：A×B中的每一子集R称为从A到B中的关系.若(a,b)∈R，则称a与b是R-相关的，记作aRb.
={(2, 2), (2,3), (3,1), (4, 4)}
={(1, 1), (1,3), (2,1), (3,3), (4,2)} {(2, 2), (2,3), (3,1), (4, 4)}
={(1, 1), (3,1), (4,2), (4,3)}
注：由例1可知，关系的复合运算不满足交换率，即 .
f的左零元e： a∈A,使f(e,a)=a；
f的零元e：既是f的左零元，又是f的右零元.
a的右逆元：对于a∈A，若 ∈A，使f(a, )=e；
a的左逆元：对于a∈A，若 ∈A，使f( ，a)=e；
a的逆元：既是a的左逆元，又是a的右逆元.
重难点解析
(二)关于关系与映射
世界上存在各种各样的事物，这些事物之间的相互联系，我们称之为“关系”. 本节用统一的数学语言来描述这些表面看起来似乎无关的，但本质上却有其共性的“关系”.本节介绍的二元关系、运算和映射等概念也是本课程的基础，它们在后续各章节中都有应用. 因此，我们在学习本节内容时应该理解笛卡尔积、二元关系、运算关系等概念，理解映射、满射、单射、双射等概念，掌握有关定理的证明方法和有关的例题的处理方法。
={(1, 3), (2, 2), (3, 2), (4, 4)} {(1, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)}

构造一一映射的例题

构造一一映射的例题
摘要：
一、一一映射的概念
1.一一映射的定义
2.一一映射的重要性
二、构造一一映射的例题
1.例题一：用函数构造一一映射
2.例题二：用关系构造一一映射
3.例题三：用集合构造一一映射
三、一一映射的应用
1.在数学领域的应用
2.在其他领域的应用
正文：
一一映射，作为数学中的一个重要概念，指的是一种将一个集合中的每个元素都恰好映射到另一个集合中的唯一元素的关系。

它具有对称性和传递性，是数学研究中不可或缺的一部分。

构造一一映射的例题可以帮助我们更好地理解和掌握这一概念。

例题一是用函数构造一一映射，例如，设f(x)=2x+1，我们可以证明对于任何x∈R，都有唯一的y∈R，使得f(x)=y。

这就构造了一个从R 到R 的一一映射。

例题二是用关系构造一一映射，例如，设A={(x,y)|x≠y}，我们可以证明A 中任意的两个元素都只有唯一的一个对应元素，因此A 是一个一一映射。

例题三是用集合构造一一映射，例如，设A={1,2}，B={a,b}，我们可以证明A 和B 之间存在一个一一映射，将1 映射到a，2 映射到b。

一一映射在数学领域有着广泛的应用，例如在集合论、拓扑学、图论等研究中，都会涉及到一一映射的概念。

同时，一一映射也在其他领域有所应用，如计算机科学中的数据结构、数据库设计等。

高考数学中的常用集合映射函数例题分析

高考数学中的常用集合映射函数例题分析高考数学中的常用集合、映射、函数例题分析在高考数学中，集合、映射、函数是比较常见的考点，也是许多学生容易出错的地方。

本文将围绕这三个知识点，结合例题进行深入分析，帮助读者更好地掌握这些考点。

一、集合集合是高中数学中非常基础的知识点，但也是容易出错的地方。

下面通过一个例题进行讲解：已知集合 $A = \{1,2,3,4,5\}$，$B = \{2,4,6,8\}$，$C = \{1,3,5\}$，$D=\{2,3,7,8\}$，试求 $A \cap B \cap C$ 和 $A \cup B \cup D$。

解析：首先，$A \cap B \cap C$ 表示 $A$、$B$、$C$ 的交集。

因为$A$ 中只有奇数，而 $B$ 中只有偶数，因此它们的交集为空集，即 $A \cap B = \varnothing$。

进一步地，由于 $C$ 中只有 $1,3,5$，因此 $A \cap B \cap C = \varnothing$。

其次，$A \cup B \cup D$ 表示 $A$、$B$、$D$ 的并集。

将它们合并起来得到 $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，即 $A \cup B \cup D =\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$。

以上就是这个例题的详细解析，通过这道题目的练习，我们可以更好地掌握集合的相关概念，进而应用到更复杂的数学问题中。

二、映射映射也是高中数学中比较重要的一个知识点，它指的是一个集合与另一个集合之间元素的对应关系。

下面通过一个例题讲解映射的相关概念：设 $f(x) = x^2 - 4$，$g(x) = \sqrt{x + 4}$，$D_f = \{x | x \in R\}$，$D_g = \{x | x \ge -4\}$，求 $(g \circ f)(x)$ 的定义域和值域。

解析：首先，$(g \circ f)(x) = g[f(x)]$，所以我们需要先求出 $f(x)$ 的值域。

高中数学苏教版必修1同步单元小题巧练：2.3 映射的概念

2.3 映射的概念1、下列对应关系：①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---:f x x →的平方根 ②R A =，R B =，:f x x →的倒数 ③R A =，R B =，2:2f x x →-④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数的平方其中是A 到B 的映射的是( ) A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③2、下列对应关系不是映射的是( )A. B. C. D.3、已知映射:,f A B →其中,A B R ==对应法则221:().3x xf x y +→=若对实数,m B ∈在集合A 中存在元素与之对应,则m 的取值范围是( ) A. (,3]-∞ B. [3,)+∞ C. (3,)+∞D. (0,3]4、已知集合A 到B 的映射:21f x y x →=+,那么集合A 中元素2在B 中的象是( ) A.5 B.2 C.6 D.85、以下给的对应关系f ，能构成从集合(1,1)A =-到集合(1,1)B =-的函数是 ( )A.:2f x x →B.:f x x →C.12::f x x f x x →→ D.:tan f x x → 6、设{}{}02,02A x x B y y =≤≤=≤≤, 下列各图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是 ( )A. B.C. D.7、已知映射:f A B →,其中A B R ==,对应法则22,0:2,0x x f x y x x x ⎧≥⎪→=⎨--<⎪⎩,实数y B ∈且y在集合A 中只有一个原像,则y 的取值范围是( ) A. ()[),01,-∞⋃+∞ B. (](),01,-∞⋃+∞ C. ()0,1 D. []2,1-8、给定映射:(,)(,)f x y x y x y →+-,在映射f 下, ()4,2的原像为( ) A. ()1,3 B. ()6,2 C. ()3,1 D. ()1,19、已知{}{}1,2,3,4,5A B == ,以A 为定义域,以B 为值域的函数可以建立的个数是( )A.4B.5C.6D.8 10、给定映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-，在映射f 下, (3,1)的原像为（） A ．(1,3)B ．(5,5)C ．(3,1)D ．(1,1)11、设:f A B →是A 到B 的一个映射，其中{}(,)|,R A B x y x y ==∈,:(,)(,)f x y x y x y →-+,则B 中元素(1,2)-在中A 的原像是；12、若集合{}1,3,5B =-,试写出一个集合A =__________,使得:21f x x →-是A 到B 的映射,这样的集合A 共有__________个13、若{}{}2,4,6,8,1,3,5,7A B ==----,下列对应关系①:92f x x →-;②:1f x x →-;③:7f x x →-;④:9f x x →-中,能确定A 到B 的映射的是__________.14、映射:?f A B →,在f 的作用下, A 中元素(),x y 与B 中元素(,)x y --13对应,则与B 中元素()0,1对应的A 中元素是__________.15、已知M ={正整数},P ={正奇数},映射():21f a a M b a ∈→=-,则在映射f 下,M 中的元素11对应着P 中的元素__________,P 中的元素11对应着M 中的元素__________.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：①中对A 中任意一个元素均有两个与其对应，不满足映射的定义；②中0没有元素与其对应；③④正确.2答案及解析：答案：D解析：根据映射的定义，对于集合M 中的任一元素，在集合N 中都应有唯一确定的一个元素与之对应，即应满足“一对一”或“多对一”，且M 中元素无剩余.D 中元素1在N 中有a ，b 两个元素与之对应，故不是映射.3答案及解析：答案：D解析：因为2221112(1)11,()2() 3.33x x x y x x -+=+-≥-∴=+≤= 又因为222211()0,0() 3.33xxx x y ++>∴<=≤因为,0 3.m B m ∈∴<≤故D 正确。

高中数学例题错题详解

高中数学经典例题、错题详解【例1】设M=｛1、2、3｝,N=｛e、g、h｝,从M至N的四种对应方式,其中是从M到N的映射是M NA M NBM NCM ND映射的概念:设A、B是两个集合,如果按照某一个确定的对应关系f,是对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有一个确定的元素y与之对应,那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射;函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫集合A到集合B的一个函数;函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射,是数集到数集的映射,映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数,映射与函数都是特殊的对应;映射与函数特殊对应的共同特点：错误!可以是“一对一”；错误!可以是“多对一”；错误!不能“一对多”；错误!A中不能有剩余元素；错误!B中可以有剩余元素;映射的特点：1多元性：映射中的两个非空集合A、B,可以是点集、数集或由图形组成的集合等；2方向性：映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；3映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象,不要求B中的每一个元素都有原象；4唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；5一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选C分析根据映射的特点错误!不能“一对多”,所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数特殊对应的全部5个特点;本题是考查映射的概念和特点,应在完全掌握概念的基础上,灵活掌握变型题;【例2】已知集合A=R,B={x、y︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→x+1、x2,1求2在B中的对应元素；22、1在A中的对应元素分析1将x=2代入对应关系,可得其在B中的对应元素为2+1、1；2由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1, 即2、1在A中的对应元素为1【例3】设集合A={a、b},B={c、d、e},求：1可建立从A到B的映射个数；2可建立从B到A的映射个数分析如果集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个,所以答案为23=9；32=8例4 若函数fx为奇函数,且当x﹥0时,fx=x-1,则当x﹤0时,有A、fx ﹥0B、fx ﹤0C、fx·f-x≤0D、fx-f-x ﹥0奇函数性质：1、图象关于原点对称；2、满足f-x = - fx；3、关于原点对称的区间上单调性一致；4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f0=0；5、定义域关于原点对称奇偶函数共有的偶函数性质：1、图象关于y 轴对称；2、满足f-x = fx ；3、关于原点对称的区间上单调性相反；4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有fx=0；5、定义域关于原点对称奇偶函数共有的基本性质：唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数即对所有x,fx=0; 通常,一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x 2; 两个偶函数的相加为偶函数,且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数; 两个奇函数的相加为奇函数,且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数; 两个偶函数的乘积为一个偶函数; 两个奇函数的乘积为一个偶函数;一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数; 两个偶函数的商为一个偶函数; 两个奇函数的商为一个偶函数;一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数; 一个偶函数的导数为一个奇函数; 一个奇函数的导数为一个偶函数;两个奇函数的复合为一个奇函数,而两个偶函数的复合为一个偶函数; 一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数分析 fx 为奇函数,则f-x = -fx,当X ﹤0时,fx = -f-x = ---x – 1 = -x+1>0,所以A 正确,B 错误； fx·f-x=x-1-x+1﹤0,故C 错误； fx-f-x= x-1--x+1﹤0,故D 错误例5 已知函数fx 是偶函数,且x ≤0时,fx=xx-+11,求：1f5的值； 2fx=0时x 的值；3当x ＞0时,fx 的解析式考点函数奇偶性的性质专题计算题,函数的性质及应用分析及解答1根据题意,由偶函数的性质fx= f-x,可得f5= f-5=）（）（5--15-1+=—322当x ≤0时,fx=0 可求x,然后结合fx= f-x,即可求解满足条件的x, 即当x ≤0时,xx-+11=0 可得x=—1；又f1= f-1,所以当fx=0时,x=±1 3当x ＞0时,根据偶函数性质fx= f-x=)(1)(1x x ---+=xx+-11例6 若fx=e x +ae -x 为偶函数,则fx-1＜ee 12+的解集为A.2,+∞B.0,2C.-∞,2D.-∞,0∪2,+∞考点函数奇偶性的性质专题转化思想；综合法；函数的性质及应用分析及解答根据函数奇偶性的性质先求出a 值,结合函数单调性的性质求解即可∵fx=e x +ae -x 为偶函数,∴f-x=e -x +ae x = fx= e x +ae -x ,∴a=1, ∴fx=e x +e -x 在0,+∞上单调递增,在-∞,0上单调递减,则由fx-1＜ee 12+=e+e 1, ∴ -1 ＜x-1＜1, 求得 0 ＜x ＜2 故B 正确点评本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性的性质先求出a 值是解题关键例7 函数fx=21xb ax ++是定义在-1,1上的奇函数,且f 21=52,1确定函数fx 的解析式；2证明fx 在-1,1上为增函数；3解不等式f2x-1+ fx ＜0考点函数奇偶性与单调性的综合专题函数的性质及应用分析及解答（1）因为fx 为-1,1上的奇函数,所以f0=0,可得b=0,由f 21=52,所以2)21(121+a=52,得出a=1,所以fx= 21x x + （2）根据函数单调性的定义即可证明任取-1 ＜x 1＜x 2＜1,fx 1—fx 2=2111x x +—2221x x +=)1)(1()1)((22212121x x x x x x ++--因为-1 ＜x 1＜x 2＜1,所以x 1-x 2＜0,1—x 1x 2＞0,所以fx 1—fx 2 ＜0, 得出fx 1 ＜fx 2,即fx 在-1,1上为增函数（3）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f ”,再考虑到定义域可得一不等式组,解出即可：f2x-1+ fx= ＜0,f2x-1 ＜—fx,由于fx 为奇函数,所以f2x-1 ＜f —x,因为fx 在-1,1上为增函数,所以2x-1＜—x 错误!, 因为-1 ＜2x-1＜1错误!,-1 ＜x ＜1错误!,联立错误!错误!错误!得0 ＜ x ＜31,所以解不等式f2x-1+ fx ＜0的解集为0,31 点评本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解,定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法,而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理;例8 定义在R 上的奇函数fx 在0,+∞上是增函数, 又f-3=0,则不等式x fx ＜0的解集为考点函数单调性的性质专题综合题；函数的性质及应用分析及解答易判断fx 在-∞,0上的单调性及fx 图像所过特殊点,作出fx 草图,根据图像可解不等式; 解：∵ fx 在R 上是奇函数,且fx 在0,+∞上是增函数,∴ fx 在-∞,0上也是增函数,由f-3=0,可得- f3=0,即f3=0,由f-0=-f0,得f0=0 作出fx 的草图,如图所示：由图像得：x fx ＜0⇔⎩⎨⎧〈〉0)(0x f x 或⎩⎨⎧〉〈0)(0x f x ⇔0﹤x ﹤3或-3﹤x ﹤0,∴ x fx ＜0的解集为：-3,0∪0,3,故答案为：-3,0∪0,3点评本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用,考查数形结合思想,灵活作出函数的草图是解题关键; 例9 已知fx+1的定义域为-2,3,则f2x+1的定义域为抽象函数定义域求法总结：1函数y=fgx 的定义域是a,b,求fx 的定义域：利用a ＜x ＜b,求得gx 的范围就是fx 的定义域；2函数y=fx 的定义域是a,b,求y=fgx 的定义域：利用a ＜gx ＜b,求得x 的范围就是y=fgx 的定义域;考点函数定义域极其求法分析及解答由fx+1的定义域为-2,3,求出 fx 的定义域,再由2x+1在函数fx 的定义域内求解x 的取值集合,得到函数f2x+1的定义域;解：由fx+1的定义域是-2,3,得-1≤x+1≤4 ；再由-1≤2x+1≤4 0≤x ≤25 ∴ f2x+1的定义域是0,25,故选A 点评本题考查了复合函数定义域的求法,给出函数fgx 的定义域是a,b,求函数fx 的定义域,就是求x ∈a,b 内的gx 的值域；给出函数fx 的定义域是a,b,只需由a ＜gx ＜b,求解x 的取值集合即可; 例10 已知函数fx=x 7+ax 5+bx-5,且f-3= 5,则f3=A. -15B. 15 考点函数的值；奇函数分析及解答令gx= x 75当时,函数图像如图,由图知：只有当时,函数的图像在x 轴上方,即时,因为函数收偶函数,偶函数的图像关于y 轴对称,所以时,函数的图像在x 轴上方时,只有则不等式的解集为故选D 18、如果函数fx=x2+2a-1x+2在区间-∞,4行单调递减,那么实数a 的取值范围是 ≦-3 ≧-3 ≦5 ≧519、定义在R 上的函数)(x f 对任意两个不相等实数a,b,总有ba b f a f --)()(>0成立,则必有_______ A. )(x f 在R 上是增函数 B. )(x f 在R 上是减函数 C.函数)(x f 是先增加,后减少 D.函数)(x f 是先减少,后增加解：利用函数单调性定义,在定义域上任取x 1,x 2∈R,且x 1<x 2,因为ba b f a f --)()(>0 所以fa-fb<0,所以)(x f 在R 上是增函数;20、对于定义域R 上的函数fx,有下列命题：1若fx 满足f2>f1,则fx 在R 上时减函数；2若fx 满足f-2=f2,则函数fx 不是奇函数；3若函数fx 在区间-∞,0上是减函数,在区间0,+∞也是减函数,则fx在R 上也是减函数；4若fx 满足f-2=f2,则函数fx 不是偶函数；其中正确的是_____________________21、函数fx=x ∣x-2∣,1求作函数Y=fx 的图象；2写出函数fx 的单调区间并指出在各区间上是增函数还是减函数不必证明3已知fx=1,求x 的值22、函数Fx 是定义域为R 的偶函数,当x ≧0 时,fx=x2-x,1画出函数fx 的图象不列表；2求函数fx的解析式；3讨论方程fx-k=0的根的情况23、已知fx 的定义域为-2,3,则f2x-1的定义域为A.0,5/2B.-4,4C.-5,5D.-3,724、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧〉-≤++=)0(10)0(63)(2x x x x a x f 且fa=10,则a= 或125、已知函数fx=x7+ax 5+bx-5,则f3=26、若函数fx=4x 2-kx-8在区间5,8上是单调函数,则k 的取值范围是A.-∞,0B.40,64C.- ∞,40∪64,+∞D.64,+ ∞27、已知二次函数fx=x 2+x+aa>0,若fm<0,则fm+1的值为A.正数B.负数C.零D.符号与a 有关 28、函数fx=∣x 2-2x ∣-m 有两个零点,m 的取值范围__________29、已知函数fx 和gx 均为奇函数,hx=afx+bgx+2,在区间0,+∞有最大值5,那么hx 在区间0,+∞的最小值为________30、对于每个实数x,设fx 取y=x+1,y=2x+1,y=-2x 三个函数中的最大值,用分段函数的形式写出fx 的解析式,求出fx 的最小值由方程组y=x+1,y=2x+1,解得x=0,y=1,得到交点A0,1；由方程组y=x+1,y=-2x,解得x=-1/3,y=2/3,得到交点B-1/3,2/3；由方程组y=2x+1,y=-2x,解得x=-1/4,y=1/2,得到交点C-1/4,1/2.由图像容易看出：1x ＜-1/3时,三直线的最大值是y=-2x,所以在此时fx=-2x;2-1/3≤x ≤0时,三直线的最大值是y=x+1,所以此时的fx=x+1;3x ＞0时,三直线中最大值是y=2x+1,所以此时的fx=2x+1.所以fx=-2x ；x ＜-1/3,x+1；-1/3≤x ≤0,2x+1.x ＞01考察函数的图像由射线—线段—射线组成的折线可以看出函数的最小值是x=1/3时的y=2/3.31、已知函数fx=x 2+ax+3,1当X ∈R 时,fx ≧a 恒成立,求a 的取值范围；2当X ∈-2,2时,fx ≧a 恒成立,求a 的取值范围；3若对一切a ∈-3,3,不等式fx ≥a 恒成立,那么实数x 的取值范围是什么 1fx ≥a 即x 2+ax+3-a ≥0,要使x ∈R 时,x 2+ax+3-a ≥0恒成立,应有△=a 2-43-a ≤0,即a 2+4a-12≤0,解得-6≤a ≤2；2当x ∈-2,2时,令gx=x 2+ax+3-a,当x ∈-2,2时,fx ≥a 恒成立,转化为gx min ≥a,分以下三种情况讨论：①当-a/2≤-2,即a ≥4时,gx 在-2,2上是增函数,∴gx 在-2,2上的最小值为g-2=7-3a,∴a ≤4 7-3a ≥0,解得a 无解②当-a/2≥-2,即a ≤4时,gx 在-2,2上是递减函数,∴gx 在-2,2上的最小值为g2=7+a,∴a ≤-4 7+a ≥0 解得-7≤a ≤-4③当-2<a/2<2时,即-4＜a ＜4时,gx 在-2,2上的最小值为34)2(22+--=a a a g ⇒ ⇒⎪⎩⎪⎨⎧〈〈-+-4434a -2a a -4＜a ≤2,解得-4＜a ≤2,综上所述,实数a 的取值范围是-7≤a ≤2；3不等式fx ≥a 即x 2+ax+3-a ≥0．令ha=x-1a+x 2+3,要使ha ≥0在-3,3上恒成立,只需⎩⎨⎧≥≥-0)3(0)3(h h 即⎩⎨⎧≥+≥+-030632x x x x 解得：x ≥0或x ≤-3。

集合与映射练习题及解析

集合与映射练习题及解析1. 集合基础练习题（1）已知集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，求A∪B的结果。

解析：A∪B表示A和B的并集，即包含所有A和B中的元素，不考虑重复。

因此，A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

（2）若集合C={x | x^2 = 9}，求C的结果。

解析：C表示由满足x^2=9的x组成的集合。

由x^2=9可解得x=±3，因此C={-3, 3}。

（3）给出集合D={x | x是奇数且-5≤x≤5}，求D的结果。

解析：D表示由满足x是奇数且-5≤x≤5的x组成的集合。

因为奇数包括-5, -3, -1, 1, 3, 5，所以D={-5, -3, -1, 1, 3, 5}。

2. 集合运算练习题（1）已知集合E={1, 2, 3, 4, 5}，F={4, 5, 6, 7}，求E∩F的结果。

解析：E∩F表示E和F的交集，即包含同时存在于E和F中的元素，不考虑重复。

因此，E∩F={4, 5}。

（2）若集合G={x | x是偶数且-10≤x≤10}，H={x | x是负数且x≤-5}，求G∪H的结果。

解析：G∪H表示G和H的并集，即包含所有G和H中的元素，不考虑重复。

根据给定条件，G包括-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10；H包括-10, -9, -8, -7, -6, -5。

因此，G∪H={-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10}。

3. 映射基础练习题（1）若映射J: X → Y 表示任意一个自然数x对应x+5，X={1, 2, 3, 4}，则映射J的象集Y是什么？解析：映射J的象集Y即为所有映射J的结果所组成的集合。

根据给定条件，X={1, 2, 3, 4}，则映射J的结果为Y={6, 7, 8, 9}。

（2）如果映射K: P → Q 表示任意一个字母P对应它的后继字母，其中P表示大写字母A到Z，Q表示大写字母B到Z及小写字母a到z。

高中数学苏教必修同步单元小题巧练：映射的概念含答案

2.2.3 映射Word版含解析

2.3映射课后篇稳固提升1.以下对应不是映射的是()答案:D2.设f:x→3x-1是集合A到集合B的映射,假设A={1,a},B={a,5},那么a=()A.1B.2C.4D.5解析:当x=1时,3x-1=3-1=2,故a=2;当x=2时,3x-1=5,符合题意.答案:B3.集合A={x|0≤x≤4},集合B={y|0≤y≤2},以下由A到B的对应:①f:x→y=x,②f:x→y=,③f:x→y=-|x|,④f:x→y=x-2.其中能构成映射的是()A.①②B.①③C.③④D.②④解析:对于①,当0≤x≤4时,0≤x≤2,显然对于A中的任意元素x,B中有唯一的元素y与之对应,是映射;对于②,也符合映射的定义;对于③,0≤x≤4时,-4≤-|x|≤0,显然-|x|∉(0,2],不是映射;对于④,0≤x≤4时,-2≤x-2≤2,当0≤x<2时,B中没有像与之对应,也不符合映射的定义,所以只有①②正确,应选A.答案:A4.设集合A和B都是自然数集,映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n,那么在映射f作用下,像20的原像是()A.2B.3C.4D.5解析:依题意得2n+n=20,分别用n=2,3,4,5代入.当n=2时,22+2≠20,排除A;当n=3时,23+3≠20,排除B;当n=5时,25+5≠20,排除D;当n=4时,24+4=20,C正确.答案:C5.集合A到集合B=的映射f:x→,那么集合A中的元素最多有()A.3个B.4个C.5个D.6个解析:因为|±1|=1,所以集合A和集合B中的1对应的元素可以是±1.而当x=±2时,,当x=±3时,.由于不可能有x使=0,因此集合A中元素最多有6个,应选D.答案:D6.设f,g都是由A到A的映射,其对应法那么如下表(从上到下):表1:映射f的对应法那么:表2:映射g的对应法那么那么与f(g(1))相同的是()A.g(f(1))B.g(f(2))C.g(f(3))D.g(f(4))解析:f(a)表示在对应法那么f下a对应的像,g(a)表示在对应法那么g下a对应的像.由表1和表2,得f(g(1))=f(4)=1,g(f(1))=g(3)=1,g(f(2))=g(4)=2,g(f(3))=g(2)=3,g(f(4))=g(1)=4,那么有f(g(1))=g(f(1))=1.答案:A7.集合A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b,假设8和14的原像分别是1和3,那么5在f作用下的像为.解析:由题意,得所以对应法那么为f:x→y=3x+5.故5在f作用下的像是3×5+5=20.答案:208.设集合A={1,2,3},集合B={a,b,c},那么从A到B的一一映射的个数为.解析:集合A中有3个元素,集合B中有3个元素,根据一一映射的定义可知从A到B的一一映射有6个.答案:69.设A,B都是实数集,映射f:A→B,对应法那么f:x→y=-x2+2x,对于实数k∈B,在集合A中不存在原像,那么k的取值范围是.解析:∵y=-x2+2x=-(x-1)2+1,∴y≤1,即像的集合为(-∞,1].∵k∈B时,在集合A中不存在原像,∴k不在像的集合内.∴k>1.答案:(1,+∞)10.判断以下对应是不是从集合A到集合B的映射,其中哪些是一一映射?哪些是函数?为什么?(1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应关系f:x→2x+1;(2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系f:作圆的内接矩形;(3)A={1,2,3,4},B=,对应关系f:x→.解:(1)是映射,也是函数,但不是一一映射.因为数集A中的元素x按照对应关系f:x→2x+1和数集B中的元素2x+1对应,所以这个对应是数集A到数集B的映射,也是函数.但B中的元素4,6,8没有原像,不能构成一一映射.(2)不是从集合A到集合B的映射,更不是函数,也不是一一映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应.(3)是A到B的映射,也是函数和一一映射.因为A中的每一个元素按照对应关系f:x→,在B中都有唯一的元素与之对应,并且A,B均为非空数集,所以是A到B的映射,也是函数.又该对应满足一一映射的定义,同时也是一一映射.11.导学号85104032设A={1,2,3,m},B={4,7,n4,n2+3n},对应法那么f:x→y=px+q是从集合A到集合B的一个一一映射,m,n∈N,1的像是4,7的原像是2,试求p,q,m,n的值.解:由1的像是4,7的原像是2,列方程组故对应法那么是f:x→y=3x+1.由此判断A中元素3的像要么是n4,要么是n2+3n.假设n4=10,那么n∈N不可能.∴n2+3n=10.解得n1=-5(舍去),n2=2.又集合A中的元素m的像只能是n4,等于16,即3m+1=16,m=5.故p=3,q=1,m=5,n=2.。

高一数学映射应用2

实例分析
• １.集合Ａ＝｛全班同学｝，集合Ｂ＝（全班同学的姓｝，对应关系是：集合Ａ中的每一个
同学在集合Ｂ中都有一个属于自己的姓. •２.集合Ａ＝｛中国，美国，英国，日本｝，Ｂ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦｝，对应关系是：对于集合Ａ中的每一个国家，在集合Ｂ中都有一个首都与它对应. •３.设集合Ａ＝｛１,－３,２,３,－１,－２｝，
Ａ中的元素x称为原像，Ｂ中的对应元素y称为x的像，
记作
f:x y
思考交流１.Ｐ３７练习１
2.函数与映射有什么区别和联系？
结论：1.函数是一种特殊的映射; ２.两个集合中的元素类型有区别; ３.对应的要求有区别.
一一映射：是一种特殊的映射
1.Ａ中的不同元素的像也不同
2.Ｂ中的每一个元素都有原像
a＝2 , k＝5
问题探究
.判断下列对应是否Ａ到Ｂ的映射和一一映射？
(1) A R, B R , x A, f : x | x | (2) A N, B N , x A, f : x | x 1 | (3) A {x | x 2, x Z}, B {y | y 0, y N} x A, f : x y x2 2x 2 (4) A [1,2], B [a,b](a b), x A f : x y (b a)x 2a b
集合Ｂ＝｛９，０，４，１，５｝,对应关系是：集合Ａ中的每一个数，在集合Ｂ中都有一个其对应的平方数.

三个对应的共同特点：
（１）第一个集合中的每一个元素在第二个集合中都有对应元素；
（２）对于第一个集合中的每一个元素在
第映二射个的集合概中念的对应元素是唯一的.
两个集合Ａ与Ｂ间存在着对应关系，而且对于Ａ中的每一个元素x，Ｂ中总有唯一的一个元素 y与它对应，就称这种对应为从Ａ到Ｂ的映射，

第二章关系与映射

第二章关系与映射1设集合 A={1,2,3,4}, A 上的二元关系 R={ x, y | x, y A,且x _ y}, 求R 的关系图与关系矩阵解 R 二{ x,y |x, y A,且x _ y}珂 1,1 , 2,1 , 3,1 ,4,1 , 2,2 ,3,2,4,2,3,3,4,3,4,4} R 的关系图如图2-1所示。

图2-10 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 一22.在由n 个元素组成的集合上，可以有多少种不同的二元关系？若集合 AB 的元数分别为|A| = m,|B|二n ，试问从A 到B 有多少种不同的二元关系？解因为一个由 n 个元素组成的集合A 上,任何一个二元关系都是A A 的子集，而A A =A 2中共有n 个元素，取o 个到n 个元素可以组成2n 子集，所以有2n 个不同的关系。

而当|A|=m,|B| = n 时，A B 这个全关系中共有 m n 个元素，取0个到m n 个元素组成的子集共有2mn个，因此从A 到B 共有2mn 种不同的二元关系。

3.设集合A 二{1,2,3,令，A 上的二元关系分别为：R 珂 1,1, 1,2, 2,4, 31,3,3} S 二{1,3, 2,2, 3,2, 4,4}试用定义求R *S , S *R , R 2, R 4 , S’ , ，并画出其关系图。

解 R*S 二{1,3,1,2, 2,4, 3,3, 3,2}S ・R ={ 1,1, 1,3, 2,4, 3,4 } R 2={ 1,1,1,2,1,4,3,1,32,3,3} R J 1,1 , 1,3, 2,1 , 3,3, 4,2 }S 4 ={ 2,2, 2,3, 3,1, 4,4}~1 M RR」.S A={ 1,1 , 3,1 , 4,2, 4,3 } 其关系图如图2-2所示。

图2-2说明 1.当用定义求复合关系时，先将左关系中每个序偶的第二元素作为中介元素，到右关系中每个序偶里找与其相同的第一元素，将这个元素去掉，用剩余两个元素组成新序偶成为复合关系中的元素2.用定义求出的复合关系与逆关系，可以用关系矩阵来验证其正确性。