长周期光纤光栅

长周期耦合模理论

1400150016001700

-20

-15

-10

-5

5

d b

nm

长周期光纤光栅的模式耦合主要指是指纤芯基模和同向传输的各阶包层模之间的耦合。

在理想光纤中传输的光的不同模式相互正交，传输过程中不同模式之间没有能量交换，即不同模式的能量保持恒定。而长周期光纤光栅中周期性的折射率调制使纤芯基模和同向包层摸发生耦合，能量在模式之间发生相互转移。

光纤结构图

长周期光纤光栅是纤芯导模与同向传输的包层模之间的耦合，而耦合到包层中的光在经过一段距离传输后，由于包层与空气界面的散射以及光纤弯曲等原因，包层模转化成辐射模而迅速衰减掉。由于同向传播的导模可以耦合到不同阶的包层模。从而在长周期光纤光栅的透射谱中可以观察到一系列的损耗峰。

光纤光栅的模式有效折射率变化()eff n z δ可表示为：

2()()1cos ()eff eff n z n z v

z z πδδ⎧

⎫

⎡⎤=++Φ⎨⎬⎢

⎥Λ⎣⎦⎩

⎭

()eff n z δ表示直流有效折射率变化，v 是折射率调制的条纹可见度，Λ为光栅

周期，()z Φ描述光栅啁啾。

定义长周期光纤光栅的设计波长D eff n λ≡∆Λ

长周期光纤光栅的模式耦合方程可近似表示为：

ˆ()()dR

i R z ikS z dZ σ=+ ˆ()()dS

i S z ik R z dZ

σ

*=-+ R 、S 表示纤芯基模和同向包层模的幅度，ˆσ

和k 分别表示自耦合系数和模式间的交叉耦合系数。

自耦合率t =和交叉耦合率t ⨯：

22

2

2

22

()1cos sin (0)

1ˆR z t k R σ

==

=++

22

2

2

2

()1sin ˆ(0)

1S z t R k σ

⨯=

=

+ 谐振波长和带宽

交叉耦合率最大时的谐振波长为：

11221

1()

2res D

λλσσπ

=

Λ-- 折射率调制主要发生在纤芯的均匀单模长周期光纤光栅，包层的折射率调制很小，所以上式可近似表示为：

1eff res

D eff n n δλλ⎛⎫≅+ ⎪ ⎪∆⎝

⎭

在长周期光纤光栅的写入过程中，损耗峰首先出现在光栅的设计波长D λ处，随着折射率调制的增加，谐振波长向长波方向移动，即均匀长周期光纤光栅的谐振波长由光栅的设计波长D λ（光栅周期Λ）和平均有效折射率调制大小决定。

长周期光纤光栅的带宽λ∆为

λ∆=

因为N 远远大于1，所以

λ∆≈纤芯基模和包层模的有效折射率和传输常数

表征弱导光纤纤芯基模有效折射率的色散方程：

= 光纤包层模有效折射率的色散方程为：

'00ξξ=

传输常数β是表征模式在光波导中传输的重要参量之一，并且与模式的有效折射率密切相关，表达式为

2eff n π

βλ

=

长周期光纤光栅的模式耦合中主要是纤芯基模与一阶奇次包层模之间的耦

合，而纤芯基模与一阶偶次包层模之间的耦合很弱以致可以忽略。

一阶各次包层模的归一化常量1cl v E 由包层模的功率P 定义：

(

)

**

20

12Re 1x

cl

cl cl cl

r

r

P d rdr E H

H E W π

φΦ

Φ=-=⎰⎰

耦合系数和耦合常数

模式ν和模式μ之间的耦合系数K νμ是表征介质扰动引起的光纤模式间耦合程度的一个物理量。由于包层模场的轴向分量比横向分量小1-2个数量级，以致

其模式间的轴向耦合系数z K νμ比横向耦合系数t

K νμ小2-4个数量级，所以在计算

光纤光栅的模式耦合时通常忽略模式间的轴向耦合系数，而只考虑模式间的横向耦合系数。

纤芯基模11HE 与一阶低偶次包层模（即一阶低 v 次包层模1v EH ）之间的耦合常数远小于纤芯基模11HE 与一阶低奇次包层模（即一阶低 v 次包层模1v HE ）之间的耦合常数，又由于高次模的能量相对较小，因此长周期光纤光栅的模式耦合主要是纤芯基模11HE 与一阶低奇次包层模（即一阶低 v 次包层模1v HE ）之间的耦合。

描述长周期光纤光栅纤芯基模与同向传输的一阶各次包层模耦合的耦合方程可简单表示为：

010*******exp(2)2

co co co co cl co cl cl co

v v v v dA m ik A i k A i z dz δ------=+-∑

101101exp(2)2cl cl co co cl co

v v v v dA m i k A i z dz δ----⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦

∑

式中co A 为正向传输的纤芯基模的幅值，cl v A 为正向传输的一阶 v 次包层模

的幅值，101cl co

v δ--表示纤芯基模与同向传输的一阶 v 次包层模之间的失调量。

长周期光纤光栅的边界条件为：

(2)1co A z L =-= (2)0cl v A z L =-=

纤芯基模与每一个同向传输的一阶包层模的近似谐振波长可由下式求得：

101010120cl co co co

v k δ----+=

纤芯基模与同向传输的一阶包层模耦合的损耗峰的归一化带宽可近似表示

为：

12

101

41cl co v k

L nL λ

λλ

π--⎛⎫∆≅

+ ⎪∆⎝

⎭

对每一个确定的波长，长周期光纤光栅的透射率T λ可表示为：

(2)

(2)

co co

A L T A L λ=- 长周期光纤光栅的谐振波长

由耦合模理论可知，长周期光纤光栅的相位匹配条件可表示为：

,()eff

eff

m co cl m D n n λ≡-Λ

长周期光纤光栅的写入过程中，随着纤芯基模和一阶 m 次包层模有效折射

率调制eff co n δ和,eff cl m

n δ的增大，纤芯基模01LP 与一阶m 次包层模0m LP 耦合的谐振波

长可表示为：

,,1eff eff

eff eff co cl m

m

m m

res

D

co cl m

n n n n δδλ

λγ⎛⎫- ⎪=+ ⎪-⎝⎭ m γ是与光纤波导色散有关的表征谐振波长漂移方向和漂移快慢的物理量，即光纤的波导色散因子，表达式为：

,eff eff

m D

m co cl m d d n n λγΛ=-