推荐学习版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形解三角形的综合应用教师用书理新人

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第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习

内容索引
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边，所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.

2020届高考数学一轮复习第四章三角函数4.4解三角形教师用书(PDF,含解析)

( ａ＋ｂ＋ｃ)
.
４.实际问题中的常用角
( １) 仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹
角ꎬ目标视线在水平线上方的角叫仰角ꎬ目标视线在水平线下方
的角叫俯角(如图ａ).
( ２)北方向顺时针转到目标方向线的水
平角ꎬ如Ｂ点的方位角为 α( 如图ｂ) .
三角形内角和等于１８０° 知ꎬｃｏｓＡ、ｃｏｓＢ、ｃｏｓＣ中两个是正数ꎬ一
个是负数ꎬ故Ａ、Ｂ、Ｃ中两个是锐角ꎬ一个是钝角ꎬ故③正确.
④若ｃｏｓ( Ａ－Ｂ) ��ｃｏｓ( Ｂ－Ｃ) ��ｃｏｓ( Ｃ－Ａ) ＝１ꎬ则由三角形各
个内角的范围及三角形内角和等于１８０° 知ꎬｃｏｓ( Ａ－Ｂ) ＝ｃｏｓ( Ｂ－
ａｓｉｎＣ＝ｃｓｉｎＡ
ｃｏｓ
Ａ
＝
ｂ
２
＋ｃ２－ａ２２ｂｃ
ꎻ
ｃｏｓ
Ｂ
＝
ａ２
＋ｃ２－２ａｃ
ｂ
２
ꎻ
ｃｏｓＣ＝ａ２＋ｂ２－ｃ２２ａｂ
解决的问
题
已知两角和任一边ꎬ求另一角和其他两条边ꎻ 已知两边和其中一边的对角ꎬ 求另一边和其他两角
已知三边ꎬ求各角ꎻ 已知两边和它们的夹角ꎬ求第三边和其他两个角
ａ≥ｂ
ａ>ｂ
解的个数一解
两解
一解
一解
上表中Ａ为锐角时ꎬａ<ｂｓｉｎＡ无解ꎻＡ为钝角时ꎬａ＝ｂꎬａ<ｂ均
无解.
(３) 已知三边ꎬ用余弦定理ꎬ有解时ꎬ只有一解.
(４) 已知两边及夹角ꎬ用余弦定理ꎬ必有一解.
３.三角形的面积

数学(浙江专用)总复习教师用书：第四章三角函数、解三角形第讲三角函数的图象与性质

第3讲三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2。

理解正弦函数、余弦函数在区间［0，2π］上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间错误!内的单调性。

知识梳理1。

用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，错误!，（π，0），错误!，（2π，0).（2）余弦函数y＝cos x,x∈［0，2π]的图象中，五个关键点是：（0,1)，错误!，(π，－1）,错误!，（2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R｛x错误!错误!值域［－1，1]［－1，1］R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数1。

判断正误(在括号内打“√”或“×"）（1)由sin错误!＝sin 错误!知，错误!是正弦函数y＝sin x(x∈R）的一个周期。

( )（2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.（）（3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )(4）已知y＝k sin x＋1，x∈R,则y的最大值为k＋1。

( ）（5）y＝sin｜x｜是偶函数。

（)解析（1）函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z).（2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.（3）正切函数y＝tan x在每一个区间错误!(k∈Z）上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数。

(4)当k〉0时，y max＝k＋1；当k<0时，y max＝－k＋1.答案(1）×(2）×(3）×(4)×(5)√2。

（2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ）A。

y＝sin错误!B。

y＝cos错误!C.y＝sin 2x＋cos 2xD.y＝sin x＋cos x解析y＝sin错误!＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数；y＝cos错误!＝－sin 2x是最小正周期为π的奇函数;y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin错误!是最小正周期为π的非奇非偶函数；y＝sin x＋cos x＝错误!sin错误!是最小正周期为2π的非奇非偶函数.答案B3。

高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质教师用书文苏教版(2

（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3 三角函数的图象与性质教师用书文苏教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3 三角函数的图象与性质教师用书文苏教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3 三角函数的图象与性质教师用书文苏教版的全部内容。

4.3 三角函数的图象与性质1。

用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π］的图象中,五个关键点是：（0，0）,(错误!,1）,(π，0），（错误!，－1)，（2π，0）。

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，（错误!，0)，（π，－1），(错误!，0)，(2π，1）。

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象定义域R R {x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z}值域［－1，1］[－1，1］R单调性在[－错误!＋2kπ，错误!＋2kπ](k∈Z)上递增;在[错误!＋2kπ,错误!＋2kπ](k∈Z)上递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；在［2kπ，π＋2kπ］(k∈Z)上递减在（－π2＋kπ，错误!＋kπ)(k∈Z)上递增【知识拓展】1.对称与周期（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期。

（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2。

高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.7 解三角形实际应用举例教师用书文北师大版(

应用举例教师用书文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.7 解三角形实际应用举例教师用书文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.7 解三角形实际应用举例教师用书文北师大版的全部内容。

实际应用举例教师用书文北师大版1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角（如图①）．2．方向角相对于某正方向的水平角,如南偏东30°，北偏西45°等．3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．【知识拓展】1．三角形的面积公式：S＝错误!（p＝错误!），S＝错误!＝rp(R为三角形外接圆半径，r为三角形内切圆半径，p＝错误!)．2．坡度（又称坡比）:坡面的垂直高度与水平长度之比．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.（×)（2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0,错误!]．( ×)(3）方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √)（4)方位角大小的范围是[0,2π），方向角大小的范围一般是［0,错误!)．( √）1．（教材改编)如图所示，设A,B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为（）A．50错误! m B．50错误! m C．25错误! m D。

高考数学一轮复习专题五三角函数与解三角形4解三角形及其综合应用综合篇课件新人教A版

由A,B∈(0,π)得0<2A<2π,0<2B<2π,得2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D. 解法二:(同解法一)可得2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A.
由正弦、余弦定理,可得a2·b2 c2 a2 ·b=b2·a2 c2 b2 ·a.∴a2(b2+c2-a2)=b2(a
(1)A+B+C=π; (2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;
(4)在锐角三角形ABC中,sin A>cos B⇔A+B> ;
2
(5)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C; (6)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
由①②解得c=4或c=-6(不合题意,舍去).∴c=4.故选C.
答案 C
例 (2018北京朝阳二模,2)在△ABC中,AB=1,AC= 2,∠C= ,则∠B=
6
()
A. B. 或 C. 3 D. 或 3
4
42
4
44
解析
由正弦定理得 AB
sin C
= AC
sin B
,即
1 sin
= 2,
sin B
B,C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形

2024版高考数学一轮复习教材基础练第四章三角函数与解三角形第五节解三角形教学课件

规律总结
三角形中的常见结论
+
π

（1）在 <
△ <
>
m
>中，
/m
<
> + + = π<
m
>.变形: <
/m
>2 = 2 − 2<
m
>.
/m
（2）在 <
△ <
>
m
>中，
/m
<
> > ⇔ > ⇔ sin > sin ⇔ cos < cos <
m
>.
m
>.
/m
（7）在 <
△ <
>

> = cos + cos <
m
>； <
/m
= cos + cos <
>
m
>； <
/m
= cos + cos <
>
m
>（射影定理）.
/m
教材素材变式
多维变式，夯基础
教材素材变式
1. 在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形,其中有两解的是
第五节
解三角形
知识点44：利用正弦定理、余弦定理解三角形
教材知识萃取
在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径.
定理
内容
常见变形
正弦定理
余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B;c2=a2+b2-2abcos C.

备战2024年高考数学大一轮老教材人教A版理第四章解三角形及其应用举例

A.10 6 km
B.30( 3－1)km
C.30( 2－1)km
√D.10 5 km
在 △ACD 中， ∠ADC ＝ 30° ， ∠ACB ＝ 75° ， ∠ACD＝120°，所以 ∠BCD ＝ 45° ， ∠CAD ＝ 30° ， ∠ADC ＝ ∠CAD＝30°，所以AC＝CD＝10 3，在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，由正弦定理得 BC＝10si3ns6in0°75°＝5 2＋5 6，
在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝ (10 3)2＋(5 2＋5 6)2－2×10 3×(5 2＋5 6)cos 75°＝500，
所以 AB＝10 5，即基站 A，B 之间的距离为 10 5 km.
命题点2 测量高度问题
例2 (1)(2023·青岛模拟)如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；
(2)(2022·东北师大附中模拟)为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10 k3m；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD ＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B的距离为
命题点1 测量距离问题
例1 (1)(2023·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到
达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行2 k3m到达C地，再从C地向南偏

高考数学一轮总复习教学课件第四章三角函数、解三角形第一课时余弦定理和正弦定理

,

= =c=csin C,
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
2

a,b,c,已知 cos (+A)+cos A=.
(1)求A;

2
(1)解:由已知得 sin A+cos A=,

2
即 cos A-cos A+=0,

sin B=2× = ,

2
由余弦定理 a =b +c -2bccos A,

2

2
得 2= +c -2× c· ,即 2c -2c-3=0,解得 c=
+

综上,b= ,c=
+

.

或 c=
-

(舍去).
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
所以 sin B=
×

=

=

.

- = ,
(3)求sin(2A-B)的值.

解:(3)因为 cos A=- ,所以 <A<π,故 0<B< ,又 sin A=

2sin Acos A=2×

(-
,所以 c;
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目
A为锐角
A为钝角或直角
图形

高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4_6正弦定理余弦定理教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形 4.6正弦定理、余弦定理教师用书1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ²h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．【知识拓展】 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ³ ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( ³ ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( ³ )(5)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( √ )(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )1．(2016²天津)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ²BC ²cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ³3³cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.2．在△ABC 中，若sin B ²sin C ＝cos 2A2，且sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 D解析 sin B ²sin C ＝1＋cos A2，∴2sin B ²sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， ∴cos(B －C )＝1，∵B 、C 为三角形的内角，∴B ＝C ，又sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，∴b 2＋c 2＝a 2，综上，△ABC 为等腰直角三角形．3．(2017²浙江五校高三第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(b －a )sin A ＝(b －c )²(sin B ＋sin C )，则C 等于( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.2π3答案 A解析由已知，得(b －a )²a ＝(b －c )(b ＋c )， ∴ba －a 2＝b 2－c 2，∴cos A ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<A <π，∴A ＝π3.4．(2016²海宁模拟)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12³32³23³223＝4 3.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (2016²四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明根据正弦定理，可设asin A＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ．所以sin A sin B ＝sin C . (2)解由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧 (1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A或其他相应变形公式求解． (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A＝2a ，则b a等于( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3D. 2(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝b ，且sin(A －C )＝2cosA sin C ，则b 等于( )A ．6B ．4C ．2D ．1答案 (1)D (2)C 解析 (1)(边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sinB ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.故选D.(2)(角化边)由题意，得sin A cos C －cos A sin C ＝2cos A sin C ，即sin A cos C ＝3cos A sin C ，由正弦、余弦定理，得a ²a 2＋b 2－c 22ab ＝3c ²b 2＋c 2－a 22bc，整理得2(a 2－c 2)＝b 2，① 又a 2－c 2＝b ，②联立①②得b ＝2，故选C. 题型二和三角形面积有关的问题例2 (2016²浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．(1)证明由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．3 3答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12³6³32＝332.题型三正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 (1)A (2)B解析 (1)由c b <cos A ，得sin C sin B<cos A ，所以sin C <sin B cos A ，即sin(A ＋B )<sin B cos A ，所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0，即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．(2)由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．引申探究1．例3(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．解 2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos B sin A ， ∴sin(A －B )＝0，又A ，B 为△ABC 的内角， ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．例3(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三角形．命题点2 求解几何计算问题例4 (2015²课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．解 (1)S △ABD ＝12AB ²AD sin∠BAD ，S △ADC ＝12AC ²AD sin∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ²BD cos∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ²DC cos∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，又由(1)知AB ＝2AC ，所以解得AC ＝1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．命题点3 解三角形的实际应用例5 (1)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD 是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m(2)(2016²三明模拟)在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是______ m. 答案 (1)C (2)4003解析 (1)如图，在Rt△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ²tan 60°＝603(m)．在Rt△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD ²tan 15°＝60(2－3)(m)．所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3) ＝120(3－1)(m)． (2)如图，在Rt△CDB 中，CD ＝200 m ，∠BCD ＝90°－60°＝30°， ∴BC ＝200cos 30°＝40033(m)．在△ABC 中，∠ABC ＝∠BCD ＝30°， ∠ACB ＝60°－30°＝30°， ∴∠BAC ＝120°. 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin 120°＝ABsin 30°，∴AB ＝BC ²sin 30°sin 120°＝4003(m)．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a－b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)(2015²课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．答案 (1)D (2)(6－2，6＋2) 解析 (1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2³2³2cos 30°＝6－ 2. 在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BEsin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212³6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.二审结论会转换典例 (15分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．(1)求cos A ――――→根据余弦定理求三边a ，b ，c 的长或长度问题――――――――――――→已有a －c b 利用正弦定理将sin B ＝6sin C 化为b ＝6c (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6―→求cos 2A ，sin 2A ―→求sin A ，cos A ――――→第 1 问已求出cos A根据同角关系求sin A 规范解答解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C 及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ， [3分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[5分]所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64. [8分](2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.[10分] 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，[12分] sin 2A ＝2sin A ²cos A ＝154.[13分]所以，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14³32＋154³12＝15－38.[15分]1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( ) A ．135° B ．105° C ．45° D ．75°答案 C解析由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin 60°，所以sin A ＝22，又由题知，BC <AB ，∴A ＝45°. 2．(2016²全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cosA ＝23，则b 等于( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2³b ³2³23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去，故选D.3．(2016²余姚模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 D解析由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0， ∴sin A ＝1，∴A ＝90°，由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ，综上可知，△ABC 为等腰直角三角形．4．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定答案 C解析由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40³3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B 等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4 答案 C解析根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.6．(2016²宁波模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C＝π4，则△ABC 的面积为( ) A ．23＋2B.3＋1C ．23－2 D.3－1答案 B解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C ，得c ＝b sin Csin B ＝2³2212＝22，A ＝π－(π6＋π4)＝712π，∴sin A ＝sin(π4＋π3)＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ²sin A ＝12³2³22³6＋24＝3＋1.7．(2016²全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.答案2113解析在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋cos A ²sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．答案π3或2π3解析由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ，结合已知等式得cos B ²tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 9.如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是______ n mile/h.答案 32解析设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32.*10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．答案 12解析由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3(b ＋c2)2，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.11．(2016²嘉兴模拟)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知cos C ＝14，a 2＝b 2＋12c 2.(1)求sin(A －B )的值； (2)若c ＝10，求a 和b . 解 (1)△ABC 中，∵a 2＝b 2＋12c 2，∴sin 2A ＝sin 2B ＋12sin 2C ，即sin 2A －sin 2B ＝1532，从而1－cos 2A 2－1－cos 2B 2＝1532，即cos 2B －cos 2A ＝1516.∴cos[(A ＋B )－(A －B )]－cos[(A ＋B )＋(A －B )]＝1516，∴2sin(A ＋B )sin(A －B )＝1516，∵sin(A ＋B )＝sin C ＝154， ∴sin(A －B )＝158. (2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋5， ①10＝a 2＋b 2－12ab ， ②将①代入②，得a ＝4b －10b，③将③代入①，得3b 2＋20b ＝17，b 2＝4或b 2＝53(b ＝53代入③得a <0舍去)，故a ＝3，b ＝2. 12．(2016²海宁模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，满足b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0. (1)求角B 的值；(2)若a ＝2，且AC 边上的中线BD 长为21，求△ABC 的面积．解 (1)由已知条件得sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0， ∴sin B cos C ＋3sin B sin C －sin(B ＋C )－sin C ＝0，即3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0，由sin C >0，得3sin B －cos B ＝1， ∴sin(B －π6)＝12，又B －π6∈(0，5π6)，∴B －π6＝π6，∴B ＝π3.(2)由已知可得BA →＋BC →＝2BD →，平方得BA →2＋BC →2＋2BA →²BC →＝4BD →2，即c 2＋a 2＋2ca ²cos π3＝84，又a ＝2，∴c 2＋2c －80＝0，解得c ＝8或c ＝－10(舍去)，S △ABC ＝12ac sin B ＝12³2³8³sin π3＝4 3.*13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sinB ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2 C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角， ∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a2)2－2b ²a2²cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12³2³2³32＝ 3.。

【新】高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形教师用书理

第四章⎪⎪⎪ 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制、任意角的三角函数突破点(一) 角的概念1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 正角：按顺时针方向旋转形成的角负角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．[例1] (1)设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝xx ＝k4·180°＋45°，k∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．本节主要包括3个知识点： 1.角的概念；弧度制及其应用；3.任意角的三角函数.[解析] (1)法一：由于M ＝xx ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，k ∈Z,2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ∈Z ，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .(2)所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360(k ∈Z)，从而k ＝－2或k ＝－1.将k ＝－2，k ＝－1分别代入β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，得β＝－675°或β＝－315°.[答案] (1)B (2)－675°或－315° [方法技巧]终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．象限角[例2] (1)给出下列四个命题：①－4是第二象限角；②3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角[解析] (1)－3π4＝5π4－2π＝π4＋π－2π，从而－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确．(2)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．[答案] (1)C (2)C [方法技巧]确定αn(n ≥2，且n ∈N *)的终边位置的方法(1)讨论法①用终边相同角的形式表示出角α的范围； ②写出αn的范围；③根据k 的可能取值讨论确定αn的终边所在位置．(2)等分象限角的方法已知角α是第m (m ＝1,2,3,4)象限角，求αn是第几象限角．①等分：将每个象限分成n 等份；②标注：从x 轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x 轴正半轴；③选答：出现数字m 的区域，即为αn的终边所在的象限．能力练通抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一、二]给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 由于第一象限角如370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sinπ6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．2.[考点一]集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．比较各选项，可知选C.3.[考点二]若α为第一象限角，则β＝k ·180°＋α(k ∈Z)是第________象限角．解析：∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α的终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α的终边在第三象限．即β＝k ·180°＋α(k ∈Z)是第一或第三象限角．答案：一或三4.[考点一]终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．解析：终边在直线y ＝3x 上的角的集合为αα＝k π＋π3，k ∈Z. 答案：αα＝k π＋π3，k ∈Z5.[考点一、二]已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断α3是第几象限角．解：与α终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}．则α3＝k·120°＋50°，k∈Z.若k＝3n(n∈Z)，α3是第一象限角；若k＝3n＋1(n∈Z)，α3是第二象限角；若k＝3n＋2(n∈Z)，α3是第四象限角．故α3是第一、第二或第四象限角．突破点(二) 弧度制及其应用1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2．弧度制下的有关公式[典例] (1)已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4(2)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________cm. [解析] (1)设此扇形的半径为r，弧长为l，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.(2)设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝122r，得r ＝43(cm)，又α＝2π3，所以l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π(cm)．[答案] (1)C (2)833π[方法技巧]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，则其弧度数为l r. 将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍．答案：33．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．解析：由题可知，弧长l ＝3π，圆心角α＝135°＝3π4，所以半径r ＝l α＝3π3π4＝4.面积S ＝12lr ＝12×3π×4＝6π.答案：4 6π4．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋r θ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. 所以当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．突破点(三) 任意角的三角函数[例1] (1)若sin αtan α<0，且tan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不确定 [解析] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．(2)2 rad,3 rad 是第二象限角，所以sin 2>0，cos 3<0，4 rad 是第三象限角，所以tan 4>0，故sin 2·cos 3·tan 4<0.[答案] (1)C (2)A[例2] (1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，则sin α＝________. (2)若角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α， cos α和tan α的值． [解析] (1)sin α＝－342＋－2＝－35. (2)设α终边上任一点为P (－4a,3a )，当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.[答案] (1)－35[方法技巧]由三角函数定义求三角函数值的方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．由三角函数值求点的坐标[例3] (1)若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( )A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433D. 3(2)若420°角的终边所在直线上有一点(x,3)，则x 的值为________． [解析] (1)由三角函数的定义得sin α·cos α＝a－2＋a2·－4－2＋a2＝－4a －2＋a 2＝34，即3a 2＋16a ＋163＝0，解得a ＝－43或－433.故选C.(2)由三角函数的定义知tan 420°＝3x，所以x ＝3tan 420°＝33＝ 3.[答案] (1)C (2) 3 [方法技巧]求角α终边上点的坐标的类型及方法(1)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．1.[考点一]若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ解析：选C 由θ是第二象限角可得θ2为第一或第三象限角，所以tan θ2>0，故选C.2.[考点一]已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( ) A ．大于0 B ．大于等于0 C ．小于0D ．小于等于0解析：选C ∵θ是第四象限角，∴sin θ∈(－1,0)．令sin θ＝α，当－1<α<0时，sin α<0.故sin(sin θ)<0.3.[考点二]已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．± 3 C.33D ．±33解析：选B 因为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32在单位圆上，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，解得x ＝±12.所以tan α＝± 3.4.[考点二、三]设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tanα＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析：选D ∵α是第二象限角，∴x <0. 又由题意知xx 2＋42＝15x ，解得x ＝－3. ∴tan α＝4x ＝－43.5.[考点三]已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，即－2<a ≤3.答案：(－2,3][课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若cos α>0且tan α<0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选D 由cos α>0，得α的终边在第一或第四象限或x 轴非负半轴上，又由tan α<0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x 轴对称，所以角α与β的终边关于x 轴对称．3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D ．2解析：选C 设圆的半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r .根据题意，由3r ＝αr ，得α＝ 3.4．角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A ∵角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，∴角α的终边在第三象限．又P (m ，n )是角α终边上一点，故m <0，n <0.又|OP |＝10，∴⎩⎨⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10，解得m ＝－1，n ＝－3，故m －n ＝2.5．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．解析：由角α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z)，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z)，故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角．答案：四[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，则sin θcos θ<0.又由sin θ－cos θ>1知sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．若α是第三象限角，则y ＝sin α2sin α2＋cosα2cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2解析：选A 由于α是第三象限角，所以α2是第二或第四象限角．当α2是第二象限角时，sin α2>0，cos α2<0， y ＝sin α2sin α2＋－cosα2cosα2＝1－1＝0；当α2是第四象限角时，sin α2<0，cos α2>0，y ＝－sin α2sin α2＋cosα2cosα2＝－1＋1＝0.故选A.3．已知角α的终边经过一点P (x ，x 2＋1)(x >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12D. 2解析：选B tan α＝x 2＋1x ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，即tan α的最小值为2.故选B.4．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数定义知，点P 的横坐标x ＝cos θ，纵坐标y ＝sin θ.5．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则cos 2α＝( )A ．－12B ．1 C.12D ．－32解析：选A ∵角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋(y 0)2＝1，∴y 0＝±32，则cos α＝12，sin α＝±32，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－12.6．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π4 D.11π6解析：选D ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32.∴角α的最小正值为11π6.二、填空题7．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则θ是第________象限角．解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ<0，2cos θ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角．答案：二8．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则m ＝________.解析：由题设知点P 的横坐标x ＝－3，纵坐标y ＝m ， ∴r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，即r ＝3＋m 2. ∴sin α＝m r＝2m 4＝m 22， ∴r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8，解得m ＝± 5. 答案：± 59．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．解析：设扇形半径为R ，内切圆半径为r ，如图．则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r .又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝π3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2332r 2＝7＋439πr 2，S 内切圆＝πr 2，所以S 扇S 内切圆＝7＋439.答案：(7＋43)∶910．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律可知，满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4三、解答题11．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求角α的集合； (2)求角α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知角α的终边在第三、四象限或y 轴的非正半轴上；由tan α＞0, 知角α的终边在第一、三象限，故角α的终边在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(3)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．12．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，l ＝4，即α＝l r＝2时，扇形面积取得最大值4. 此时弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式突破点(一) 同角三角函数的基本关系本节主要包括2个知识点： 1.同角三角函数的基本关系； 2.三角函数的诱导公式.1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．同角三角函数基本关系式的应用技巧[例1] (2017·南京模拟)已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝________. [解析] 原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α·1|cos α|＋ sin α·1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0, cos α＜0，所以cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.[答案] 0[例2] 若tan α＝2(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________.[解析] (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1 ＝4×4－3×2－54＋1＝1.[答案] (1)－1 (2)1 [方法技巧]同角三角函数关系式应用的注意事项(1)同角并不拘泥于角的形式，如sin2α2＋cos 2α2＝1，sin 3x cos 3x＝tan 3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ≠k π＋π2，k ∈Z 都成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．(2)对于含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] 已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝5.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．[解] (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.由x ∈(－π，0)，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0，∴cos x >0，则sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋sin x 1－sin xcos x＝2sin x cos x cos x ＋sin x cos x －sin x ＝－2425×1575＝－24175.[方法技巧]同角三角函数关系式的方程思想对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，转化公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，体现了方程思想的应用．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512D ．－512解析：选D 因为α为第四象限角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.2.[考点三](2017·厦门质检)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34解析：选B ∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.3.[考点二]已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2 C ．－22D ．－ 2解析：选A ∵sin α＋2cos α＝3，∴(sin α＋2cos α)2＝3，即sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3，∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，∴tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3，即2tan 2α－22tan α＋1＝0，解得tan α＝22.4.[考点一]sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________.解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝＋12＝4412. 答案：44125.[考点二、三]已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值； (2)1cos 2α－sin 2α的值； (3)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. (3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825.突破点(二) 三角函数的诱导公式1．三角函数的诱导公式1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[典例](1)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋α＝( )A.35B.53C.45D.54(2)求值：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. [解析] (1)方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－1sin α＝53.(2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. [答案] (1)B (2)1[方法技巧]应用诱导公式化简求值的注意事项(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．能力练通抓应用体验的“得”与“失” 1．已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25解析：选C ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴cos α＝15.2．sin 210°cos 120°的值为( )A.14 B ．－34 C ．－32 D.34解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14.3．已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋αcos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－2.则A 的值构成的集合为{2，－2}．4．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan π－π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－335．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α－α－π－α－π.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α－α－π－α－π＝－cos αα－tan α－tan αα＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1D.1625解析：选A 因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425.故选A. 2．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( )A ．－45B.45C.35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，则cos(－α)＝cos α＝45.2．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－435.1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．sin(－600°)的值为( ) A.32B.22 C ．1 D.33解析：选A sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin 120°＝32. 2．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B 由tan(α－π)＝34得tan α＝34.又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，可得，sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－45.3．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.4．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－12解析：选B 因为2tan α·sin α＝3，所以2sin 2αcos α＝3，所以2sin 2α＝3cos α，即2－2cos 2α＝3cos α，所以cos α＝12或cos α＝－2(舍去)，又－π2<α<0，所以sin α＝－32. 5．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin θ·cos θ＝3716，则sin θ＝( )A.35B.45 C.74D.34解析：选D ∵sin θ·cos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74 ①，sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.6．(2017·长沙模拟)若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1± 5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知，sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.二、填空题 7．化简：α－ππ－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________. 解析：α－ππ－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sinα)＝－cos 2α.答案：－cos 2α8．若f (α)＝k ＋π＋αk ＋1π－α]kπ－αk π＋α(k ∈Z)，则f (2 017)＝________.解析：①当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z)，原式＝n π＋π＋αn π＋π－αnπ－αn π＋α＝－sin α－cos α－sin α·cos α＝－1；②当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z)，原式＝n ＋π＋αn ＋π－α]n ＋π－α]·co n ＋π＋α]＝sin α·cos αsin α－cos α＝－1.综上所述，当k ∈Z 时，f (α)＝－1，故f (2 017)＝－1. 答案：－19．若角θ满足2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos θπ＋θ－π－θ＝3，则tan θ的值为________．解析：由2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos θπ＋θ－π－θ＝3，得2sin θ＋cos θ－2sin θ＋3cos θ＝3，等式左边分子分母同时除以cos θ，得2tan θ＋1－2tan θ＋3＝3，解得tan θ＝1.答案：110．已知角A 为△ABC 的内角，且sin A ＋cos A ＝15，则tan A 的值为________．解析：∵sin A ＋cos A ＝15 ①，①式两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，则(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，∵角A 为△ABC 的内角，∴sin A >0，又sin A cos A ＝－1225<0，∴cos A <0， ∴sin A －cos A >0，则sin A －cos A ＝75②.由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.答案：－43三、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2，又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.第三节三角函数的图象与性质突破点(一) 三角函数的定义域和值域本节主要包括2个知识点： 1.三角函数的定义域和值域； 2.三角函数的性质.∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π(k∈Z)时，取得最小值－1仅当x ＝π＋2k π(k ∈Z)时，取得最小值－1考点贯通抓高考命题的“形”与“神”三角函数的定义域[例1] 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________． [解析] 要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z.即函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z[方法技巧]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．[提醒] 解三角不等式时要注意周期，且k ∈Z 不可以忽略．三角函数的值域(最值)求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[例2] (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3(2)函数y ＝3－sin x －2cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，76π的值域为________．[解析] (1)∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.故该函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤78，2. [答案] (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤78，2 [方法技巧]三角函数值域或最值的三种求法(1)直接法：直接利用sin x ，cos x 的值域求出．(2)化一法：化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，确定ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，转化为二次函数，求在给定区间上的值域(最值)问题．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．R解析：选C 要使函数有意义，则cos x －32≥0，即cos x ≥32，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z. 2.[考点二]函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1B ．－22 C ．0 D.22解析：选 B 因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4≤1，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.3.[考点一]函数y ＝1tan x －1的定义域为________．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为xx ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z4.[考点一]函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π25.[考点二]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，则y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54.∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.突破点(二) 三角函数的性质三角函数的单调性考法(一) [例1] 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]；(2)f (x )＝|tan x |；(3)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2. [解] (1)当－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数．当2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调递减区间是k π－π2，k π，k ∈Z.(3)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数；当2k π≤2x －π6≤2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是－5π12，π12，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－5π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2.[方法技巧]求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 求解三角函数的单调区间时，若x 的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．考法(二) 已知单调区间求参数范围[例2] 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________．[解析] 由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)且2πω≥2×⎝⎛⎭⎪⎫π－π2，则⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54[方法技巧] 已知单调区间求参数范围的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解三角函数的周期性[例3] (1)函数y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(2)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．[解析] (1)y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos 2x －3π4＝－sin 2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数． (2)由题意知，1＜π|k |＜2，即|k |＜π＜2|k |.又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. [答案] (1)A (2)2或3 [方法技巧]三角函数周期的求解方法(1)定义法：直接利用周期函数的定义求周期．(2)公式法：①三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的最小正周期分别为2π，2π，π；②y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(3)图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．三角函数的奇偶性[例4] (1)函数f (x )＝2(1＋cos 2x )sin 2x (x ∈R)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数。

高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形教师用书理

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形教师用书理第一节任意角和弧度制、任意角的三角函数突破点(一) 角的概念”流“与”源“抓主干知识的基础联通1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 正角：按顺时针方向旋转形成的角负角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2k π，k∈Z}．”神“与”形“抓高考命题的考点贯通[例1] (1)设集合( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M∩N＝∅(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．[解析] (1)法一：由于M ＝xx ＝·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.法二：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，k∈Z,2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k∈Z，k＋1是整数，因此必有M⊆N.(2)所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1.将k＝－2，k＝－1分别代入β＝45°＋k×360°(k∈Z)，得β＝－675°或β＝－315°.[答案] (1)B (2)－675°或－315°[方法技巧]终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．象限角[例2] (1)400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( ) A．1个 B．2个C．3个 D．4个(2)若角α是第二象限角，则是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角[解析] (1)－＝－2π＝＋π－2π，从而－是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确．(2)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．[答案] (1)C (2)C[方法技巧]确定(n≥2，且n∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②写出的范围；③根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置．(2)等分象限角的方法已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求是第几象限角．①等分：将每个象限分成n等份；②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴；③选答：出现数字m的区域，即为的终边所在的象限．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选A 由于第一象限角如370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．2.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．比较各选项，可知选C.3.若α为第一象限角，则β＝k·180°＋α(k∈Z)是第________象限角．解析：∵α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α的终边在第一象限；k为奇数时，k·180°＋α的终边在第三象限．即β＝k·180°＋α(k∈Z)是第一或第三象限角．答案：一或三4.终边在直线y＝x上的角的集合为________．解析：终边在直线y＝x上的角的集合为αα＝kπ＋，k∈Z.答案：αα＝kπ＋，k∈Z5.已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断是第几象限角．解：与α终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}．则＝k·120°＋50°，k∈Z.若k＝3n(n∈Z)，是第一象限角；若k＝3n＋1(n∈Z)，是第二象限角；若k＝3n＋2(n∈Z)，是第四象限角．故是第一、第二或第四象限角．突破点(二) 弧度制及其应用”流“与”源“抓主干知识的基础联通1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2．弧度制下的有关公式角α的弧度数公式 |α|＝lr(弧长用l 表示)角度与弧度的换算①1°＝π180 rad ；②1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式弧长l ＝|α|r扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”扇形的弧长及面积公式[典例] (1)( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4(2)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm. [解析] (1)设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则解得或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝＝＝4或α＝＝＝1. (2)设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝，得r ＝4(cm)，又α＝，所以l ＝|α|·r＝×4＝π(cm)． [答案] (1)C (2)π[方法技巧]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为( )A．40π cm2 B．80π cm2C．40 cm2 D．80 cm2解析：选B ∵72°＝，∴S扇形＝αr2＝××202＝80π(cm2)．2．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．解析：设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为＝3·，即弧度数变为原来的3倍．答案：33．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．解析：由题可知，弧长l＝3π，圆心角α＝135°＝，所以半径r＝＝＝4.面积S＝lr＝×3π×4＝6π.答案：4 6π4．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．突破点(三) 任意角的三角函数“抓主干知识的源基础联通流””“与三角函数正弦余弦正切考点贯通抓高考命题的“形”与“神”[例1] (1)若)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)s in 2·cos 3·tan 4的值( )A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不确定[解析] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．(2)2 rad,3 rad是第二象限角，所以sin 2>0，cos 3<0，4 rad是第三象限角，所以tan 4>0，故sin 2·cos 3·tan 4<0.[答案] (1)C (2)A[例2] (1)________.(2)若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α， cos α和tan α的值．[解析] (1)sin α＝＝－.(2)设α终边上任一点为P(－4a,3a)，当a＞0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.[答案] (1)－35[方法技巧]由三角函数定义求三角函数值的方法(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．由三角函数值求点的坐标[例3] (1)α·cos α＝，则a 的值为( )A．4 B．±4 3C．－4或－ D. 3(2)若420°角的终边所在直线上有一点(x,3)，则x的值为________．[解析] (1)由三角函数的定义得sin α·cos α＝·＝＝，即a2＋16a＋16＝0，解得a＝－4或－.故选C.(2)由三角函数的定义知tan 420°＝，所以x＝＝＝.[答案] (1)C (2) 3[方法技巧]求角α终边上点的坐标的类型及方法(1)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( )A．sin B．cosC．tan D．cos 2θ解析：选C 由θ是第二象限角可得为第一或第三象限角，所以tan>0，故选C.2.已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( )A．大于0 B．大于等于0C．小于0 D．小于等于0解析：选C ∵θ是第四象限角，∴sin θ∈(－1,0)．令sin θ＝α，当－1<α<0时，sin α<0.故sin(sin θ)<0.3.已知角α的终边与单位圆的交点P，则tan α＝( )A. B．±C. D．±33解析：选B 因为P在单位圆上，所以x2＋2＝1，解得x＝±.所以tan α＝±.4.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x，则tan α＝( )A. B.C．－ D．－43解析：选D ∵α是第二象限角，∴x<0.又由题意知＝x，解得x＝－3.∴tan α＝＝－.5.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴即－2<a≤3.答案：(－2,3][课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若cos α>0且tan α<0，则α是( )B．第二象限角A．第一象限角D．第四象限角C．第三象限角解析：选D 由cos α>0，得α的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴上，又由tan α<0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )B．关于原点对称A．重合D．关于y轴对称C．关于x轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x轴对称，所以角α与β的终边关于x轴对称．3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )B.A.D．2C.解析：选C 设圆的半径为r，则其内接正三角形的边长为r.根据题意，由r＝αr，得α＝. 4．角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于( )B．－2A．2D．－4C．4 解析：选A ∵角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，∴角α的终边在第三象限．又P(m，n)是角α终边上一点，故m<0，n<0.又|OP|＝，∴解得m＝－1，n＝－3，故m－n＝2.5．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．解析：由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，则kπ＋<<kπ＋(k∈Z)，故是第二或第四象限角．由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．答案：四[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( )B．第二象限A．第一象限D．第四象限C．第三象限解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，则sinθcos θ<0.又由sin θ－cos θ>1知sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．若α是第三象限角，则y＝＋的值为( )B．2A．0D．2或－2C．－2解析：选A 由于α是第三象限角，所以是第二或第四象限角．当是第二象限角时，sin>0，cos<0，y＝＋＝1－1＝0；当是第四象限角时，sin<0，cos>0，y＝＋＝－1＋1＝0.故选A.3．已知角α的终边经过一点P(x ，x2＋1)(x>0)，则tan α的最小值为( )A ．1B ．2C.D.2解析：选B tan α＝＝x ＋≥2 ＝2，当且仅当x ＝1时取等号，即tan α的最小值为2.故选B.图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点4．如＝θ，则点P 的坐标是( )P ，若∠AOP θ，sin θ)A ．(cosB ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数定义知，点P 的横坐标x ＝cos θ，纵坐标y ＝sin θ.5．已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于P ，则cos 2α＝( )A ．－B ．1C.D ．－32解析：选A ∵角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于P ，∴2＋(y0)2＝1，∴y0＝±，则cos α＝，sin α＝±，∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－.6．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为( )A.B.2π3C.D.11π6解析：选D ∵＝，∴角α为第四象限角，且sin α＝－，cos α＝.∴角α的最小正值为.二、填空题7．已知点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则θ是第________象限角．解析：因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角．答案：二8．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则m ＝________.解析：由题设知点P 的横坐标x ＝－，纵坐标y ＝m ，∴r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O 为原点)，即r ＝.∴sin α＝＝＝，∴r ＝＝2，即3＋m2＝8，解得m ＝±.答案：±59．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．半径为R ，内切圆半径为r ，如图．解析：设扇形r)sin 60°＝r ，则(R －即R ＝r.又S 扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝2r2＝πr2，S 内切圆＝πr2，所以＝.答案：(7＋4)∶910．在(0,2π)内，使sin x>cos x 成立的x 的取值范围为________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin ＝cos ＝，－.根据三角函数线的变化规律可知，满足题中条sin ＝cos ＝件的角x∈.⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4答案：三、解答题11．已知sin α＜0，tan α＞0.(1)求角α的集合；(2)求角终边所在的象限；(3)试判断 tansin cos 的符号．解：(1)由sin α＜0，知角α的终边在第三、四象限或y 轴的非正半轴上；由tan α＞0, 知角α的终边在第一、三象限，故角α的终边在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋，k∈Z，得k π＋＜＜k π＋，k∈Z，当k 为偶数时，角终边在第二象限；当k 为奇数时，角终边在第四象限．故角终边在第二或第四象限．(3)当角在第二象限时，tan ＜0，sin ＞0, cos ＜0，所以tansincos 取正号；当在第四象限时， tan ＜0，sin ＜0, cos ＞0，所以 tansincos 也取正号．因此，tansin cos 取正号．12．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝＝或α＝＝6.(2)∵2r＋l ＝8，∴S 扇＝lr ＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，l ＝4，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.此时弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式突破点(一) 同角三角函数的基本关系”流“与”源“抓主干知识的基础联通1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝.2．同角三角函数基本关系式的应用技巧θcos θ进行变形、转化或sin θcos θ考点贯通抓高考命题的“形”与“神”化简求值[例1] (201cos α·＋sin α＝________.[解析] 原式＝cos α＋sin αsin2α＋cos2αsin2α＝cos α·＋ sin α·，因为α是第二象限角，所以sin α＞0, cos α＜0，所以cos α·＋sin α·＝－1＋1＝0，即原式等于0.[答案] 0条件求值[例2] 若tan α＝(1)＝________；(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝________.[解析] (1)＝＝＝－1.(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝4tan2α－3tan α－5tan2α＋1＝＝1.[答案] (1)－1 (2)1[方法技巧]同角三角函数关系式应用的注意事项(1)同角并不拘泥于角的形式，如sin2＋cos2＝1，＝tan 3x都成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．(2)对于含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．sin α±cos α与sin αcos α关系的应用(1)求sin x－cos x的值；(2)求的值．[解] (1)由sin x＋cos x＝，平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－.∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.由x∈(－π，0)，知sin x<0，又sin x＋cos x>0，∴cos x>0，则sin x－cos x<0，故sin x－cos x＝－.(2)＝＋1－sin xcos x＝＝＝－.[方法技巧]同角三角函数关系式的方程思想对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，转化公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，体现了方程思想的应用．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A. B．－ C. D．－512解析：选D 因为α为第四象限角，故cos α＝＝＝，所以tan α＝＝＝－.2.(2017·厦门质检)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为( )A．－ B. C．－ D.34解析：选B ∵<α<，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.3.已知sin α＋cos α＝，则tan α＝( )A. B. C．－ D．－ 2解析：选A ∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝3，即sin2α＋2sin αcos α＋2cos2α＝3，∴＝3，∴＝3，即2tan2α－2tan α＋1＝0，解得tan α＝.4.sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.解析：原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝＋＝44.答案：44125.已知tan α＝－，求：(1)的值；(2)的值；(3)sin2α＋2sin αcos α的值．解：(1)＝＝＝.(2)＝＝＝＝＝－.(3)sin2α＋2sin αcos α＝＝＝＝－.突破点(二) 三角函数的诱导公式“抓主干知识的源基础联通”流“与”1．三角函数的诱导公式形“”抓高考命题的考点贯通与神”“1.也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[典例] (1)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则＝( )A. B. C. D.54(2)求值：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________.[解析] (1)方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，则sin α＝－.原式＝＝－＝.(2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.[答案] (1)B (2)1[方法技巧]应用诱导公式化简求值的注意事项(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知sin＝，那么cos α＝( )A．－ B．－ C. D.25解析：选C ∵sin＝sin＝cos α，∴cos α＝.2．sin 210°cos 120°的值为( )A. B．－ C．－ D.34解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝－×＝.3．已知A ＝＋(k∈Z)，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C k 为偶数时，A ＝＋＝2；k 为奇数时，A ＝＋＝－2.则A 的值构成的集合为{2，－2}．4．已知tan ＝，则tan ＝________.解析：tan ＝tan ＝tan π－－α＝－tan ＝－. 答案：－335．已知α为第三象限角，f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若cos ＝，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋απ－α－α－π－α－π＝＝－cos α. (2)∵cos＝，∴－sin α＝，从而sin α＝－. 又α为第三象限角， ∴cos α＝－＝－， ∴f(α)＝－cos α＝.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国丙卷)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( ) A. B.4825 C ．1D.1625解析：选A 因为tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.故选A. 2．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ＝，则tan ＝________.解析：由题意知sin ＝，θ是第四象限角，所以cos ＞0，所以cos ＝＝. 则tan ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－×＝－. 答案：－43[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若α∈，sin α＝－，则cos(－α)＝( )A ．－B.C.D ．－35解析：选B 因为α∈，sin α＝－，所以cos α＝，则cos(－α)＝cos α＝.2．若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋＝＋＝＝2.3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于( )A ．－B ．－C.D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－cos θ，∴tanθ＝.∵|θ|＜，∴θ＝.4．已知α∈，sin α＝，则tan α＝________.解析：∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－.答案：－435.＝________.解析：原式＝sin240°＋cos240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝＝1.答案：1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．sin(－600°)的值为( )B.A.。

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推荐学习版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形.解三角形的综合应用教师用书理新人————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四章三角函数、解三角形 4.7 解三角形的综合应用教师用书理新人教版1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．【知识拓展】1．三角形的面积公式：S ＝p p －a p －bp －c (p ＝a ＋b ＋c2)，S ＝abc 4R ＝rp (R 为三角形外接圆半径，r 为三角形内切圆半径，p ＝a ＋b ＋c2)．2．坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，π2]．( × )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ )(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2)．( √)1．(教材改编)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m答案 A解析由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，又∵B＝30°，∴AB＝AC sin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( ) A．北偏东15° B．北偏西15°C．北偏东10° D．北偏西10°答案 B解析如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A 在点B 的北偏西15°.3．(教材改编)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC 等于( )A ．10 3 n mile B.1063n mile C ．5 2 n mile D ．5 6 n mile答案 D解析如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，∴BCsin 60°＝10sin 45°，∴BC ＝5 6.4.如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________.答案32a 解析由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形，AD ＝3a ，又在Rt△ADB 中，AB ＝12AD＝32a . 5．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h ；水的流向是正东，流速是20 km/h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h. 答案 60° 20 3 解析如图，∠AOB ＝60°，由余弦定理知OC 2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC ＝203，∠COY ＝30°＋30°＝60°.题型一求距离、高度问题例1 (1)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD 是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1) mB ．180(2－1) mC ．120(3－1) mD ．30(3＋1) m(2)(2016·三明模拟)在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是______ m. 答案 (1)C (2)4003解析 (1)如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60°＝603(m)．在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD ·tan 15°＝60(2－3)(m)．所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3) ＝120(3－1) (m)． (2)如图，设塔AB 高为h ，在Rt△CDB 中，CD ＝200 m ，∠BCD ＝90°－60°＝30°， ∴BC ＝200cos 30°＝40033(m)．在△ABC 中，∠ABC ＝∠BCD ＝30°， ∠ACB ＝60°－30°＝30°， ∴∠BAC ＝120°. 在△ABC 中，由正弦定理得BC sin 120°＝ABsin 30°，∴AB ＝BC ·sin 30°sin 120°＝4003(m)．思维升华求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念．(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．(1)一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________ km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.答案 (1)30 2 (2)30＋30 3解析 (1)如图，由题意，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴B ＝45°，AC ＝60 km ，由正弦定理BC sin 30°＝ACsin 45°，∴BC ＝30 2 km.(2)在△PAB 中，∠PAB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin 30°＝ABsin 15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．题型二求角度问题例2 如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．答案2114解析在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理，得AB sin∠ACB ＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝2114. 思维升华解决测量角度问题的注意事项： (1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是______(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)．答案539解析如图，过点P 作PO ⊥BC 于点O ，连接AO ，则∠PAO ＝θ. 设CO ＝x m ，则OP ＝33x m. 在Rt△ABC 中，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，所以BC ＝20 m. 所以cos∠BCA ＝45.所以AO ＝625＋x 2－2×25x ×45＝x 2－40x ＋625(m)．所以tan θ＝33x x 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －452＋925.当25x ＝45，即x ＝1254时，tan θ取得最大值为3335＝539. 题型三三角形与三角函数的综合问题例3 (2016·长春质检)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调减区间；(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f (A 2－π6)＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求bc 的值．解 (1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3 ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)，因此f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，即f (x )的单调递减区间为[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z )．(2)由f (A 2－π6)＝2sin[2(A 2－π6)＋π3]＝2sin A ＝3，又A 为锐角，则A ＝π3，由正弦定理可得2R ＝a sin A ＝732＝143，sin B ＋sin C ＝b ＋c 2R ＝13314，则b ＋c ＝13314·143＝13，由余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋c 2－2bc －a 22bc ＝12，可求得bc ＝40.思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.10．函数思想在解三角形中的应用典例 (12分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决．规范解答解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则[1分]S ＝900t 2＋400－2·30t·20·cos 90°－30°＝900t 2－600t ＋400＝900t －132＋300.[3分]故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[6分] (2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，[8分] 故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30，故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.[11分] 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[12分]1．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 海里 B ．10 3 海里 C ．20 3 海里 D ．20 2 海里答案 A解析如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝10 2.2．在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为( ) A. 6 km B. 2 km C. 3 km D ．2 km答案 A 解析如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB ＝45°， ∴ACsin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝22×32＝ 6. 3．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( ) A ．5海里 B ．5 3 海里 C ．10海里 D ．10 3 海里答案 C解析如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt△ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．4.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案 B解析依题意可得AD ＝2010，AC ＝305，又CD ＝50，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝3052＋20102－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A．5 6 B．15 3C．5 2 D．15 6答案 D解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BCsin 30°＝30sin 135°，所以BC＝15 2.在Rt△ABC中，AB＝BC tan∠ACB＝152×3＝15 6.故选D.6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m答案 A解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝3h.在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.7．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m.答案10 3解析如图，OM＝AO tan 45°＝30 (m)，ON＝AOtan 30°＝33×30＝10 3 (m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×32＝300＝10 3 (m)．8.如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是______ n mile/h.答案32解析设航速为v n mile/h，在△ABS中，AB＝12v，BS＝82，∠BSA＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12vsin 45°，∴v＝32.9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案507解析如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC ＝507. *10.在Rt△ABC 中，C ＝90°，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．答案 (1，2] 解析 x ＝a ＋bc ＝sin A ＋sin Bsin C＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin π4＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤sin π2，即x ∈(1，2]．11．要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度．解如图，设电视塔AB 高为x m ，则在Rt△ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x . 在Rt△ADB 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理得，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40 m.12．(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值．解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由asin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. *13.在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船(在D 点)，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，解得BC ＝ 6. 又BC sin∠BAC ＝ACsin∠ABC， ∴sin∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，故B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin∠BCD ＝CDsin∠CBD，∴sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBDCD＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝6，解得t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．。