人教课标版高中数学选修1-1：《命题及其关系》教案-新版

第一章常用逻辑用语

1.1命题及其关系

一、教学目标

1.核心素养

培养数学抽象，形成逻辑推理能力．

2.学习目标

（1）了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．

（2）命题的四种形式．

3.学习重点

了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．

4.学习难点

明白四种命题之间的关系，会利用两个命题互为逆否命题的关系判别命题的真假．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

任务：阅读教材P1－P4，思考：如何判断命题的真假？四种命题之间有什么关系？2．预习自测

1．判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

（1）空集是任何集合的子集；（2）对数函数是增函数吗？（3）2x<15；

解：（1）真命题（2）疑问句，不是命题（3）不能判断真假，不是命题

2.将下列命题改写成“若p，则q”的形式.

（1）两条直线相交有且只有一个交点；

（2）对顶角相等；

（3）全等的两个三角形面积也相等.

解：（1）若两条直线相交，则有且只有一个交点；

（2）若两个角是对顶角，则这两个角相等；

（3）若两个三角形全等，则它们的面积相等.

3．命题“若a>b,则a-1>b-1”的逆否命题是（）

A.若a-1≤b-1,则a≤b

B.若a

C.若a-1>b-1,则a>b

D.若a≤b,则a-1≤b-1

答案：A

解析：命题“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”.

（二）课堂设计

1．知识回顾

在生活中，我们接触了哪些具体的命题？请大家阅读教材P2中所列举的6个命题例子，并试着列举生活与学习中的命题例子．

2．问题探究

问题探究一命题的含义

1.什么是命题？

思考：三位科学家由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久发现了一只黑羊．“真有意思，苏格兰的羊都是黑的”天文学家谈论道．“这种推断不可靠”数学家应道．我们只能得出”在苏格兰有一些羊是黑色的”这样的结论．逻辑学家马上接着说我们真正有把握的不过是”在苏格兰至少有一个地方有至少一只黑羊”如何判断这些话的真假呢?

阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？

（1）矩形的对角线相等；

（2）3>12；

（3）3>12吗？

（4）8是24的约数；

（5）两条直线相交，有且只有一个交点；

（6）他是个高个子.

探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.

想一想：请大家根据以上结论，思考什么叫做命题？

一般地，在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题（proposition），其中判断为真的语句叫做__________（true proposition），判断为假的语句叫做__________（false proposition）．

说明：（1）并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.

（2）一个命题要么为真,要么为假．但不能同时既真又假,也不能模棱两可,无法判断其

真假．

（3）一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：p 、q 、r 等． 问题探究二 命题的四种形式

1.将一个命题改写成“若p ，则q ”的形式：

在数学中，具有“若p 则q ”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式命题中的p 叫做命题的 ，q 叫做命题的 ．数学中有一些命题虽然表面上不是“若p 则q ”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p 则q ”的形式．这样条件和结论就很清楚了． 2.四种命题的概念：

原命题 逆命题 否命题 逆否命题

若p 则q

交换原命题的条件和结论，所得的命题是_______；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是_______；为了书写简便，常常把条件p 和结论q 的否定，分别记作“_______”和“_______”；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是_______．这些结论用于写一个命题的逆命题、否命题与逆否命题十分方便． 问题探究三 四种命题的相互关系与真假

四种命题的相互关系图：

原命题

若p 则q 否命题若┐p 则┐q

逆命题若q 则p

逆否命题若┐q 则┐p

互为逆否

互逆否

互为逆

否

互

互逆

否

互

一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假

假

假

假

四种命题的真假关系：

__________和__________互为逆否命题；__________和__________互为逆否命题 互为逆否的两个命题真假__________：互逆或互否的两个命题真假__________．

3．课堂总结

【知识梳理】

命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．

【重难点突破】

掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．

4．随堂检测

1.命题“若a>b,则2a>2b-1”的逆否命题是________

【知识点：四种命题】

答案：若2a≤2b-1,则a≤b

互换条件与结论,并进行否定,得其逆否命题“若2a≤2b-1,则a≤b”.

2.给定下列命题：

①“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根”的逆否命题;

②若f(x)=cos x,则f(x)为周期函数;

③“若A=B,则sin A=sin B”的逆命题;

④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.

其中真命题的序号是________.

【知识点：四种命题】

答案：①②④

解析：对于①,因为Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以原命题为真.所以①是真命题.

显然②是真命题.

③的逆命题：“若sin A=sin B,则A=B”.是假命题.

④的否命题：“若xy≠0,则x,y都不为零”.是真命题.

3.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B全是锐角”的否命题为（）

A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B全不是锐角

B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不全是锐角

C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B中必有一个钝角

D.以上均不对

【知识点：四种命题】

答案：B