第3.1章矩形波导

各坐标系中的亥姆霍兹方程。
由各种情况下的边界条件（波导内壁：Et=0）求
解各种情况下的亥姆霍兹方程的电场或磁场纵向 分量特解；
由横纵向场关系式求各横向场分量。
导波方程及其解的条件： (1)波导内壁的电导率为无限大； (2)波导内的介质是均匀无耗、线性及各向 同性的； (3)波导内无自由电荷和传导电流(ρ=0, J=0)，且远离波源； (4)波导无限长。
d X ( x) dx
2 2
2
+ k X ( x) = 0
2 x
相应的解为：
X ( x) = A1 cos k x x + A2 sin k x x Y ( y ) = B1 cos k y y + B2 sin k y y
d Y ( y) dy
2
+ k y Y ( y) = 0
2
式中
k +k = k
邋
m= 0 n = 0 ゥ
jwm np kc
2
b
2
H mn cos
mp x a
sin
np y b
e
j ( wt - b z )
邋
m= 0 n = 0 ゥ
- jwm mp kc a
H mn sin
mp x a
cos
np y b
e
j ( wt - b z )
Ez = 0 Hx = Hy = Hz =
邋
m= 0 n = 0 ゥ
E0 x ( x, y ) = E0 y ( x, y ) = - jwmk y k
2 c
E0 y ( x, y ) = 0,
( A1 cos k x x + A2 sin k x x)(- B1 sin k y y + B2 cos k y y ) (- A1 sin k x x + A2 cos k x x)( B1 cos k y y + B2 sin k y y )
jb np b
Emn sin mp x a
mp x a
cos
np y b
j ( wt - b z )
邋
ゥ
Emn sin jwe np kc
2
sin
np y b a
e
j ( wt - b z )
m= 1 n = 1
Hx =
邋
m= 1 n = 1 ゥ
b
Emn sin
mp x
cos
np y b
e
j ( wt - b z )
Ey = Hx = - jwma p jb a p H10 sin px a px a e e
- jb z
H10 sin px e
- jb z
H z = H10 cos
- jb z
a Ex = Ez = H y = 0
分析上式可以得出：
①电场
Ey = Hx =
- jwma p jb a p
H10 sin px a
整理可得：
A2 = 0, k x = B2 = 0, k y =
mp a np b
m = 0,1, 2,... n = 0,1, 2,...
由于对所有的m和n ,均可满足边界条件，则通解为所有 m和所有n式的叠加：
ゥ
H 0 z ( x, y) =
邋
n = 0 m= 0
A1n B1m cos
mp a
v Et
v E v zE z
- j骣抖z çb E + wm H z ÷ Ex = 2 ç ÷ kc ç 抖 y ÷ 桫 x
横纵向场关系式:
- j骣抖z çb E - wm H z ÷ Ey = 2 ç ÷ kc ç 抖 x ÷ 桫 y - j骣抖 z çb H - we Hx = 2 ç kc ç 抖 x 桫 - j骣抖 z çb H + we Hy = 2 ç kc ç 抖 y 桫 Ez ÷ ÷ y ÷ Ez ÷ ÷ x ÷
源自文库
E y ( x, y, z ) = E0 y ( x, y)Y ( z) = 0
E0 x ( x, y) = 0,
E 0 y ( x , y ) = 0,
y = 0, b
x = 0, a
由上节可知，磁场的纵向分量应满足本征值方程：
抖H 0 z 抖 x
2 2 2
+
H0z y
2
+ kc H 0 z = 0
x cos
np b
ゥ
y=
邋
n = 0 m= 0
H 0 mn cos
mp a
x cos
np b
y
对于三维变量，其通解为：
ゥ
H z ( x, y , z ) =
邋
m= 0 n = 0
H mn cos
mp x a
cos
np y b
e
- jb z
代入纵横关系式，可得传输型TE模场分量(P67)：
ゥ
Ex = Ey =
+ A2e
jb z
----波动因子
正z方向传播的波
Z ( z) = A e 1
- jb z
+ A2e
jb z
式中 为导波的传播常数或相移系数（沿z方向） 色散关系：
kc + b = k
b=
2
2
2
2
k - kc = k 1- (kc / k )
2p l
2
2
式中
k = w me =
若介质有损耗，则
2．导模的场结构
导模的场结构，是波导中电场和磁场的强和弱，这 里我们用电力线和磁力线的疏密来表示。 由场解可知，矩形波导中可能存在的电磁场有无限多 个解，即TEmn(Hmn)和TMmn(Emn)模式，或将此称为“波
型”。
对于每一个的TEmn(Hmn)和TMmn(Emn)模而言，每一
种场分布都是不同的，一般情况下具有不同的传播特性
第三章 规则金属波导
§3.1 矩形波导
§3.2 圆形波导
§3.3 同轴线
规则金属波导管壁材料：铜、铝，有时其壁上镀金或银。 金属波导优点：导体损耗和介质损耗小、功率容量大、 没有辐射损耗、结构简单、易于制造。 形状：横截面有矩形、圆形、脊形、椭圆形、三角形等。
使用范围：3000MHz（3GHz）~300GHz
2
对于 H 0 z ( x, y) 应用分离变量法求解：
H 0 z ( x, y) = X ( x)Y ( y)
代入本征值方程：
1 X ( x) d X ( x) dx
2 2
+
1 Y ( y)
d Y ( y) dy
2
2
+ kc = 0
2
2 2 则上式每一项必等于常数；定义分离变数为 - kx 和-k y ,得：
邋
m= 1 n = 1
Emn sin
mp x a
sin
np y b
e
- jb z
ゥ
Ex =
邋
m= 1 n = 1
- jb mp kc kc
2 2
代入可得 ゥ 传输型TM E y = 邋 m= 1 n = 1 模场分量： ゥ （P68） E =
z
a
Emn cos
mp x a
sin
np y b e
e
j ( wt - b z )
px a e
e
- jb z
H10 sin px e
- jb z
其电场只有Ey分量，电力线是 一些平等于y轴的电力线;
其幅度不随y变化（与y无关）， 故沿b边电场无变化； Ey与x轴有关，且Ey与 sin
2
2
抖H 0 z 抖 x
2
2
+
H0z y
2
式中
kc = k - b
2
2
2
由于波导中不存在TEM波，故只有TE波和TM波。 下面分别讨论这两种情况：
1）TE模
对于TE模：
Ez = 0,
Hz
0
导体边界上电场的 切向分量为零
其边界条件为： 由分离变量法分解得：
e
- jb z
Ex ( x, y, z) = E0 x ( x, y) X ( z) = 0
Z ( z) = - k
2
令上式两项分别等于 kc2 和b 2,则得到导波方程，本 征值方程( k c ¹ 0 )
d ?
2 2
Z ( z) + b Z ( z) = 0 kc E0 z ( x, y ) = 0
2
2
dz
2 t
E0 z ( x, y )
- jb z
z方向分量的解为
Z ( z) = A e 1
e = e0er (1- jtgd)
式中 tgd = s / we 是介质材料的损耗正切。
对于沿波导+z方向的场，其解为：
Ez = E0 z e
- jb z
, H z = H0ze
2
- jb z
本征值方程为：
抖E0 z 抖 x
2 2
2
+
E0 z y
2
+ kc E0 z = 0 + kc H 0 z = 0
E0 z ( x, y ) = 0, y = 0, b x = 0, a
代入边界条件，可得：
A1 = 0, k x = B1 = 0, k y = mp a np b
E0 z ( x, y ) = 0,
m = 0,1, 2,... n = 0,1, 2,...
则通解为：
ゥ
Ez ( x, y, z ) =
0= - jwmk y k 0=
2 c
( A1 cos k x x)(- B1 sin k y b) A1 sin k x a ( B1 cos k y y )
- jwmk x k
2 c
又由于B1≠0，A1≠0，故有：
sin k y b = 0 sin k x a = 0
k y b = np k x a = mp
导波模式：（非TEM波）TE波，TM波，混合波。
导波的种类
导波的种类
TE波 (M波)
TM波 (E波)
TEM波
Ez = 0
的导波
Hz ¹ 0
Hz = 0 Ez ¹ 0 的导波
Ez = 0
Hz = 0
的导波
导波场的求解方法
在规则导行系统中：
由麦克斯韦方程组导出横、纵向场关系式； 由麦克斯韦方程组导出电场或磁场纵向分量满足
边界条件：
E0 z ( x, y ) = 0, E0 z ( x, y ) = 0,
y = 0, b x = 0, a
则可得到通解：
E0 z ( x, y) = ( A1 cos k x x + A2 sin k x x)( B1 cos k y y + B2 sin k y y )
E0 z ( x, y) = ( A1 cos k x x + A2 sin k x x)( B1 cos k y y + B2 sin k y y )
与TE波 相同 式中
Hy =
å å
m= 1 n = 1
jwe mp kc
2
a
Emn cos
mp x a
sin
np y b
e
j ( wt - b z )
Hz = 0
骣p 骣p m n 2 2 2 珑 鼢+ kc = k x + k y = 珑 鼢 珑a 鼢 桫 桫 b
2
2
m≠0, n≠0
有无穷多TM导模，TMmn表示。最低TM11模。
jb mp kc
2
a
H mn sin H mn cos mp x a
mp x a mp x a
cos
np y b np y b
e
j ( wt - b z )
邋
m= 0 n = 0 ゥ
jb np kc
2
b
sin
e
j ( wt - b z )
邋
m= 0 n= 0
H mn cos
cos
np y b
e
j ( wt - b z )
§3.1 矩形波导
矩形波导：截面为矩形的
金属波导管。
尺寸：
a? b,
a
b
1．矩形波导的导模
沿波导传播的电磁波复矢量可以写为：
v ˆ E ( x, y, z ) = Et ( x, y, z ) + zEz ( x, y, z ) v ˆ H ( x, y, z ) = H t ( x, y, z ) + zH z ( x, y, z )
式中
骣p 骣p m n 2 2 2 珑 鼢+ kc = k x + k y = 珑 鼢 珑a 鼢 桫 桫 b
2
2
有无穷多TE导模，TEmn表示。最低TE10模。 注： 对于m=0, n=0的解无意义。
并由前式：
kc = k - b
2
2
2
k = w me =
2p l
(2) TM模 对于TM模：
Ez ? 0, Hz 0
（它们都单独满足矩形波导的边界条件，能够独立地在 波导中存在）。
最基本的场结构模型 TE10 TE01
TE11
TM11 相应的高次模与基本场结构模有一定的关系。
不同的模式具有相同的传输特性参量的现象称为“简
并”。
(1) TE10模与TEm0模 TE10模中，m=1, n=0, 代入场分量：（某时刻）
- jwmk y k 0=
2 c
- jwmk x k
2 c
由x=0,y=0边界条件：
0=
( A1 cos k x x + A2 sin k x x) B2 A2 ( B1 cos k y y + B2 sin k y y )
- jwmk x k
2 c
B2 = 0 A2 = 0
由x=a,y=b边界条件及A2=0,B2=0, 可得：
导行波的纵向场分量满足亥姆霍兹方程： 由分离变量法： Ez ( x, y, z ) = E0 z ( x, y)Z ( z) 代入上式并进行分离：
Ñ t E0 z ( x, y ) E0 z ( x, y )
2
? Ez ? Hz
2
2
k Ez = 0 k Hz = 0
2
2
d
2 2
+ dz Z ( z)
2 x
2 y
2 c
则可得到通解：
H 0 z ( x, y) = ( A1 cos k x x + A2 sin k x x)( B1 cos k y y + B2 sin k y y )
X (x)
Y (y)
E0 x ( x, y ) = 0,
y = 0, b x = 0, a
则由纵横关系式可得电场：