空间解析几何

例3 以下各组数不能作为某向量的方向余弦的是
A.
2 2 ,− ,0 2 2
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B.
6 3 2 , ,− 6 3 2
1 1 2 C. , , 3 2 5
D.
1 14
,
3 14
,
2 14
解
根据数组 a1 , a2 , a3 能作为某向量的方向余弦 答案 C
2 2 a12 + a2 + a3 = 1. 的充要条件是
z2 x2 y2 在三维直角坐标系中, 例4 在三维直角坐标系中,方程 − 2 − 2 =1 2 c a b
2
x y z 1 2 + 2 + 2 = a b c
2
2
x2 y2 + =z 2 p 2q
(p
同号) 与 q 同号
z
z
o x
y
x
y
（4）单叶双曲面
（5）双叶双曲面
（6）圆锥面
x2 y2 z2 + 2 − 2 =1 2 a b c
x2 y2 z2 + 2 − 2 = −1 2 a b c
x +y =z
(四)平面
z
r n
M
1. 平面的点法式方程
M0
o
x
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
2. 平面的一般方程
y
Ax + By + Cz + D = 0
3. 平面的截距式方程
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 ) r n = { A, B , C }
两直线的位置关系： 5. 两直线的位置关系：
(1) L1 ⊥ L2 ⇔ m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 ( 2)
m1 n1 p1 L1 // L2 ⇔ = = m2 n2 p2
6. 直线与平面的夹角
x − x0 y − y0 z − z 0 L: = = m n p
Π : Ax + By + Cz + D = 0
(五)空间直线 1. 空间直线的一般方程
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
z
Π1
L
Π2
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 L: A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
o
y
x
2. 空间直线的对称式方程
z
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = m n p
o
r s
⋅ M0
L
⋅M
y
3. 空间直线的参数方程
x
x = x0 + mt y = y0 + nt z = z + pt 0
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )
r s = { m , n, p }
F ( x, y, z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0
H ( x, y) = 0
H ( x, y) = 0 曲线在 xoy 面上的投影曲线为 z = 0
yoz面上的投影曲线
R( y , z ) = 0 x = 0
xoz面上的投影曲线
T ( x , z ) = 0 y = 0
2 2
2
(三)空间曲线 1. 空间曲线的一般方程
F ( x, y, z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0
2. 空间曲线的参数方程
x = x( t ) y = y( t ) z = z( t )
3. 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程： 设空间曲线的一般方程： 消去变量 z 后得：
z
c
x y z + + =1 a b c
b
o x a
y
r 4.平面的夹角 即它们的法向量的夹角) 平面的夹角( 4.平面的夹角(即它们的法向量的夹角) n1 r n2 θ
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
例1 P (1, −2,3) 关于 xOz 平面的对称点 M ′为 .
z
M (1, −2,3) 答案
M ′(1, 2,3)
M ′(1, 2,3)
O
y
x
测试点: 关于坐标平面的对称点的坐标的特征. 测试点 关于坐标平面的对称点的坐标的特征
π r r 例2 设向量 a 与 b 的夹角 ϕ = , 3 r r r r a = 4, b = 5. 计算 a − b . r r r r r r 解 a − b = (a − b ) (a − b )
f (± x 2 + z 2 , y ) = 0
（1）球面
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
2
x 2 + y 2 + z 2 = R2
x +y =z
2 2
x2 y2 z2 + 2 − 2 =1 2 a b c
2. 柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成 的曲面称为柱面. 的曲面称为柱面 这条定曲线叫柱面的准 这条定曲线叫柱面的准 动直线叫柱面的母线. 母线 线，动直线叫柱面的母线. 柱面方程的特征： 柱面方程的特征： 只含 x, y而缺 z的方程F ( x , y ) = 0, 在空间直角坐标系中表示 在空间直角坐标系中表示 轴的柱面， 母线平行于 z轴的柱面，其 准线为 xOy 平面上曲线 C .
Π2
Π1
θ = arccos
| A1 A2 + B1B2 + C1C 2 | A12 + B12 + C12 ⋅ A2 2 + B2 2 + C 2 2
两平面位置特征： 5. 两平面位置特征：
(1) Π 1⊥ Π 2 ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0 A1 B1 C1 = = ( 2) Π 1 // Π 2 ⇐⇒ A2 B2 C 2
直线与平面的夹角公式: 直线与平面的夹角公式:
ϕ = arcsin
| Am + Bn + Cp | A2 + B 2 + C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2
直线与平面的位置关系
(1) L⊥ Π ⇔
A B C = = m n p
( 2) L // Π
⇔
Am + Bn + Cp = 0
二、典型例题
r r r a = aa
利用内积表示向量的长度
利用内积求两向量的夹角的公式 r r a x bx + a y b y + a z bz ab cos θ = r r = a b a x 2 + a y 2 + a z 2 bx 2 + b y 2 + bz 2
r r a ⊥b
r r a b=0
a x bx + a y b y + a z bz = 0
ay
y
其中 a x , a y , a z 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影 . 已知空间两点 则向量 A( x1 , y1 , z1 ), B ( x2 , y2 , z2 )
uuur AB = { x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1}
(二）向量的加减法、向量与数的乘积的坐标表达式 二 向量的加减法、 设
r a = {a x , a y , a z },
r b = {bx , b y , bz }
r r a + b = {a x + bx , a y + b y , a z + bz } r r a − b = {a x − bx , a y − b y , a z − bz } r λa = {λa x , λa y , λa z }
1. 旋转曲面 定义： 定义：以一条平面曲线绕其平 面上的一条定直线旋转一周所 成的曲面称为旋转曲面, 成的曲面称为旋转曲面,称这 条定直线为该旋转曲面的轴. 条定直线为该旋转曲面的轴.
M ( x, y, z )
z
C
M1(0, y1, z1)
o
y
x
绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点: 绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点: f ( x, y) = 0 设有平面曲线 L : z = 0 (1 ) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面方程为 f ( x, ± y 2 + z 2 ) = 0 (2 ) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面 方程为
(五)向量积
(叉积、外积) 叉积、外积)
r r 的向量积为一个向量, 向量 a 与 b 的向量积为一个向量
记为
r r r c = a×b
r r r c = a×b r b
r a
r 向量 c 的长度为
r r r | c |= | a || b | sin θ
r r 其中θ 为 a 与 b 的夹角 ;
第一章 空间解析几何
第一部分 主要内容
第二部分 典型例题
第一部分 主要内容
一、向量代数 二、空间解析几何
一、向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的 表示法
向量的积
数量积 向量积
(一)向量的坐标表示 向量的坐标表示 如果向量
z
az
r a
ax r r r r a = a x i + a y j + az k x r 向量的坐标表示为 a = {a x , a y , a z }
空间的点
定点
o
•
y 纵轴
( x, y, z )
有序数组
横轴 x
两点间距离公式 为空间两点, 设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 为空间两点,它们距离为
M1 M 2 =
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )
C
L
z
z
M
z
C o
o
y
o
y
M1
x
x
l
(1)
2
y
x
圆柱面
2 2
(2)
抛物柱面
(3)
椭圆柱面
x +y =R
x = 2 py ( p > 0)
2
x2 y2 + 2 =1 2 a b
3. 二次曲面 定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. 定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
（1）椭球面
（2）椭圆抛物面
4. 两直线的夹角 直线 直线
L1 : L2 :
x − x1 y − y1 z − z1 = = m1 n1 p1 x − x2 y − y2 z − z 2 = = m2 n2 p2
两直线的夹角 θ 公式
cos θ = | m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 | m12 + n12 + p12 ⋅ m2 2 + n2 2 + p2 2
（三）向量模(长度)的坐标表示 向量模(长度)
r 2 2 2 | a |= a x + a y + a z
向量方向余弦的坐标表示式
cosα = cos β =
cos γ =
ax a x + a y + az
2 2 2
ay a x + a y + az
2 2 2
az a x + a y + az
2 2 2
= =
=
=
r r r r r r a a − 2a b + b b r2 r r π r2 a − 2 a b cos + b 3 1 2 2 4 − 2× 4× 5× + 5 2 21.
测试点: 测试点 (1)如何应用内积求向量的长度; (1)如何应用内积求向量的长度; 如何应用内积求向量的长度 (2)内积的性质(与多项式运算类似); (2)内积的性质(与多项式运算类似); 内积的性质 (3)内积的定义 内积的定义. 内积的定义
r r a 与 b 平行
r i
r j ay by
r k az bz
r r a×b = 0
a x a y az = = bx b y bz
二、空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 旋转曲面
曲线
参数方程 一般方程 参数方程
曲面
柱面
直线
对称式方程
平面
点法式方程
二次曲面 一般方程
(一)空间直角坐标系
z 竖轴
( cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 )
(四)数量积
(点积、内积) 点积、内积)
r r 的夹角. 其中 θ 为 a 与 b 的夹角.
r r r r a ⋅ b =| a || b | cosθ
数量积的坐标表达式
r r a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz
2 2
2
(二)曲面及其方程
如果曲面 S 与三元方程 有下述关系： F ( x , y , z ) = 0 有下述关系： (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； 上任一点的坐标都满足方程； (2) 坐标满足方程的点都在曲面 S上 的方程， 那么， 那么，方程 F ( x , y , z ) = 0 就叫做曲面 S 的方程，而 就叫做方程的图形. 曲面 S 就叫做方程的图形.
r r r 指向符合右手系. c 的方向既垂直 a , 又垂直于b , 指向符合右手系. 于
向量积的坐标表达式
r r r r a × b = ( a y bz − a z b y )i + (a z bx − a x bz ) j r + ( a x b y − a y bx ) k
r r a × b = ax bx