改进的蚁群算法求解连续函数约束优化问题
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1
2.1
带 约 束 的 连 续 函数
本文实现的是带有约束条件的函数，通常情况下智能算
法都是针对无约束的优化问题而提出的，本文在解决带多约 束条件的函数优化问题时， 首先需要对约束条件进行处理， 这 样才能保证蚂蚁搜索到的是可行的解。文中采用的是罚函数 法， 将多约束优化问题转换成了无约束问题， 使得蚂蚁能够在 可行解的范围内寻找到比较好的解。
计算机工程与设计 Computer Engineering and Design 王君，肖菁，张军：改进的蚁群算法求解连续函数约束优化问题
2010,31 (5)
1027
人工智能
改进的蚁群算法求解连续函数约束优化问题
王
摘
君 1， 肖
菁 2， 张
军 2+
(1. 中山大学 软件学院，广东 广州 510275；2. 中山大学 计算机科学系，广东 广州 510275)
2.2
基 于 非 均 匀 随 机搜 索 的 改 进 蚁 群 算法 RACO 介 绍
本文提出的改进蚁群算法 RACO 具体步骤如下所示： 步骤 1 蚂蚁解的构造 , 2,…, )，
Update pheromone randomSearch i=i+1
我们假设将所要求解的连续函数问题表示为 其中自变量为 这是 维的连续问题，
Improved ant colony optimization for solving constrained continuous function optimization problems
WANG Jun1, XIAO Jing2, ZHANG Jun2+
(1. School of Software, Sun Yat-Sen University, Guangzhou 510275, China; 2. Department of Computer Science, Sun Yat-Sen University, Guangzhou 510275, China)
0
引
言
出的这种改进的蚁群算法能够迅速找到最优解。
蚁群算法由意大利学者 Dorigo M[1]最早提出， 在解决离散 优化问题时通常能表现出良好的性能， 最早成功应用于解决 旅行商问题 [2](traveling salesman problem， TSP)。目前蚁群算法 已经能够成熟的运用到各种离散的组合优化问题中， 比如 Jobshop 调度问题 、 背包问题 等。蚁群算法能够很好的解决离 散空间优化问题， 但是难以处理连续空间优化问题。对于采 用基本的蚁群算法解决连续空间优化问题而言， 无论是计算 转移概率还是选取评价函数， 都存在一定的问题。有的文章 提出的算法是采用将连续空间离散化的处理方式， 虽然这样 的处理方式能够使基本的蚁群算法运用到连续空间上， 但是 会把原本连续的区间变换成离散的区间， 无论这种转换多么 精细， 我们都会丢掉一些精度， 甚至因此找不到最优解 [5-6]。 本 文在基本蚁群算法的基础上提出了一种改进的蚁群算法， 使 得其更适合解决连续函数问题， 并且将这种改进后的算法应 用到带有多个约束条件的连续函数问题中， 实验证明， 本文提
1 2 3 4 2 1
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表1
实例一中不同算法求解伸缩绳设计问题的统计结果
算法类型 RACO ACO 最优目标值 0.012 669 0.012 724 0.012 705 平均值 0.013 623 0.013 661 0.012 769
= 1.10471 = = =
1
2 1
,
3
3.1
仿真实验
问题描述
本文采用的是两个带有一定约束条件的经典实例，具体
描述如下： (1) 实例一： 伸缩绳设计问题 该问题来自文献 [7]， 优化目标是寻求满足对最小偏差、 切 应力、 湍振频率等一系列约束条件的 3 个决策变量， 即平均卷 直径 、 线直径 和活动卷的数量 分别用 1、2 和 3 表示， 使得 伸缩绳的重量最小。 该设计问题的数学模型描述如下： 数学模型描述为 min =
1
, 2,…,
， 可以用每只蚂
蚁所走的路径表示。同时每个变量上的信息素的是 , ，其中 表示的是蚂蚁，表示的是变量。初始化赋给各变量中的各只 蚂蚁的信息素初值为 0。 蚁群 算 法 解决 离 散域 问 题 和连 续 域问 题 最 大的 区 别 就 在于路径的选择， 由于连续域问题的解都是区域性的， 不是离 散的点， 无法采用启发函数 = 1/ 来进行衡量， 基本蚁群 算
2
算法设计
本文采用的是一种基于非均匀随机搜索的改进蚁群算法
到这里， 蚁群算法的基本步骤就已经完成了， 为了使所得 的值能够在局部范围内达到一种更优的状态，我们选择采用 的是非均匀的随机搜索的方式。 首先确 定一个搜 索半径 为
2 1
(random search ant colony optimization， RACO) 解决连续函数的 约束优化问题，本文提出的算法对基本的蚁群算法框架做出 了改进， 使得其更加适用于连续优化问题。
图1
end
RACO 的流程
法中 的 选 择 框 架 也 不再 适 合 在 连 续 域 问题 中 应 用 ，因 而 我 们应 该 思 考 另 外 的 选择 方 式 ，使 得 其 更适 合 解 决 连 续 域 问 题，而 本 文 所 采 用的 则 是 在 遗 传 算 法 研究 中 十 分 经 典 的 轮 盘赌 选 择 方 式 ，本文 将 蚁 群 算 法 中 的 信息 素 与 遗 传 算 法 中 染色 体 的 适 应 值 相 类比 ，通 过 对 信 息 素值 的 判 断 来 进 行 下 一步 的 选 择 。 初始化之后，蚂蚁开始构造路径，进行转移概率
=
(2) 实例二： 焊接条设计问题 该问题来自文献 [7]， 优化目标是寻求满足切应力 、 弯曲
王君，肖菁，张军：改进的蚁群算法求解连续函数约束优化问题
应力 、 杆条弯曲载荷 、 末端偏差 和边界条件等约束的 4 个 使得制造焊接条 设计变量 、、和 ， 分别用 1、2、3 和 4 表示， 所需的总费用最小。 数学模型描述为 min 约束条件
3 4 1
2 2 1
=1
约束条件
1
信息素的更新
随着时间的推移， 以前留下的信息素将会越来越少， 一次 循环结束时， 要进行信息素的更新。 经过不断的实验和改进， 对基本蚁群算法的信息素更新方式也做出了一些调整，蚂蚁 将按照如下公式进行信息素的更新 =
2
=1
3 2 1
71785
1 2 4 1
≤0
2 1
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计算机工程与设计 Computer Engineering and Design
上一个阀值 步骤 3 ， 以避免算法停滞。 非均匀随机搜索 ( 后台执行 )
式中： ——信息素的残留系数， 范围在 0 到 1 之间， 初始时刻
0
0 = 0， 计算
的时候最常采用的方式是蚂蚁圈模型。
2
+0.04811 13600≤0
3
4
14.0+
2
文献 [8]
结果进行比较。 图 2 是 ACO 与 RACO 两种算法的比较，在随机运行 100 次的情况下， 每一代在 100 次中的平均值。
2
30000≤0
4
≤0
3 4 1
= 0.10471 +0.04811
, 2,…, ， 所得的 值是
1
,
,…, )， 那么对于 而言， 整个搜索区间为
, + ， 而搜索
的方式采用的是根据衰减函数 来决定选择概率， 进行非均匀 的随机搜索。 以上所述为基于非均匀随机搜的改进蚁群算法 RACO 的 基本步骤， 在初始化之后， 后面的步骤将不断地进行循环， 直 到遇到循环结束的条件， 具体流程图如图 1 所示。
[3] [4]
1
基本蚁群算法介绍
用 TSP 问题来描述基本蚁群算法， 假设有 只蚂蚁在 个 = 1,2… ) 根据路径中信息素的大小来 来表示 时刻蚂蚁 由原来 ,
城市之间移动， 蚂蚁
判断下一步如何转移。下面用
所在的位置 转移到 的概率， 可以表示为 = 式 中：,
0,otherwise —— 在 和 连 线 上 的 信 息 素，
3 2 3
的计
算。 首先我们将选择的概率设置为 0， 然后随机产生一个数 ， 当随机数 > 0 时，蚂蚁将被直接复制到下一轮的迭代，否则， 将根据所要选择的变量的信息素在所有路径于同一变量上的 信息素之和中所占的概率比重来进行选择，这也就是一种轮 盘赌的选择方式。选择概率可以表示为 = 步骤 2
｛
+2
=1
4 2 2 12566
3
+
1 5108
1
1≤0
=1
4
140.45
2 2 3
≤0Biblioteka Baidu
｛
× + × × ,
× 0,
< otherwise
式中： ——信息素的残留系数， ——信息素加强率， —— 的是在初始化阶段对于最优蚂蚁的数量的设置。另外蚁群算 法在搜索的过程中比较容易出现停滞，所以还要对信息素加
1+ 2 1≤0 1.5 决策变量取值范围： 0.05≤ 1≤2, 0.25≤ 2≤1.3, 2≤ 3≤15。
Abstract：The basic framework of ant colony algorithm has been improved, which uses roulette wheel selection instead of the way of choosing the path through heuristic function and pheromone in the basic framework. At the same time, the way of updating the pheromone is redesigned. A new ant colony algorithm is proposed to make it more suitable to solve the problem of continuous function. This improved algorithm is applied to some typical continuous function problems with constraints, and the simulation test results show that the improved ant colony algorithm quickly find the optimal solution. Key words：ant colony optimization; continuous function; constraint; non-uniform; random search
要： 对基 本蚁 群算 法框 架进 行了 改进 ， 采 用轮 盘赌 选择 代替 了基 本框 架中 通过 启发 式函 数和 信息 素选 择路 径，同时 对 信息 素的更新方式也 做出调整，提出了 一种新的蚁群 算法，使得其更适 合解决连续函数 问题。将这种改 进的蚁群算法 应用 于带 有约束条件的连 续函数问题中 ，在典 型实例中进行仿 真测试，实验结果表明 ，提出 的改进蚁群算法 可以很好地解 决带 有约 束条件的连续函 数问题， 并能迅 速找到最优解。 关键 词 ： 蚁群优化算 法 ; 连续函数 ; 约束 ; 非均匀 ; 随机搜索 中图 法分类号 ： TP301.6; TP18 文献标识 码 ： A 文 章编号 ： 1000-7024 (2010) 05-1027-04
｛
/
—— 启 发 信 息 ，
——蚂蚁 已走过的城市，、 ——用于调节信息素强度 和启发式信息强度。 当蚂蚁完成一次遍历后，要对各路径上的信息素做出更 新， 更新的方式可以按照下式所述进行 + = =
=1
+
收稿日期：2009-03-23；修订日期：2009-05-25。 基金项目：国家自然科学基金项目 (60573066)；国家自然科学基金-广东省联合基金重点项目 (U0835002)。 作者简介：王君 (1984－)，女，湖南长沙人，硕士研究生，研究方向为计算智能； 肖菁，女，湖南益阳人，博士，讲师，研究方向为信息抽取、 数据挖掘、智能计算； +通讯作者：张军，男，教授，博士生导师，研究方向为计算智能。E-mail：junzhang@ieee.org
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带 约 束 的 连 续 函数
本文实现的是带有约束条件的函数，通常情况下智能算
法都是针对无约束的优化问题而提出的，本文在解决带多约 束条件的函数优化问题时， 首先需要对约束条件进行处理， 这 样才能保证蚂蚁搜索到的是可行的解。文中采用的是罚函数 法， 将多约束优化问题转换成了无约束问题， 使得蚂蚁能够在 可行解的范围内寻找到比较好的解。
计算机工程与设计 Computer Engineering and Design 王君，肖菁，张军：改进的蚁群算法求解连续函数约束优化问题
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人工智能
改进的蚁群算法求解连续函数约束优化问题
王
摘
君 1， 肖
菁 2， 张
军 2+
(1. 中山大学 软件学院，广东 广州 510275；2. 中山大学 计算机科学系，广东 广州 510275)
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基 于 非 均 匀 随 机搜 索 的 改 进 蚁 群 算法 RACO 介 绍
本文提出的改进蚁群算法 RACO 具体步骤如下所示： 步骤 1 蚂蚁解的构造 , 2,…, )，
Update pheromone randomSearch i=i+1
我们假设将所要求解的连续函数问题表示为 其中自变量为 这是 维的连续问题，
Improved ant colony optimization for solving constrained continuous function optimization problems
WANG Jun1, XIAO Jing2, ZHANG Jun2+
(1. School of Software, Sun Yat-Sen University, Guangzhou 510275, China; 2. Department of Computer Science, Sun Yat-Sen University, Guangzhou 510275, China)
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引
言
出的这种改进的蚁群算法能够迅速找到最优解。
蚁群算法由意大利学者 Dorigo M[1]最早提出， 在解决离散 优化问题时通常能表现出良好的性能， 最早成功应用于解决 旅行商问题 [2](traveling salesman problem， TSP)。目前蚁群算法 已经能够成熟的运用到各种离散的组合优化问题中， 比如 Jobshop 调度问题 、 背包问题 等。蚁群算法能够很好的解决离 散空间优化问题， 但是难以处理连续空间优化问题。对于采 用基本的蚁群算法解决连续空间优化问题而言， 无论是计算 转移概率还是选取评价函数， 都存在一定的问题。有的文章 提出的算法是采用将连续空间离散化的处理方式， 虽然这样 的处理方式能够使基本的蚁群算法运用到连续空间上， 但是 会把原本连续的区间变换成离散的区间， 无论这种转换多么 精细， 我们都会丢掉一些精度， 甚至因此找不到最优解 [5-6]。 本 文在基本蚁群算法的基础上提出了一种改进的蚁群算法， 使 得其更适合解决连续函数问题， 并且将这种改进后的算法应 用到带有多个约束条件的连续函数问题中， 实验证明， 本文提
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表1
实例一中不同算法求解伸缩绳设计问题的统计结果
算法类型 RACO ACO 最优目标值 0.012 669 0.012 724 0.012 705 平均值 0.013 623 0.013 661 0.012 769
= 1.10471 = = =
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仿真实验
问题描述
本文采用的是两个带有一定约束条件的经典实例，具体
描述如下： (1) 实例一： 伸缩绳设计问题 该问题来自文献 [7]， 优化目标是寻求满足对最小偏差、 切 应力、 湍振频率等一系列约束条件的 3 个决策变量， 即平均卷 直径 、 线直径 和活动卷的数量 分别用 1、2 和 3 表示， 使得 伸缩绳的重量最小。 该设计问题的数学模型描述如下： 数学模型描述为 min =
1
, 2,…,
， 可以用每只蚂
蚁所走的路径表示。同时每个变量上的信息素的是 , ，其中 表示的是蚂蚁，表示的是变量。初始化赋给各变量中的各只 蚂蚁的信息素初值为 0。 蚁群 算 法 解决 离 散域 问 题 和连 续 域问 题 最 大的 区 别 就 在于路径的选择， 由于连续域问题的解都是区域性的， 不是离 散的点， 无法采用启发函数 = 1/ 来进行衡量， 基本蚁群 算
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算法设计
本文采用的是一种基于非均匀随机搜索的改进蚁群算法
到这里， 蚁群算法的基本步骤就已经完成了， 为了使所得 的值能够在局部范围内达到一种更优的状态，我们选择采用 的是非均匀的随机搜索的方式。 首先确 定一个搜 索半径 为
2 1
(random search ant colony optimization， RACO) 解决连续函数的 约束优化问题，本文提出的算法对基本的蚁群算法框架做出 了改进， 使得其更加适用于连续优化问题。
图1
end
RACO 的流程
法中 的 选 择 框 架 也 不再 适 合 在 连 续 域 问题 中 应 用 ，因 而 我 们应 该 思 考 另 外 的 选择 方 式 ，使 得 其 更适 合 解 决 连 续 域 问 题，而 本 文 所 采 用的 则 是 在 遗 传 算 法 研究 中 十 分 经 典 的 轮 盘赌 选 择 方 式 ，本文 将 蚁 群 算 法 中 的 信息 素 与 遗 传 算 法 中 染色 体 的 适 应 值 相 类比 ，通 过 对 信 息 素值 的 判 断 来 进 行 下 一步 的 选 择 。 初始化之后，蚂蚁开始构造路径，进行转移概率
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(2) 实例二： 焊接条设计问题 该问题来自文献 [7]， 优化目标是寻求满足切应力 、 弯曲
王君，肖菁，张军：改进的蚁群算法求解连续函数约束优化问题
应力 、 杆条弯曲载荷 、 末端偏差 和边界条件等约束的 4 个 使得制造焊接条 设计变量 、、和 ， 分别用 1、2、3 和 4 表示， 所需的总费用最小。 数学模型描述为 min 约束条件
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约束条件
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信息素的更新
随着时间的推移， 以前留下的信息素将会越来越少， 一次 循环结束时， 要进行信息素的更新。 经过不断的实验和改进， 对基本蚁群算法的信息素更新方式也做出了一些调整，蚂蚁 将按照如下公式进行信息素的更新 =
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计算机工程与设计 Computer Engineering and Design
上一个阀值 步骤 3 ， 以避免算法停滞。 非均匀随机搜索 ( 后台执行 )
式中： ——信息素的残留系数， 范围在 0 到 1 之间， 初始时刻
0
0 = 0， 计算
的时候最常采用的方式是蚂蚁圈模型。
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+0.04811 13600≤0
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文献 [8]
结果进行比较。 图 2 是 ACO 与 RACO 两种算法的比较，在随机运行 100 次的情况下， 每一代在 100 次中的平均值。
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30000≤0
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= 0.10471 +0.04811
, 2,…, ， 所得的 值是
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的方式采用的是根据衰减函数 来决定选择概率， 进行非均匀 的随机搜索。 以上所述为基于非均匀随机搜的改进蚁群算法 RACO 的 基本步骤， 在初始化之后， 后面的步骤将不断地进行循环， 直 到遇到循环结束的条件， 具体流程图如图 1 所示。
[3] [4]
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基本蚁群算法介绍
用 TSP 问题来描述基本蚁群算法， 假设有 只蚂蚁在 个 = 1,2… ) 根据路径中信息素的大小来 来表示 时刻蚂蚁 由原来 ,
城市之间移动， 蚂蚁
判断下一步如何转移。下面用
所在的位置 转移到 的概率， 可以表示为 = 式 中：,
0,otherwise —— 在 和 连 线 上 的 信 息 素，
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的计
算。 首先我们将选择的概率设置为 0， 然后随机产生一个数 ， 当随机数 > 0 时，蚂蚁将被直接复制到下一轮的迭代，否则， 将根据所要选择的变量的信息素在所有路径于同一变量上的 信息素之和中所占的概率比重来进行选择，这也就是一种轮 盘赌的选择方式。选择概率可以表示为 = 步骤 2
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+2
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1≤0
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140.45
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≤0Biblioteka Baidu
｛
× + × × ,
× 0,
< otherwise
式中： ——信息素的残留系数， ——信息素加强率， —— 的是在初始化阶段对于最优蚂蚁的数量的设置。另外蚁群算 法在搜索的过程中比较容易出现停滞，所以还要对信息素加
1+ 2 1≤0 1.5 决策变量取值范围： 0.05≤ 1≤2, 0.25≤ 2≤1.3, 2≤ 3≤15。
Abstract：The basic framework of ant colony algorithm has been improved, which uses roulette wheel selection instead of the way of choosing the path through heuristic function and pheromone in the basic framework. At the same time, the way of updating the pheromone is redesigned. A new ant colony algorithm is proposed to make it more suitable to solve the problem of continuous function. This improved algorithm is applied to some typical continuous function problems with constraints, and the simulation test results show that the improved ant colony algorithm quickly find the optimal solution. Key words：ant colony optimization; continuous function; constraint; non-uniform; random search
要： 对基 本蚁 群算 法框 架进 行了 改进 ， 采 用轮 盘赌 选择 代替 了基 本框 架中 通过 启发 式函 数和 信息 素选 择路 径，同时 对 信息 素的更新方式也 做出调整，提出了 一种新的蚁群 算法，使得其更适 合解决连续函数 问题。将这种改 进的蚁群算法 应用 于带 有约束条件的连 续函数问题中 ，在典 型实例中进行仿 真测试，实验结果表明 ，提出 的改进蚁群算法 可以很好地解 决带 有约 束条件的连续函 数问题， 并能迅 速找到最优解。 关键 词 ： 蚁群优化算 法 ; 连续函数 ; 约束 ; 非均匀 ; 随机搜索 中图 法分类号 ： TP301.6; TP18 文献标识 码 ： A 文 章编号 ： 1000-7024 (2010) 05-1027-04
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—— 启 发 信 息 ，
——蚂蚁 已走过的城市，、 ——用于调节信息素强度 和启发式信息强度。 当蚂蚁完成一次遍历后，要对各路径上的信息素做出更 新， 更新的方式可以按照下式所述进行 + = =
=1
+
收稿日期：2009-03-23；修订日期：2009-05-25。 基金项目：国家自然科学基金项目 (60573066)；国家自然科学基金-广东省联合基金重点项目 (U0835002)。 作者简介：王君 (1984－)，女，湖南长沙人，硕士研究生，研究方向为计算智能； 肖菁，女，湖南益阳人，博士，讲师，研究方向为信息抽取、 数据挖掘、智能计算； +通讯作者：张军，男，教授，博士生导师，研究方向为计算智能。E-mail：junzhang@ieee.org