北京市海淀区2017年高三一模数学(理科)试卷及答案

北京市海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科） 2017.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合(){}10A x x x =+≤，集合{}0B x x =>，则=A BA. {}1x x ≥-B. {}1x x >-C. {}0x x ≥ D . {}0x x > 2. 已知复数i(i)(,)z a b a b =+∈R ，则“z 为纯虚数”的充分必要条件为 A. 220a b +≠B. 0ab =C. 0,0a b =≠ D . 0,0a b ≠= 3. 执行右图所示的程序框图，输出的x 的值为 A ．0 B ．3 C ．6D ．84. 设,a b ∈R ，若a b >，则A. 11a b< B. 22a b > C. lg lg a b > D. sin sin a b > 5. 已知1d a x x =⎰，12d b x x =⎰，c x =⎰，则a ,b ,c 的大小关系是A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6.已知曲线:x C y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数），()1,0A -，()1,0B . 若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=，则实数a 的取值范围为A.[B. [1,1]-C. [ D . [2,2]- 7. 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为 A. 12 B. 40 C. 60D. 80 8. 某折叠餐桌的使用步骤如图所示.有如下检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等； 项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ===； 项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ===；项目④：打开后（如图3），检查1=2=3=4=90∠∠∠∠； 项目⑤：打开后（如图3），检查''''AB A B CD C D ===.下列检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是 A. ①②③ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ③④⑤ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 若等比数列{}n a 满足245a a a =，48a =，则公比=q ；前n 项和n S =___． 10.已知12(2,0),(2,0)F F -，满足12||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为____. 11.在∆ABC 中，cos c a B =. ①A =_____；②若1sin 3C =，则cos(π)B +=____. 12.若非零向量,a b 满足()0⋅+=a a b ，2||||=a b ，则向量,a b 夹角的大小为___.13.已知函数210()cos π0.x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩，，，若关于x 的方程()0f x a +=在(0,)+∞内有唯一实根，则实数a 的最小值是_____.14.已知实数,,u v ,x y 满足221u v +=，10,220,2,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则z ux vy =+的最大值是______.三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

OM NKL'O 'N 'K 'L 'M 2图1图A 'A B 'B 1'D 3图'C C23415.（本小题满分13分）已知π3是函数2()2cos sin 21f x x a x =++的一个零点. （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）求()f x 单调递增区间. 16.（本小题满分13分）据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠8-10万吨邮轮的深水港.通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区.这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约0.4亿美元.有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.下表记录了2015（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从上表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率； （Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X 为瓜达尔港未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X 的数学期望（不需要计算过程）. 17.（本小题满分14分）如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，∠BAC =90°，1AB =，12BC BB ==，1C D CD ==1CC D ⊥平面11ACC A .（Ⅰ）求证：1AC DC ⊥；（Ⅱ）若M 为1DC 中点，求证：//AM 平面1DBB ；（Ⅲ）在线段BC 上（含端点）是否存在点P ，使直线DP 与平面1DBB 所成的角为π3？若存在，求BPBC的值，若不存在，说明理由.18.（本小题满分13分）M已知函数2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+，其中实数3a <. （Ⅰ）判断1x =是否为函数()f x 的极值点，并说明理由； （Ⅱ）若()0f x ≤在区间[0,1]上恒成立，求a 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆G :2212x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点． （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分13分）已知含有n 个元素的正整数集12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅12(,3)n a a a n <<⋅⋅⋅<≥具有性质P ：对任意不大于()S A (其中12()n S A a a a =++⋅⋅⋅+)的正整数,k 存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k .（Ⅰ）写出12,a a 的值； （Ⅱ）证明：“12,,,n a a a 成等差数列”的充要条件是“(1)()2n n S A +=”； （Ⅲ）若()2017S A =，求当n 取最小值时，n a 的最大值.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（理科） 2017.4一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）3三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知π()03f =，即2ππ2π()2cos sin 10333f a =++=即2π1()21032f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得a =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2()2cos 21f x x x =+cos222x x =+ 5π2sin(2)26x =++ 函数sin y x =的增区间为ππ[2π,2π],22k k k -+∈Z .由π5ππ2π22π262k x k -<+<+，k ∈Z ， 得2ππππ36k x k -<<-，k ∈Z ， 所以，()f x 的单调递增区间为2ππ[π,π]36k k --，k ∈Z . 16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大，（Ⅱ）设事件A ：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨. ---------------------------1分根据上面提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是： 56，49，59，54，54，57，59，58，58，56，55，56， 其中超过55百万吨的月份有8个， 所以，82()123P A ==； （Ⅲ）X 的数学期望8EX =.17.（本小题满分14分）解：{说明：本题下面过程中的标灰部分不写不扣分} （Ⅰ）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，故AC ⊥CC 1，由平面CC 1D ⊥平面ACC 1A 1且平面CC 1D ∩平面ACC 1A 1=CC 1， 所以AC ⊥平面CC 1D ， 又D C 1 平面CC 1D ， 所以AC ⊥DC 1.（Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， 又∠ BAC =90°，所以，如图建立空间直角坐标系A xyz -，依据已知条件可得(0,0,0)A，0)C，1C ，(0,0,1)B ，1(2,0,1)B，2)D ，所以1(2,0,0)BB =，BD =， 设平面1DBB 的法向量为(,,)x y z =n ，由10,0,BB BD −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即20,0.x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩ -令1y =，则z =0x =，于是(0,1,=n ， 因为M 为1DC中点，所以3(2M，所以3(2AM =，由3((0,1,02AM ⋅=⋅=n 可得AM ⊥n ，所以AM 与平面1DBB 所成角为0，又AM ⊄平面1DBB ， 所以//AM 平面1DBB .（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面1BB D的法向量为(0,1,=-n ．设BP BC λ−−→−−→=，[]0,1λ∈，则,1)P λ-，(1,1)DP λ−−→=---.M若直线DP 与平面1DBB 成角为π3，则cos ,DP DP DP−−→−−→−−→⋅〈〉===n n n 解得5[0,1]4λ=∉，故不存在这样的点．{说明1：如果学生如右图建系，关键量的坐标如下： （Ⅱ）1(0,2,0)BB =，(3,1,1)BD =，由10,0,BB BD −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即20,0.y y z =⎧⎪++=(1,0,=n ，3,1)2M ，所以3(3,,1)2AM =，（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面1DBB 的法向量为(1,0,=-n ．设BP BC λ−−→−−→=，[]0,1λ∈，则,0,1)P λ-，1,1)DP λ−−→=---. } {说明2：如果学生如右图建系，关键量的坐标如下： （Ⅱ）1(2,0,0)B B=，(1BD =-，由10,0,B B BD −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩nn 即20,0.x x z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩(0,1,=n ，1(2M ，所以3(2AM =-， （Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面1DBB 的法向量为(0,1,=n ．设BP BC λ−−→−−→=，[]0,1λ∈，则,1)P λ-，1)DP λ−−→=--. } {说明3：如果学生如右图建系，关键量的坐标如下： （Ⅱ）1(2,0,0)BB=，(1BD =，，由10,0,BB BD −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩nn 即20,0.x x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩(0,1,=n ，1(,0,1)2M ，所以3(,2AM =，（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面1DBB 的法向量为(0,=n ．设BP BC λ−−→−−→=，[]0,1λ∈，则(,1)P λ--，(,1)DP λ−−→=---. } 18.（本小题满分13分） 解：法1：（Ⅰ）由2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+可得函数定义域为(1,)-+∞，4(1)'()221a f x x a x -=-++ 22[(1)(2)]1x a x a x +-+-=+2(1)[(2)]1x x a x ---=+,由'()0f x =得121,2x x a ==-. 因为3a <，所以21a -<.当1a ≤时，21a -≤-，所以'()()f x f x ，的变化如下表：当1a <<'()()f x f x ，的变化如下表：综上，1x =是函数()f x 的极值点，且为极小值点. （Ⅱ）易知(0)=0f ，由（Ⅰ）可知，当2a ≤时，函数()f x 在区间[0,1]上单调递减，所以有()0f x ≤恒成立；当23a <<时，函数()f x 在区间[0,2]a -上单调递增，所以(2)(0)0f a f ->=，所以不等式不能恒成立；所以2a ≤时有()0f x ≤在区间[0,1]上恒成立. 法2：（Ⅰ）由2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+可得函数定义域为(1,)-+∞，4(1)'()221a f x x a x -=-++ 22[(1)(2)]1x a x a x +-+-=+令2()(1)(2)g x x a x a =+-+-，经验证(1)0g =，因为3a <，所以()0g x =的判别式222(1)4(2)69(3)0a a a a a ∆=---=-+=->， {说明：写明222(1)4(2)69(3)0a a a a a ∆=---=-+=-≠也可以} 由二次函数性质可得，1是2()(1)(2)g x x a x a =+-+-的异号零点， 所以1是'()f x 的异号零点， 所以1x =是函数()f x 的极值点. （Ⅱ）易知(0)=0f ，因为2(1)[(2)]'()1x x a f x x ---=+，又因为3a <，所以21a -<，所以当2a ≤时，在区间[0,1]上'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，所以有()0f x ≤恒成立；当23a <<时，在区间[0,2]a -上'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，所以(2)(0)0f a f ->=，所以不等式不能恒成立；所以2a ≤时有()0f x ≤在区间[0,1]上恒成立. 19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知可知1(1,0)F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+设A (11,x y )，B (22,x y )，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1101x y =⎧⎨=⎩，224313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以AB 中点M 21(,)33-，于是直线OM 的斜率为1323=-12-．（Ⅱ）解法1：假设存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点(1,0)M -，所以AM =1)1CM DM ⋅==，矛盾； 故可设直线l 的方程为：(1)(0)y k x k =+≠，联立椭圆G 的方程，得：2222(21)42(1)0k x k x k +++-=，设A (11,x y )，B (22,x y )，则2122421k x x k +=-+，21222(1)21k x x k -=+，于是，2121222(1)(1)2221y y x x k k k k ++=⋅+=⋅-++221k k =+，点M 的坐标为(2222,2121k kk k -++),AB =． 直线CD 的方程为：12y x k=-⋅，联立椭圆G 的方程，得：222421k x k =+， 设C (x 0，y 0)，则222200021(1)4OC x y x k=+=+⋅224121k k +=+，由题知，22244(||||)(|||)4(||||)AB CM DM CO OM CM OM CO OM =⋅=+-=-，即：22228(1)(21)k k ⋅++22222241(41)4()21(21)k k k k k ++=-++， 化简，得：212k =，故k =，所以直线l的方程为：1),1)y x y x =+=+． （II ）解法2：假设存在直线l 使得2AMCM DM =成立由题意直线l 的斜率不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =-， 由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，得22(2)210m y my +--=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y 则12122221,22m y y y y m m -+==++，2122)2m AB y y m +=-==+， 212122224()2222m x x m y y m m -+=+-=-=++， 所以AB 中点M 的坐标为222(,)22mm m -++，所以直线CD 的方程为：2my x =-， 由22222m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2242x m =+， 由对称性，设00(,)C x y ，则00(,)D x y --，即20242x m =+222220022(4)(1)(1)4(2)M M M m m m CM DM x x x x m ++=-+=+-=+，由||2||AB AM =，2AMCM DM =得24AB CM DM =，即22222(4)(1)4(2)m m m ++=⨯+⎝⎭，解得22m =，故m =，所以直线l 的方程为：1,1x x =-=-. 20.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）121,2a a ==. （Ⅱ）先证必要性因为121,2a a ==，又12,,,n a a a 成等差数列，故n a n =，所以(1)()2n n S A +=； 再证充分性因为12n a a a <<⋅⋅⋅<，12,,,n a a a 为正整数数列，故有12341,2,3,4,,n a a a a a n ==≥≥⋅⋅⋅≥,所以12()n S A a a a =++⋅⋅⋅+(1)122n n n +≥++⋅⋅⋅+=, 又(1)()2n n S A +=，故m a m =(1,2,,)m n =，故12,,,n a a a 为等差数列.（Ⅲ）先证明12(1,2,,)m m a m n -∀≤=⋅⋅⋅.假设存在12p p a ->，且p 为最小的正整数. 依题意3p ≥,则2112112221p p p a a a ---++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=-，又因为12n a a a <<<,故当1(21,)p p k a -∈-时，k 不能等于集合A 的任何一个子集所有元素的和.故假设不成立，即12(1,2,,)m m a m n -∀≤=⋅⋅⋅成立.因此112201712221n nn a a a -=++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=-,即22018n ≥，所以11n ≥.因为2017S =，则1212017n n a a a a -++⋅⋅⋅=-，若20171n n a a -<-时，则当(2017,)n n k a a ∈-时，集合A 中不可能存在若干不同元素的和为k ，故20171n n a a -≥-，即1009n a ≤.此时可构造集合{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}A =.因为当{2,21}k ∈+时，k 可以等于集合{1,2}中若干个元素的和，故当2222{2,21,22,23}k ∈+++时，k 可以等于集合2{1,2,2}中若干不同元素的和， ……故当8888{2,21,22,,2255}k ∈+++时，k 可以等于集合8{1,2,,2}中若干不同元素的和，故当{4973,4974,,497511}k ∈+++时，k 可以等于集合8{1,2,,2,497}中若干不同元素的和，故当{1009,10091,10092,,10091008}k ∈+++时，k 可以等于集合8{1,2,,2,497,1009}中若干不同元素的和，所以集合{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}A =满足题设， 所以当n 取最小值11时，n a 的最大值为1009.。