计算机算法：穷举法
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【算法】算法用伪代码描述如下： for A:=1 to 3 do
for B:=1 to 3 do for C:=1 to 3 do if(A+B=C) then writeln(A,’’,B,’’C);
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穷举法
▪ 流程图
N
结束
开始 A=1,B=1,C=1
Leabharlann Baidu
BB+1
N
C1
A<=3
A
B
C
1
1
1
1
1
2
1
1
3
…
3
3
1
3
3
2
3
3
3
在上述可能解集中，满足题目给定的检验条件（A+B==C）的解元素，即为问题的解。
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穷举法
▪ 穷举法（枚举法）的特点是算法简单，但是有时运 算量大。为了提高效率必须优化枚举算法。
枚举算法的时间复杂度=状态总数*考查单个状态的耗时
要优化算法，可以从以下方面着手： （1） 排除明显不属于解集的元素 （2） 减少状态总数（即减少枚举变量和枚举变量的值 域） （3） 减低单个状态的考察代价
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穷举法
▪ 由上述实例可以看出，穷举法（枚举法）是一种使 用非常普遍的思维方法。然而对于同一个问题，可 以选择不同的枚举范围，不同的枚举对象，这样解 决问题的效率差别可能会很大。所以选择合适的方 法会让解决问题的效率大大提高。
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算法语言描述
main()
{
int x,y,z;
int count;
for(x=1;x<=20;x++)
for(y=1;y<=33;y++)
{
z=100-x-y;
if(z mod 3=0 and 5*x+3*y+z/3=100)
cout<<x<<y<<z; //输出鸡翁，鸡
母，鸡雏的可能取值
count++;
}
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穷举法
▪ 示例2：百鸡百钱问题。 算法设计二（非懒惰枚举法）：假如设了鸡翁和鸡母 的个数为x和y了，那么鸡翁和鸡母的数量就是确定的， 那么鸡雏的数量就是固定的为100-x-y,那么此时就不再 需要进行枚举了，约束条件就只有一个了： 5*x+3*y+z/3=100.
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▪ 示例2：百鸡百钱问题。
算法语言描述
main()
{ int x,y,z; //定义鸡翁，鸡母，鸡雏 int count=0; //统计时间复杂度的变量 for(x=1;x<=20;x++) //鸡翁的取值范围 for(y=1;y<=34;y++) //鸡母的取值范围 for(z=1;z<=100;z++) //鸡雏的取值范围 100==x+y+z and 100==5*x+3*y+z/3; //约束 条件 Cout<<x<<y<<z;//输出鸡翁，鸡母，鸡雏的 可能取值 count++; //统计此算法的时间复杂度
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穷举法
▪ 示例1:求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中 A,B,C为1~3之间的整数。
对于示例1其算法显然可以修改如下： for A:=1 to 3 do
for B:=1 to 3 do begin
C:=A+B; If (C>=1) and (C<=3) then 输出A,B,C end 通过变量的依赖关系减少了解变量的个数（局部枚举），优化了枚举算法， n^3 n^2。
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▪ 对于示例1其算 N 法修改后的流程 图：
BB+1 C1
结束
开始 A=1,B=1,C=1
A<=3
Y
B<=3
Y CA+B
N AA+1 B1
Y N
C∈[1,2,3]
Y 输出A,B,C
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▪ 示例2：百鸡百钱问题。公元前5世纪，我国古代数学 家张丘建在他的《算经》中提出了著名的百鸡百钱问 题“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值 钱一；百钱买百鸡，鸡翁，母，雏各几何？”
穷举法
▪ 示例2：百鸡百钱问题。
N
(非懒惰枚举法)
流程图
N YY+1
开始 定义x,y,z及变量count
X<=20
N
Y
y<=33
Y
Z=100-x-y
XX+1 Y1
N 统计时间 复杂度
结束
如果z%3=0 and 5*x+3*y+z/3=100
Y
输出百鸡的结果 华南师范大学 教师发展中心
穷举法
▪ 示例2：百鸡百钱问题。
Y
B<=3
Y
N AA+1 B1
C<=3
Y
A+B=C？
N
N
CC+1
Y
输出A,B,C
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穷举法
▪ 示例1:求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中 A,B,C为1~3之间的整数。
在本案例中解变量有3个：A，B，C。其中： 解变量A的可能取值范围A∈｛1,2,3｝ 解变量B的可能取值范围B∈｛1,2,3｝ 解变量C的可能取值范围C∈｛1,2,3｝ 从而问题的可能解有3*3*3=27个，可能解集
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穷举法
▪ 示例2：百鸡百钱问题。
【分析】根据问题中的约束条件将可能的情况一一列举出 来，但如果情况很多，排除一些明显的不合理的情况，尽 可能减少问题可能解的列举数目，然后找出满足问题条件 的解。 完成百鸡百钱问题可以选择两种不同的方法实现。其一是 常规算法（懒惰枚举）的实现，其二是改进算法（非懒惰 枚举）的实现，以实验方法证明对于同一问题可以有不同 的枚举范围，不同的枚举对象，解决问题的效益差别会很 大。
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▪ 示例2：百鸡百钱问题。
算法设计一（懒惰枚举法）：首先问题有三种不同的鸡， 那么我们可以设鸡翁为x只，鸡母为y只，鸡雏为z只。由 题意给出一共要用100钱买一百只鸡，如果我们全部买鸡 翁最多可以买100/5=20只，显然x的取值范围是1~20之间； 如果全部买鸡母最多可以买100/3=33只，显然y的取值范 围在1~33之间；如果全部买鸡雏最多可以买100*3=300只， 可是题目规定是买100只，所以z的取值范围是1~100.那么 约束条件为：x+y+z=100且5*x+3*y+z/3=100。
//统计此算法的时间
复杂度
}
}
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穷举法
▪ 【算法分析】 懒惰枚举法需要尝试20*34*100=68000次，算法的效率 显然很低。非懒惰枚举法只须尝试20*33=660次。实现 时约束条件又限定z能被3整除时，才会判断“5×x＋ 3×y＋z／3＝100 ”。这样省去了z不整除3时的算术 计算和条件判断，进一步提高了算法的效率。
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穷举法
▪ 示例1:求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A,B,C 为1~3之间的整数。
【分析】本题非常简单，即枚举变量A，B，C的所有可能 取值情况，对每种取值情况判断是否符合表达式即可。
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▪ 示例1:求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A,B,C为 1~3之间的整数。
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▪ 示例2：百鸡百钱问题。
N
(懒惰枚举法)
流程图
百鸡百钱: x+y+z=100 5*x+3*y+z/3=100
YY+1
统计时间复 杂度
结束
开始 定义x,y,z及变量count
X<20
Y N
y<34
Y N
z<100
Y
百鸡和百钱？
Y 输出百鸡的结果
XX+1
N ZZ+1
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华师大大学计算机教学团队
穷举法
▪ 穷举法是程序设计中使用最为普遍的一种基础算法。 计算机的特点之一就是运算速度快、善于重复做一 件事情，“穷举法”正是基于这一特点的最古老算 法。它一般是在一时半会找不到解决问题的更好途 径，即从数学上找不到求解的公式或规律时，根据 问题中的“约束条件”，将求解的所有可能情况一 一列举出来，然后再逐一验证它否符合整个问题的 求解要求，从而得到问题的所有解。
【算法】算法用伪代码描述如下： for A:=1 to 3 do
for B:=1 to 3 do for C:=1 to 3 do if(A+B=C) then writeln(A,’’,B,’’C);
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穷举法
▪ 流程图
N
结束
开始 A=1,B=1,C=1
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BB+1
N
C1
A<=3
A
B
C
1
1
1
1
1
2
1
1
3
…
3
3
1
3
3
2
3
3
3
在上述可能解集中，满足题目给定的检验条件（A+B==C）的解元素，即为问题的解。
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穷举法
▪ 穷举法（枚举法）的特点是算法简单，但是有时运 算量大。为了提高效率必须优化枚举算法。
枚举算法的时间复杂度=状态总数*考查单个状态的耗时
要优化算法，可以从以下方面着手： （1） 排除明显不属于解集的元素 （2） 减少状态总数（即减少枚举变量和枚举变量的值 域） （3） 减低单个状态的考察代价
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▪ 由上述实例可以看出，穷举法（枚举法）是一种使 用非常普遍的思维方法。然而对于同一个问题，可 以选择不同的枚举范围，不同的枚举对象，这样解 决问题的效率差别可能会很大。所以选择合适的方 法会让解决问题的效率大大提高。
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算法语言描述
main()
{
int x,y,z;
int count;
for(x=1;x<=20;x++)
for(y=1;y<=33;y++)
{
z=100-x-y;
if(z mod 3=0 and 5*x+3*y+z/3=100)
cout<<x<<y<<z; //输出鸡翁，鸡
母，鸡雏的可能取值
count++;
}
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穷举法
▪ 示例2：百鸡百钱问题。 算法设计二（非懒惰枚举法）：假如设了鸡翁和鸡母 的个数为x和y了，那么鸡翁和鸡母的数量就是确定的， 那么鸡雏的数量就是固定的为100-x-y,那么此时就不再 需要进行枚举了，约束条件就只有一个了： 5*x+3*y+z/3=100.
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▪ 示例2：百鸡百钱问题。
算法语言描述
main()
{ int x,y,z; //定义鸡翁，鸡母，鸡雏 int count=0; //统计时间复杂度的变量 for(x=1;x<=20;x++) //鸡翁的取值范围 for(y=1;y<=34;y++) //鸡母的取值范围 for(z=1;z<=100;z++) //鸡雏的取值范围 100==x+y+z and 100==5*x+3*y+z/3; //约束 条件 Cout<<x<<y<<z;//输出鸡翁，鸡母，鸡雏的 可能取值 count++; //统计此算法的时间复杂度
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▪ 示例1:求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中 A,B,C为1~3之间的整数。
对于示例1其算法显然可以修改如下： for A:=1 to 3 do
for B:=1 to 3 do begin
C:=A+B; If (C>=1) and (C<=3) then 输出A,B,C end 通过变量的依赖关系减少了解变量的个数（局部枚举），优化了枚举算法， n^3 n^2。
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▪ 对于示例1其算 N 法修改后的流程 图：
BB+1 C1
结束
开始 A=1,B=1,C=1
A<=3
Y
B<=3
Y CA+B
N AA+1 B1
Y N
C∈[1,2,3]
Y 输出A,B,C
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▪ 示例2：百鸡百钱问题。公元前5世纪，我国古代数学 家张丘建在他的《算经》中提出了著名的百鸡百钱问 题“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值 钱一；百钱买百鸡，鸡翁，母，雏各几何？”
穷举法
▪ 示例2：百鸡百钱问题。
N
(非懒惰枚举法)
流程图
N YY+1
开始 定义x,y,z及变量count
X<=20
N
Y
y<=33
Y
Z=100-x-y
XX+1 Y1
N 统计时间 复杂度
结束
如果z%3=0 and 5*x+3*y+z/3=100
Y
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▪ 示例2：百鸡百钱问题。
Y
B<=3
Y
N AA+1 B1
C<=3
Y
A+B=C？
N
N
CC+1
Y
输出A,B,C
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▪ 示例1:求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中 A,B,C为1~3之间的整数。
在本案例中解变量有3个：A，B，C。其中： 解变量A的可能取值范围A∈｛1,2,3｝ 解变量B的可能取值范围B∈｛1,2,3｝ 解变量C的可能取值范围C∈｛1,2,3｝ 从而问题的可能解有3*3*3=27个，可能解集
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▪ 示例2：百鸡百钱问题。
【分析】根据问题中的约束条件将可能的情况一一列举出 来，但如果情况很多，排除一些明显的不合理的情况，尽 可能减少问题可能解的列举数目，然后找出满足问题条件 的解。 完成百鸡百钱问题可以选择两种不同的方法实现。其一是 常规算法（懒惰枚举）的实现，其二是改进算法（非懒惰 枚举）的实现，以实验方法证明对于同一问题可以有不同 的枚举范围，不同的枚举对象，解决问题的效益差别会很 大。
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▪ 示例2：百鸡百钱问题。
算法设计一（懒惰枚举法）：首先问题有三种不同的鸡， 那么我们可以设鸡翁为x只，鸡母为y只，鸡雏为z只。由 题意给出一共要用100钱买一百只鸡，如果我们全部买鸡 翁最多可以买100/5=20只，显然x的取值范围是1~20之间； 如果全部买鸡母最多可以买100/3=33只，显然y的取值范 围在1~33之间；如果全部买鸡雏最多可以买100*3=300只， 可是题目规定是买100只，所以z的取值范围是1~100.那么 约束条件为：x+y+z=100且5*x+3*y+z/3=100。
//统计此算法的时间
复杂度
}
}
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▪ 【算法分析】 懒惰枚举法需要尝试20*34*100=68000次，算法的效率 显然很低。非懒惰枚举法只须尝试20*33=660次。实现 时约束条件又限定z能被3整除时，才会判断“5×x＋ 3×y＋z／3＝100 ”。这样省去了z不整除3时的算术 计算和条件判断，进一步提高了算法的效率。
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穷举法
▪ 示例1:求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A,B,C 为1~3之间的整数。
【分析】本题非常简单，即枚举变量A，B，C的所有可能 取值情况，对每种取值情况判断是否符合表达式即可。
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穷举法
▪ 示例1:求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A,B,C为 1~3之间的整数。
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▪ 示例2：百鸡百钱问题。
N
(懒惰枚举法)
流程图
百鸡百钱: x+y+z=100 5*x+3*y+z/3=100
YY+1
统计时间复 杂度
结束
开始 定义x,y,z及变量count
X<20
Y N
y<34
Y N
z<100
Y
百鸡和百钱？
Y 输出百鸡的结果
XX+1
N ZZ+1
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穷举法
▪ 穷举法是程序设计中使用最为普遍的一种基础算法。 计算机的特点之一就是运算速度快、善于重复做一 件事情，“穷举法”正是基于这一特点的最古老算 法。它一般是在一时半会找不到解决问题的更好途 径，即从数学上找不到求解的公式或规律时，根据 问题中的“约束条件”，将求解的所有可能情况一 一列举出来，然后再逐一验证它否符合整个问题的 求解要求，从而得到问题的所有解。