离散数学第3章答案

xC 从而 B C 同理可证 C B 因此 B C
4. 设 {{a , b},{b, c},{a , c}, } , 试计算: (1) (2) (3) { } (4) { }
解: (1) {a , b, c} (2) (3) { } {{a , b, c}} {a , b, c} (4) { } {}
9. 设 A，B 和 C 是任意集合，证明或否定下列断言： (1) 若 A B ，且 B C ，则 A C 结论成立。因为 x A x B x C ，所以 A C (2) 若 A B ，且 B C ，则 A C 结论不成立。例如当 A {a}, B {a, b}, C {a, b, c} 时，有 A B ，且 B C ，但 A C (3) 若 A B ，且 B C ，则 A C s 命题为假。设 B { A}, C {B} ,易知 A B ，且 B C ，但 A C (4)若 A B ，且 B C ，则 A C 结论成立。(题目有误，应改为“若 A B ，且 B C ，则 A C ”)
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答：(2),(3),(4)为真，(1),(5),(6),(7)为假。 5. 判断下列命题中哪些为真： (1) {,{}} (2) {,{}} (3) {} {,{{}}} (6) {{}} {,{}}
(4) {} {,{{}}}
(5) {{}} {,{}}
(5) 不等式
1 0 的解集; x3
{x | x R x 3}
(6) 函数 y
1 的定义域集. x 3x 2
2
{x | x R x 1 x 2}
3. 用归纳定义法描述下列集合: (1) 允许有前 0 的十进制无符号整数的集合; ① {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} A ② 如果 x A ， 则 {0 x,1x, 2 x,3x, 4 x,5 x,6 x, 7 x,8 x,9 x, x0, x1, x2, x3, x 4, x5, x6, x7, x8, x9} A (2) 不允许有前 0 的十进制无符号整数的集合;
A B ∧ B C
A)A=φ
A B ∧x( x∈A→x∈φ)
x(┐(x ∈A∨0)
┐ x(x ∈
10. 设 A, B 和 C 是任意集合. 证明或否定下列断言: (1) 若 A B , 且 B C , 则 A C 答: 此断言不正确。例如当 A={a}, B={a,b}, C={{a},c}时, 有 A B 和 B C , 但 A C (2) 答: (3) 答: 若 A B , 且 B C , 则 AC 此断言不正确。例如当 A={a}, B={{a},b}, C={{a},c}时, 有 A B 和 B C , 但 A C 若 A B , 且 B C , 则 AC 此断言不正确。例如当 A={a}, B={a,b}, C={{a},c}时, 有 A B 和 B C , 但 A C
① {1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9} A ② 如果 x A ，则 {x0, x1, x 2, x3, x 4, x5, x6, x7, x8, x9} A (3) 不允许有前 0 的二进制无符号偶数的集合; ① 1 A ② 如果 x A ，则 {x0, x1} A (4) 5 的正整数倍的集合. ① 5 A ② 如果 x A ，则 x 5 A 4. 判断下列命题中,哪些是真的,哪些是假的(A 是任意集合): (1) A; (4) A A; (2) A; (5) A A; (3) A { A}; (6) A { A}; (7) {}.
(7) {{}} {,{,{}}} (9) {a, b} {a, b,{a},{b}} (11) {}
(8) {{}} {,{,{}}} (10) {a, b} {a, b,{a},{b}} (13) (14) {}
(12) {}
答：(1),(2),(4),(6),(10),(11),(12),(14)为真，(3),(5),(7),(8),(9),(13)为假。 6. 设 A 和 B 是集合， A B 和 A B 能同时成立吗？为什么？ 答：能。当 B A { A} 时， A B 和 A B 同时成立。 7. 设 A 和 B 是集合， A B 和 B A 能同时成立吗？为什么？ 答：不能。若 A B 和 B A 同时成立，则我们能得到 B B ，而这是不可能的。 8. 设 A，B 和 C 是集合，若 A B ，且 B C ，则 A C 可能成立吗？ A C 是否总能成 立？为什么？ 答： A C 可能成立。比如当 B { A} ，C { A, B} 时， A B ，B C 和 A C 同时成立。 但结论不是总成立。比如 B { A} ， C {B} 时， A B 且 B C ，但 A C 不成立。
x B ( x B x A) ( x B x A) ( x A x A B A B) ( x A x A B A B) (x A x A C A C) (x A x A C A C) (x A C x A C) (x A x A C)
解:
({,{},{{}}}) {,{},{{}},{{{}}},{,{}},{,{{}}},
{{},{{}}},{,{},{{}}}}
(5) {a, b, b} 解:
({a, b, b}) {,{a},{b},{a, b}}
6. 判断下列哪些运算结果是对的, 那些是错的: (1) {} (2) {} (3) {} {,{}} {}
{x | x N x 200}
(2) 被 5 除余 1 的正整数的集合;
{x | x I+ y ( y N x 5 y 1)}
(3) 函数 y=sinx 的值域;
{ y | y R 1 y 1}
(4) 72 的质因子的集合;
{x | x N x | 72 y ( y N 2 y x y | x)}
(4) 若 A B , 且 B C , 则 A C 答: 此断言不正确。例如当 A={a}, B={a,b}, C={{a},c}时, 有 A B 和 B C , 但 A C 11. 证明： A 当且仅当 A 证：必要性. 因为 A 和同时成立 A ，所以 A . 充分性. 因为空集是任何集合的子集, 而 A , 所以 A 12. 确定下列哪些集合是相等的: A2={b,a} A3={a,a,b} A4={a,b,c} A1={a,b} 2 A6={a,b,d} A7={x|{x -(a+b)x+ab=0} A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0} 答: A1, A2, A3, A7 相等, A4 与 A5 相等. 13. 设 n 个集合 A1, A2,…An 满足关系 A1 A2 ... An A1 . 证明: A1= A2=…= An. 证: 对任意的 2 i n 从条件我们得到 A1 Ai 和 Ai A1 , 所以我们有 Ai A1 , 因此 A1= A2=…= An.
(4) {,{}} {} {,{}}
(5) {,{}} {{}}
(6) {,{}} {{}} {} 答: (1),(3)和(6)是对的, (2),(4)和(5)是错的.
习题 3.3
1. 证明下列各式： (1) A ( B A) 证： A ( B A) A B A A A B (2) A ( B A) A B 证： A ( B A) A ( B A) ( A B) ( A A) ( A B ) U A B (3) A ( B C ) ( A B) ( A C ) 证： A ( B C ) A ( B C ) A ( B C ) ( A B ) ( A C ) ( A B ) ( A C ) (4) A ( B C ) ( A B) ( A C ) 证： A ( B C ) A ( B C ) A ( B C ) ( A B ) ( A C ) ( A B ) ( A C ) (5) ( A B) C A B C ) 证： ( A B ) C A B C A ( B C ) A B C )
习题 3.2
1. 设全集 U={a,b,c,d,e}, A={a,d} B={a,b,c}, C={b,d}. 求下列各集合: (1) A B C (2) A B C (3) A B C (4)
( A) ( B)
(5) ( A B) ( B C ) 解：(1) A B C {a} (2) A B C U (3) A B C {b, d } (4)
(6) ( A B) C
(7) A ( B C )
( A) ( B) {{d },{a, d }}
(5) ( A B) ( B C ) {a, c, d } (6) ( A B) C {b, d } (7) A ( B C ) {a, d , e} 2. 设 A, B 和 C 是集合，试把 A B C 表示成各不相交的集合之并. 解： A B C A ( B A) (C A B )
3. 设 A, B 和 C 是集合. (1) 若 A B A C ，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？ 答：不一定。例如当Ａ＝Ｕ时，Ｂ和Ｃ可以是任意集合。 (2) 若 A B A C ，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？ 答：不一定。例如当 A 时，Ｂ和Ｃ可以是任意集合。 (3) 若 A B A C ，则一定有Ｂ＝Ｃ吗？ 答：一定。 证明如下： ①若 A ，则 A B 和 A C ，从而Ｂ＝Ｃ. ② 若 A 和 B , 则 A B AC 等 价 于 A AC AC , 若 x A , 则 x A C , 因为 x A , 所以 x C , 说明 A C , 并且 A A C , 从而 C ③若 A 并且 B , 条件 A B A C 等价于 A B A B A C A C , 则
习题 3.1
1. (1) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (2) {aa, ab, ba, bb} (3) {-1,1} (4) {11,13,17,19,23,29} (5) {1,2,3,…,79} (6) {2} 2. 用描述法表示下列集合: (1) 不超过 200 的自然数的集合;
5. 求下列集合的幂集： (1) {{}} 解:
({{}}) {,{{}}}
(2) {a, b, c} 解:
({a, b, c}) {,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}}
(3) {{a, b}, {c}} 解： ({{a, b}, {c}}) {, {{a, b}}, {{c}}, {{a, b}, {c}}} (4) {,{},{{}}}