2021年高中数学选修1-2人教A版全册教学：1.1同步练习含答案

高中数学人教A版选修1-2 同步练习
1.下列各项中的两个变量具有相关关系的是( )
A．长方体的体积与高
B．人的寿命与营养
C．正方形的边长与面积
D．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间
解析：选B.相关关系是一种不确定关系，A、C、D是确定关系，是函数关系，故选B.
2.(2021·高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)423 5
销售额y(万元)49263954
根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )
A．63.6万元B．65.5万元
C．67.7万元D．72.0万元
解析：选B.由表可计算x＝4＋2＋3＋5
4
＝
7
2
，y＝
49＋26＋39＋54
4
＝42，因为点(
7
2
，
42)在回归直线y^＝b^＋a^x上，且b^为9.4，所以42＝9.4×7
2
＋a^，解得a^＝9.1，
故回归方程为y^＝9.4x＋9.1，令x＝6得y^＝65.5.
3.为了考察两个变量y与x的线性相关性，测得x，y的13对数据，若y与x 具有线性相关关系，则相关指数R2的取值范围是________．
解析：相关指数R.R2的取值范围是［0，1］.当R2=0时，即残差平方和等于总偏差平方和，解释变量效应为0，x与y没有任
何关系；当R2=1时，即残差平方和为0,x与y之间是确定的函数关系.其他情形，即当x与y是不确定的相关关系时，R2∈(0,1).
答案：（0，1）
4.如图是x和y的一组样本数据的散点图,去掉一组数据________________后,剩下的4组数据的相关指数最大.
解析：经计算,去掉D（3，10）这一组数据后，其他4 组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量
的线性相关性最强，此时相关指数最大.
答案：D(3,10)
1.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是
A.残差
B.残差平方和
C.随机误差
D.相关指数R2
解析：选B.残差平方和的大小表明了数据点和它在回归直线上相应位置的差异.
3.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：
（x1,y1）,( x2,y2),…,( x n,y n),则下列说法中不正确的是
A.若残差恒为0，则R2为1
B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C.用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好
D.若变量y和x之间的相关系数r=-0.9362,则变量y和x之间具有线性相关关系
解析：选C. R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好,故选C.
6.（2012·莱州一中高二期中考试）一机器可以按各种不同速度运转，其生产物件有一些会有缺点.每小时生产有缺点物件的多少，随机器运转速度而变化，下列即为其试验结果.
(1)求出机器运转速度影响每小时生产有缺点物件数的回归直线方程；
（2）若实际生产中所允许的每小时最大缺点物件数为10，那么机器的运转速度不得超过多少转/秒？
7.（2012·莱阳一中期中考试）〖HT〗如下所示的是一组观测值的四个回归模型对应的残差图，由残差图分析拟合效果最好的回归模型为
解析：选A.如题中A所示的残差图中的点分布在以原点为中心的水平带状区域上，并且沿水平方向散点的分布规律相同，说明残差是随机的，所选择的回归模型是合理的.
如题中B所示的残差图中的点分布在一条倾斜的带状区域上,并且沿带状区域方向散点的分布规律相同,说明残差与横坐标有线性关系,此时所选用的回归模型的效果不是最好的,有改进的余地.
如题中C所示的残差图中的点分布在一条抛物线形状的弯曲带状区域上,说明残差与坐标轴变量有二次关系,此时所选用的回归模型的效果不是最好的,有改进的余地.
如题中D所示的残差图中的点分布范围随着横坐标的增加而扩大,说明残差与横坐标变量有关,所选用的回归模型的效果不是最好的，有改进的余地.
综上分析可知,应选A
8.如果散点图中所有的样本点均在同一条直线上,那么残差平方和与相关系数分别为
A.1,0
B.0,1
C.0.5,0.5
D.0.43,0.57
解析：选B.如果所有的样本点均在同一条直线上,建立的回归模型一定是这条直
线,所以每个样本点的残差均为0,所以残差平方和也为0,即此时的模型为
y=bx+a,没有随机误差项,所以是严格的一次函数关系,通过计算可以证明解释变量与预报变量之间的相关系数是1.
9.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现变量x的观测数据的平均值都是s，变量y的观测数据的平均值都为t，那么下列说法正确的是
①l1与l2的相交点为（s,t）；
②l1与l2相交，相交点不一定是(s,t);
③l1与l2必关于点（s,t）对称；
④l1与l2必定重合.
10.某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下:
(1)作出散点图；
（2）求出线性回归方程；
（3）作出残差图；
（4）计算R2，并作出解释；
（5）试预测该运动员训练47次及55次时的成绩.
解： (1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图,如图所示
(3)残差分析
将这8名运动员依次编号为1，2，3，…，8，因残差e^1≈－1.24，e^2≈－0.37，e^
3
≈0.55，e^4≈0.47，e^5≈1.39，e^6≈0.18，e^7≈0.09，e^8≈－1.07，于是可作残差图如图所示：
由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算相关指数R2
计算相关指数R2＝0.9855.说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．
(5)作出预报
由上述分析可知，我们可用回归方程y^＝1.0415x－0.003875作为该运动员成绩的预报值．
将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.
故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.
11.(创新题)已知x，y之间的5组数据如下表所示：
x 13678
y 1234 5
对于表中数据，甲、乙两位同学给出的拟合直线分别为y^＝1
3
x＋1与y^＝
1
2
x＋
1
2
，
试利用“最小二乘法”判断哪条直线拟合效果更好？
解：用y^＝1
3
x＋1作为拟合直线时，所得y值与y实际值的差的平方和，即残差
平方和为∑i ＝1
5
(y i －y ^i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫103－42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫113－52＝73.
用y ^＝12x ＋1
2作为拟合直线时，所得y 值与y 实际值的差的平方和，即残差平方和
为∑i ＝1
5
(y i －y ^i )2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫72－32＋(4－4)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫92－52＝12.
∵12<7
3
，而残差平方和小的拟合效果好， ∴直线y ＝12x ＋1
2
拟合效果更好．。