初高中衔接教材(自己修订版)

第一节 数与式的运算

1.1.1． 绝对值及零点分段法

一、知识点

1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩

2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

3.两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

二、例题

例1：在下列条件下去掉绝对值

（1）()221>---x x x ； (2)()3131≤≤---x x x ； (3)31-+-x x

例2：解绝对值不等式

（1）11<-x ； （2）212<-x ； （3）

312

1>+x ； （4）075≥+x ；

（5）012<+x ； （6）012≤+x ；

练习：①5x ； ③123

⑤0153<+-x ； ⑥053≤-x

例3：解不等式

（1）134x x -+->； （2）5421≤-+-x x

例4：（1）求函数441222+-++-=

x x x x y 的最小值 （2）求函数441222+--+-=x x x x y 的最大值

例5：作出下列函数图像

（1）x y =； （2）1-=x y ； （3）21-+-=x x y ；

（4）)2(1+-=x x y ； （5）322--=x x y ； （6）322

--=x x y

例6：（1）方程m x x =--322有4个解，求m 的取值范围；

（2）不等式131+≥-+-m x x 的解为一切实数，求m 的范围。

练习：不等式组 113x x a -≤-≤无解，求a 的范围。

1.1.

2. 乘法公式

一、知识点

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 22

()()a b a b a b +-=-；

（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；

（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；

（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；

（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

二、例题

例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．

练习

1．填空：

（1）

221111()9423

a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；

（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：

（1）若212

x mx k +

+是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116

m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

例3 （1）已知2,3==+xy y x ，求33y x +与22y x +的值；

（2）已知：6,11,6==++=++xyz yz xz xy z y x ，求222z y x ++与)1)(1)(1(---z y x 的值；

（3）已知：23,23+=-=

b a ，求33b a +与33b a -的值；

（4）已知：0132=++x x ，求值：①22

1x x +；②441x x +；③361x x +；

练习：

1．已知：2=+b a ，求336b ab a ++的值；

2．已知：31=-x x ，求331x

x -的值； 3．若z x y 23+=，求xz z y x 449222++-的值；

4．设2)()1(2

-=---b a a a ，求ab b a -+22

2的值； 5．计算：（1）)()(2

22y xy x y x +-+=________________；

（2）2(2)2(2)y z y z y z ⎡⎤-++=⎣⎦____________________________； (3)22211111()()()42

424x x x x x ________________________； (4)[][]{}xy y x y x xy y x y x +-+-+-22)()()()(=__________________________；

(5) =++-)4

13)(161439(2x x x _________________________________； (6)[]=++-2242)

42)(2(a a a ________________________________； 6．已知：xy y x y x 44,622≤+=+，求33y x +的值。

7．若56,733=-=-y x y x ，求2

2y xy x ++的值；

8．已知：x 、y 、z 是正实数，且33222,0x y y z y yz z -=-----=，求z x -的值；