第三章 MATLAB在力学中的应用

3-3 机械振动

物体在平衡位置附近的往返叫做振动或机械振动。振动的传播称为波，机械振动的传播称为机械波。振动和波动是涉及物理及众多领域的一种非常普遍而重要的运动形式，研究振动和波动的意义已远远超过了力学的范围。本节利用MATLAB 来处理机械振动的一些问题。

3.3.1简谐振动

质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动称为简谐远动，它是最基本的振动。下面，我们通过两个例子来讨论简谐运动的动力学和运动学特征。 （1） 弹簧振子系统的简谐运动

·题目（ex3311）

设弹簧阵子系统由质量为m 的滑块和劲度系数为k 的弹簧所组成已知t=0时，m 在A 处，即x 0=A ，并由静止开始释放。试研究滑块的运动规律。

·解题分析

以x 表示质点相对原点的位移，线性回复力f=-kx 。由牛顿第二定律以及题设条件，可写出弹簧振子的振动微分防尘及初始条件为

2

2

t 0

(0)(0)0

d x k x dt

m x A dx v dt

=+

===

=

滑块速度分别为

2

2dx v dy d x a dt

=

=

令2,k m

ω=

用符号法求解上述微分方程，求出运动方程、速度和加速度，并绘制

出,()x t v x a x ---相轨迹和曲线。

（2） 单摆

·题目（ex3313）

设单摆的摆长为l ，摆锤质量为，将摆锤拉开一角度θ，然后放开使其自由摆动。在不计空气阻力的情况下，分小摆角和大摆角两种情况，讨论单摆的角位移

θ随时间t 的变化规律。

·解题分析

由牛顿第二定律，有

2

2

2sin sin ,d g dt

l

θθωθω=-

=-=

其中，g 为重力加速度。

① 小角摆动

假定角位移很小，sin θ≈θ,上式为

2

20d g dt

l

θθ+

=

② 大角摆动

2

2

2

sin sin d g dt

l

θθωθ=-

=-

上式是非线性方程。为了方便起见，将θ用y 来表示，上式又可以写为下列一阶

微分方程组

1221;

sin()dy dy g y y dt

dt

l

==-

用MATLAB 编程解此方程组。取l=1m,g=9.8m/s 2。初始条件取为

073

π

π

θ=

试取和

，比较二者的运动规律。

3.3.2 简谐振动的合成

（1）同方向简谐振动的合成 ·题目（ex3321）

设一物体同时参加了再同一直线上的两个的简谐振动，其简谐振动分别表示为

11112222cos()cos()

x A t x A t ωαωα=+=+

讨论不同频率、不同初位相时简谐振动的合成。 ·解题分析 由题知，合振动为

12111222cos()cos()cos()

x x x A t A t A t ωαωαωα=+=+++=+

其中，A =

讨论：

① 频率相同，初相位相同

例如，取A 1=20,A 2=10，ω1=ω2=5, α1=α2=0,可以看出，合成的振动是振幅为A=A 1+A 2的同频率简谐振动。 ② 频率相同，初相位不同

例如，取A 1=20,A 2=10，ω1=ω2=5, α1=0,α2=2π/3，或普遍写为Δα=α2-α1=2k

π，可以看出，合成的振动是振幅为A=A 1+A 2的同频率简谐振动。若取A 1=20,A 2=10，

ω1=ω2=5, α1=0,α2=-3π ,或普遍表示为Δα=α2-α1=±（2k+1）π ，则合振动振幅为A=A 1-A 2，是两个分振幅之差，合振动仍然为简谐振动。 ③ 拍现象

当频率差21ωω-很小时，则合振动振幅出现周期变化，此现象称为拍。合振幅每变化一次周期叫一拍，单位时间内拍出现的次数叫拍频。例如，取

12121210.05,0.04,/3,4, 1.1 4.4,A A a a πωπωωπ=======运行上面程序便可显

示出拍现象。为了图形更好看一些，时间取t=0:0.01:10,运行结果如图所示。

为了得到拍效果的声音效果，可以修改以上程序一些参数。例如，将程序写

为

clear

A1=5;A2=5;w1=0.03*pi;w2=1.04*w1;a1=pi/3;a2=a1;

t=0:40000;

x1=A1*cos(w1*t+a1);x2=A2*cos(w2*t+a2);

x=x1+x2;

pause,sound(x1);pause(5),sound(x2);

在命令窗口中键入上述程序后按回车键，便可听到三段声音，其中最后一段就是合成后拍的拍音。

（3） 两相互垂直简谐振动的合成 ·题目（ex3322）

设一物体同时参加了垂直方向上的两个简谐振动，其简谐振动方程分别为

()()111222cos ,cos x A t y A t ωαωα=+=+

求其合成振动的轨迹。 ·解题分析

用计算机画其运动轨迹，不需解轨道方程，只要给定时间数组，算出相应点

的x 和y 值，然后作y-x 图即可。为了能使读者看到图形的绘制过程，程序中使用了for 循环语句以获得动画效果，这对理解图形是很有帮助的。 ·程序(ex3322) 讨论：

① 频率相同情况

两振动方向垂直、频率相同的简谐振动的合振动轨迹为直线、圆或椭圆，轨迹的形状和运动方向由分振动的振幅和相位差决定。当120,,2a a ππ-=时为直线；取/4,/2,3/4,πππ等时为圆或椭圆。例如，取

12124,0,2/2,a a ωωππ====和则分别得到图3-3-8所示的直线和椭圆。 ② 频率不同情况 李萨如图形

一般来说，在相互垂直分振动频率不同的情况下，合振动的轨迹不能形成稳定的图案，当如果分振动频率比21/2ωω=成简单整数比，则合振动的轨迹为稳定而闭合的曲线，曲线的花样和分振动的频率比、初相位有关，这些轨迹图形称为李萨如图。图3-3-9给出了在取

121212215,0,/4,2,4(/2)A A a a πωωωω=======即时，由上述程序运行的

结果，读者可利用该程序方便地画出李萨如图形。

当两分振动频率比21/ωω是无理数时，合成的运动将永不重复已走过的

路径，它的轨迹将逐渐密布在由振幅限定的矩形面积内。图3-3-10所示的这种非周期运动称为准周期运动。