高中数学排列组合几种基本方法

例6 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、 C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.
解：所有这样的直线共有
A 条， 3 7
210
其中不过原点的直线有
A61条，A62 180
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
甲乙
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A55＝120种排法
几个元素必须相邻时，先捆绑成一 个元素，再与其它的进行排列.
共有2 120＝240种排法
2.插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”
元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.
♀ ♀♀ ♀ ♀♀♀
↑↑
↑
↑
↑↑
例2 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
A.6
B.12
C.72
D.144
C 3. 5个人排成一排，其中甲、乙相邻的排法种数是（ ）
A.72
B.42
C.48
D.56
34.. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调 查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有（ A ）
A.
C142
C84
C
4 4
种
B.3
C142 C 84
C
4 4
种
C.
C142
C
4 8
A33
种
D.
C142C84 A33
C44
种
直接法： 2
A 30 6
7.错位法：
编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里，每个盒子放一个小球.要 求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列.
特别当n=2, 3 , 4 , 5时的错位数各为1, 2 , 9 , 44.（列举）
例7 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里，每个盒子放一个小 球，其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有___种.
4.分组（堆）分配问题
例4 有四项不同的工程，要承包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项 工程. 共有多少种不同的发包方式？
解法1：要完成承包这件事，可以分为两个步骤：
⑴先将四项工程分为三“堆”，有
C42C21C11程队，
有3!＝6种给法.
∴共有6×6＝36种不同的发包方式.
解法2：
23 CA
43
5.隔板法（剪截法）：
n个 相同小球放入m (m ≤ n)个盒子里，要求每个盒子里至少有一个小球的放法 （等价于 n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.）
例5 某校准备参加今年高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学 班，每班至少一个名额，则不同的分配方案共有___种.
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A53 1 A53
3.消序法(留空法)
解: 如图所示
B
变式：如下图所示,有5横8竖构成的 方格图,从A到B只能上行或右行共有 多少条不同的路线?
也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②, B
③,④顺序一定的排列，有
A
种排法.
将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11 格:
解排列组合的几种基本方法
2015年12月23日
1.捆绑法
相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列 当成“一个”元素，然后再进行整体排列.
例1 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻，有多少种不的排法？
特殊元素优先考虑
♀♀♀♀♀ ♀
解：（1）分两步进行：
第一步，把甲乙排列(捆绑)：有A22＝2种捆法
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 其余4组球与盒子需错位排列有9种放法. 故所求方法有15×9＝135种.
种，
C62 15
巩固练习
1.将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则不同的投法 的种数是（ B ）
A. 34
B. 43
C. A43
D.
C
3 4
C 2. 5个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（ ）
3 C
99
（2）求这个方程组的自然数解的组数？
(x 1) ( y 1) (z 1) (w 1) 104
3 C
103
或
3 12 21 3 C C C C C C
99 4 99 4 99 4
6.剔除法 （间接法）
从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法. （对立事件）
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识 联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案 进行取舍.
例3 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？
解法1：将5个人依次站成一排，有 然后再消去甲乙之间的顺序数
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A5 种站法， 5
A22
A55 A22
543
A53
解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有
A3 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 5
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的人排列： 有A55 =120种排法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插空)：
有A62 =30种插入法
共有120 30＝3600种排法
几个元素不能相邻时,先排一般元 素，再让特殊元素插空.
3.消序法 /倍缩法 (留空法 / 空位法)
几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再 消去这几个元素的顺序或者，先让其它元素选取位 置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 n个堆，要将选取出每一个堆的组合数的 乘积除以n! ②非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.
③若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆，要将选取出每一个堆的 组合数的乘积除以m!
④要明确堆的顺序（分配）时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排 列.
解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4 个盒子里，每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
将10个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有84种 .
C93 84
变式2：x y z w 100
（1）求这个方程组的正整数解的组数？
解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里，每个盒子至少有一个小球的 放法种数问题.
将16个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里.
C135 455
因此，不同的分配方案共有455种 .
5.隔板法（剪截法）：
变式1： 某校准备参加今年高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班，每班的名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有___种.
A11 11
A
A44 A77
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→ 1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B共有
4 C 条不同的路径.
11
4.分组（堆）分配问题
分组（堆）分配问题的六个模型： 不分配： ①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分； (分配：④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)